Барилович В.А., Смирнов Ю.А. Основы технической термодинамики и теории тепло - и массообмена
Подождите немного. Документ загружается.
182
противоположные
направления
).
По
теореме
Остроградского
-
Гаусса
,
поток
вектора
через
поверхность
,
ограничивающую
объем
V
,
равен
дивергенции
этого
вектора
,
взятой
по
объему
,
т
.
е
.
∫ ∫
=
F V
n
dVqdFq
r
div .
Тогда
∫
=
+
∂
∂
V
dVq
i
0div
r
τ
ρ
.
Так
как
dV
≠
0,
то
получаем
(15.7).
В
изучаемых
телах
возможно
как
выделение
,
так
и
поглощение
теплоты
.
В
этом
случае
уравнение
теплопроводности
примет
вид
v
qq
i
+−=
∂
∂
r
div
τ
ρ
,
(15.8)
где
q
v
-
объемная
плотность
тепловыделения
,
Вт
/
м
3
.
Будем
считать
,
что
с
р
=const
и
λ
=const,
то
-
гда
ρρ
λ
τ
p
v
p
c
q
z
T
y
T
x
T
c
T
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
.
Введем
коэффициент
температуропроводности
ρ
λ
p
c
a =
,
м
2
/
с
,
который
характеризует
скорость
распространения
температурной
волны
(
λ
харак
-
теризует
,
насколько
хорошо
тело
проводит
тепло
-
ту
; с
р
ρ
-
показывает
,
насколько
хорошо
тело
аккумулирует
теплоту
).
ρτ
p
v
c
q
Ta
T
+∇=
∂
∂
2
, (15.9)
где
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
-
оператор
Лапласа
.
Уравнение
(15.9)
позволяет
найти
значение
температуры
в
заданный
момент
вре
-
мени
в
данной
точке
исследуемого
тела
.
В
цилиндрической
системе
координат
оператор
Лапласа
от
температуры
имеет
вид
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
1111
z
TT
rr
T
r
rrz
TT
rr
T
rr
T
T
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ϕϕ
.
Частные
случаи
:
а
)
при
0,0
==
∂
∂
v
q
T
τ
,
получаем
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
T
y
T
x
T
-
уравнение
Лапласа
.
б
)
при
0,0
≠=
∂
∂
v
q
T
τ
(
внутренние
источники
теплоты
присутствуют
):
0
2
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ
v
q
z
T
y
T
x
T
-
уравнение
Пуассона
II
порядка
.
В
общем
случае
любое
дифференциальное
уравнение
для
неизвестной
функции
ϕ
двух
независимых
переменных
может
быть
записано
в
виде
:
( )
yxfc
y
b
x
a
y
C
yx
B
x
A ,2
2
22
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
ϕ
ϕϕϕϕϕ
,
где A, B, C, a, b, c
–
константы
;
f
-
заданные
функции
.
Характер
решения
этого
уравнения
в
рассматриваемой
области
определяется
зна
-
ком
дискриминанта
δ
=AC
-
B
2
.
Если
δ
<0 –
уравнение
гиперболического
типа
,
Рис
.15.4
183
при
δ
=0 –
уравнение
параболического
типа
,
при
δ
>0 –
уравнение
эллиптического
типа
,
если
δ
=var ,
то
имеем
уравнение
смешанного
типа
.
Краевые
условия
(
условия
однозначности
)
Для
того
,
чтобы
решить
конкретную
задачу
,
необходимо
к
исходному
уравне
-
нию
присоединить
краевые
условия
.
В
эти
условия
входят
геометрические
усло
-
вия
(
характеризуют
форму
и
размеры
тела
),
физические
условия
(
характеризуют
свойства
тела
,
задают
распределение
внутренних
источников
теплоты
q
v
),
началь
-
ные
условия
(
при
τ
=0
задается
распределение
температуры
в
теле T=f(x,y,z)
),
а
также
граничные
условия
(
могут
быть
I,II,III,IV
рода
).
Граничные
условия
I
рода
:
на
поверхности
изучаемого
тела
задана
температура
,
в
любой
момент
времени
T
c
=f (
τ
,x,y,z).
