Бейли Н. Математика в биологии и медицине

Подождите немного. Документ загружается.

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 81

Все математические модели, о которых здесь упоминалось или

которые рассматривались в этой книге, имеют явно численную

основу. Эти модели выведены на основе простых идей счета и изме-

рения,

в большинстве случаев характеризуются не очень большой

степенью абстракции и содержат описания или формулы, которые

довольно легко представить в наглядном виде. Последнее свойство

абсолютно несущественно. Обычно оно помогает на начальном

этапе развития науки, но при переходе к более сложным иссле-

дованиям может

даже

служить помехой (во многих разделах

современной

физики дело обстоит именно так, но сомнительно,

чтобы это относилось и к биологии). Счет и измерение находятся

на

первой ступени абстракции, которая

дает

начальный импульс

развитию математики. Однако значительная часть математики

находится на более высоких уровнях абстракции. Первым этапом

после чисто метрических исследований является изучение соотно-

шения

между

объектами, т. е. изучение их в реляционном аспекте.

Большинство

разделов геометрии носит именно такой характер.

На

более сложных уровнях находятся теория групп, теория мно-

жеств и топология.

Рашевский

[54, 55] и его школа сделали очень много для при-

менения

реляционных методов в биологии. Математический аппа-

рат, применяемый в этой области, довольно тонок и сложен, и де-

тальное его обсуждение выходит за рамки настоящей книги.

Мы

только отметим, что с его помощью удалось сформулировать

ряд общих представлений и теорем, имеющих большое биологи-

ческое значение. Хотя формулировка этих теорем носит преиму-

щественно словесный характер и потому может создаться впе-

чатление, что они были получены на основе неточных, чисто опи-

сательных рассуждений, большая их ценность состоит в том, что

они

являются результатом строго математического вывода. Так,

основанная

на чисто топологических соображениях теорема

Розена

гласит, что в любом организме, каким бы простым или

сложным он ни был, имеются некоторые компоненты, регене-

рация

которых невозможна. Например, при наличии ядра цито-

плазма отдельной клетки может регенерировать, однако разру-

шенные

ядра не способны к регенерации. Розен доказал также

другую

теорему: если некоторый компонент организма, не спо-

собный

к регенерации, получает входные воздействия непосред-

ственно из внешней среды, то

утрата

этого компонента приведет

гибели всего организма. Применение топологического подхода

при

изучении головного мозга [67] дало возможность получить

довольно общую абстрактную модель различных функций мозга,

позволяющую по-новому взглянуть на важные реляционные

аспекты поведения.

ГЛАВА

Подлинное

значение этих более абстрактных математических

исследований еще не получило достойной оценки. Простые модели

легко описать, объяснить и проверить. Но чем больше степень

абстракции,

тем

труднее

понять, в какой степени связаны

между

собой модель и реальное явление и не выхолощена ли эта модель

настолько,

что перенос любых выводов, полученных с ее помо-

щью, на реальную действительность

будет

малооправданным.

Если

через некоторое время окажется, что математические

модели реляционного типа

дают

полезные результаты (а это весьма

возможно),

то, значит, затраченные усилия не пропали даром.

Глав

а 4

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

4.1.

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДМЕТА

Хотя научный

подход

в целом и математические методы в част-

ности

применимы почти в любой области, связанной с системати-

зацией

и изучением фактов, все же удобно провести некоторые

различия.

Например,

существует

традиционное деление наук

на

чистые и прикладные. Провести четкую границу

между

ними

невозможно,

но в широком смысле принято считать, что чистые

науки занимаются преимущественно изучением явлений природы,

а прикладные — применением полученных знаний на практике

для покорения природы и использования ее ресурсов для

нужд

человека. В обоих случаях научное содержание (т. е. физика,

химия,

биология явлений) играет фундаментальную роль и должно

быть предметом точного исследования.

Однако,

для того чтобы полезные результаты прикладных

исследований стали доступны обществу в целом, необходимо

решить ряд проблем экономического и организационного харак-

тера. Финансирование промышленных предприятий, распреде-

ление и сбыт продукции, реклама,

служба

информации, общест-

венное

планирование и планирование в масштабе фирмы и т. д.—

таковы лишь некоторые из аспектов, которые необходимо при-

нимать

во внимание. Многие из этих видов деятельности в боль-

шей

мере связаны с организационным управлением ресурсами

(как

людскими, так и материальными), чем с природой самих

ресурсов. Короче говоря, здесь основную роль играют проблемы,

с которыми сталкиваются исполнительные и административные

органы. Всю эту область можно сделать предметом специального

научного исследования и объединить под названием «исследова-

ние

операций»

. Определение исследования операций как сово-

купности научных методов изучения организационных и адми-

Отметим, что такая терминология никоим образом не является обще-

принятой.

