Блюмин С.Л., Шуйкова И.А. Введение в математические методы принятия решений
Подождите немного. Документ загружается.
61
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
k
k
k
k
k
k
m
m
mk
m
k
m
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L
L
L
L
M
M
M
M
M
L
L
L
L
M
M
M
M
M
L
L
++ + +
+
L
N
M
M
M
M
M
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
P
P
P
P
P
,
,
,
.
ñîäåðæàùåìó áëîê äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ñ íåïðèâîäèìûìè ìàò-
ðèöàìè À
i
íà äèàãîíàëè. Ïðè ýòîì, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà èç ìàòðèö ñ
äâîéíûì èíäåêñîì â êàæäîé ñòðîêå, â êîòîðîé îíè ïîÿâëÿþòñÿ íóëåâàÿ.
Òåîðåìà 6. (Ïåððîí-Ôðîáåíèóñ).
Ïóñòü À >=0 íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà. Òîãäà:
1. À èìååò äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæèòåëüíîé ïðîñòîå (ò.å. íå êðàòíîå)
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
λ
max
, êîòîðîå ïî ìîäóëþ íå ìåíüøå ëþáîãî äðóãî-
ãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû À (íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãóò áûòü
êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè).
2. Ñîáñòâåííûé âåêòîð À, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷å-
íèþ
λ
max
, èìååò ïîëîæèòåëüíûå êîìïîíåíòû è, ïî ñóùåñòâó (ñ òî÷íîñ-
òüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ), åäèíñòâåíåí.
3. ×èñëî
λ
max
(èíîãäà íàçûâàåìîå êîðíåì Ïåððîíà ìàòðèöû À) óäîâ-
ëåòâîðÿåò óñëîâèþ
λ
max
max
min
(
)
min
max
(
)
;
== ≥
≥≤≤ ≥≤≤
x
i
n
i
i
x
i
n
i
i
Ax
x
Ax
x
x
0
1
0
1
0
ïðîèçâîëüíî.
Ñëåäñòâèå. Ïóñòü À>=0 íåïðèâîäèìà è ïóñòü õ>=0 ïðîèçâîëü-
íî. Òîãäà êîðåíü Ïåððîíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
min
(
)
max
(
)
max
1
1
≤≤ ≤≤
≤≤
i
n
i
i
i
n
i
i
Ax
x
Ax
x
λ
.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïåðððîíà îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèå ôàêòû
î ïîëîæèòåëüíûõ (nxn) ìàòðèöàõ:
62
Ïóñòü À ïîëîæèòåëüíàÿ (nxn) ìàòðèöà,
λ
max
åå íàèáîëüøåå ñîá-
ñòâåííîå çíà÷åíèå, òîãäà
1.
λ
max
îãðàíè÷åíî ñâåðõó è ñíèçó ñîîòâåòñòâåííî ìàêñèìàëüíîé è
ìèíèìàëüíîé ñòðî÷íûìè ñóììàìè ìàòðèöû À. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè À
ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìàòðèöà, ò.å. åñëè åå ñòðî÷íûå ñóììû ðàâíû åäèíèöå, òî
λ
max
=1.
2. Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ìàòðèöû À,
lim
k
k
A
ev
→∞
=
, ãäå v ïîëîæè-
òåëüíûé âåêòîð-ñòðîêà, v=(v
1
, v
2
, ..., v
n
),
v
e
i
T
i
n
==
=
∑
1
1
1
1
1
,
(
,
,
.
.
.
,
)
.
3. Äëÿ ïîëîæèòåëüíîé ìàòðèöû À ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
λ
, íóëåâàÿ âåêòîð-ñòðîêà v è íåíóëåâîé âåêòîð-ñòîëáåö w, òàêèå, ÷òî
lim
k
k
k
A
wv
→∞
=
λ
.
4.
λ
åñòü íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå À è íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, à w è v ãëàâíûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, åäèí-
ñòâåííûå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ.
5. w îðòîãîíàëåí âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòîëá-
öàì, à v âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòðîêàì.
6. Åñëè
λ
i
íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå À, ïðè÷åì
λλ
i
j
i
j
i
j
n
≠≠ =
;
,
,
,
,
.