Граничные
условия
II
рода
:
задана
плотность
теплового
потока
на
поверхности
тела
(
)
zyxfq
c
,,,
τ
=
.
Граничные
условия
III
рода
-
задаются
условия
теплообмена
тела
с
внешней
срдой
( )
ж
0
TT
n
T
c
n
−=
∂
∂
−
=
αλ
,
откуда
можно
получить
αλ
ж
0
TT
n
T
c
n
−
−=
∂
∂
=
. (15.10)
Из
рис
.15.5
видно
,
что
чем
выше
коэффициент
теплоотдачи
,
тем
Т
с
ближе
к
Т
ж
.
Граничные
условия
IV
рода
задаются
на
границе
между
двумя
твердыми
телами
при
от
-
сутствии
зазора
.
Так
как
плотности
потока
на
границе
тел
одинаковы
,
то
:
0
2
2
0
1
1
==
∂
∂
=
∂
∂
nn
n
T
n
T
λλ
2211
ϕ
λ
ϕ
λ
tgtg
=
; (*)
const
tg
tg
==
1
2
2
1
ϕ
ϕ
λ
λ
. (15.11)
При
идеальном
тепловом
контакте
оба
тела
на
границе
раздела
имеют
одинако
-
вую
температуру
,
т
.
е
.
изотермы
непрерывно
переходят
из
одного
тела
в
другое
,
однако
испытывают
излом
,
определяемый
уравнением
(*).
16. Теплопроводность при стационарном режиме
Передача
теплоты
через
плоскую
стенку
при
граничных
условиях
I
рода
Рассмотрим
уравнение
теплопроводности
ρ
2
p
v
c
q
Ta
T
+∇=
∂
∂
τ
для
стацио
-
нарного
случая
0
=
∂
∂
τ
T
при
отсутствии
внутреннего
тепловыделения
0
=
v
q
:
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
T
y
T
x
T
.
Рис
.15.5
184
Если
толщина
стенки
много
меньше
размеров
самой
пластины
,
то
можем
на
-
писать
:
0
=
∂
∂
=
∂
∂
z
T
y
T
,
откуда
0
2
2
=
dx
Td
или
0
=
dx
dT
dx
d
.
Интегрируя
дважды
,
получим
1
C
dx
dT
=
,
21
CxCT +=
. (16.1)
Из
граничных
условий
найдем
константы
интегрирования
:
при
x=0 T
c1
=C
2
,
при
x=
δ
T
c 2
=C
1
δ
+T
c1
,
δ
21
1
cc
TT
C
−
−=
,
тогда
x
TT
TT
cc
c
−
−=
δ
21
1
. (16.2)
Формула
(16.2)
позволяет
найти
значение
температуры
Т
на
любой
координате
х.
Плотность
теплового
потока
через
пластину
найдем
,
используя
закон
Фурье
:
(
)
21
1 cc
TTC
dx
dT
q −=−=−=
δ
λ
λλ
. (16.3)
Зная
плотность
теплового
потока
,
можем
определить
тепловой
поток
qFQ =
&
(
Вт
)
и
количество
теплоты
,
прошедшее
за
время
τ
:
τ
qFQ
=
(
Дж
),
где
F
–
площадь
поверхности
пластины
.
Передача
теплоты
через
плоскую
стенку
при
коэффициенте
теплопроводности
,
зависящем
от
температуры
Пусть
λ
меняется
по
линейному
закону
:
bta
+
=
λ
.
Разделив
переменные
в
уравнении
dx
dt
q
λ
−=
,
получим
:
dtqdx
λ
−
=
,
или
(
)
.dtbtaqdx +−=
Интегрирование
левой
части
от
0
до
х
и
правой
от
t
c1
до
t дает
:
( )
(
)
22
11
2
tt
b
ttaqx
cc
−+−=
. (16.4)
При
х=
δ
имеем
:
( )
(
)
,
2
2
2
2
121 cccc
tt
b
ttaq −+−=
δ
( ) ( )
.