Чаще «исследованием операций» называют определенную сово-

купность задач управления, допускающих математическое моделирование,

которая рассматривается как часть теории организационных решений.—

Прим-

ред.

ГЛАВА

нистративных проблем, безусловно, очень ценно, так как под-

черкивает важное отличие всей этой области знания как от чистых,

так

и от прикладных наук. Отдельным разделам этой области уже

давно уделяется серьезное внимание. Сюда можно отнести иссле-

дования

по таким традиционным вопросам, как изучение рабочих

операций

(тейлоризм) и производства, организация управления,

научные методы административного управления, инженерная

психология и т. д. Совсем недавно появились такие новые дис-

циплины,

как эргономика и кибернетика. В нашу

задачу

не

входит

определение и систематизация

всех

этих различных предметов.

Некоторые из них имеют четкие границы,

другие

перекрываются

друг

с другом; для одних характерна определенная область при-

ложения,

для

других

— используемые методы. Основная задача

данной

главы состоит в том, чтобы привлечь внимание к большой

быстро развивающейся группе научных методов, связанных

больше с формами организации, чем с конкретными объектами,

подлежащими организации. Естественно, что оба эти аспекта —

форма

и содержание — взаимосвязаны, и для успешного приме-

нения

рассматриваемых методов необходимо достаточно хорошо

знать и то и

другое.

Методы исследования операций играют все

возрастающую роль в практических мероприятиях, связанных

с использованием теоретических знаний в области биологии,

их значение при поисках оптимальной организационной струк-

туры

медицинского обслуживания уже общепризнано.

Часто в литературе используется термин

системотехника,

который

мы пока не вводили. Некоторые авторы употребляют его

как

синоним исследования операций, а

другие

проводят

между

этими

терминами четкое различие. Например, можно сказать,

что специалисты в области исследования операций в большей

мере связаны с процедурами, которые уже

существуют,

тогда

как

специалисты в области системотехники больше занимаются

комплексом

«человек •— машина» в целом, особенно в связи с про-

ектированием и разработкой новых систем. Разные авторы при-

дают

этим терминам разный смысл. Во многих случаях важно

отличать исследования, связанные с организацией и функциони-

рованием целой системы процессов, от детального исследования

работы какой-либо отдельной части этой системы. Так, изучение

порядка

приема амбулаторных больных можно рассматривать

как

исследование операций, а термин «системотехника», или

анализ

систем,

целесообразно употреблять при рассмотрении

всей системы медицинского обслуживания в каком-то большом

районе

или в целой стране. В этой книге не имеет особого смысла

проводить такое различие, и мы

будем

считать, что любой науч-

ный

подход

к изучению функционирования той или иной системы

относится к исследованию операций.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ 85

Административные и организационные проблемы независимо

от их конкретного содержания имеют

между

собой очень много

общего. Рассмотрим абонентов, ожидающих телефонного вызова;

клиентов,

стоящих в очередях в банке или в почтовом отделении;

самолеты, выстроившиеся над аэродромом в эшелон в ожидании

разрешения

на посадку; автомобили, скопившиеся на дороге

часы пик; больных, подлежащих госпитализации в порядке

очереди, или амбулаторных больных, ожидающих в приемной

вызова на консультацию, которая им была назначена. Во

всех

этих ситуациях имеется нечто общее, а именно

существует

опре-

деленная конъюнктура спроса (потребности в некотором виде

обслуживания) и определенная конъюнктура предложения (обслу-

живания),

и их взаимодействие приводит к образованию очередей,

размеры которых колеблются случайным образом. В связи с этим

математическая

теория

массового

обслуживания

играет важную

роль при использовании метода исследования операций для изуче-

ния

любых проблем, связанных со спросом и предложением.

Далее, во многих промышленных процессах приходится решать

по

существу

одинаковые задачи оптимизации, связанные с выпус-

ком

той или иной продукции. Например, при крекинге нефти

могут

получаться различные количества бензина, парафинов,

мазута и т. д. Допустим, что нам известны соотношения

между

выходом различных продуктов, а также их рыночные цены и стои-

мость сырой нефти. В этом

случае

важно найти такое оптимальное

соотношение

между

выходами каждого продукта, при котором

фирма

получит максимальную общую прибыль. Аналогичную

теоретическую форму имеет задача отыскания такой схемы рас-

пределения товаров

между

данным числом предприятий и скла-

дов, при которой затраты на перевозки

будут

минимальными.