.
.
,
1
2
è åñëè w
i
ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð,
ñîîòâåòñòâóþùèé
λ
i
, òî
lim
k
k
T
k
A
e
e
A
e
cw
→∞
=
1
.
Òåîðåìà 7.
1.
min
max
;
min
max
;
max
max
j
ij
j
ij
i
n
i
n
i
ij
j
n
i
ij
j
n
a
a
a
a
≤≤
≤≤
L
N
M
M
M
M
==
==
∑∑
∑∑
λ
λ
1
1
1
1
Íåðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, êîãäà ñóììû íå îäèíàêîâû.
63
2.
λ
max
/
lim
(
)
.
=
→∞
k
k
k
tr
A
1
3.
λ
max
max
min
min
max
==
>
=
>
=
∑∑
u
i
ij
j
j
n
i
u
i
ij
j
j
n
i
a
u
u
a
u
u
0
1
0
1
.
4.
λ
max
max
min
min
max
==
>
=
>
=
∑∑
u
j
ij
i
i
n
j
u
j
ij
i
i
n
j
a
u
u
a
u
u
0
1
0
1
.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Êîìïîíåíòû âåêòîðà Àå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû ñòðîê ìàòðè-
öû À. Ïóñòü íàèáîëüøàÿ ñóììà ñòðîê åñòü Ì, à íàèìåíüøàÿ m. Òîãäà
me
≤
Àå
≤
Ìå , à ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè m=Ì.
Èç âûðàæåíèÿ
vA
v
=
λ
max
èìååì
vAe
ve
=
λ
max
,
vme
ve
vMe
≤≤
λ
max
. Åñëè òåïåðü ðàçäåëèòü íåðàâåíñòâî íà ïîëîæè-
òåëüíîå ÷èñëî ve, òî ïîëó÷èì
m
M
≤≤
λ
max
, ïðè÷åì ðàâåíñòâî âíîâü
áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè m=M. Àíàëîãè÷íî äëÿ ñóìì ñòîëáöîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî (2) ïîëó÷àåòñÿ ëèáî èç âûðàæåíèÿ
lim
/
/
lim
/
/
k
k
k
k
k
k
k
tr
A
trA
→∞ →∞
==
1
1
1
1
1
λλ
,
ëèáî èç
λλ
1
k
n
k
k
tr
A
++ =
.
.
.
. Ïóñòü âî âòîðîì ñëó÷àå
λλ
1
=
max
,
òîãäà
λλλ λλ
1
2
1
1
1
1
+++ =
(
/
)
.
.
.
(
/
)
/
k
n
k
k
k
tr
A
, ïðè
k
→∞
,
λ
1
→
tr
A
k
. Îñòàëüíàÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà íå ïðèâîäèòñÿ.
Òåîðåìà 8. Åñëè À ïîëîæèòåëüíàÿ (nxn) - ìàòðèöà, ó êîòîðîé ñóì-
ìà ýëåìåíòîâ êàæäîé ñòðîêè ðàâíà åäèíèöå, òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëü-
íàÿ âåêòîð-ñòðîêà v,
v
i
i
n
=
∑
=
1
1
, òàêàÿ, ÷òî
lim
m
m
A
ev
→∞
=
, ãäå
e=(1,1,...,1)
T
.
64
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y
0
ëþáîé n-ìåðíûé âåêòîð-ñòîëáåö. Îïðå-
äåëèì ó
m
=À
m
y
0
è ïóñòü a
m
è b
m
ìàêñèìàëüíàÿ è ìèíèìàëüíàÿ êîìïî-
íåíòû y
m
ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü a ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû À.
Òàê êàê y
m+1
=Ay
m
, ëþáàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà y
m+1
ïîëó÷àåòñÿ óìíîæå-
íèåì ñòðîêè À íà ó
m
, è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñëåäóþùèå ãðàíèöû äëÿ
ïðîèçâîëüíîé êîìïîíåíòû ñ âåêòîðà ó
m+1
:
1
1
−+≤≤+−
αα α α
b
g
b
a
c
b
a
m
m
m
m
(
)
.
