Blank B.E., Krantz S.G. Calculus: Single Variable
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72.
Z
x
3=2
a
2
2 b
2
x
dx 52
2x
3=2
3b
2
2
2a
2
ffiffiffi
x
p
b
4
1
a
3
b
5
ln
a 1 b
ffiffiffi
x
p
a 2 b
ffiffiffi
x
p
1 C
73.
Z
x
3=2
ða
2
2 b
2
xÞ
2
dx 52
2b
2
x
3=2
b
4
ða
2
2 b
2
xÞ
1
3a
2
ffiffiffi
x
p
b
4
ða
2
2 b
2
xÞ
2
3a
2b
5
ln
a 1 b
ffiffiffi
x
p
a 2 b
ffiffiffi
x
p
1 C
Integrals Involving
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
74.
Z
1
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
1
ffiffiffi
a
p
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
2
ffiffiffi
a
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
a
p
1 C
75.
Z
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
2
b
2
1
3
ða 1 bxÞ
3=2
2 a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1 C
76.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
2
b
3
1
5
ða 1 bxÞ
5=2
2
2a
3
ða 1 bxÞ
3=2
1 a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1 C
77.
Z
1
xða 1 bxÞ
3=2
dx 5
2
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
1
a
3=2
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
2
ffiffiffi
a
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
a
p
1 C
78.
Z
x
ða 1 bxÞ
3=2
dx 5
2
b
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1 C
79.
Z
x
2
ða 1 bxÞ
3=2
dx 5
2
b
3
1
3
ða 1 bxÞ
3=2
2 2a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
2
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1 C
80.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
x
dx 5 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
a
p
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
2
ffiffiffi
a
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
a
p
1 C
81.
Z
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
2
b
2
1
5
ða 1 bxÞ
5=2
2
a
3
ða 1 bxÞ
3=2
1 C
82.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
2
b
3
1
7
ða 1 bxÞ
7=2
2
2a
5
ða 1 bxÞ
5=2
1
a
2
3
ða 1 bxÞ
3=2
1 C
83.
Z
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
2
ffiffiffi
b
p
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
b
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p
1 C
84.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
b
2
ða 2 bÞ
b
3=2
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
b
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p
1 C
85.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
dx 5
ða 2 bÞ
4b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
1
2
ð1 1 xÞ
3=2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
2
ða 2 bÞ
2
4b
3=2
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
b
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p
1 C
86.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p
dx 5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ða 2 bÞ
ffiffiffi
b
p
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
1
ffiffiffi
b
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 x
p
1 C
Integrals Involving
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffip
a
2
1 x
2
87.
Z
1
ða
2
1 x
2
Þ
3=2
dx 5
x
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
88.
Z
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
dx 5 ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
89.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
dx 5
1
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1
1
2
a
2
ln x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
90.
Z
ða
2
1 x
2
Þ
3=2
dx 5
1
4
xða
2
1 x
2
Þ
3=2
1
3
8
a
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1
3
8
a
4
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
Integrals Involving
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a 1 bx
p
T-5
91.
Z
x
2
ða
2
1 x
2
Þ
3=2
dx 52
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
92.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
dx 5
1
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
2
1
2
a
2
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
93.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
dx 5
1
4
xða
2
1 x
2
Þ
3=2
2
1
8
a
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
2
1
8
a
4
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
1 C
94.
Z
1
xða
2
1 x
2
Þ
3=2
dx 5
1
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
2
1
a
3
ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
x
1 C
95.
Z
1
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
dx 52
1
a
ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
x
1 C
96.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
x
dx 5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
2 a ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
x
1 C
97.
Z
ða
2
1 x
2
Þ
3=2
x
dx 5
1
3
ða
2
1 x
2
Þ
3=2
1 a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
2 a
3
ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
1 x
2
p
x
1 C
Integrals Involving
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffip
a
2
2 x
2
98.
Z
1
ða
2
2 x
2
Þ
3=2
dx 5
x
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
1 C
99.
Z
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
dx 5 arcsin
x
a
1 C
100.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
dx 5
1
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
1
1
2
a
2
arcsin
x
a
1 C
101.
Z
ða
2
2 x
2
Þ
3=2
dx 5
1
4
xða
2
2 x
2
Þ
3=2
1
3
8
a
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
1
3
8
a
4
arcsin
x
a
1 C
102.