2
1
2121
cccc
tttt
b
aq −
++=
δ
Если
ввести
понятие
среднего
по
толщине
коэффициента
теплопроводности
(
)
21
2
cc
tt
b
a ++=
λ
,
то
формула
для
плотности
теплового
потока
приобретает
вид
,
как
при
λ
=const:
( )
.
21
cc
ttq −=
δ
λ
(16.5)
В
общем
случае
,
когда
λ
=
λ
(
t
)
≠
a+bt
,
говорят
о
средне
-
интегральном
значе
-
нии
коэффициента
теплопроводности
( )
dtt
tt
c
c
t
t
cc
∫
−
=
1
2
21
1
λλ
. (16.6)
185
Передача
теплоты
через
многослойную
плоскую
стенку
при
граничных
условиях
I
рода
Рассмотрим
стационарную
задачу
для
плоской
стенки
,
состоящей
из
не
-
скольких
слоев
разной
толщины
с
разными
коэффициентами
теплопроводности
(
рис
.16.1).
Для
первого
слоя
плотность
теплового
потока
равна
:
( )
21
1
1
cc
ttq −=
δ
λ
.
Для
остальных
слоев
можно
написать
аналогичные
выражения
.
Разрешая
их
отно
-
сительно
разностей
температур
и
складывая
с
учетом
того
,
что
при
стационар
-
ном
режиме
плотность
теплового
потока
через
все
слои
одна
и
та
же
,
получим
( )
)7.16(,
= ,
...
-
=
n
1=i
i
i
1+ncc1
n
n
2
2
1
1
1)c(nc1
∑
−
+++
+
λ
δ
λ
δ
λ
δ
λ
δ
tt
q
tt
q
где
в
знаменателе
-
суммарное
внутреннее
термическое
сопротивление
много
-
слойной
стенки
.
Если
ввести
эквивалентный
коэффициент
теплопроводности
как
коэффициент
теплопроводности
однородной
стенки
с
толщиной
и
термическим
сопротивлением
такими
же
,
как
у
многослойной
стенки
:
∑
∑
=
=
=
n
i
n
i
1
i
i
экв
1
i
λ
δ
λ
δ
,
∑
∑
=
i
i
i
экв
λ
δ
δ
λ
, (16.8)
то
выражение
для
плотности
теплово
-
го
потока
примет
такой
же
вид
,
как
для
однородной
стенки
( )
1)c(nc1
i
экв
+
−=
∑
ttq
δ
λ
.
Передача
теплоты
через
плоскую
стенку
при
граничных
условиях
III
ро
-
да
Передача
теплоты
от
одной
жидкости
к
другой
через
твердую
стенку
назы
-
вается
теплопередачей
.
Так
как
задача
стационарна
и
одно
-
мерна
,
а
внутреннее
тепловыделение
отсутствует
,
то
0, ====
v
q0
z
T
y
T
T
∂
∂
∂
∂
τ∂
∂
.
Плотность
теплового
потока
,
пере
-
даваемого
от
горячей
жидкости
к
стенке
(
)
111
сж
-tt q=
α
,
проходящего
через
стенку
-
(
)
-
c2c1
tt q=
δλ
,
передаваемого
от
стенки
к
холодной
жидкости
(
)
ж2c22
- =
ttq
α
.
Выразим
из
каждого
уравнения
соответствующий
перепад
температур
и
сложим
полученные
выражения
,
учитывая
,
что
все
рассмотренные
плотности
теплового
потока
равны
ж
2
ж
1
21
-
1
+
1
ttq
=
+
αλ
δ
α
,
откуда
Рис
. 16.1
186
++
21
ж2ж1
1
1
-
=
αλ
δ
α
tt
q
. (16.9)
Здесь
t
21
1
1
R
=++
αλ
δ
α
-
полное
термическое
сопротивление
теплопере
-
дачи
;
21
1
,
1
αα
-
внешние
терми
-
ческие
сопротивления
;
λ
δ
-
внутрен
-
нее
термическое
сопротивление
.
Вводя
коэффициент
теплопередачи
t
1
=
R
k
,
(16.10)
получим
(
)
ж2ж1
- TTq=k
.