Ýòî íåðàâåíñòî îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé êîì-
ïîíåíò
y
m
+
1
, îòêóäà
a
b
a
m
m
m
+
≤+−
1
1
αα
(
)
(ñëåäîâàòåëüíî, à
m
ìîíîòîííî âîçðàñòà-
åò) è
1
1
−+≤+
αα
b
g
b
a
b
m
m
m
(ñëåäîâàòåëüíî b
m
ìîíîòîííî óáûâàåò),
èëè
−≤−− −
+
b
b
a
m
m
m
1
1
(
)
αα
è
a
b
a
b
m
m
m
m
++
−<− −
1
1
1
2
(
)(
).
α
Îòñþäà ïî èíäóêöèè ïîëó÷àåì
a
b
a
b
m
m
m
−≤− −
(
)
(
)
1
2
0
0
α
. Òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðà-
âåíñòâà ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, òî à
m
èb
m
ñõîäÿòñÿ ê îáùåìó ïðåäåëó, è, ñëåäî-
âàòåëüíî, âñå êîìïîíåíòû ó
m
ïðèáëèæàþòñÿ ê íåìó æå, ò.å.
lim
m
m
y
Ce
→∞
=
ïðè
b
C
a
0
0
≤≤
(ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè à
0
=b
0
). Ïóñòü
y
y
y
y
y
y
j
i
n
i
j
0
0
1
0
2
0
0
0
1
0
===≠
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
c
h
Òîãäà y
m
åñòü i-é ñòîëáåö
ìàòðèöû À
m
, è , êàê óæå óñòàíîâëåíî
y
c
c
m
i
i
T
→
(
,
.
.
.
)
, ïðè÷åì b
0
=0,
c
i
>b
0
=0. Ñëåäîâàòåëüíî,
lim
.
m
m
A
ev
→∞
=
Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó êàæäàÿ
ñòðî÷íàÿ ñóììà À
m
ðàâíà åäèíèöå, òî
v
i
i
n
=
=
∑
1
1
.
Òåîðåìà 9. Åñëè À ïîëîæèòåëüíàÿ (nxn) ìàòðèöà, òî
lim
A
wv
k
k
λ
=
,
ãäå
λ
ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, v íåíóëåâàÿ âåêòîð-ñòðîêà, à w
65
íåíóëåâîé âåêòîð-ñòîëáåö.
Êðàòêîå äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
S
x
x
x
x
x
n
T
t
== ≥
{
|
(
,
.
.
.
,
)
,
,
1
0
i=1,...,n,
x
i
i
n
=
∑
=
1
1
, ò.å.
fx=1}, ãäå f=(1,1,1...,1).
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå
T
fA
Ax
x
S
x
x
=
L
N
M
O
Q
P
∈
1
,
.
Ýòî îòîáðàæå-
íèå ïîëîæèòåëüíî: òàê êàê fx=1, òî õ èìååò íåíóëåâóþ êîìïîíåíòó, è,
ñëåäîâàòåëüíî, Àõ>0 è fAx>0. Äàëåå
fT
fA
fAx
x
x
=
L
N
M
O
Q
P
=
1
1
, è ïîýòî-
ìó Ò îòîáðàæàåò S â S. Òàê êàê À íåïðåðûâíà, ïî òåîðåìå Áðàóåðà î
íåïîäâèæíîé òî÷êå íàéäåòñÿ òî÷êà w, ÷òî
1
fA
A
w
w
w
L
N
M
O
Q
P
=
. Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü ïîëîæèòåëüíà, w ïîëî-
æèòåëüíà è
λ
=>
fAw
0
. Ñëåäîâàòåëüíî, Àw=lw, l>0, w>0. Íàêîíåö,
ïóñòü D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ d
ij
=w
i
è d
ij
=0,
i
j
≠
. Òàê êàê w>0,
D èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó D
-1
, òàêæå äèàãîíàëüíóþ, ñ äèàãîíàëüíûìè
ýëåìåíòàìè 1/w
i
, ò.å. w=De è
D
AD
e
D
A
w
D
w
e
−−−
===
1
1
1
1
1
(
/
)
(
/
)
.
