Барилович В.А., Смирнов Ю.А. Основы технической термодинамики и теории тепло - и массообмена
Подождите немного. Документ загружается.
171
−=
TR
E
KK
a
0
0
exp
, (13.41)
где
К
–
константа
скорости
,
К
0
–
эмпирическая
константа
,
характеризующая
полное
число
столкновений
молекул
реагентов
,
−
TR
E
a
0
exp
-
множитель
,
отражающий
долю
столкнове
-
ний
,
возникающих
между
активными
молекулами
.
Уравнение
Аррениуса
применимо
для
реакций
в
газах
и
растворах
.
Из
уравнения
видно
,
что
чем
меньше
энергия
активации
,
тем
больше
константа
скорости
и
тем
быстрее
протекает
реакция
.
В
координатах
К
-
Т
уравне
-
ние
(13.41)
имеет
вид
,
показанный
на
рис
.13.4.
Взяв
вторую
производную
от
(13.41)
по
температуре
и
приравняв
ее
нулю
02exp
0
3
00
0
2
2
=
−⋅
−=
TR
E
TR
E
TR
E
K
dT
Kd
aaa
,
определим
точку
перегиба
кривой
Аррениуса
0
пер
2
R
E
T
a
=
,
выше
которой
начинает
замедляться
скорость
химической
реакции
.
Так
как
Т
пер
≈
10
4
К
,
то
в
обычных
условиях
реакция
протекает
при
температуре
Т
<
Т
пер
.
Отметим
,
что
иногда
закон
Аррениуса
записывают
через
скорость
химической
реакции
в
виде
=
TR
E
WW
a
0
0
exp
,
где
W
0
–
воображаемая
скорость
,
которую
имела
бы
реакция
,
если
бы
все
сталкивающиеся
молекулы
мгновенно
реагировали
.
Логарифмируя
(13.41),
получим
TR
E
KK
a
0
0
lnln
−=
. (13.42)
Зависимость
(13.42)
представлена
в
графическом
виде
на
рисунке
13.5,
где
0
tg
R
E
a
−=
α
.
Зная
константы
скорости
данной
реакции
при
разных
температурах
,
можно
определить
энергию
активации
,
используя
формулу
(13.42):
−=−
120
11
lnln
21
TTR
E
KK
a
TT
,
−
=
21
21
0
2
1
ln
TT
TT
R
E
K
K
a
T
T
,
откуда
2
1
ln
21
21
0
T
T
a
K
K
TT
TT
RE
−
=
,
Дж
/
кмоль
. (13.43)
К
Т1
и
К
Т2
–
соответственно
константы
скорости
данной
реакции
при
температурах
Т
1
и
Т
2
.
Дифференцируя
(13.42),
получим
уравнение
Аррениуса
в
дифференциальной
форме
2
0
ln
TR
E
dT
Kd
a
=
. (13.44)
Сравнивая
(13.44)
с
(13.39),
приходим
к
выводу
,
что
уравнения
имеют
одинаковый
вид
.
Если
записать
уравнение
(13.39)
через
константы
скорости
обратной
и
прямой
реакций
2
0
1212
lnln
TR
UU
T
K
T
K
VV
−
=
∂
∂
−
∂
∂
,
а
(13.44)
представить
в
виде
К
0
Т
Т
пер
К
Рис. 53.4
172
,
lnln
2
0
1212
TR
EE
T
K
T
K
aa
VV
−
=
∂
∂
−
∂
∂
то
тепловой
эффект
реакции
можно
выразить
че
-
рез
разность
энергий
активации
прямой
и
обрат
-
ной
реакций
1212
aaV
EEUUQ −=−=
. (13.45)
Тепловой
закон
Нернста
Нернстом
было
экспериментально
уста
-
новлено
,
что
теплоемкости
кристаллических
ве
-
ществ
при
температурах
близких
к
нулю
равны
нулю
,
т
.
е
.
0
0
=
→T
p
c
.
