Бейли Н. Математика в биологии и медицине

Подождите немного. Документ загружается.

РОЛЬ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 51

В целях дальнейшего упрощения заменим переменную t перемен-

ной

Т, где

= $e№dt. (2.9)

Теперь имеем

~7¥~

— (

— l)9n-i) л>я, I

i-o

(2Л0)

Интегрируя уравнение (2.9) и выбирая постоянную интегрирова-

ния

из условия Т = 0 при t = 0, получаем формулу для преобра-

зования

переменных в явном виде:

Г =

Р<_1.

(2.11)

Теперь очень легко проинтегрировать последовательно систему

уравнений (2.10), используя начальные условия: q

(0) = 1

Чп (0) = 0 при п >> 0. Сразу же получаем

( ) и т.д.

Очевидно,

что

g(g-l)...

(re —1)

/ге-1\

„ -

Подставляя соотношение

(2.11)

в уравнение

(2.12)

и учитывая,

что р

= е~

{

, непосредственно получаем общее решение (2.8).

Выражение (2.8) определяет фактическое распределение вероят-

ностей для любого данного момента времени, заменяющее при

вероятностном описании то единственное значение п =

ае$

которое рассматривалось в детерминистской модели. Тем, кто

знаком

с биномиальным распределением, известно, что выраже-

ние

(2.8) является частным случаем этого распределения. С помо-

щью стандартных выражений можно найти математическое ожи-

дание и дисперсию:

m(t) = aeV,

(2.13)

(i)=aeP

(eP«—1).

(2.14)

Эти величины можно получить, хотя и с большим трудом, непо-

средственно из формулы (2.8). Кроме того,

существуют

более

общие методы вычисления таких статистик, как математическое

ожидание и дисперсия, без нахождения всего распределения.

Эти методы иллюстрируются в гл. 8 и 9. Такой

подход

может

оказаться крайне полезным в том случае, когда все распределение

вычислить трудно или невозможно.

ГЛАВА

Легко заметить, что математическое ожидание

(2.13)

совпадает

с детерминистским средним (2.5). Таким образом, при большом

числе индивидуумов детерминистское описание

будет

удовлетво-

рительно заменять

любую

стохастическую модель, в которой

основное

внимание уделяется нахождению средних значений

другой

стороны, когда число индивидуумов мало, например

когда начальный размер популяции а составляет всего лишь

несколько

единиц, изменчивость, характеризуемая дисперсией

(2.14), может быть весьма значительной. Вычисление математи-

ческих ожиданий часто используют в качестве первого шага

при

описании случайных процессов; это, очевидно, удобно,

когда детерминистское среднее, которое вычислить легче, имеет

такое же значение. Однако, как уже указывалось ранее, это

бывает далеко не всегда, и на этот случай полагаться не

следует.

Интерпретация

выражения (2.8)

требует

известной осторож-

ности.

При детальном рассмотрении какой-либо определенной

популяции,

для которой подходит принятая модель, в каждый

момент времени мы, разумеется,

будем

наблюдать только одно

численное значение. График роста популяции обнаружит значи-

тельные колебания. Возникает вопрос, каким образом эти коле-

бания

связаны с распределением вероятностей. Смысл выражения

(2.8) состоит в том, что если имеется некоторое большое число

популяций

и в начальный момент t = О численность каждой

из

них равна а, то доля этих популяций, имеющих в момент t

численность п, теоретически равна р

(t) с математическим ожида-

нием

т (t) и дисперсией о

(t). Кривая роста любой отдельно взя-

той популяции может значительно отклоняться от кривой матема-

тического ожидания, хотя последняя совместно с дисперсией

может все же служить некоторым показателем изменчивости,

характерной для данного процесса.

Мы

рассмотрели некоторые математические детали стохасти-

ческой модели простейшего процесса роста популяции (с

учетом

только размножения) для того, чтобы показать характер подхода,

используемого для описания процессов со значительными эле-

ментами случайности. В более общем случае, когда учитывается

гибель особей или какие-либо

другие

факторы, вызывающие

уменьшение численности, появляется по крайней мере один

новый

аспект, а именно возможность вымирания популяции.

