Бейли Н. Математика в биологии и медицине

Подождите немного. Документ загружается.

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 71

данных, обычно приходится полагаться на субъективные суждения

надежде, что они позволят получить довольно хорошие, если

не

наилучшие,

результаты.

Может показаться, что

подход

к анализу сложных реальных

проблем с точки зрения теории статистических решений является

безнадежно абстрактным и утопическим. Однако имеется ряд

причин

считать, что это не так. Естественно, что в книгах по тео-

рии

решений для иллюстрации приводятся лишь чрезмерно упро-

щенные

варианты реальных задач. Конечно, в тех

случаях,

когда

то или иное действие нужно произвести немедленно, такие методы

применяются

пока редко, однако вполне возможно, что с дальней-

шим

развитием быстродействующих вычислительных устройств

они

найдут

более широкое применение. Еще важнее, что теория

статистических решений

дает

основу для количественного

подхода

очень сложным административным и организационным задачам,

которые до самого последнего времени считались недоступными

для математических методов. Таким образом, мы вправе сказать,

что эта теория позволяет получить представление о том, что

происходит на уровне административного управления, а также

помогает более четко представить, что здесь в действительности

требуется.

Следующий этап, на котором

будут

предприниматься

попытки

производить выбор

между

различными моделями

приня-

тия

решений, еще только начинает развиваться. В настоящее

время такие модели имеют главным образом теоретическое значе-

ние,

однако в

будущем

они, по-видимому, приобретут значительно

большую

практическую ценность.

проверкой гипотез связан еще один фундаментальный

вопрос:

можно ли считать, что гипотезы характеризуются

неко-

торым распределением вероятностей? При частотной интерпрета-

ции

те или иные значения вероятности можно приписать лишь

результатам

таких экспериментов, которые, во всяком

случае

принципе, можно повторить, причем эти вероятности опреде-

ляются через наблюдаемые частоты. Гипотезы же бывают либо

справедливы, либо ложны и обычно не имеют распределений,

хотя

они с большей или меньшей вероятностью

соответствуют

имеющимся данным. Критерии для проверки значимости, пред-

ложенные Фишером или Нейманом и Пирсоном, не связаны

с допущениями о существовании априорных вероятностей гипотез.

Однако в частных

случаях

эти априорные вероятности

могут

суще-

ствовать. Если это так, то, используя правило Бейеса, можно

определить апостериорные вероятности самих гипотез.

Допустим, например, что для дальнейшего экспериментирова-

ния

мы выбрали какую-то особь с доминантным признаком, полу-

ченную при скрещивании Аа X Аа. Априорная вероятность того,

что эта особь

обладает

генотипом АА, равна V

, а вероятность

ГЛАВА

генотипа Аа равна

; третья возможность, аа, для нее исключает-

ся.

Если мы теперь проведем аналитическое скрещивание с особью,

несущей два рецессивных аллеля, аа, то появление хотя бы одной

особи с рецессивным признаком покажет, что проверяемая особь

является гетерозиготой Аа. Допустим, что вместо этого мы полу-

чили три особи с доминантным признаком. Вероятность этого

события равна единице (т. е. это событие достоверно), если прове-

ряется особь АА, и V

при генотипе Аа. Таким образом, апосте-

1 2 1 11

риорные

вероятности равны

X 1 и

, или

и -^ соответ-

ственно.

Нормируя эти относительные частоты таким образом,

чтобы их сумма была равна единице, находим, что вероятности

4 1

генотипов А А и Аа равны соответственно ^ и -. С полным основа-

о 5

нием

можно сказать, что с вероятностью

проверяемая особь

гомозиготна по доминантному гену. Этот вывод подтверждается

реально только в том случае, если

существуют

априорные вероят-

ности.

Если при использовании критерия Фишера достигается

уровень значимости, равный, скажем, 1%, то часто говорят, что

шансы

на то, что нулевая гипотеза справедлива, составляют

: 100. Хотя с логической точки зрения это утверждение не впол-

не

строго, оно вряд ли покажется кому-нибудь недостаточно

ясным,

разве только теоретикам.