Тогда
из
уравнения
Кирхго
-
фа
(13.14)
следует
,
что
0
0
=
∂
∂
→
Т
p
T
Q
.
На
осно
-
вании
этого
Нернстом
было
выдвинуто
предпо
-
ложение
,
что
при
Т
→
0
0
0
0
0
0
=
∂
∂
=
∂
∂
→→
Т
p
Т
p
T
L
T
Q
.
Кроме
того
,
из
уравнения
Гиббса
-
Гельмгольца
p
Tp
pTp
T
L
TQL
∂
∂
+=
,
,
получаем
,
что
максимальная
работа
реакции
при
Т
=
0
равна
тепловому
эффекту
,
т
.
е
.
L
0
=Q
0
.
Таким
образом
,
при
Т
=
0
кривые
Q=f(T)
и
L=
ϕ
(T)
не
только
выходят
из
одной
точ
-
ки
,
но
и
имеют
общую
касательную
,
параллельную
оси
температур
.
Покажем
,
что
это
так
.
Вблизи
абсолютного
нуля
температуры
энтропии
всех
веществ
,
находящихся
в
равновес
-
ном
состоянии
,
становятся
неизменными
и
равными
между
собой
,
т
.
е
.
S
10
=
S
20
=const,
где
S
10
и
S
20
–
энтропии
исходных
веществ
и
продуктов
реакции
при
Т
=0
К
.
Действительно
,
( )
,0
1020
0
21
0
21
0
0
=−=
∂
Φ∂
−
∂
Φ∂
=
∂
Φ−Φ∂
=
∂
∂
→→
→
SS
TTTT
L
T
pp
T
p
Т
p
что
и
требовалось
доказать
(
см
.
рис
.13.6).
Нернст
в
1906
г
.
сформулировал
тепловую
тео
-
рему
,
согласно
которой
при
температурах
близких
к
абсолютному
нулю
свойства
конден
-
сированных
(
твердых
)
систем
перестают
зависеть
от
температуры
.
В
дальнейшем
М
.
Планк
,
используя
уравнение
Больцмана
s=k
ln
W
,
показал
,
что
s
10
=
s
20
=0 (
так
как
термо
-
динамическая
вероятность
W
при
Т
=0
равна
единице
)
и
дал
более
общую
формулировку
закона
Нернста
:
энтропии
всех
тел
конечного
объема
и
однородного
состава
безгранично
уменьшаются
при
температуре
,
стремящейся
к
абсолютному
нулю
.
Это
означает
,
что
при
достижении
абсолютного
нуля
теплообмен
полностью
прекращается
,
следовательно
,
нельзя
путем
охлаждения
тела
(
отвода
теплоты
)
понизить
его
температуру
до
абсолютного
нуля
.
Зная
теплоту
реакции
Q
1
при
Т
1
,
можно
определить
Q
0
(
а
следовательно
,
и
L
0
)
из
уравнения
(13.18a)
(
)
3
1
2
110
TTQQ
γβ
+−=
при
0
=
α
,
так
как
.0lim
0
=
∂
∂
→
P
T
T
Q
Из
урав
-
нения
Гиббса
-
Гельмгольца
также
можно
получить
зависимость
работы
химической
реак
-
α
lnK
lnK
0
1/T
Рис
.13.5
173
Q=f(T)
L=
ϕ
(T)
Рис
.13.6
0
Т
Q , L
Q
o
, L
0
T
1
Q
1
ции
от
температуры
32
0,
2
1
TTQL
Tp
γβ
−−=
.
Планк
,
как
уже
отмечалось
,
предположил
,
что
0lim
0
=
→
S
T
,
т
.
е
.
при
абсолютном
нуле
температуры
энтропия
равна
нулю
.
Используя
эту
гипотезу
и
зная
зависимость
истинной
теплоемкости
от
температуры
)(Tfс
x
=
,
можно
определить
абсолютное
значение
энтропии
при
температуре
Т
.