Z
x
2
ða
2
2 x
2
Þ
3=2
dx 5
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
2 arcsin
x
a
1 C
103.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
dx 52
1
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
1
1
2
a
2
arcsin
x
a
1 C
104.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
dx 52
1
4
xða
2
2 x
2
Þ
3=2
1
a
2
8
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
1
a
4
8
arcsin
x
a
1 C
105.
Z
1
xða
2
2 x
2
Þ
3=2
dx 52
1
a
3
ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
x
1
1
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
1 C
106.
Z
1
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
dx 52
1
a
ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
x
1 C
107.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
x
dx 5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
2 a ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
x
1 C
108.
Z
ða
2
2 x
2
Þ
3=2
x
dx 5
1
3
ða
2
2 x
2
Þ
3=2
1 a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
2 a
3
ln
a 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 x
2
p
x
1 C
Integrals Involving
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffip
x
2
2 a
2
109.
Z
1
ðx
2
2 a
2
Þ
3=2
dx 52
x
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
T-6 Table of Integrals
110.
Z
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
dx 5 ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
111.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
dx 5
1
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
2
1
2
a
2
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
112.
Z
ðx
2
2 a
2
Þ
3=2
dx 5
1
4
xðx
2
2 a
2
Þ
3=2
2
3
8
a
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1
3
8
a
4
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
113.
Z
x
2
ðx
2
2 a
2
Þ
3=2
dx 52
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
114.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
dx 5
1
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1
1
2
a
2
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
115.
Z
x
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
dx 5
1
4
xðx
2
2 a
2
Þ
3=2
1
1
8
a
2
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
2
1
8
a
4
ln
x 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C
116.
Z
1
xðx
2
2 a
2
Þ
3=2
dx 52
1
a
3
arcsec
x
a
2
1
a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 C; 0 , x
117.
Z
1
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
dx 5
1
a
arcsec
x
a
1 C; 0 , x
118.
Z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
x
dx 5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
2 a arcsec
x
a
1 C; 0 , x
119.
Z
ðx
2
2 a
2
Þ
3=2
x
dx 5
1
3
ðx
2
2 a
2
Þ
3=2
2 a
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
2 a
2
p
1 a
3
arcsec
x
a
1 C; 0 , x
Integrals Involving sin(x)
120.
R
sinðxÞdx 52cosðxÞ1 C
121.
Z
sin
2
ðxÞdx 5
1
2
x 2
1
2
cosðxÞsinðxÞ1 C
122.
Z
sin
3
ðxÞdx 52
1
3
sin
2
ðxÞcosðxÞ2
2
3
cosðxÞ1 C
123.
Z
sin
3
ðxÞdx 5
1
3
cos
3
ðxÞ2 cosðxÞ1 C
124.
Z
sin
4
ðxÞdx 52
1
4
sin
3
ðxÞcosðxÞ2
3
8
cosðxÞsinðxÞ1
3
8
x 1 C
125.
R
x sinðxÞdx 5 sinðxÞ2 xcosðxÞ1 C
126.
R
x
2
sinðxÞdx 5 2xsinðxÞ2 ðx
2
2 2ÞcosðxÞ1 C
127.
R
x
3
sinðxÞdx 5 3ðx
2
2 2ÞsinðxÞ2 ðx
3
2 6xÞcosðxÞ1 C
128.
Z
1
1 1 sinðxÞ
dx 52
2
1 1 tanðx=2Þ
1 C
129.
Z
1
1 2 sinðxÞ
dx 5
2
1 2 tanðx=2Þ
1 C
130.
Z
x
1 1 sinðxÞ
dx 5 ln
1 1 sinðxÞ
2
xcosðxÞ
1 1 sinðxÞ
1 C
131.
Z
x
1 2 sinðxÞ
dx 5 ln
1 2 sinðxÞ
1
xcosðxÞ
1 2 sinðxÞ
1 C
132.
Z
1
a 1 bsinðxÞ
dx 5
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
arctan
atanðx=2Þ1 b
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
1 C; b , a
Integrals Involving sin(x) T-7
133.
Z
1
a 1 bsinðxÞ
dx 5
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
ln
a tanðx=2Þ1 b 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
a tanðx=2Þ1 b 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
1 C; a , b
134.