λλ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóììû ñòðîê ìàòðèöû
D
AD
−
1
1
(
/
)
λ
ðàâíû
åäèíèöå, ò.å. ýòî ìàòðèöà ñòîõàñòè÷åñêàÿ, è, èñõîäÿ èç ïðåäûäóùåé òåî-
ðåìû, íàéäåòñÿ òàêàÿ âåêòîð-ñòðîêà V*, ÷òî
ev
D
AD
D
A
D
k
k
k
k
k
*
lim
(
/
)
lim
(
/
)
==
→∞
−
→∞
−
1
1
1
1
λλ
, (ò.å. ñòðîêè
ïðåäåëüíîé ìàòðèöû âñå îäèíàêîâû), îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì
lim
(
/
)
*
*
k
k
k
A
Dev
D
wv
D
wv
→∞
−−
===
1
1
1
λ
.
66
Òåîðåìà 10. v è w ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöà À, ñîîòâåòñòâó-
þùèå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ l.
Äîêàçàòåëüñòâî.
( /
)
(
/
)
lim
(
/
)
lim
(
/
)
1
1
1
1
1
1
λλλ λ
Awv
A
A
A
wv
k
k
k
k
k
k
===
→∞ →∞
++
îòêóäà èìååì Àwv=
λ
wv è Awve=
λ
wve, è òàê êàê ve ïîñòîÿííàÿ, òî
Aw=
λ
w. Àíàëîãè÷íî vA=
λ
v.
Ñëåäñòâèå. Âåêòîðû v è w ïîëîæèòåëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç ðàâåíñòâà Aw=
λ
w èìååì (1/l)Aw=w. Òàê êàê
λ
, À ïîëîæè-
òåëüíû, à w íåîòðèöàòåëåí (ñ íåêîòîðûìè íåíóëåâûìè êîìïîíåíòàìè),
âñå êîìïîíåíòû ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíû, è, ñëåäîâàòåëüíî,
w ïîëîæèòåëåí; àíàëîãè÷íî äëÿ v.
Òåîðåìà 11. Âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåí-
íîìó çíà÷åíèþ
λ
, ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè ìíîæèòåëÿìè w è v.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Àu=
λ
u, òî
A u
u
k
k
=
λ
, à
( /
)
1
λ
k
k
A
u
u
=
äëÿ âñåõ k. Ïðè k
→
∞
èìååì wvu=u. Àíàëîãè÷íî äëÿ âåêòîðîâ-ñòðîê.
Òåîðåìà 12. Ìîäóëü ëþáîãî äðóãîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ h ìàò-
ðèöû À óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |h|<l.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè Àh=hu, òî À
k
u=h
k
u, à (1/
λ
)
k
A
k
u=(h/
λ
)
k
u. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäå-
ëó ïðè k
→
∞
, èìååì
wvu
h
u
k
k
=
→∞
lim
/
λ
, è ïðåäåë â ïðàâîé ñòîðîíå äîëæåí ñóùåñòâî-
âàòü, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè h=
λ
èëè |h|<
λ
, ïðè÷åì â ïîñëåäíåì ñëó-
÷àå ïðåäåë ðàâåí íóëþ. Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
λ
åñòü ãëàâíîå ñîáñòâåííîå
çíà÷åíèå ìàòðèöû À, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ
λ
max
, à v è w ãëàâíûå ñîá-
ñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû À.
Ñëåäñòâèå. Ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð-ñòðîêà (ñòîëáåö) v(w)
îðòîãîíàëåí êî âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòîëáöàì (ñòðî-
êàì) ìàòðèöû À.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî wvu=0 èç äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåî-
ðåìû. Òàê êàê w>0, èìååì vu=0, è, ñëåäîâàòåëüíî, v îðòîãîíàëåí âåêòî-
67
ðó-ñòîëáöó u. Àíàëîãè÷íûé àðãóìåíò ìîæíî èñïîëüçîâàòü, ÷òîáû ïîêà-
çàòü îðòîãîíàëüíîñòü w êî âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòðî-
êàì ìàòðèöû À.
Ñëåäñòâèå. vw=1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû ïóñòü u=w, òîãäà h=
λ
,
wvw=w. Òàê êàê vw ÷èñëî, ïîëó÷àåì vw=1.