(16.11)
В
качестве
примера
рассмотрим
пере
-
дачу
теплоты
при
граничных
условиях
III-
го
рода
через
трехслойную
стенку
(
рис
.16.3):
++
∑
=
2
3
1
i
1
ж2ж1
1
1
-
=
αλ
δ
α
i
i
tt
q
, (16.12)
температуру
на
границе
слоев
2
и
3
найдем
из
уравнения
−=
2
2
1
1
1
ж1c3
+
+
1
λ
δ
λ
δ
α
qtt
, (16.13)
или
+=
+
1
3
3
2
2ж c3
λ
δ
α
qtt
. (16.14)
Передача теплоты через бесконечную цилиндрическую стенку
при граничных условиях I-го рода
Рассмотрим стационарный случай : 0
T
=
τ∂
∂
. Уравнение теплопроводно-
сти в цилиндрических координатах имеет вид:
++
=
2
2
2
2
2
z
T
T
r r
T
r
r
r
a
T
∂
∂
ϕ∂
∂
∂
∂
∂
∂
τ∂
∂
11
.
Так как стенка бесконечна, то
0
z
T
=
∂
∂
. Кроме того, при постоянных зна-
чениях температуры на поверхностях стенки
0
T
=
ϕ∂
∂
, откуда получаем:
Рис. 16.2
187
0
d r
d T
r
d r
d
r
=
⋅
1
. (16.15)
Интегрируя это дифференциальное уравне-
ние, получим
r
C
dr
dT
C
d r
dT
r
1
1
, ==
, (16.16)
211
C+ln C=C=
rt
r
dr
dt
⇒
. (16.17)
Из граничных условий находим константы
интегрирования.
1
При r=r :
(a) ,C+ ln C
211c1
rt
=
2
при r=r :
.C+ ln C
221c2
rt
=
(b)
Вычитая (b) из (a), получим
−=
1
2
1c2c1
ln C-
r
r
tt ,
откуда
−=
1
2
c2c1
1
ln
-
C
r
r
tt
. (d)
Подставим ( d ) в ( a )
1
1
2
c2c1
1221
1
2
c2c1
1
c
ln
ln
-
С
С
ln
ln
-
r
r
r
tt
t r
r
r
tt
t
c
+=⇒+⋅
−=
. (e)
После определения констант интегрирования (16.17) примет вид
1
1
2
c2c1
1
c
ln
ln
-
r
r
r
r
tt
t=t ⋅
−
. (16.18)
Используя закон Фурье, найдем плотность теплового потока:
(
)
=−=−
1
2
c211
ln
-
r
r
r
tt
r
C
dr
dt
q=
c
λ
λλ
, Вт/м
2
. (16.19)
Из (16.19) видно, что плотность теплового потока зависит от радиуса.
Передача теплоты через бесконечную цилиндрическую стенку
при граничных условиях III-го рода
Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, можно запи-
сать разными способами:
Рис. 16.3
Рис.16.4
188
(
)
111
ж
1
απ
c
ttlDQ −=
&
,
(
)
lD
D
DD
tt
lDqQ
cc
1
1
21
21
1
ln
2
π
λ
π
−
==
&
,
(
)
22
ж
22
απ
ttlDQ
c
−=
&
.
Выразим перепады температуры из каждого
уравнения и сложим их:
(
)
lDQtt
c 1111
ж
πα
&
=− ; (а)
( )
l
D
D
Q
tt
cc
λπ
2
ln
1
2
21
&
=−
; (b)
(
)
lDQtt
с 22
ж
22
πα
&
=− . (с)
Суммирование (а),(b) и (c) дает:
++=−
lDD
D
llD
Qtt
221
2
11
2
ж
1
ж
1
ln
2
11
παπλπα
&
,
откуда находим тепловой поток
(
)
++
−
=
lDD
D
llD
tt
Q
221
2
11
ж
21
ж
1
ln
2
11
παπλπα
&
, Вт. (16.20)
Введем плотность теплового потока на единицу длины (линейную плот-
ность):
(
)
++
−
==
221
2
11
2ж1ж
1
ln
2
11
DD
D
D
tt
l
Q
q
l
αλα
π
&
,
Вт
/
м
. (16.21)
Выражение
в
знаменателе
(16.21)
есть
полное
термическое
сопротивление
единицы
длины
цилиндрической
стенки
221
2
11
1
ln
2
11
DD
D
D
R
tl
αλα
++= ,
обратная
величина
221
2
11
1
ln
2
11
11
DD
D
D
R
k
tl
l
αλα
++
== (16.22)
-
линейный
коэффициент
теплопередачи
с
размерностью
Вт
/(
м
⋅
К
).