Невозможность оценить шансы за и против гипотезы при

частотной интерпретации вероятности часто рассматривается как

недостаток этой теории по сравнению со здравым смыслом. G дру-

гим подходом мы встречаемся в так называемой

теории

инверсных

(субъективных)

вероятностей,

превосходное изложение которой

можно найти в книге Джеффри [37]. Эта теори развита на основе

допущений, предполагающих использование распределения веро-

ятностей для измерения степени уверенности или доверия. Так,

том случае, если о некотором параметре 0 ничего не известно,

за исключением того, что он может принимать любое из

трех

значений

а, бис, этим значениям приписываются одинаковые апри-

орные вероятности, равные V

. Если первоначально отдается пред-

почтение значению 9 = с, то этому событию приписывается боль-

шее значение вероятности. Хотя можно спорить о том, правиль-

ную или неправильную форму имеет то или иное априорное рас-

пределение, преимущество этого метода состоит в том, что он

позволяет

учесть

уже имеющиеся данные,

тогда

как при частотной

интерпретации вероятности сделать это трудно. Метод субъектив-

ных вероятностей имеет много привлекательных свойств; некото-

рые его приложения более подробно излагаются в гл. 11, где

рассматривается ряд задач медицинской диагностики. Типичная

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 73

задача постановки диагноза легко и совершенно естественно

формулируется через субъективные вероятности. Составление

окончательного перечня различных возможных диагнозов, каждо-

му из которых ставится в соответствие определенная субъективная

вероятность, по-видимому, ближе к клинической практике, чем

методы, основанные на частотной интерпретации вероятности.

Разумеется, как уже отмечалось ранее, при постановке диагноза

более эффективным был бы подход, основанный на теории реше-

ний,

однако использовать его на практике пока еще трудно,

поскольку обычно

отсутствуют

очень многие существенные эле-

менты,

необходимые для применения этого метода.

Мы

кратко остановились на методе субъективных вероятностей

связи с вопросом о проверке гипотез. Однако сюда легко вклю-

чить и получение оценок. Если рассматривается некоторый непре-

рывный

параметр 0, то его апостериорное распределение показы-

вает, какая степень уверенности ставится в соответствие всей

области возможных значений этого параметра. При достаточном

количестве данных это распределение

будет

сконцентрировано

около

некоторого предпочтительного значения, которое можно

использовать как оценку. Концентрация вероятности вокруг этого

значения

измеряет соответствующую степень уверенности и во мно-

гих случаях выражается известной нам средней квадратической

ошибкой.

Многие

исследователи выдвигают принципиальные возражения

против использования априорных вероятностей в тех

случаях,

когда они вводятся для измерения степени уверенности, а не как

фактические

частоты, как в рассмотренном выше примере из обла-

сти генетики. Чтобы обойти это возражение, Фишер ввел так

называемое

фидуциалъное

распределение.

В этом методе никакие

допущения относительно априорного распределения неизвестного

параметра 6 не принимаются, однако данные используются таким

образом, что для параметра 0 можно составить математические

выражения,

эквивалентные

вероятностному распределению 6. При

частотной интерпретации вероятности такого распределения не

существует,

и в этом состоит

суть

дела. Однако при интерпретации

вероятности как степени уверенности рекомендуется использовать

это

фидуциальное распределение как показатель того, какая сте-

пень

уверенности ставится в соответствие различным возможным

значениям

9. По форме фидуциальное распределение выглядит

точности так же, как и апостериорное распределение, хотя по

своей логической основе они заметно отличаются

друг

от

друга.

Во многих простых задачах математической статистики, например

при

оценке математического ожидания нормального распределе-

ния,

применение фидуциального распределения, апостериорного

распределения или же частотной интерпретации вероятности

дает

ГЛАВА

практически

одинаковые результаты, однако в более сложных

задачах появляются различия. Еще важнее существование

неко-

торых аномалий и очевидных логических несоответствий при

использовании

фидуциальных распределений. По этим причинам

многие математики очень критически относятся ко всему этому

подходу

в целом. Если бы эти трудности удалось преодолеть, то

фидуциальные распределения стали бы более популярны среди

теоретиков и их охотнее применяли бы ученые, ведущие практиче-

скую исследовательскую работу. Последним, естественно, необ-

ходим такой статистический метод, который позволял бы ставить

соответствие неизвестным гипотезам или различным значениям

неизвестного параметра определенные вероятности, однако явно

небезопасно использовать метод, имеющий логические изъяны.