Z
1
1 1 sin
2
ðxÞ
dx 5
1
ffiffiffi
2
p
arctan
ffiffiffi
2
p
tanðxÞ
1 C
135.
Z
1
a
2
2 b
2
sin
2
ðxÞ
dx 5
1
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
arctan
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
tanðxÞ
a
1 C; b , a
136.
Z
1
a
2
2 b
2
sin
2
ðxÞ
dx 5
1
2a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
ln
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
tanðxÞ1 a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
tanðxÞ2 a
1 C; a , b
137.
Z
sinðaxÞsinðbxÞdx 5
1
2ða 2 bÞ
sin
ða 2 bÞx
2
1
2ða 1 bÞ
sin
ða 1 bÞx
1 C; a 6¼ b
138.
Z
sinðax
2
Þdx 5
ffiffiffiffiffi
π
2a
r
FresnelS
ffiffiffiffiffi
2a
π
r
x
1 C
139.
Z
ffiffiffi
x
p
sinðaxÞdx 52
1
a
ffiffiffi
x
p
cosðaxÞ1
ffiffiffiffiffiffiffi
π
2a
3
r
FresnelC
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2a
π
x
r
1 C
140.
Z
sinðaxÞ
ffiffiffi
x
p
dx 5
ffiffiffiffiffiffi
2π
a
r
FresnelS
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2a
π
x
r
1 C
141.
Z
sinðaxÞ
x
dx 5 SiðaxÞ1 C
Integrals Involving cos(x)
142.
R
cosðxÞdx 5 sinðxÞ1 C
143.
Z
cos
2
ðxÞdx 5
1
2
x 1
1
2
cosðxÞsin ð xÞ1 C
144.
Z
cos
3
ðxÞdx 5
1
3
cos
2
ðxÞsinðxÞ1
2
3
sinðxÞ1 C
145.
Z
cos
3
ðxÞdx 5 sinðxÞ2
1
3
sin
3
ðxÞ1 C
146.
Z
cos
4
ðxÞdx 5
3
8
x 1
1
4
cos
3
ðxÞsinð xÞ1
3
8
cosðxÞsin ð xÞ1 C
147.
R
xcosðxÞdx 5 cosðxÞ1 xsinðxÞ1 C
148.
R
x
2
cosðxÞdx 5 ðx
2
2 2ÞsinðxÞ1 2xcosðxÞ1 C
149.
R
x
3
cosðxÞdx 5 ðx
3
2 6xÞsinðxÞ1 ð3x
2
2 6ÞcosðxÞ1 C
150.
Z
1
1 1 cosðxÞ
dx 5 tan
x
2
1 C
151.
Z
1
1 2 cosðxÞ
dx 52cot
x
2
1 C
152.
Z
x
1 1 cosðxÞ
dx 5 x tan
x
2
1 2ln
cos
x
2
1 C
153.
Z
x
1 2 cosðxÞ
dx 52x cot
x
2
1 2ln
sin
x
2
1 C
154.
Z
1
a 1 bcosðxÞ
dx 5
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
arctan
ða 2 bÞtanðx=2Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
1 C; b , a
T-8 Table of Integrals
155.
Z
1
a 1 bcosðxÞ
dx 5
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
ln
ðb 2 aÞtanðx=2Þ1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
ðb 2 aÞtanðx=2Þ2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
1 C; a , b
156.
Z
1
1 1 cos
2
ðxÞ
dx 5
1
ffiffiffi
2
p
arctan
1
ffiffiffi
2
p
tanðxÞ
1 C
157.
Z
1
a
2
2 b
2
cos
2
ðxÞ
dx 5
1
a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
arctan
atanðxÞ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
2
2 b
2
p
1 C; b , a
158.
Z
1
a
2
2 b
2
cos
2
ðxÞ
dx 5
1
2a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
ln
atanðxÞ2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
atanðxÞ1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
2
2 a
2
p
1 C; a , b
159.
Z
cosðaxÞcosðbxÞdx 5
1
2ða 2 bÞ
sin
ða 2 bÞx
1
1
2ða 1 bÞ
sin
ða 1 bÞx
1 C; a 6¼ b
160.
Z
cosðax
2
Þdx 5
ffiffiffiffiffi
π
2a
r
FresnelC
ffiffiffiffiffi
2a
π
r
x
1 C
161.