С
учетом
этого
можно
записать
:
(
)
2ж1ж
ttkq
ll
−=
π
. (16.23)
Относя
тепловой
поток
через
стенку
к
площади
внутренней
или
наружной
поверхности
,
получим
соответствующие
плотности
теплового
потока
в
Вт
/
м
2
:
( ) ( )
2ж1ж2
2
22жж11
1
1
, ttk
lD
Q
qttk
lD
Q
q −==−==
ππ
&&
,
где
2
2
1
1
,
D
k
k
D
k
k
ll
== .
С
учетом
(16.22)
получаем
:
21
22
1
2
1
2
22
1
1
21
1
1
1
ln
2
1
1
,
ln
2
1
1
αλααλα
++
=
++
=
D
DD
D
D
k
D
D
D
DD
k .
В
случае
тонких
стенок
,
когда
1
1
2
→
D
D
,
имеем
Рис
.16.5
189
1
2
1
2
1
2
1
2
2
...1
2
1
1ln
DD
D
D
D
D
D
δ
≈+
−−
−≈ .
На практике при
D
2
/
D
1
≤1,8 можно вести расчеты цилиндрической стенки по
формулам для плоской стенки. Действительно,
k
D
D
D
D
k
=
++
≈
++
=
21
2
1
21
1
1
1
11
1
12
2
1
1
αλ
δ
α
α
δ
λα
.
Если для расчета теплового потока использовать формулу
(
)
lttkDQ
x 2ж1ж
−=
π
&
, в
которой определяющий диаметр
D
x
равен диаметру стенки со стороны меньшего
коэффициента теплоотдачи, т.е.
при
α
2
<<
α
1
D
x
=
D
2
,
при
α
1
<<
α
2
D
x
=
D
1
,
при
α
1
≈
α
2
D
x
=
(
D
1
+
D
2
)/2 ,
то ошибка при определении
Q
&
, вызванная применением формулы для плоской
стенки, не превысит 4%.
Передача теплоты через многослойную цилиндрическую стенку при граничных
условиях III-го рода
Аналогично случаю однородной стенки, запишем тепловые потоки со сто-
роны каждой из жидкостей и через каждый из слоев стенки:
(
)
- =
с1ж111
ttlDQ
πα
&
,
(
)
ln
-
2
=
1
1
2
c2c1
1
1
lD
D
D
tt
D
Q
π
λ
⋅
&
,
(
)
ln
-
2
=
2
2
3
c3c2
2
2
lD
D
D
tt
D
Q
π
λ
⋅
&
,
(
)
ln
- 2
=
3
3
4
c4c3
3
3
lD
D
D
tt
D
Q
π
λ
⋅
&
,....
(
)
ж21)c(n1n2
- =
ttlDQ
++
πα
&
.
Умножим обе части первого из этих уравнений на
lD
11
1
πα
, второго - на
l
DD
2
ln
1
12
πλ
, третьего - на
l
DD
2
ln
2
23
πλ
, четвертого - на
l
DD
2
ln
3
34
πλ
и последнего - на
lD
1n2
1
+
πα
.
После суммирования получим
.-
1
ln
2
1
1
ж2ж1
n
1=i
1n2i
1+i
i11
tt
lDD
D
lD
Q =
++
∑
+
παπλπα
&
Плотность теплового потока на единицу длины
(
)
∑
++
==
1+n2i
1+i
i11
ж2ж1
1
ln
2
1
1
-
DD
D
D
tt
l
Q
q
l
αλα
π
&
.(16.24)
∑
++=
1+n2i
1+i
i11
tl
1
ln
2
1
1
DD
D
D
R
αλα
- полное термическое сопротивление мно-
гослойной стенки.