Например
,
для
изобарного
процесса
∫∫∫
++++=
T
T
p
T
T
p
T
p
T
dT
c
T
r
T
dT
c
T
r
T
dT
cs
кип
кип
плавл
плавл
г
кип
кип
ж
плавл
плавл
0
тв
.
В
заключение
еще
раз
отметим
,
что
объединенный
закон
термодинамики
является
универсальным
законом
,
отражающим
наиболее
общие
процессы
в
природе
.
В
частности
,
из
него
можно
получить
,
например
,
выражение
для
химической
работы
,
которая
произво
-
дится
термодинамической
системой
при
превращении
одних
веществ
в
другие
в
изобарно
-
изотермических
и
изохорно
-
изотермических
процессах
.
Так
,
разрешая
(8.5)
относительно
элементарной
рабо
-
ты
химической
реакции
dL*
при
обратимом
процессе
,
получим
:
pdVdUTdSdL
−−=
*
. (
а
)
Интегрируя
(
а
)
при
Т
=
const,
V=
const
и
G=
const,
оп
-
ределим
максимальную
работу
изохорно
-
изотермической
реакции
(
)
(
)
(
)
(
)
2122111212
*
max,
FFTSUTSUUUSSTL
VT
−=−−−=−−−=
b)(
Если (а) проинтегрировать при Т=const, р= const
и G= const, то получим максимальную работу
изобарно-изотермической реакции
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
.
212211222
111121212
*
max,
Φ−Φ=+−+=+−−
−+−=−−−−−=
pVFpVFpVTSU
pVTSUVVpUUSSTL
pT
(
с
)
Выражение
(
с
)
можно
получить
также
и
из
объединенного
закона
термодинамики
,
запи
-
санного
в
виде
*
dLVdpdITdS
+−−=
. (d)
Действительно
,
интегрируя
(d)
при
Т
=
const
и
р
=
const,
снова
получим
(
с
):
(
)
(
)
(
)
(
)
.
2122111212
*
max,
Φ−Φ=−−−=−−−= TSITSIIISSTL
pT
14. Основные понятия неравновесной термодинамики.
Методы
равновесной
термодинамики
сводятся
к
описанию
свойств
термодинами
-
ческой
системы
в
состоянии
равновесия
,
когда
во
всех
точках
системы
ее
физические
свойства
одинаковы
.
Явления
необратимости
,
которые
имеют
место
в
реальных
адиабати
-
ческих
системах
при
протекании
процессов
,
проявляются
через
увеличение
энтропии
,
что
дает
возможность
,
согласно
теореме
Гюи
-
Стодолы
,
судить
о
потере
работоспособности
(
эксергии
)
термодинамической
системы
.
Развитие
процессов
во
времени
в
рамках
равно
-
весной
термодинамики
не
рассматривается
.
В
неравновесной
термодинамике
считают
,
что
термодинамическая
система
пред
-
ставляет
собой
совокупность
малых
,
но
все
еще
макрообластей
,
состояние
которых
зави
-
174
сит
от
координат
и
времени
,
и
к
которым
могут
быть
применены
законы
равновесной
термодинамики
∑
−+=
i
ii
dGpdVdUTdS
µ
,
но
между
ними
отсутствует
равновесие
(
теп
-
ловое
,
механическое
или
др
.).
Неравновесность
порождает
потоки
вещества
,
теплоты
,
эн
-
тропии
из
-
за
наличия
градиентов
концентрации
,
температуры
и
т
.
п
.
Неравновесная
термо
-
динамика
,
являясь
развитием
классической
термодинамики
,
позволяет
более
глубоко
изучить
явления
,
имеющие
место
в
макросистемах
,
выявить
новые
эффекты
,
обусловлен
-
ные
наложением
различных
одновременно
протекающих
процессов
.
Основателем
неравновесной
термодинамики
является
Онзагер
(1931),
который
вы
-
вел
основные
уравнения
для
линейных
процессов
и
получил
первые
соотношения
между
кинетическими
коэффициентами
.