См. примечание на стр. 48. Отметим лишь дополнительно, что совпа-

дение результатов, полученных с помощью детерминистской модели, с мате-

матическим ожидапием распределения, полученного из вероятностной

модели, определяется линейностью этих

двух

моделей. В противном

случав

такого совпадения может и не быть.—

Прим.

ред.

РОЛЬ

ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 53

Так,

простейшее детерминистское описание популяции, учитываю-

щее как размножение, так и гибель, приводит к уравнению (1.1),

где т — средняя скорость роста. Если скорость размножения

превышает скорость гибели, то иг- положительная величина,

это детерминистское уравнение показывает, что численность

популяции

экспоненциально растет. Но при стохастическом

описании

всегда

существует

некоторая вероятность вымирания

популяции

результате

случайной гибели достаточно большого

числа особей. (Разумеется, при отрицательном т размер популя-

ции,

согласно детерминистскому описанию, постепенно умень-

шается до нуля.) Вероятность вымирания является важной

характеристикой процесса, которая не учитывается в детерми-

нистской

модели.

Как

будет

показано в гл. 9, где рассматривается теория эпиде-

мий,

бывают и

другие

ситуации, в которых стохастический под-

ход приводит к совершенно иным результатам, нежели детерми-

нистский.

Например, детерминистская модель абсолютно

непригодна для описания повторяющихся вспышек эпидемий,

так

как она предсказывает затухающие колебания, которые

на

практике не наблюдаются; в то же время стохастическая модель

предсказывает как раз то, что наблюдается в действительности,

а именно повторяющуюся последовательность незатухающих

вспышек

различной интенсивности.

Из

этого краткого изложения очевидно, что теория случайных

процессов играет важную роль при изучении биологических

явлений.

Ясно также, что для построения

даже

очень простых

стохастических моделей может потребоваться непредвиденно боль-

шой

объем математических выкладок. При попытке построить

более реалистические модели положение еще более усложняется.

Например,

рассматривая выше процесс роста популяции с

учетом

только размножения, мы приняли очень удобное допущение

том, что вероятность появления потомка у некоторого отдельно

взятого индивидуума за время dt равна $dt. Можно легко пока-

зать, что это означает,

будто

интервалы времени от момента рожде-

ния

до момента размножения имеют экспоненциальное распреде-

ление / (t) =

Pe~P*,

t ^- 0. На самом

деле

такое распределение

описывает процессы, обладающие большей изменчивостью, чем

это

обычно встречается в природе. Например, для бактерий лучшее

приближение к действительности обеспечивает одновершинная

кривая,

почти совпадающая с кривой нормального распределения.

Поэтому нужно быть готовым к значительному усложнению

стохастических моделей, если мы хотим, чтобы они достаточно

точно описывали реальные явления.

Здесь возникает двойное затруднение. С одной стороны, силь-

но

упрощенная стохастическая модель весьма полезна в том

ГЛАВА

отношении,

что она сразу

дает

некоторое представление о том,

что нового (по сравнению с детерминистским описанием)

дает

вероятностная модель. С этим мы сталкиваемся, например, в тео-

рии

эпидемий при рассмотрении больших популяций. Но, с дру-

гой стороны, статистическую проверку адекватности модели

оценку тех ее параметров, которые имеют биологический смысл,

стоит производить лишь для достаточно реалистичных моделей.

случае

эпидемий это можно сделать, рассматривая отдельные

небольшие группы индивидуумов (семьи). Однако обычно более

реальные и более сложные модели приводят к громоздким мате-

матическим выкладкам. Эта проблема

будет

разрешаться частично

за

счет

новых достижений в математике, особенно в области теории

аппроксимаций.

В этом плане

трудно

переоценить значение совре-

менных быстродействующих вычислительных машин. G одной

стороны,

они позволяют получить численные решения очень

сложных систем уравнений, описывающих какой-либо реальный

случайный процесс. С

другой

стороны, они открывают широкие

возможности для исследования самих математических моделей.

В этом

случае

вычислительная машина на основе математической

модели строит большое число искусственных реализаций процесса,

а затем с некоторой приемлемой точностью вычисляет значения

математического ожидания, дисперсии и т. п. (разд. 2.5).