Чем кончатся дебаты о различных интерпретациях вероят-

ности,

сказать трудно. Но пока философы и математики обязаны

искать ответ на ряд насущных вопросов. Чем

следует

руковод-

ствоваться, решая, какому из нескольких хорошо разреклами-

рованных продуктов стоит отдать предпочтение? Будет ли иссле-

дование более эффективным, если основным принципом получения

информации

явится теория статистических решений, а не критерий

статистической значимости Фишера и не фидуциальное распре-

деление?

Будут

ли результаты, полученные в сотрудничестве

со специалистом в области биометрии, предпочитающим исполь-

зовать субъективные распределения, отвергнуты научным журна-

лом,

редакторы которого являются сторонниками ортодоксальной

частотной интерпретации вероятности? Ученый-практик может

избежать бесконечных дебатов и бесплодного обсуждения мелких

вопросов логического характера, заняв ту же самую прагматиче-

скую позицию, которой он руководствуется в своих

делах

и реше-

ниях,

касающихся более знакомых ему технических деталей в его

собственной области. В своей практической работе он привык

широкому использованию моделей, сформулированных главным

образом в словесной форме или же преимущественно математиче-

ских (в данной книге мы отстаиваем необходимость более широко-

го применения именно этих моделей). Различные теории и методы

статистического вывода можно рассматривать точно в таком же

плане,

хотя и на более абстрактном уровне. Это просто разные

модели статистического вывода, разные способы получения обосно-

ванных выводов при определенных исходных данных и допущени-

ях. Очень часто получаемые выводы оказываются совершенно

одинаковыми,

какую бы модель мы ни выбирали, и этому вряд ли

стоит удивляться. Однако иногда различные модели, представля-

ющие собой по

существу

различным образом построенные изобра-

жения

некоторого сложного процесса, приводят к неодинаковым

выводам. Если эти выводы дополняют

друг

друга,

то никаких

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 75

проблем не возникает, и налицо определенный выигрыш. Если же

получаемые выводы несовместимы, то необходимы дальнейшие

исследования, и при попытке разрешить возникшие противоречия

можно получить новые данные.

Цель

этого раздела состоит не в детальном описании различ-

ных методов статистического вывода, а скорее в том, чтобы пока-

зать многообразие существующих методов и подчеркнуть, что

определенной ситуации тот или иной из них может оказаться

наиболее подходящим. Выбор метода может зависеть от целого

ряда факторов, в том числе от формулировки исходной задачи,

характера вопросов, наличия соответствующего математического

аппарата, возможности использовать электронную вычислитель-

ную машину и, наконец, от личных склонностей самого иссле-

дователя.

3.4. МНОГООБРАЗИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Как

мы видели, наука сильна своим операционным и прагма-

тическим подходом. Все, что

«работает»,

годится, по крайней

мере в настоящее время. Противоположный по своему характеру

подход, присущий науке (его можно назвать эстетическим),—

это

поиск логического единства, стройности и простоты. Именно

этот поиск служит постоянным стимулом новых идей как в области

теоретических исследований, так и в области эксперимента.

Присущи

ли вселенной внутренняя простота и единство или же

эти

допущения можно рассматривать лишь как удобные первые

приближения

для пытливых умов — все это составляет хорошо

известный предмет философских споров. Каков бы ни был ответ,

несомненно

одно — что важнейшими составными частями научного

процесса в целом является поиск общих законов и объяснений,

устранение очевидных противоречий, построение моделей, дающих

полное

описание различных частных явлений, разработка теорий,

имеющих универсальное применение и справедливых в общем

случае, и т. п. Существует определенное диалектическое единство

мысли и действия, которое можно сознательно и целеустремленно

использовать.

Часто обнаруживается, что исследования, ведущиеся на стыке

нескольких научных дисциплин, оказывают особенно плодотвор-

ное

воздействие на широкий круг проблем. Именно такой обла-

стью является генетика, которая связана не только с наслед-

ственностью, но и с физиологией, биохимией, экологией, эмбриоло-

гией,

психологией, патологией, судебной медициной и т. д., не

говоря уже о множестве математических методов, которые были

разработаны и используются в генетических исследованиях.