По
Онзагеру
,
термодинамические
силы
–
это
воздейст
-
вия
,
вызывающие
необратимые
явления
–
перенос
теплоты
,
вещества
и
они
ничего
общего
не
имеют
с
Ньютоновскими
силами
.
Так
,
для
процесса
теплопроводности
термодинамиче
-
ская
сила
имеет
вид
T
T
grad
1
1
Т
−==
XX
, (14.1)
а
для
процесса
диффузии
−==
T
T
µ
grad
2D
XX
. (14.2)
Согласно
линейному
закону
Онзагера
,
поток
J
i
пропорционален
вызывающим
его
силам
Х
k
( )
∑
=
==
n
k
kiki
niL
1
,...2,1XJ
, (14.3)
где
L
ik
–
линейные
коэффициенты
.
В
качестве
этих
коэффициентов
могут
выступать
,
на
-
пример
,
коэффициенты
теплопроводности
или
диффузии
.
Коэффициенты
L
ik
при
i
≠
k
свя
-
заны
с
налагающимися
явлениями
,
т
.
е
.
при
одновременном
протекании
различных
про
-
цессов
они
накладываются
друг
на
друга
,
порождая
новый
эффект
.
Так
,
если
внутри
термодинамической
системы
градиенты
температуры
и
концентрации
не
равны
нулю
,
то
возникает
перенос
теплоты
и
вещества
,
порождающий
новое
явление
–
термодиффузию
.
Онзагер
установил
,
что
при
соответствующем
выборе
потоков
J
i
и
сил
Х
i
выпол
-
няются
соотношения
взаимности
и
матрица
кинетических
коэффициентов
является
сим
-
метричной
,
т
.
е
.
L
ik
=
L
ki
(
i,k
=1,2,…
n
). (14.4)
Согласно
(14.3)
потоки
теплоты
J
1
и
вещества
J
2
могут
быть
записаны
в
виде
+=
+=
.
1212222
2121111
XXJ
XXJ
LL
LL
(14.5)
Как
видим
,
на
первый
поток
накладывается
процесс
переноса
вещества
212
XL
,
на
второй
–
процесс
переноса
теплоты
121
XL
.
Если
в
системе
протекают
три
разных
связанных
друг
с
другом
процесса
,
то
можно
написать
++=
++=
++=
.
3332321313
3232221212
3132121111
XXXJ
XXXJ
XXXJ
LLL
LLL
LLL
(14.6)
Такая
система
может
,
например
,
описывать
перенос
теплоты
и
вещества
в
двухкомпо
-
нентной
среде
.
Здесь
диагональные
кинетические
коэффициенты
L
11
, L
22
, L
33
соответст
-
вуют
прямым
процессам
,
а
остальные
отражают
процессы
взаимного
влияния
.
175
Следуя
Онзагеру
,
получим
скорость
роста
энтропии
S
&
и
покажем
,
как
определяют
-
ся
потоки
и
термодинамические
силы
.
Введем
в
рассмотрение
величины
отклонений
тер
-
модинамических
параметров
текущего
состояния
адиабатической
изолированной
системы
а
1
,
а
2
…
а
n
от
равновесного
состояния
00
2
0
1
...,
n
aaa
:
)...2,1(
0
niaa
iii
=−=
α
.
В
равновесном
состоянии
α
i
=0,
а
S=S
max
.
В
неравновесном
состоянии
в
первом
приближе
-
нии
∑
−=−=∆
ki
kiki
LSSS
,
,0
2
1
αα
, (14.7)
где
L
ik
–
положительно
определенная
матрица
кинетических
коэффициентов
.
По
Онзагеру
,
поток
τ
α
d
d
i
i
=
J
-
это
производная
по
времени
от
параметра
α
i
,
а
производная
(
)
∑
=
−==
∂
∆∂
n
k
kiki
i
L
S
1
α
α
X
есть
термодинамическая
движущая
сила
.