В этом кратком изложении роли случайных процессов в био-

логии мы ограничились рассмотрением таких процессов, в которых

время можно считать непрерывным. Однако часто бывает более

удобно

или целесообразно оперировать с дискретным временем,

как,

например, при рассмотрении популяций, в которых последо-

вательные поколения не перекрываются. Кроме того, при аппрок-

симации

процессов с дискретными переменными диффузионными

процессами как размер популяции, так и время оказываются

непрерывными

. В настоящее время

существуют

большие воз-

можности выбора самых разнообразных моделей, и для любого

исследователя, занимающегося проблемами биологии или меди-

цины,

весьма желательно

хотя

бы поверхностно познакомиться

с различными вариантами. Относительно простое (и нестрогое)

изложение элементов теории случайных процессов в рамках при-

кладной

математики можно найти в

другой

книге автора [9].

Более строго эта теория изложена в книгах Бартлетта [11], Баруча-

Рида [13] и Парцена [50], а в книге Гарленда [31] приводятся

некоторые конкретные приложения теории к биологии и меди-

цине.

Впрочем, это необязательно, так как известны математические процессы

с непрерывным временем, но дискретным пространством состояний. —

Прим.

ред.

РОЛЬ

ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 55

2.5.

ФИЗИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Моделирование, о котором упоминалось в предыдущем разделе,

представляет собой по

существу

статистический метод исследо-

вания

выборочных распределений. Когда некоторый случайный

процесс удается полностью описать с помощью математической

модели, то при вычислении математических ожиданий, дисперсий

вероятностей автоматически полностью учитывается вся область

возможных изменений. При исследовании методом физического

моделирования получают достаточно большое число возможных

реализаций

рассматриваемого процесса, а затем на основе этой

ограниченной

выборки моделированных наблюдений вычисляются

искомые

величины. Разумеется, эти величины не

будут

получены

с абсолютной точностью, характерной для чисто аналитических

методов, а, как и все выборочные статистики,

будут

иметь опре-

деленную погрешность, характеризуемую соответствующей сред-

ней

квадратической ошибкой. Вследствие того что в результаты,

получаемые при физическом моделировании, вносится некоторая

погрешность за счет случайного характера выборок, оно

дает

известной степени смазанное представление о процессе. Кроме

того, при таком моделировании приходится использовать

фикси-

рованные

значения параметров (таких, как размер популяции,

скорости размножения и гибели, число наблюдаемых поколений

т. д.). Поэтому, для того чтобы достаточно полно охватить раз-

личные комбинации значений параметров, при физическом моде-

лировании

может потребоваться очень большое число реализаций

процесса. Но

даже

и в этом

случае

может оказаться, что наиболее

существенные соотношения

между

различными параметрами моде-

ли

выявить не удастся. В то же время чисто математическое иссле-

дование, если оно выполнимо, позволяет более плодотворно и все-

объемлюще раскрыть основную

структуру

и смысл всего процесса.

По

этим причинам часто говорят, что применение физического

моделирования означает признание математической несостоятель-

ности.

Отчасти это, разумеется, справедливо, но в ответ можно

сказать, что во многих случаях полные и изящные математические

решения

удается получить лишь для чрезвычайно упрощенных

моделей. Поэтому для правильного использования физического

моделирования нужно знать, когда оно действительно необходимо

для дополнения чисто теоретических исследований. На практике

может оказаться, что результаты какого-то модельного опыта

подскажут, в каком конкретном направлении

следует

проводить

новые теоретические исследования, и таким образом

будет

обеспе-

чен синтез этих

двух

различных подходов.

Как

подчеркивается в гл. 8, упрощенные стохастические моде-

ли

роста популяции, построенные с

учетом

только процессов

ГЛАВА

размножения

и гибели, крайне полезны в том отношении, что они

позволяют сразу увидеть, со свойствами какого рода мы столк-

немся

в той или иной экологической задаче, отказываясь от негиб-

ких детерминистских моделей и вводя ряд вероятностных элемен-

тов. Однако практическая применимость таких упрощающих

допущений, как, например, экспоненциальное распределение

величин,

характеризующих продолжительность жизни или

отсут-

ствие латентного периода при развитии инфекционного заболева-

ния,

по-видимому, весьма ограниченна. Принимая эти допущения,

мы можем получить лишь некоторое общее представление о про-

цессе, но при детальном исследовании какой-либо реальной ситуа-

ции

они неприменимы, в частности потому, что не позволяют

оценить

биологически важные параметры.