Таким

предметом является и сама прикладная математика. Попыт-

ки

решить частные задачи, возникающие в каких-то конкретных

ГЛАВА

обстоятельствах,

могут

привести к разработке общих математи-

ческих идей, которые не только позволяют решить первоначаль-

ные

задачи, но и оказываются применимыми в совершенно иных

областях. Так называемые уравнения математической физики

связанные с ними специальные функции находят применение

самых различных биологических и социологических

задачах:

гипергеометрические функции и многочлены Якоби встречаются

теории распространения эпидемических заболеваний; функции

Бесселя

позволяют исследовать процессы массового обслуживания

медицинских учреждениях; гамма-функции используются для

определения наиболее вероятного диагноза.

Значение

математики для науки заключается в том, что она

дает

исключительно точный язык и систему понятий, позволяющие

исследовать самые разнообразные вопросы. Мы начинаем с про-

стого счета и измерения, а затем постепенно вводим все более

сложные идеи, соответствующие требованиям стоящих перед нами

задач. В предыдущих

двух

главах

мы рассмотрели некоторые воз-

можные приложения математики в биологии и медицине. Теперь

уже должно быть

ясно,

что, хотя в некотором смысле математика

является единым предметом, она охватывает очень широкую

область идей, понятий, приемов и методов. Эти возможности

математики уже широко используются в точных науках, особенно

физике, но значение ее для биологии и медицины еще только

начинают оценивать по достоинству.

Математический

подход

не только облегчает точное количе-

ственное описание определенной задачи путем построения той

или

иной подходящей модели, но и

дает

(или может

дать)

средство

решению этой задачи. В разд. 3.2 мы уже рассмотрели в общем

плане значение математических моделей. Трудности, возникающие

различных частных

случаях,

более полно

будут

рассмотрены

во второй части книги. В данный момент

следует

подчеркнуть,

что центральной проблемой моделирования является построение

самой модели. Как правило, достаточно четкая формулировка

задачи всегда

дает

возможность получить решение в той или иной

форме.

Математические уравнения

могут

быть неразрешимы анали-

тическим путем, однако ценные с научной точки зрения результаты

можно получить и с помощью соответствующих аппроксимаций,

численных расчетов для большого числа частных случаев, моде-

лирования

и т. д. Если же задача сформулирована неудовлетво-

рительно или принятая модель недостаточно реалистична, то

при

любом количестве абсолютно точных математических выкла-

док

будет

получен ошибочный

результат.

Основной проблемой

прикладной

математики является выбор первоначальной мате-

матической модели, и ни в одной области знания это не

чувствует-

ся

так остро, как в биологии и медицине.

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 77

Итак,

допустим, что построена некая приемлемая и имеющая

-смысл математическая модель, позволяющая начать детальные

исследования. Для того чтобы их выполнить, необходимо знаком-

ство с методами, пригодными для этой цели. Вероятно, лучше всего

поручить эту работу профессиональному математику. Целесообраз-

но

вводить его в курс дела еще в процессе построения модели,

так

как

тогда

он полнее уяснит себе содержание задачи и ему

легче

будет

интерпретировать получаемые результаты. Однако

нередко биологи и врачи, имеющие математическую подготовку,

предпочитают хотя бы часть работы выполнять самостоятельно,

обращаясь за консультацией к специалистам в области биометрии

математической биологии. Тем, для кого математика не является

основной

специальностью, полезно еще раз напомнить, что суще-

ствует

большое число разнообразных и дополняющих

друг

друга

методов решения математических задач. Какой бы безнадежной

с математической точки зрения или недоступной ни казалась

модель, почти всегда имеется какой-либо способ ее исследования.

В качестве примера, иллюстрирующего диапазон методов,

имеющихся в нашем распоряжении, кратко остановимся на одной

задаче теории эпидемий, более детально описанной в разд. 9.2.

Рассмотрим изолированную группу равномерно общающихся

друг

другом

восприимчивых индивидуумов. В эту группу попа-

дает

единственный зараженный индивидуум, в

результате

чего

заболевание начинает распространяться. В простейшем

случае

допускается, что случаи выздоровления не имеют места (или

наступают через очень длительный промежуток времени и ими

можно пренебречь, поскольку рассматриваются начальные стадии

болезни).