Тогда
локальная
скорость
производства
энтропии
на
основании
(14.7)
будет
иметь
вид
∑∑
=−==
= i
ii
n
k
k
i
ik
d
d
L
d
dS
S XJ
1
α
τ
α
τ
&
. (14.8)
В
случае
переноса
теплоты
и
вещества
можно
написать
+=
+=
+=
.
2211
2221212
2121111
XJXJ
XXJ
XXJ
S
LL
LL
&
(14.9)
Для
анализа
необратимых
процессов
Онзагером
были
введены
две
неравновесные
потенциальные
диссипативные
функции
,
одна
из
которых
имеет
вид
:
( )
0
2
1
,
1,
,
≥=
∑
=
n
ki
kiki
L
XXXX
ϕ
. (14.10)
Взяв
производную
∑
=
==
∂
∂
n
k
kkii
i
L
1
,
XJ
X
ϕ
,
получим
линейный
закон
(
см
.
формулу
14.3).
Вторая
производная
от
(14.10)
дает
i
k
ikki
k
i
LL
X
J
X
J
∂
∂
===
∂
∂
,,
, (14.11)
то
есть
равенство
вторых
производных
от
диссипативной
функции
эквивалентно
соотно
-
шениям
взаимности
(14.4).
И
.
Пригожин
,
развивая
теорию
Онзагера
,
ввел
принцип
минимума
производства
энтропии
:
стационарное
состояние
системы
,
в
которой
происходит
необратимый
процесс
,
характеризуется
тем
,
что
скорость
возникновения
энтропии
имеет
минимальное
значение
при
данных
внешних
условиях
,
препятствующих
достижению
системой
равновесного
со
-
стояния
.
Установим
этот
принцип
,
следуя
[19],
на
примере
двухфазной
системы
.
При
задан
-
ной
разности
температур
(
Х
1
=const)
состояние
системы
,
состоящей
из
двух
фаз
будет
ста
-
ционарным
,
если
J
1
=const,
а
поток
вещества
отсутствует
,
т
.
е
.
J
2
= L
21
X
1
+ L
22
X
2
= 0.
176
Тогда
с
учетом
соотношения
Онзагера
L
12
= L
21
производство
энтропии
02
2
2222112
2
1112211
>++=+=
XXXXXJXJ LLLS
&
,
где
J
1
= L
11
X
1
+ L
12
X
2
, J
2
= L
21
X
1
+ L
22
X
2
.
Взяв
производную
1
2
X
X
∂
∂S
&
и
приравняв
ее
нулю
,
получим
( )
022
2222121
2
1
==+=
∂
∂
JXX
X
X
LL
S
&
.
Так
как
S
&
является
положительной
квадратичной
функцией
,
то
данный
экстремум
соот
-
ветствует
минимуму
,
что
и
требовалось
доказать
.
Далекие
от
равновесия
термодинамические
системы
рассматриваются
в
нелиней
-
ной
неравновесной
термодинамике
.
Пригожиным
И
.
и
Глансдорфом
П
.
теоретически
показана
возможность
самопро
-
извольного
появления
в
таких
системах
новых
устойчивых
в
пространстве
и
времени
структур
.
Согласно
критерию
эволюции
Пригожина
-
Глансдорфа
,
в
термодинамической
системе
,
параметры
которой
имеют
значительное
отклонение
от
равновесного
состояния
,
скорость
производства
энтропии
уменьшается
!
Отметим
,
что
в
настоящее
время
принци
-
пы
нелинейной
термодинамики
применяются
при
изучении
живых
организмов
,
представ
-
ляющих
собой
открытые
биологические
системы
,
в
которых
имеет
место
существенная
неравновесность
,
а
протекающие
процессы
носят
сугубо
необратимый
характер
.
Изло
-
женный
в
данном
разделе
материал
дает
представление
об
основах
неравновесной
термо
-
динамики
.
Для
более
глубокого
изучения
этой
темы
отсылаем
читателя
к
литературе
[17,18].