Z
ffiffiffi
x
p
cosðaxÞdx 5
1
a
ffiffiffi
x
p
sinðaxÞ2
ffiffiffiffiffiffiffi
π
2a
3
r
FresnelS
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2a
π
x
r
1 C
162.
Z
cosðaxÞ
ffiffiffi
x
p
dx 5
ffiffiffiffiffiffi
2π
a
r
FresnelC
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2a
π
x
r
1 C
163.
Z
cosðaxÞ
x
dx 5 CiðaxÞ1 C
Integrals Involving sin(x) and cos(x)
164.
Z
sin
2
ðxÞcos
2
ðxÞdx 5
1
8
x 2
1
4
cos
3
ðxÞsinðxÞ1
1
8
cosðxÞsinðxÞ1 C
165.
Z
sin
2
ðaxÞcos
2
ðbxÞdx 5
1
8
2x 2
1
a
sinð2axÞ1
1
b
sinð2bxÞ2
1
2ða 2 bÞ
sin
2ða 2 bÞx
2
1
2ða 1 bÞ
sin
2ða 1 bÞx
1 C; a 6¼ b
166.
Z
1
sinðxÞcosðxÞ
dx 5 ln
tanðxÞjj
1 C
167.
Z
1
sin
2
ðxÞcosðxÞ
dx 52cscðxÞ1 ln
secðxÞ1 tanðxÞ
1 C
168.
Z
1
sinðxÞcos
2
ðxÞ
dx 5 secðxÞ2 ln
cscðxÞ1 cotðxÞ
jj
1 C
169.
Z
1
sin
2
ðxÞcos
2
ðxÞ
dx 5 secðxÞcscðxÞ2 2cotðxÞ1 C
170.
Z
1
sin
2
ðxÞcos
2
ðxÞ
dx 5 tanðxÞ2 cotðxÞ1 C
171.
Z
1
sin
3
ðxÞcosðxÞ
dx 52
1
2
csc
2
ðxÞ1 ln
tanðxÞjj
1 C
172.
Z
1
sinðxÞcos
3
ðxÞ
dx 5
1
2
sec
2
ðxÞ1 ln
tanðxÞ
jj
1 C
173.
Z
sinðxÞ
cosðxÞ
dx 5 ln
secðxÞ
jj
1 C
174.
Z
sin
2
ðxÞ
cosðxÞ
dx 52sinðxÞ1 ln
secðxÞ1 tanðxÞ
1 C
Integrals Involving sin(x) and cos(x) T-9
175.
Z
sin
3
ðxÞ
cosðxÞ
dx 52
1
2
sin
2
ðxÞ2 ln
cosðxÞ
jj
1 C
176.
Z
cosðxÞ
sinðxÞ
dx 5 ln
sinðxÞ
jj
1 C
177.
Z
cos
2
ðxÞ
sinðxÞ
dx 5 cosðxÞ2 ln
cscðxÞ1 cotðxÞ
jj
1 C
178.
Z
cos
3
ðxÞ
sinðxÞ
dx 5
1
2
cos
2
ðxÞ1 ln
sinðxÞ
jj
1 C
179.
Z
sin
2
ðxÞ
cos
2
ðxÞ
dx 5 tanðxÞ2 x 1 C
180.
Z
sin
3
ðxÞ
cos
2
ðxÞ
dx 5 cosðxÞ1 secðxÞ1 C
181.
Z
cos
2
ðxÞ
sin
2
ðxÞ
dx 52cotðxÞ2 x 1 C
182.
Z
cos
3
ðxÞ
sin
2
ðxÞ
dx 52sinðxÞ2 cscðxÞ1 C
183.
Z
1
a
2
cos
2
ðxÞ1 b
2
sin
2
ðxÞ
dx 5
1
ab
arctan
b
a
tanðxÞ
1 C
184.
Z
1
a
2
cos
2
ðxÞ2 b
2
sin
2
ðxÞ
dx 5
1
2ab
ln
btanðxÞ1 a
btanðxÞ2 a
1 C
Integrals Involving tan(x)
185.
R
tanðxÞdx 5 ln
secðxÞ
jj
1 C
186.
R
tan
2
ðxÞdx 5 tanðxÞ2 x 1 C
187.
Z
tan
3
ðxÞdx 5
1
2
tan
2
ðxÞ1 ln
cosðxÞ
jj
1 C
188.