Для оценки этих параметров необходимо, чтобы модель была

достаточной степени реалистичной. Возможно, придется допус-

тить, что значения продолжительности жизни имеют приближен-

но

нормальное или, скажем, гамма-распределение; что каждая

инфекция

складывается из латентного и клинического периодов,

имеющих некоторое соответствующее совместное распределение;

что популяции имеют определенную

структуру

с четко выражен-

ными

возрастными и половыми группами, причем каждая такая

группа имеет свои особые характеристики; что имеет место

неко-

торая пространственная дифференциация популяции, которую

необходимо принимать во внимание, и т. д. Как только предпри-

нимается

хотя бы малейшая попытка ввести эти факторы в исход-

ную математическую модель, обычно исключается возможность

получить математические выражения в явном виде или, во всяком

случае, довести выкладки до конца. И все же исключительно

важно

уметь

построить такую более сложную математическую

модель, поскольку только она может служить основой для точ-

ного рационального рассмотрения проблемы. В некоторых случаях

удается получить удобные математические аппроксимации, одна-

ко

обычно единственным способом добиться

успеха

является

моделирование на вычислительной машине.

Физическое

моделирование применяется при исследовании

самых разнообразных биологических и медицинских явлений:

взаимодействия

между

видами, эволюционного поведения генети-

ческих систем, распространения и повторных вспышек эпидемий,

функционирования

нейронных сетей и

других

физиологических

систем и т. п. Другая плодотворная область применения модели-

рования

— исследование операций, о котором уже кратко упо-

миналось

в разд. 1.4. Более подробно исследование операций

рассматривается в гл. 4, где нас

будут

интересовать в основном

административные и организационные задачи. Если такие задачи

поддаются реалистической математической формулировке, то она

РОЛЬ

ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 57

обычно оказывается довольно сложной, так как должна учитывать

множество самых разнообразных случайных событий. Здесь редко

удается получить аналитически разрешимые математические урав-

нения,

и реальный прогресс может быть достигнут только с по-

мощью моделирования.

Другие

аспекты физического модели-

рования

в задачах исследования операций рассматриваются

разд. 4.3. В гл. 12 излагаются некоторые конкретные примеры

применения

методов исследования операций в медицине, в частно-

сти вопросы, связанные с проектированием и деятельностью боль-

ниц

и организацией амбулаторного приема больных.

Термин

«метод

Монте-Карло» часто используется как синоним

«стохастического моделирования» (на вычислительных машинах),

хотя первоначально он отражал логически совсем иную идею.

Выше мы говорили о физическом моделировании, при котором

реализации

стохастической модели по своей физической природе

были точно такими же, как и явления в моделируемом объекте.

В отличие от такого физического моделирования метод Монте-

Карло

(происхождение этого термина довольно очевидно) был

разработан в годы второй мировой войны для решения вероят-

ностными

методами очень сложных математических уравнений,

получающихся главным образом в чисто детерминистских зада-

чах. Метод Монте-Карло состоит в отыскании такой вероятност-

ной

задачи, решение которой приводит к тем же уравнениям, что

исследуемая детерминистская задача, после чего решение этой

вероятностной задачи находится с помощью выборочных экспе-

риментов,

проведение которых по

существу

и есть моделирование.