Примеры
применения
методов
термодинамики
необратимых
процессов
изложены
в
[20].
178
Часть II. Теория тепло - и массопереноса
15.Общие положения и понятия
Цель курса - ознакомить студентов с основными законами тепло- и массопе-
реноса в природе применительно к задачам энергомашиностроения и научить их
использовать эти законы и положения при расчете энергетических машин и сис-
тем.
Передача теплоты в природе. Массоперенос
Теплота может передаваться:
Путем теплопроводности. Для расчета плотности теплового потока при рас-
смотрении передачи теплоты в твердых телах применяется закон Фурье (1768 –
1830 г.г.)
Tq grad⋅−=
λ
r
Вт/м
2
, (15.1)
где
q
r
- плотность теплового потока,
λ
- коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К).
Закон справедлив и для газов при отсутствии конвекции, т.е. когда передача теп-
лоты осуществляется на молекулярном уровне.
Путем конвекции. В этом случае перенос теплоты всегда связан с движением
жидкости или газа. Различают свободную и вынужденную конвекцию. Движение
при свободной конвекции обусловлено наличием разности плотностей газа или
жидкости в поле массовых сил, а при вынужденной - действием внешних сил. В
том и другом случае плотность теплового потока определяется эмпирическим за-
коном Ньютона. Например, при передаче теплоты от стенки к окружающей среде,
можно написать
(
)
ж с
= ТТq −
α
, (15.2)
жс
Т Т > ,
α
- средний коэффициент теплоотдачи, Вт/(м
2
К).
Путем лучистой энергии. В основе передачи теплоты лежит закон Стефана -
Больцмана, согласно которому лучистая энергия, излучаемая абсолютно чер-
ным телом с единицы поверхности, определяется выражением
4
0
4
00
100
=
=
Т
сТЕ
σ
Вт/м
2
, (15.3)
где σ
0
- постоянная Больцмана,
с
0
- коэффициент излучения абсолютно черного
тела; 67,5
0
=с Вт/(м
2
К
4
).
Если тело серое, то коэффициент излучения серого тела
ε
0
–=– , где
0
Е
Е
=
ε
-
степень
черноты
,
отношение
лучистой
энергии
,
отдаваемой
серым
телом
к
энер
-
гии
,
которую
отдает
абсолютно
черное
тело
при
той
же
температуре
с
единицы
поверхности
.
При
передаче
теплоты
между
двумя
параллельными
пластинами
,
ко
-
гда
FFF ==
21
,
а
расстояние
между
ними
стремится
к
нулю
,
можно
написать
:
−
=
4
2
4
1
пр2-1
100100
ТТ
cq ,
где
021
пр
111
1
ссс
с
−+
= -
приведенный
коэффициент
излучения
;
011
cc
ε
= ;
022
cc
ε
= ;
2 1
ТТ >
.
179
В
основе
описания
массопереноса
,
который
осуществляется
на
молекуляр
-
ном
уровне
,
лежит
закон
Фика
,grad=
ii
CDj −
r
кг
/ (
м
2
с
), (15.4)
где
j
i
-
плотность
потока
массы
i-
ого
компонента
; D-
коэффициент
диффузии
,
м
2
/c;
i
C
-
концентрация
i-
ого
компонента
,
которая
может
быть
выражена
через
его
парциальное
давление
p
i
смсм
TR=GpV
iii
;
i
i
i
C
V
G
=
см
='
ρ
;
см
TRCp
iii
=
;
см
TR
p
C
i
i
i
=
.
Например, для системы воздух-вода:
p
p
T
T
D=D
0
n
0
0
, где
D
0
- коэффициент диффузии при нормальных условиях
p
0
=760 мм рт. ст.
5
10
750
760
⋅=
Па
; K273
0
=
T
;
6
0
1022
−
⋅=
D
м
2
/c;
..2.5.1.5=n .
Если кроме того, имеет место конвективный перенос, то
wCCD=jj=j
iiiii
r
r
r
r
+−+ grad
конв
,
где
w
r
- скорость потока.