Не представляет

труда

построить простую стохастиче-

скую модель, до некоторой степени аналогичную простой модели

процесса размножения (разд. 2.4). Внутреннюю динамику про-

цесса описывает система дифференциально-разностных уравне-

ний,

подобная системе (2.6). Точные аналитические решения

этой

системы возможны, но они очень сложны. Поскольку речь

идет о существующих методах решения, одним из них является

последовательное решение дифференциальных уравнений, начиная

с простейшего. К сожалению, при этом для отыскания решения

общем виде требуются очень громоздкие и длительные математи-

ческие выкладки. Более разумный путь — использование пре-

образований Лапласа искомых вероятностей, так как оперировать

с ними весьма удобно; правда, при обратном переходе к вероят-

ностям

возникают определенные трудности, но имеются некоторые

математические приемы, позволяющие облегчить эту работу.

Другой возможный

подход

— применение какой-либо производя-

щей

функции (такого многочлена от переменной х, что

коэффи-

циент

при х

равен p

(t), т. е. вероятности того, что в момент t

ГЛАВА

будет

наблюдаться г случаев заболевания). Это позволяет привести

систему дифференциально-разностных уравнений к одному диф-

ференциальному уравнению в частных производных параболи-

ческого типа второго порядка, которое может быть точно решено,

хотя и с некоторыми трудностями. С помощью этого единственного

уравнения можно, вероятно, определить многие свойства иссле-

дуемого

процесса, однако это еще дело

будущего.

Кроме

упоминавшихся здесь чисто аналитических исследова-

ний

(которые подходят для простой эпидемии без случаев. выздо-

ровления,

но неприемлемы для большинства более реалистических

моделей), можно также рассмотреть численные решения различ-

ных уравнений. Этот

подход

приобретает тем большее значение,

чем сложнее модель. Так, систему дифференциальных уравнений

можно решить, используя стандартные методы численного инте-

грирования,

например метод Рунге — Кутта. Кроме того, числен-

ные

решения дифференциальных уравнений в частных производ-

ных для производящей функции можно получить с помощью

релаксационного

метода или итерационного метода Кранка —

Никольсона

и т. д. Все эти методы

требуют

применения электрон-

ных вычислительных машин, но

даже

и это далеко не всегда

обеспечивает

требуемую

точность. Еще одна возможность, для

практического использования которой также необходима вычис-

лительная техника,— это моделирование, описание которого дава-

лось в разд. 2.5. Моделирование имеет свои недостатки, однако

это

очень гибкий метод, и в

будущем

он может получить более

широкое

распространение. Вопросы, связанные с применением

вычислительной техники при моделировании, более подробно

рассматриваются в разд. 5.5.

Из

всего сказанного видно, сколь велико число различных

способов получения математического решения любой данной зада-

чи.

Что именно можно сделать в каком-либо конкретном случае,

зависит от математических знаний и навыков исследователя

от наличия вычислительной техники. Такое многообразие мето-

дов служит гарантией того, что в

будущем

настойчивые усилия

будут

вознаграждены хотя бы частичным успехом.

Еще одно следствие широты математической теории состоит

том, что не только

существует

большое число способов решения

данной

задачи, но и сама задача может быть сформулирована

различными способами, с использованием различных понятий,

что в высшей степени полезно. В разд. 3.3 мы уже рассматривали

различные методы получения выводов на основе имеющихся дан-

ных. В частности, мы отмечали важность применения в отдель-

ных случаях теории статистических решений, которая создает

вполне реалистическую основу для расширения исследований

сложных административных и организационных проблем (не

ПРОЦЕСС

НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 79

говоря уже о более частных приложениях к статистической тео-

рии).

Таким образом, новый подход, основанный на новых

поня-

тиях, обеспечивает значительное продвижение вперед.

Возможность переноса идей из одной области приложений

другую

всегда крайне привлекательна. Если это делается умело,

то часто

дает

новые плодотворные результаты. В то же время

необходимо проявлять осторожность и не

«вгонять»

исследуемый

материал в неподходящие для него рамки. Как известно, стати-

стический

подход

к планированию и анализу экспериментов

находит особенно широкое применение в агрономической науке,

где он существенно необходим и в высшей степени эффективен.

Многие

биологические эксперименты, проводимые как в полевых,

так

и в лабораторных условиях, по своему общему характеру

не

очень сильно отличаются от агрономических. В то же время,

например,

при клинических испытаниях лекарственных препара-

тов возникает ряд дополнительных трудностей, которые не всегда

легко разрешить в рамках методов, применяемых в агрономии.