Çàìå÷àåì, vw åñòü ñëåä ìàòðèöû wv, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ñëåä
âñåãäà ðàâåí åäèíèöå.
Çàìå÷àíèå. Ñèñòåìà
a
x
b
i
n
ij
j
i
j
n
==
=
∑
,
,
.
.
.
,
.
1
1
ãäå a
ij
≥
0, d
ij
>0,
èìååò íåîòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå x
j
≥
0, j=1,..., n, åñëè
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
11
11
12
21
22
11
12
13
21
22
23
31
32
33
0
0
0
0
>> >>
,
,
,
.
.
.
,
|
|
.
Òåîðåìà 13. Åñëè À íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà, òî
çíà÷åíèå
λ
max
âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ëþáîãî ýëåìåíòà a
ij
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü À íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëèì
Â(p)=pI-A, ãäå ð äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð. Ïóñòü Ì ìíîæåñòâî âñåõ
ð, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò è íå îòðèöàòåëüíà îáðàòíàÿ ìàòðèöà (ðI-À)
-1
.
Ìíîæåñòâî Ì íåïóñòî äëÿ õ>0 è îñòàåòñÿ òàêèì äëÿ ñðàâíèòåëüíî áîëü-
øîãî ð, ðõ>Ax, ò.å. ðõ-Àõ>0, è ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâà-
íèå íåîòðèöàòåëüíîãî ðåøåíèÿ è ýêâèâàëåíòíî âûøåîïèñàííîìó óñëî-
âèþ íà ãëàâíûå ìèíîðû. Òàê êàê Ì çàâèñèò îò À, îáîçíà÷èì åãî Ì(À).
Ïóñòü À íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëèì Â(r)=rI-A, ãäå r
äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð. Ïóñòü Ì ìíîæåñòâî âñåõ r, äëÿ êîòîðûõ ñó-
ùåñòâóåò íå îòðèöàòåëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà (rI-A)
-1
. Ìíîæåñòâî Ì
íåïóñòî äëÿ õ>0 è îñòàåòñÿ òàêèì äëÿ ñðàâíèòåëüíî áîëüøîãî r, rõ>Aõ,
ò.å. rõ - Àõ>0, è ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå íåîòðèöàòåëü-
íîãî ðåøåíèÿ è ýêâèâàëåíòíî âûøåîïèñàííîìó óñëîâèþ íà ãëàâíûå ìè-
íîðû. Òàê êàê Ì çàâèñèò îò À, îáîçíà÷èì åãî Ì(À).
Ïóñòü À
/
>=A
//
>=0. Òîãäà Ì(À
/
)Ì Ì(À
//
). Â ñàìîì äåëå, çàìå-
68
òèì, ÷òî åñëè r
∈
Ì(À
/
), òî (rI- À
/
)x>0 äëÿ íåêîòîðîãî õ>0 è òàê êàê rI-
À
/
>=rI- À
/
, (rI-À
//
)x>0 äëÿ òîãî æå ñàìîãî õ, è, ñëåäîâàòåëüíî, r
∈
Ì(À
//
). Òåïåðü ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
λ
max
ìàòðèöû À>0
åñòü
infp
M(A)
ρ
∈
, äëÿ êîòîðîãî (rI- À
/
)
-1
ñóùåñòâóåò, ò.å. ýòî ïåðâîå çíà÷åíèå,
äëÿ êîòîðîãî |rI-À
/
|=0, èáî âñå äðóãèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íå ïðåâîñ-
õîäÿò
λ
max
. Ïîýòîìó
λ
max
(À
/
)=
infp
M(A)
ρ
∈
≥
infp
M(
A
)
ρ
∈′′
=
λ
max
(À
//
).
Ñëåäîâàòåëüíî,
λ
max
ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ À.
Íèæå ïîêàçàí âàæíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé
λ
max
, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íîðìà-
ëèçîâàííûå ñóììû ýëåìåíòîâ ñòðîê ïðåäåëüíîé ìàòðèöû â òî÷íîñòè k-é
ñòåïåíè À
k
ìàòðèöû À (à íå ñóììû âñåõ ñòåïåíåé À).