Такого рода задачи на оптимизацию обычно можно решить с помо-

щью какого-либо

метода

математического

программирования,

например

с помощью

линейного

программирования.

Существует целый ряд математических методов, играющих

важную роль в исследовании операций, и, более того, многие из

них получили значительное развитие именно вследствие того,

что они находят применение в этой области. Более подробно

неко-

торые из этих теоретических методов рассматриваются в разд. 4.3.

Методы исследования операций и системотехники подробно

рассмотрены в превосходной работе Флегля, Хаггинса и Роя [25],

а более конкретное описание различных математических методов

их приложений можно найти в книге Сасиени, Яспана и Фрид-

мана

[57].

ГЛАВА

4.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

ОПЕРАЦИЙ

Возникновение

методов исследования операций, несомненно,

восходит к работе Тейлора, в которой он употребляет термин

«научные методы организационного управления» (scientific mana-

gement). Эта работа была опубликована в США еще до первой

мировой

войны. В период

между

двумя мировыми войнами были

достигнуты определенные успехи в ряде областей (разработка

методов

учета,

изучение рабочих операций, статистический кон-

троль качества и т. д.), связанных с совершенствованием коли-

чественных методов принятия решений при организационном

управлении. В начале второй мировой войны интерес к этим

методам, которые вскоре стали объединять под названием «иссле-

дование операций», резко повысился. Сразу стало

ясно,

какое

кардинальное значение имеет теория, позволяющая максимально

быстро и эффективно принимать оптимальные решения по самым

разнообразным военным проблемам (боевое использование радио-

локационных

станций и зенитной артиллерии, выбор состава

морского конвоя, планирование налетов бомбардировочной авиа-

ции,

разработка противолодочного оружия и т. д.). В каждой

из

этих областей основное внимание уделялось, естественно,

использованию самых последних научных и технических достиже-

ний.

Но оставалась важнейшая проблема — как наилучшим обра-

зом использовать существующие образцы аппаратуры, оборудова-

ния

или боевой техники. Была организована группа под руковод-

ством П. Блэкетта (она получила известность под названием

«труппа

Блэкетта»), состоявшая из специалистов различного

профиля:

в нее входили несколько математиков, физиков и био-

логов, а также астрофизик, топограф и офицер

сухопутных

войск.

Такое многообразие специальностей служило гарантией того,

что при разработке той или иной проблемы внимание не

будет

сосредоточено на каком-либо одном научном или техническом

ее аспекте, и обеспечивало надлежащее рассмотрение и оценку

противоречивых требований и условий. Группа Блэкетта иссле-

довала многие из упомянутых выше задач, и часто о ней говорят

как

о прототипе современной группы исследования операций.

В качестве иллюстрации применения методов исследования

операций

к проблемам военного времени рассмотрим проблему,

которой

автор занимался сам. В течение долгого времени было

принято

определять возможное местоположение радиопередатчика

путем засечки направлений на источник сигналов, производимой

из

нескольких удобных точек. Если бы направления определялись

без ошибок, то соответствующие прямые проходили бы через фак-

тическое место расположения радиопередатчика и требовалось

МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ

ОПЕРАЦИЙ

бы не более

двух

отсчетов. К сожалению, направления, особенно

случае

высокочастотных сигналов, измеряются со значительной

неопределенностью. Поэтому радиопередатчик трудно запеленго-

вать достаточно точно,

даже

если произвести большое число отсче-

тов. Разумеется, повышение эффективности и улучшение рабо-

чих характеристик аппаратуры пеленгования до определенной

степени помогают преодолеть некоторые из этих трудностей.

Однако от таких воздействий, как сильные непрогнозируемые

ионосферные

возмущения, избавиться с помощью технических

средств невозможно; в лучшем

случае

их можно лишь учесть, обра-

батывая данные соответствующими статистическими методами.