Некоторые из этих трудностей связаны с множеством побочных

эффектов

и возможными отдаленными последствиями, проявляю-

щимися

при назначении того или иного препарата;

другие

свя-

заны

с моральными и этическими проблемами, возникающими

при

проведении экспериментов на человеке, и необходимостью

найти

и применить возможно быстрее наилучший метод лечения

каждом конкретном

случае

(см. разд. 2.3).

В последние годы много говорят о применении теории

инфор-

мации.

Ни один инженер, физиолог или психолог не сомневается

исключительной важности этого предмета. При решении вопро-

сов,

связанных с передачей информации в обычном смысле слова

значительное преимущество проведения точного анализа с помо-

щью моделей, в которых используется математическое понятие

количества информации, очевидно. Споры

ведутся

о том, в какой

степени понятия теории информации можно применять в совер-

шенно

иных областях исследования. Остановимся, например, на

некоторых вопросах, изложенных в

трудах

симпозиума по приме-

нению

теории информации в биологии [66]. Так, при изучении

кодирующей роли ДНК в синтезе белка может быть принят

крип-

тографический подход. Такие задачи связаны главным образом

с хранением и передачей информации (надлежащим образом

определенной и измеренной). Оказалось, что нередко при пере-

ходе

с одного уровня организации на

другой

объем информации

меняется

на целый порядок. К объяснению этого явления можно

подойти с самых разных позиций. Можно спросить себя, означает

ли

это, что в таких условиях передача информации неизбежно

происходит при наличии шума и потому точная передача обеспе-

чивается лишь при большой избыточности; или что структуры,

ГЛАВА

кот'орые определяют конфигурации, необходимые для основных

биологических функций, поставляют, так сказать, в качестве

побочного продукта и ряд

других,

«бессмысленных» конфигураций;

или,

наконец, что дополнительная информация каким-то обра-

зом связана с обработкой основного сообщения, а не с самим

сообщением и т. д. Конечно, ни один из этих подходов не заме-

няет

точного биологического исследования на молекулярном

уровне. Однако применение теории информации позволяет комби-

нировать большое число количественных результатов и исполь-

зовать их для теоретических исследований, которые

будут

уже не

носить

преимущественно словесный характер, а основываться

на

некоторой системе законов и принципов.

точки зрения потери информации можно также изучать

такие проблемы, как заболевания дегенеративного характера,

лучевое

повреждение, старение и смерть. Как известно, организмы

могут

жить и размножаться, несмотря на некоторые дефекты в той

генетической информации, которую они в себе несут. В резуль-

тате

увеличения числа таких ошибок под влиянием облучения

организмы,

которые ранее были близки к летальному пределу,

но

все же обладали некоторой жизнеспособностью,

могут

вообще

оказаться нежизнеспособными. Это положение можно сформули-

ровать в понятиях теории информации, предположив, что под

влиянием

облучения повышается частота мутаций, или, что рав-

нозначно,

уровень шума в канале связи. Вследствие этого про-

пускная

способность канала уменьшается в такой степени, что

у некоторых организмов передача достаточно точных сообщений

оказывается невозможной.

Информационный

подход

в сочетании с принципом отрицатель-

ной

обратной связи позволил разработать большое число интерес-

ных моделей биологических систем управления. Такие модели

особенно

полезны в приложении к физиологии, где они позволяют

выяснить

многие вопросы, касающиеся механизма гомеостаза.

На

этом фундаменте построена новая наука — кибернетика,

охва-

тывающая любые процессы управления в самых разнообразных

системах — технических, биологических и социальных [2, 64].

Вряд ли можно

утверждать,

что те приложения теории

инфор-

мации,

о которых говорилось выше, позволили получить много

таких результатов в биологии и медицине, которые не были бы

уже получены другими способами. И все же понятие информации,

без сомнения, ценно тем, что оно служит полезным количествен-

ным

инструментом для теоретических построений и описаний,

а также унифицирует идеи и задачи, возникающие в самых различ-

ных областях

знания.

Как минимум это должно стимулировать

научные исследования, а в идеале может привести к новым результа-

там, получение которых маловероятно при

других

формах анализа.