Z
tan
4
ðxÞdx 5
1
3
tan
3
ðxÞ2 tanðxÞ1 x 1 C
Integrals Involving cot (x)
189.
R
cotðxÞdx 52ln
cscðxÞ
jj
1 C
190.
R
cot
2
ðxÞdx 52cotðxÞ2 x 1 C
191.
Z
cot
3
ðxÞdx 52
1
2
cot
2
ðxÞ1 ln
cscðxÞ
jj
1 C
192.
Z
cot
4
ðxÞdx 52
1
3
cot
3
ðxÞ1 cotðxÞ1 x 1 C
Integrals Involving sec (x)
193.
R
secðxÞdx 5 ln
secðxÞ1 tanðxÞjj
1 C
194.
R
sec
2
ðxÞdx 5 tanðxÞ1 C
T-10 Table of Integrals
195.
Z
sec
3
ðxÞdx 5
1
2
secðxÞtanðxÞ1
1
2
ln
secðxÞ1 tanðxÞ
jj
1 C
196.
Z
sec
4
ðxÞdx 5
1
3
tan
3
ðxÞ1 tanðxÞ1 C
Integrals Involving tan(x) and sec ( x)
197.
R
secðxÞtanðxÞdx 5 secðxÞ1 C
198.
Z
sec
2
ðxÞtanðxÞdx 5
1
2
sec
2
ðxÞ1 C
199.
Z
secðxÞtan
2
ðxÞdx 5
1
2
secðxÞtanðxÞ2
1
2
ln
secðxÞ1 tanðxÞ
jj
1 C
200.
Z
sec
2
ðxÞtan
2
ðxÞdx 5
1
3
tan
3
ðxÞ1 C
201.
Z
sec
3
ðxÞtanðxÞdx 5
1
3
sec
3
ðxÞ1 C
202.
Z
secðxÞtan
3
ðxÞdx 5
1
3
sec
3
ðxÞ2 secðxÞ1 C
Integrals Involving csc(x)
203.
R
cscðxÞdx 52ln
cscðxÞ1 cotðxÞjj
1 C
204.
R
csc
2
ðxÞdx 52cotðxÞ1 C
205.
Z
csc
3
ðxÞdx 52
1
2
cscðxÞcotðxÞ2
1
2
ln
cscðxÞ1 cotðxÞjj
1 C
206.
Z
csc
4
ðxÞdx 52
1
3
cot
3
ðxÞ2 cotðxÞ1 C
Integrals Involving cot(x) and csc (x )
207.
R
cscðxÞcotðxÞdx 52cscðxÞ1 C
208.
R
csc
2
ðxÞcotðxÞdx 52
1
2
csc
2
ðxÞ1 C
209.
Z
cscðxÞcot
2
ðxÞdx 52
1
2
cotðxÞcscðxÞ1
1
2
ln
cscðxÞ1 cotðxÞ
jj
1 C
210.
Z
csc
2
ðxÞcot
2
ðxÞdx 52
1
3
cot
3
ðxÞ1 C
211.
Z
csc
3
ðxÞcotðxÞdx 52
1
3
csc
3
ðxÞ1 C
212.
Z
cscðxÞcot
3
ðxÞdx 52
1
3
csc
3
ðxÞ1 cscðxÞ1 C
Integrals Involving e
x
213.
Z
e
bx
dx 5
1
b
e
bx
1 C
214.
Z
a
x
dx 5
1
lnðaÞ
a
x
1 C; a 6¼ 1
preceding formula with b 5 lnðaÞ
Integrals Involving e
x
T-11
215.
Z
xe
ax
dx 5
1
a
x 2
1
a
e
ax
1 C
216.
Z
x
2
e
ax
dx 5
1
a
3
ða
2
x
2
2 2ax 1 2Þe
ax
1 C
217.
Z
1
a 1 bexpðxÞ
dx 5
1
a
ln
expðxÞ
a 1 bexpðxÞ
1 C
218.
Z
expð2ax
2
Þdx 5
1
2
erf ð
ffiffiffi
a
p
xÞ1 C
219.
Z
N
2N
expð2ax
2
Þdx 5
ffiffiffi
π
a
r
220.
Z
ffiffiffi
x
p
expð2axÞdx 52
1
a
ffiffiffi
x
p
expð2axÞ1
1
2
ffiffiffiffiffi
π
a
3
r
erfð
ffiffiffiffiffi
ax
p
Þ1 C
221.