Обычно направления наносят на карту с прямоугольной

системой координат, на которой они имеют вид прямых линий и по-

этому их легко представить с помощью нитей, надлежащим обра-

зом закрепленных на обоих концах. Затем изучается область

пересечения этих нитей на карте и на глаз оценивается наиболее

вероятное место расположения радиопередатчика; одновременно

прикидывается точность этой оценки. Как ни парадоксально,

но

такие визуальные методы обладают той особенностью, что при

небольшом числе измерений, произведенных под большими углами,

они

могут

оказаться поразительно точными, однако при увеличе-

нии

числа отсчетов работать становится значительно сложнее

картина получается более запутанной, хотя объем полезной

информации

соответственно возрастает.

Путем построения математической модели этого процесса уда-

лось найти вычислительный метод, с помощью которого можно

было рассчитать наиболее вероятное место расположения радио-

передатчика, а также определить прямоугольник, внутри котог

рого он находится с некоторой заданцой вероятностью (скажем,

90%). Специально подготовленные карты и математические таб-

лицы

позволяли довольно быстро выполнять необходимые вычис-

ления

(даже при большом числе отсчетов) с помощью обычной

настольной счетной машины. В настоящее время такие вычисления

люжно выполнять еще быстрее и точнее на электронных вычисли-

тельных машинах.

Вычисленные направления на передатчики, место располо-

жения

которых было известно, сравнивали с визуальными отсче-

тами, чтобы оценить относительную точность этих

двух

методов.

По

мере совершенствования механизированных методов все оче-

виднее становилась целесообразность их применения во многих

случаях.

В то же время встречались важные ситуации, в которых

полученные данные оказывались неопределенными или требова-

лось принять решение немедленно. В этих случаях приходилось

полагаться на субъективные суждения, однако теперь эти

сужде-

ния

можно было корректировать и уточнять с помощью вычисли-

ГЛАВА

тельных методов. Таким образом, имело место плодотворное взаи-

модействие

между

интуицией человека и математическими мето-

дами. Очень похожая ситуация возникает при использовании

вычислительной машины для медицинской диагностики (гл. 11).

Параллельно развитие методов исследования операций в годы

войны

происходило также в США. Оно охватывало такие вопросы,

как

разработка противолодочного оружия и оценка эффективно-

сти действия военно-воздушных сил. С этого времени группы иссле-

дования

операций начали организовывать во

всех

военных мини-

стерствах США

После

войны область применения методов исследования опера-

ций

значительно расширилась. Эти методы применяют теперь

самых разнообразных промышленных и общественных органи-

зациях и предприятиях: на железных

дорогах,

в больницах

универсальных магазинах, в редакциях газет, в организациях,

ведающих снабжением

углем

и электроэнергией, проектирова-

нием

и строительством зданий и т. д.

Очевидно, что методы исследования операций должны найти

широкое

применение и при решении ряда биологических и меди-

цинских

проблем. В таких областях, как лесоводство, сельское

хозяйство и рыболовство, большое место занимает организацион-

ная

и административная деятельность. Для достижения опти-

мальных результатов в организации научного руководства лесным

хозяйством, сельскохозяйственным производством или инкуба-

торными

станциями математические методы, обычно исполь-

зуемые в теоретических и прикладных науках, недостаточны.

Проектирование

больниц, организация их деятельности и вообще

эффективное

оказание медицинской помощи также связаны с реше-

нием

проблем, которые по своему характеру не являются чисто

медицинскими.

В применении методов исследования операций

при

решении проблем, связанных с медицинским обслуживанием,

достигнуты значительные успехи, и в гл. 12 детально рассмотрены

некоторые работы, выполненные в этой области.

4.3. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Суть метода исследования операций заключается в примене-

нии

научного метода для решения организационных задач: однако

часто термин «исследование операций» относят к группе матема-

тических методов, оказавшихся особо ценными при решении

большинства таких задач. Например, в связи с широким спросом

на

определенные виды товаров или

услуг

и необходимостью удо-

В США три военных министерства: армии» авиации и военно-морских

сил.—

Прим.

перев.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ 89

влетворения этого спроса возникают задачи массового обслужи-

вания,

определения очередности, составления расписаний, управ-

ления

ресурсами и т. д. Приступая к решению какой-либо кон-

кретной

задачи, прежде всего необходимо построить математи-

ческую модель соответствующей операции и исследовать ее свой-

ства. Затем требуется найти метод определения оптимальной (по

отношению к соответствующим критериям) схемы протекания

реального процесса. О теории массового обслуживания и линей-

ном

программировании уже кратко говорилось в разд. 4.1. Далее

мы несколько подробнее остановимся на вопросах, представляю-

щих особый интерес и играющих важнейшую роль в исследова-

нии

операций.