190
Критический диаметр изоляции.
Запишем выражение для термического со-
противления цилиндрической стенки, покрытой
слоем изоляции:
4321
из22
из
из1
2
111
tl
1
ln
2
1
ln
2
11
RRRR
DD
D
D
D
D
R
+++=
=+++=
αλλα
.
Рассмотрим, как меняются слагаемые этого выра-
жения при изменении диаметра
D
из
. Будем счи-
тать, что
R
1
=const и
R
2
=const, а
R
3,4
=
f
(
D
из
). Найдем
экстремум функции
R
t
l
(
D
из
).
0
11
2
1
2
кр2 кризиз
=−=
DDdD
dR
tl
αλ
, откуда получим
2
из
кр
2
α
λ
=
D
.
Таким образом, существует диаметр, при котором
tl
R
достигает минимума, а птеря теплоты
q
- максимума. Если труба имеет на-
ружный диаметр
кр2
<
DD
, то изолировать трубу не нужно, так как в этом случае
при наложении изоляции плотность теплового потока будет не уменьшаться, а
возрастать. Тепловая изоляция будет эффективна только при
кр2
DD
> . В элек-
трических машинах практически всегда
кр2
<
DD
и покрытие проводов изоля-
цией приводит к росту теплоотдачи и улучшению теплового состояния дви-
гателя.
Рис. 16.7
Теплопроводность в пластине при наличии
внутренних источников теплоты
Упростим уравнение теплопроводности
ρτ
C
q
Ta
T
v
+∇=
∂
∂
2
для одномерной ста-
ционарной задачи: 0=
∂
∂
τ
T
. Так как пластина бесконечна по осям
y
и
z
, то:
Рис. 16.6
191
0=
∂
∂
=
∂
∂
z
T
y
T
,
тогда
,0
2
2
=+
ρ
C
q
dx
Td
a
v
ρ
λ
C
a
= . Введем новую переменную
ж
)()(
TxTx −=
ϑ
:
λ
ϑ
v
q
dx
d
−=
2
2
. Будем считать, что constиconst
ж
==
v
qT
Разделим переменные:
dx
q
dx
d
d
v
λ
ϑ
−=
и проинтегрируем два раза
1
Cx
q
dx
d
v
+−=
λ
ϑ
(а)
21
2
2
CxCx
q
v
++
−=
λ
ϑ
(b)
Найдем константы интегрирования С
1
и С
2
из
граничных условий.
При x=0 ,
0
0
=
=
x
dx
d
ϑ
, следовательно, С
1
=0.
При x=
δ
имеем граничные условия третьего ро-
да
δ
δ
αϑ
ϑ
λ
=
=
=
−
x
x
dx
d
. Подставим сюда значе-
ние производной из (а)
λ
δ
ϑ
δ
v
x
q
dx
d
−=
=
и зна-
чение
ϑ
из (b) при
х=
δ
:
λ
δ
α
δ
λ
δ
αδ
22
2
22
2
vvv
v
qq
CC
q
q +=⇒
+−= . (c)
Подставим (с) в (b) :
α
δ
λ
δ
λ
ϑ
vvv
qqxq
++−=
2
2
22
,
или
α
δ
δλ
δ
ϑ
vv
q
x
q
+
−=
2
2
1
2
. (16.25)
Проанализируем это выражение.
Пусть
x=
δ
,
тогда
α
δ
ϑ
δ
vx
q
=
=
, (d)
или
α
δ
v
c
q
tt
=−
ж
, откуда
α
δ
v
c
q
tt
+=
ж
. Если
∞
→
α
, то
ж
tt
c
→ .
Вернемся к выражению (d) и найдем плотность теплового потока на поверхности
пластины
δαϑ
δδ
vxx
qq
==
==
, Вт/м
2
.
Определим, как изменяется плотность теплового потока в зависимости от коор-
динаты:
xq
dx
d
q
v
=−=
ϑ
λ
. (16.26)
Для определения разности температур
t
0
-
t
x=
δ
между серединой и поверхностью
пластины можно воспользоваться уравнением (16.25), если положить
Рис.16.8