Òåîðåìà 14.
lim
k
k
T
k
A
e
e
A
e
cw
→∞
=
1
,
ãäå À>0, w
1
ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîòâåòñòâóþùèé ìàêñè-
ìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
λ
1
,
λ
i
≠λ
j
äëÿ âñåõ i è j, w
i
ïðàâûé
ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé
λ
i
, à ñ ïîñòîÿííàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî
e=a
1
w
1
+...+a
n
w
n
, ãäå à
i
, i=1,...,n ïîñòîÿííûå.
A e
a
w
a
w
a
w
a
w
k
k
n
n
k
n
k
k
= ++ = + ++
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
λλλ λλ λλ
.
.
.
(
/
)
.
.
.
a
w
n
n
k
n
++
1
λλ
...
(
/
)
,
e A
e
b
b
b
b
a
e
w
T
k
k
k
n
n
k
i
i
T
i
=+ ++ =
λλλ λλ
1
1
2
2
1
1
(
/
)
.
.
.
(
/
)
;
.
Òàê êàê w
1
>0, b
≠
0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Îáîáùèì ýòó òåîðåìó.
Íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà À ïðèìèòèâíà òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò öåëîå m≥1, òàêîå, ÷òî À
m
>0. Â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ìàòðèöó íàçûâàþò èìïðèìèòèâíîé. Ãðàô ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû
èìååò äëèíó ïóòè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè ≥ m.
69
Èçâåñòíî, ÷òî íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà À ïðèìèòèâ-
íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà À èìååò åäèíñòâåííûé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé
êîðåíü ñ ìàêñèìàëüíûì ìîäóëåì, è ýòîò êîðåíü èìååò êðàòíîñòü, ðàâíóþ
åäèíèöå.
Òåîðåìà 15. Äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû À
lim
,
k
k
k
k
T
k
A
e
A
cw
A
e
A
e
→∞
==
, ãäå ñ ïîñòîÿííàÿ, à w ñîáñòâåííûé
âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé
λ
max
≡ λ
1
.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîïóñòèì À>0. Ðàññìîòðèì æîðäàíîâó êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó Â
ìàòðèöû À. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû N
NAN
B
B
r
−
=
L
N
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
1
1
2
0
0
λ
.
.
.
.
.
.
=Â,
ãäå Â
i
, i=2, ..., r åñòü m
i
x m
i
æîðäàíîâà áëî÷íàÿ ôîðìà, êîòîðàÿ
èìååò âèä
B
i
i
i
i
i
=
L
N
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
λ
λ
λ
λ
1
0
1
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
, ãäå l
2
, ..., l
r
ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà-
÷åíèÿ ñ êðàòíîñòÿìè m
2
, m
r
ñîîòâåòñòâåííî, à
1
2
+=
=
∑
m
n
i
i
r
ðàçìåð-
íîñòü ìàòðèöû À. Âûáèðàåì ñîîòâåòñòâóþùèå áàçèñíûå âåêòîðû äëÿ êàæ-
äîãî ïîäïðîñòðàíñòâà æîðäàíîâîé ôîðìû
70
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
m
m
r
r
rm
r
1
21
22
2
31
32
3
1
2
2
3
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
M M
Îòìåòèì, ÷òî Â
i
=
λ
i
I+u,
u
=
L
N
M
M
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
P
P
0
1
0
0
1
0
1
0
O
è
B
I
k
u
k
u
u
i
k
i
k
i
k
i
k
k
=+
F
H
G
I
K
J
+
F
H
G
I
K
J
++
−−
λλ λ
1
2
1
2
2
.
.
.
, ãäå u
k
íóëåâàÿ
ìàòðèöà, åñëè k>=n, à åñëè k<n äèàãîíàëü åäèíèö â u, ñäâèíóòàÿ âíèç
íà êàæäóþ äîïîëíèòåëüíóþ ñòåïåíü u.
Íàïðèìåð,
u
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
=
L
N
M
M
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
P
P
L
L
L
L
L
Òåïåðü ïóñòü
e
a
V
a
V
a
V
a
V
a
V
a
V
m
m
rm
rm
r
r
= + + ++ + ++
1
1
21
21
22
22
2
2
31
31
2
2
.
.
.
.
.
.
,