Z
N
0
ffiffiffi
x
p
expð2axÞdx 5
1
2
ffiffiffiffiffi
π
a
3
r
222.
Z
1
ffiffiffi
x
p
expð2axÞdx 5
ffiffiffi
π
a
r
erf ð
ffiffiffiffiffi
ax
p
Þ1 C
223.
Z
N
0
1
ffiffiffi
x
p
expð2axÞdx 5
ffiffiffi
π
a
r
224.
Z
N
0
x
n
expð2axÞdx 5
n!
a
n11
ðn 5 1; 2; 3;:::Þ
225.
Z
x
2
expð2ax
2
Þdx 52
1
2a
xexpð2ax
2
Þ1
1
4
ffiffiffiffiffi
π
a
3
r
erf ð
ffiffiffi
a
p
xÞ1 C
226.
Z
e
ax
sinðbxÞdx 5
1
a
2
1 b
2
asinðbxÞ2 bcosðbxÞ
e
ax
1 C
227.
Z
e
ax
cosðbxÞdx 5
1
a
2
1 b
2
acosðbxÞ1 bsin ð bxÞ
e
ax
1 C
Integrals Involving ln (x)
228.
R
lnðxÞdx 5 xlnðxÞ2 x 1 C
229.
R
lnðaxÞdx 5 xlnðaxÞ2 x 1 C
230.
Z
xlnðaxÞdx 5
1
2
x
2
lnðaxÞ2
1
4
x
2
1 C
231.
Z
x
2
lnðaxÞdx 5
1
3
x
3
lnðaxÞ2
1
9
x
3
1 C
232.
Z
x
b
lnðaxÞdx 5
1
b 1 1
x
b11
lnðaxÞ2
1
ðb 1 1Þ
2
x
b11
1 C
233.
Z
lnðaxÞ
x
b
dx 52
1
b 2 1
lnðaxÞ
x
b21
2
1
ðb 2 1Þ
2
1
x
b21
1 C
234.
Z
ln
2
ðaxÞdx 5 xln
2
ðaxÞ2 2xlnðaxÞ1 2x 1 C
235.
Z
lnða 1 bxÞdx 5
1
b
ða 1 bxÞlnða 1 bxÞ2 x 1 C
236.
Z
xlnða 1 bxÞdx 52
ða
2
2 b
2
x
2
Þ
2b
2
lnða 1 bxÞ1
a
2b
x 2
1
4
x
2
1 C
T-12 Table of Integrals
237.
Z
lnða
2
1 x
2
Þdx 5 xlnða
2
1 x
2
Þ2 2x 1 2a arctan
x
a
1 C
238.
Z
xlnða
2
1 x
2
Þdx 5
1
2
ða
2
1 x
2
Þlnða
2
1 x
2
Þ2
1
2
ða
2
1 x
2
Þ1 C
239.
Z
x
2
lnða
2
1 x
2
Þdx 5
1
3
x
3
lnða
2
1 x
2
Þ2
2
3
1
2a
2
3
x 2
2a
3
3
arctan
x
a
1 C
Integrals Involving Special Functions
240.
Z
FresnelCðxÞdx 5 xFresnelCðxÞ2
1
π
sin
1
2
πx
2
1 C
241.
Z
FresnelSðxÞdx 5 xFresnelSð xÞ1
1
π
cos
1
2
πx
2
1 C
242.
Z
erf ð xÞdx 5 xerfðxÞ1
1
ffiffiffi
π
p
expð2x
2
Þ1 C
243.
Z
xerfðxÞdx 5
1
2
x
2
erfðxÞ1
1
2
ffiffiffi
π
p
xexpð2x
2
Þ2
1
4
erfðxÞ1 C
244.
Z
erf ð
ffiffiffi
x
p
Þdx 5 x erfð
ffiffiffi
x
p
Þ1
1
ffiffiffi
π
p
ffiffiffi
x
p
e
2x
2
1
2
erf ð
ffiffiffi
x
p
Þ1 C
245.
R
SiðxÞdx 5 SiðxÞ1 cosðxÞ1 C
246.
R
CiðxÞdx 5 xCiðxÞ2 sinðxÞ1 C
Integrals Involving Special Functions T-13
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