Теория

массового обслуживания

Любая ситуация массового обслуживания связана с наличием

непрерывной,

хотя и меняющейся во времени, потребности в опре-

деленных видах товаров или

услуг

и организацией обслужива-

ния

для удовлетворения этих потребностей. В качестве про-

стейшего примера возьмем покупателя, подошедшего к прилавку,,

чтобы купить какие-то товары. Если в этот момент продавец сво-

боден, то покупатель

будет

обслужен немедленно. Но если про-

давец уже занят обслуживанием покупателя, пришедшего раньше,

то вновь прибывший вынужден ждать, и обычно для этого он

должен встать в очередь. Этот простой случай может иметь боль-

шое число вариантов, обобщений и усложнений. В настоящее

время уже

существует

обширная литература по теории массового

обслуживания. Библиографию и подробное изложение математи-

ческого аспекта предмета читатель найдет в книгах Кокса и Смита

[15],

Саати [56] или в гл, 11

другой

книги автора [9]. В действи-

тельности описанная выше предельно простая ситуация, отнесен-

ная

нами к области интересов массового обслуживания, пред-

ставляет собой лишь частный случай более общих процессов пре-

образования

входных величин в выходные. К таким процессам

относятся,

например, регуляция спроса и предложения в системе

медицинского обслуживания или регуляция обмена веществ

организме. Однако вернемся к элементарной модели массового

обслуживания и отметим ее характерные свойства.

Во-первых, рассмотрим

входной

процесс,

представляющий собой

поток

клиентов, нуждающихся в обслуживании. Часто бывает

удобно и целесообразно предположить, что они прибывают слу-

чайным

образом, хотя и с некоторой постоянной средней интен-

сивностью. Это означает, что длительности интервалов

между

последовательными моментами прибытия клиентов имеют

экспо-

ненциальное

распределение и что число клиентов, прибываю-

ГЛАВА

щих в течение любого фиксированного промежутка времени,

имеет пуассоновское распределение

. Можно представить себе

также систему предварительной записи, когда клиенты прибы-

вают в фиксированные моменты времени. Кроме того,

существует

целая область промежуточных возможностей.

Во-вторых, необходимо задать определенную

дисциплину

оче-

реди.

Простейшим допущением является принцип «первым при-

был — первым обслужен». В этом

случае

клиенты ожидают в оче-

реди в порядке прибытия, и в любой данный момент времени обслу-

живается только тот, кто стоит первым. Более сложные виды

дисциплины

очереди

могут

быть заданы с помощью определенной

системы приоритетов или возникнуть при поступлении срочных

«заказов», например таких, как неотложные случаи, требующие

немедленного оказания медицинской помощи.

В-третьих,

существует

механизм

обслуживания,

определяю-

щий

выходной поток или окончание элементарного процесса

обслуживания. Здесь прежде всего нужно знать число обслужи-

вающих устройств и распределение длительности обслуживания

каждом из них. Естественно, что простейшей является система

с одним обслуживающим устройством.

Очевидно, что если бы клиенты прибывали через постоянные

промежутки времени и время обслуживания было постоянным,

то при длительности обслуживания, не превышающей длительно-

сти интервала

между

прибытием последовательных клиентов,

очередь не образовалась бы; в противном

случае

очередь

будет

увеличиваться бесконечно с постоянной скоростью. В таком про-

стом детерминированном

случае

никаких сложных проблем не

возникает,

но, как только вводятся те или иные вероятностные

элементы, появляется ряд специфических особенностей.

Для закрепления этих понятий рассмотрим одноканальную

систему массового обслуживания (систему с одним обслуживаю-

щим

устройством), в которой клиенты прибывают случайным

образом; пусть средний интервал

между

моментами прибытия

равен X и длительность обслуживания характеризуется некото-

рым распределением с математическим ожиданием (i и диспер-

сией

. Здравый смысл подсказывает, что при ц > к потребность

обслуживании превышает пропускную способность системы,

длина очереди

будет

непрерывно возрастать и создастся крайне

неблагоприятная ситуация. Если же ji < X, то средняя потребность

обслуживании

будет

меньше средней возможной пропускной

Это обычные, но необязательные допущения теории массового

обслу-

живания.

Для того чтобы они выполнялись, нужно еще предположить, что

вероятность появления очередного клиента

никак

не зависит от того, что

происходило до его появления.—

Прим.

ред.