Простейшим

примером может служить вычисление площади,

ограниченной

некоторой плоской замкнутой кривой. Построим

вокруг этой кривой квадрат площадью А и с помощью обычного

статистического метода произведем случайный выбор точек, лежа-

щих внутри квадрата. Если доля точек, лежащих внутри данной

кривой,

равна р, то рА служит оценкой площади, ограниченной

этой

кривой. Эту идею можно легко обобщить на случай много-

мерных задач, для которых обычные числовые методы

могут

оказаться очень трудоемкими и для получения ответа потребуется

огромное число точек. Кроме того, точность этих методов пропор-

циональна

лишь n~

i!d

, где d — размерность задачи. В отличие

от числового подхода метод Монте-Карло позволяет получить

некоторые результаты при любых значениях п и

дает

оценки

с точностью, пропорциональной п~

, которая при больших п

очень высока.

На

основе моделирования возник ряд новых важных методов.

Прекрасным

пособием для знакомства с этим предметом может

служить книга Точера [62]. Более конкретные приложения метода

Монте-Карло

изложены в книге Хэммерсли и Хендскома [32].

Глава

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1.

НАУЧНЫЙ МЕТОД

«Единство всей науки,— писал Карл Пирсон в своей

«Грамма-

тике

науки»

[52], — заключается лишь в ее методе, а не в ее мате-

риале».

Хотя

нас интересует главным образом область биологии

медицины, стоит все же кратко рассмотреть общие принципы

научного исследования. После этого можно продолжить более

подробное изучение различных проблем, возникающих в интере-

сующей нас области в связи с построением и применением мате-

матических моделей.

Вообще говоря, научный

метод

представляет собой непрерыв-

ный

процесс проверки, изменения и развития идей и теорий

соответствии с имеющимися фактическими данными. В известной

степени научный

метод

— это просто развитие обычного рацио-

нального

подхода,

основанного на здравом смысле. В то же время

многие глубокие научные исследования действительно настолько

сложны, специфичны и изложены таким непонятным языком, что

не

сразу можно обнаружить их связь с повседневной жизнью.

Тем не менее требование, предъявляемое к любой научной тео-

рии,

— чтобы в конце концов она приводила к строгим

утвержде-

ниям,

— означает возможность объяснить общий ее смысл (хотя

бы приближенно) обычным понятным языком.

Рассматривая более детально применение научного мето-

да в любой ситуации, можно выделить ряд четко различимых

взаимосвязанных этапов. Первый этап — это этап наблюдений,

который

можно назвать «естественноисторическим». На этом этапе

происходит просто накопление огромной массы разнородного

материала, характер которого преимущественно зависит от слу-

чайных интересов одного или нескольких исследователей; часть

его основана на точных измерениях, а

другая

часть представляет

собой лишь отрывочные описательные данные. Затем предприни-

мается попытка систематизировать имеющиеся факты и, возможно,

получить некоторое систематическое описание всей совокупности

данных. Типичным примером этого первого этапа

служит

работа

биолога, связанная со сбором материала по тем или иным видам

животных: описываются общий вид, биология, поведение отдель-

ных особей; особое внимание может быть

уделено

способам добы-

вания

пищи, а также брачному поведению, размножению и заботе

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 59

о потомстве; отмечается влияние конкретных особенностей окру-

жающей среды — климата, географических условий и т. д.

Однако рано или поздно возникают некоторые специальные

вопросы и проблемы. Допустим, например, что у какого-либо

вида животных наблюдаются две различные окраски тела: свет-

лая и темная. В этом

случае

можно задать вопрос, не имеем ли мы

здесь дело с двумя различными подвидами, определенно связан-

ными

с двумя различными типами среды, или же это пример сба-

лансированного полиморфизма по какому-либо признаку в преде-

лах одного вида. На данном этапе формулируется некоторая

удобная гипотеза, которая если и не полностью, то в значительной

мере объясняет эмпирические факты и, что особенно важно, может

быть в дальнейшем опровергнута новыми данными. Принципиаль-

ное значение имеет возможность проверить справедливость гипоте-

зы.

Такая гипотеза, которую невозможно опровергнуть (хотя бы

в принципе), по

существу

бессмысленна. Разумеется, она может

привести к некоторым более плодотворным теоретическим построе-

ниям,

но значительно чаще ее результатом

будет

создание целой

абстрактной теории, проверка которой невозможна. Наилучшие

гипотезы — это простые гипотезы, которые легко подтвердить

экспериментально, если они верны, и легко опровергнуть

с помощью надлежащим образом подобранных решающих экспе-

риментов или наблюдений, если они неверны. В приведенном

выше примере можно предположить, что две наблюдаемые окраски

обусловлены заменой одного гена в одном локусе и, возможно,

связаны с наличием доминантного и рецессивного аллелей. Если

изучаемых животных легко добыть и они достаточно быстро раз-

множаются в неволе (как, например, мыши или полевки), то для

проверки этой гипотезы можно произвести требуемое число скре-

щиваний.