Средняя плотность потока массы
i
-ой компоненты также может быть записана в
виде
(
)
∞
−=
iiwi
CCj
β
, где
iw
C
,
i
C
∞
- концентрации
i
-ой компоненты на по-
верхности тела и на бесконечности;
β
, м/с - средний коэффициент массоперено-
са , который, например, для пластины при ламинарном режиме течения определя-
ется из критериального уравнения
33.00.5
ScRe646.0Sh = ,
l
D
⋅
=
Sh
β
.
Температурное
поле
Совокупность
значений
температур
во
всех
точках
изучаемого
тела
образует
температурное
поле
.
Оно
может
быть
стационарным
t=f(x,y,z)
и
нестационарным
,
когда
температура
зависит
не
только
от
координат
,
но
и
от
времени
t=f(
τ
,x,y,z)
.
Совокупность
точек
тела
с
одинаковыми
температурами
образует
изотермиче
-
скую
поверхность
.
Если
эту
поверхность
рассечь
плоскостью
,
то
получим
изотер
-
му
(
естественно
,
что
изотермы
не
могут
пересекаться
друг
с
другом
).
Градиент
температуры
grad
T
-
это
вектор
,
имеющий
направление
быстрейшего
изменения
темпе
-
ратуры
и
направленный
в
сторону
возрастания
тем
-
пературы
.
Вектор
плотности
теплового
потока
→
q
противоположен
grad
T
по
направлению
и
пропор
-
ционален
ему
по
величине
n
T
nT
∂
∂
=
r
grad . (15.5)
Проектируя
градиент
температуры
на
оси
в
декарто
-
вой
системе
координат
,
получим
( )
x
T
xn
n
T
T
∂
∂
=
∂
∂
=
∧
cosgrad
x
Рис
. 15.1
180
( )
y
T
yn
n
T
T
y
∂
∂
=
∂
∂
=
∧
cosgrad
,
( )
z
T
zn
n
T
T
z
∂
∂
=
∂
∂
=
∧
cosgrad
.
Теперь
вместо
(15.5)
можно
написать
:
z
T
k
y
T
j
x
T
iT
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
grad
или
TT
∇
=
grad ,
где
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
r
r
-
дифференциальный
оператор
или
оператор
Га
-
мильтона
“
набла
“ (
символический
вектор
).
Модуль
градиента
температуры
равен
:
2
grad
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
T
y
T
x
T
T
2
2
.
Плотность
теплового
потока
,
закон
Фурье
Согласно
закону
Фурье
,
вектор
плотность
теплового
потока
T
n
T
nq grad
λλ
−=
∂
∂
−=
rr
. (15.6)
Вектор
плотности
теплового
потока
может
быть
выражен
через
его
проекции
zyx
qkqjqiq
r
r
r
r
++=
,
где
x
T
q
x
∂
∂
−=
λ
;
y
T
q
y
∂
∂
−=
λ
;
z
T
q
z
∂
∂
−=
λ
.
Поток
теплоты
через
элементарную
площадку
dF
не
зависит
от
ее
ориентации
в
пространстве
.
Действи
-
тельно
,
ll
n
n
dFq
dF
qqdFQd ===
ϕ
ϕ
cos
cos
&
,
где
dF
n
-
элементарная
площадка
,
лежащая
на
изотер
-
мической
поверхности
,
dF
l
-
элементарная
площадка
,
перпендикулярная
произвольному
направлению
l
,
со
-
ставляющему
угол
ϕ
с
нормалью
к
изотермической
по
-
верхности
.
Количество
теплоты
,
прошедшей
за
время
τ
через
изотермическую
поверхность
F
и
поверхность
F
l
,
рав
-
но
:
∫ ∫∫ ∫
∂
∂
−=
∂
∂
−=
ττ
τλτλ
ln
F
l
F
ddF
l
T
dFd
n
T
Q
,
Дж
.