Может оказаться, что светлая форма является рецессив-

ной,

а темная — доминантной и что наличие этих

двух

форм может

поддерживаться неопределенно долгое время за счет расщепления

при

возвратных скрещиваниях. Потребуется определенное время,

прежде чем можно

будет

с достаточной уверенностью считать,

что найдено удовлетворительное объяснение и что наблюдаемые

фенотипы не связаны ни с какими аномалиями.

Если бы здесь действовал какой-либо иной механизм, то это

выявилось бы довольно рано, так как фактические соотношения

при

расщеплении отличались бы от тех, которых следовало ожи-

дать на основе простой гипотезы об одном локусе, т. е. от соотно-

шения

1 : 1 при возвратном скрещивании и соотношения 3 : 1

при

скрещивании

между

гибридами. Когда число скрещиваемых

животных достаточно велико, можно определить, реализуются ли

эти

соотношения хотя бы приближенно или же наблюдаются зна-

чительные отклонения от них.

ГЛАВА

Однако очень часто встречаются менее определенные ситуации.

Число

животных может быть не очень велико, и в выборках

могут

иметь место значительные случайные колебания. В этих случаях

могут

возникнуть соотношения, которые мало отличаются от

теоретически ожидаемых, но которым можно дать иное объяснение.

При

небольшой численности потомства мы не сможем, например,

легко провести различие

между

соотношением 3:1, получаемым

при

моногибридных скрещиваниях, и соотношением 9:7, наблю-

дающимся при наличии

двух

независимо расщепляющихся компле-

ментарных генов. В данном

случае

крайне важно выбрать правиль-

ный

метод статистического вывода, определяющий направление

дальнейших действий. В общем

случае

простая первоначальная

гипотеза

будет

отклонена, если наблюдения покажут достаточно

большое расхождение с ней. Обычно именно на это и направлены

научные исследования. Однако из-за существования значительной

естественной изменчивости достоверный

результат

получить невоз-

можно.

Заметные расхождения

между

теорией и наблюдениями

могут

возникать чисто случайным образом. В точных науках этот

аспект обычно не имеет большого значения. Но в биологии часто

возникает необходимость проверки статистической значимости

полученных результатов (см. разд. 2.2). Если наблюдаемые рас-

хождения достаточно велики, то первоначальная, т. е. нулевая,

гипотеза отвергается в пользу некоторой альтернативной ги-

потезы.

Это подводит нас к следующему этапу процесса научного иссле-

дования.

Если принятие некоторой гипотезы приводит к значи-

тельному расхождению

между

теорией и практикой, то эта гипоте-

за не может больше сохраняться в своем первоначальном виде.

В тех

случаях,

когда гипотеза имеет прочную основу, например

если она выводится из какой-то существующей вполне устано-

вившейся

теории, исследователь

будет

скорее склонен вносить

эту гипотезу некоторые изменения, а не отвергать ее полностью.

Допустим, например, что

другие

исследователи на основе много-

численных данных установили, что различная окраска упомяну-

тых выше животных обусловлена просто заменой доминантного

гена на рецессивный. Мы не можем полностью отвергнуть эту

гипотезу на основе отклонений, наблюдаемых при новых экспе-

риментах. Разумеется, возможно, что мы имеем дело с каким-то

другим генетическим фактором. Это можно проверить путем скре-

щивания

наших животных с теми, на которых работали

другие

исследователи. Если окажется, что исследовался один и тот же

фактор,

то можно предположить, что полученные нами соотноше-

ния

отклоняются от обычных вследствие различий в жизнеспособ-

ности

различных фенотипов и генотипов. Эти идеи мы должны

включить в нашу гипотезу о типе наследования и использовать