Коэффициент
теплопроводности
Отражает
теплофизические
свойства
вещества
,
T
q
grad
=
λ
.
Численно
равен
ко
-
личеству
теплоты
,
проходящей
через
единицу
изотермической
поверхности
в
еди
-
ницу
времени
при
1grad =T
.
Типичные
значения
λ
для
некоторых
веществ
:
390
С
u
=
λ
Вт
/(
мК
); 50
Fe
≈
λ
Вт
/(
мК
); 3.0
Si
≈
λ
Вт
/(
мК
); 6.0
OH
2
≈
λ
Вт
/(
мК
).
Для
идеального
газа
: Clc
ρ
3
1
v
=
λ
,
где
с
-
плотность
; l-
длина
свободного
пробега
мо
-
Рис
.15.2
181
лекул
,
µ
TR
C
0
3
=
-
средняя
скорость
хаотического
движения
молекул
.
Так
как
при
изменении
давления
произведение
const
ρ
≈
l ,
то
коэффициент
теплопровод
-
ности
идеального
газа
практически
зависит
только
от
температуры
.
Для
твердых
материалов
эта
зависимость
может
быть
аппроксимирована
полиномом
n2
+nt+bt+cta K
+=
λ
,
причем
в
большинстве
случаев
bta
±
=
λ
.
Дифференциальное
уравнение
теплопроводности
Изучение
любого
физического
процесса
связано
с
установлением
зависимости
между
величинами
,
определяющими
это
явление
.
В
основе
описания
явления
теп
-
лопроводности
лежат
уравнения
математической
физики
.
В
этом
случае
в
изучае
-
мом
теле
выделяют
бесконечно
малый
объем
,
который
мал
с
точки
зрения
мате
-
матики
,
но
еще
велик
,
чтобы
в
нем
выполнялось
условие
сплошности
.
Выделим
в
теле
бесконечно
малый
объем
dv=dxdydz и
рассмотрим
тепловые
потоки
через
его
грани
:
dydzq
x
-
тепловой
поток
,
вошедший
в
объем
на
координате
х,
( )
dydzq
x+dx
-
теп
-
ловой
поток
,
вышедший
из
объема
на
ко
-
ординате
х
+dx
,
где
плотность
теплового
потока
может
быть
записана
в
виде
раз
-
ложения
функции
в
ряд
Тейлора
( )
n
n
x
n
2
2
xx
xxxx+dx
dx
xn
q
++dx
x
q
dx+
x
q
+=q+dq=qq
∂
∂
∂
∂
∂
∂
!2!!1
2
K .
Ограничимся
двумя
членами
ряда
разложения
,
тогда
:
( )
dx
x
q
+=qq
x
xx+dx
∂
∂
.
Будем
считать
,
что
количество
теплоты
( )
τ
dydzdq
dx+x
больше
τ
dydzdq
x
.
Это
долж
-
но
привести
к
уменьшению
энтальпии
в
выделенном
объеме
,
т
.
е
.
( )
( )
τ
∂
∂
ττ
τ
∂
ρ
dxdydzd
x
q
dydzdqqdvd
i
x
xx+dx
−=−=
∂
,
или
x
q
i
x
∂
∂
−=
∂
∂
τ
ρ
.
Выполнив
аналогичные
выкладки
для
других
осей
,
получим
:
+
+−=
z
q
y
q
x
q
i
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
τ∂
∂
ρ
или
q
i
r
div
−=
∂τ
∂
ρ
. (15.7)
Существует
и
другой
вывод
дифференциального
уравнения
теплопроводно
-
сти
.
Так
как
поток
теплоты
через
поверхность
тела
идет
на
увеличение
его
энталь
-
пии
,
то
можно
написать
:
∫ ∫
∂
∂
=−
F V
n
dV
i
dFq
τ
ρ
(
знак
минус
в
левой
части
уравнения
обусловлен
тем
,
что
единичный
вектор
n
r
и
плотность
теплового
потока
q
r
имеют
Рис
.15.3