Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение

80

()

,1;

6

;

6

;

;;

1

2

111

3

1

3

1

11

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

′′

=

′′

==

′′

=

′′

−

′

+

′′

′

=

Π

ρ

πρ

ρπ

ρρ

ρρα

ρρρ

ρ

wpp

G

nD

x

D

xG

nww

x

CM

&

(6.53)

где

−n

&

поток пузырьков, 1/с;

α

- объемная доля пара.

При такой постановке задачи остается открытым вопрос : как определить

текущее значение

ρ

′

. Здесь возможны два подхода - считать

)( pf=

′′

ρ

или

положить

ρ

′′

=

1

ρ

′′

. В том и другом случае это не отразится на результатах

расчета

p ,

ρ

и w , так как разность значений степени сухости пара мала: в этом

можно убедиться, если выполнить расчеты по программам “SCCA” и “SCC2”

(см. приложение №5).

Исследование теплообмена при кипении жидкостей [18] привело к

созданию ряда физических моделей, позволяющих, в частности, определить и

скорость роста пузырька. Рассмотрим в качестве примера модель Вора

(J.H.Vohr) [18], и применим ее

затем к процессу конденсации пузырька.

Теплота, подведенная от перегретой жидкости к поверхности пузырька за

время

d

τ

, равна

τλπ

d

dR

dT

RdQ

RR

Π

=

Π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ж

2

4 , (6.54)

но с другой стороны,

τ

ρπτ

τ

ρ

d

dR

Rrd

d

dV

rdQ

2

~

4

~

ΠΠ

′′

=

′′

=

. (6.55)

Будем считать, что в тепловом пограничном слое жидкости толщиной

δ

=R

∞

-R

Π

вокруг пузырька температура изменяется по квадратичному закону

()

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−=

Π∞

∞

∞∞

RR

TTTT

ЖЖЖ

, (6.56)

где

R

∞

- радиус, на котором Т =Т

Ж

∞

, тогда

Π∞

∞

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Π

RR

TT

dR

dT

жж

RR

2 . (6.57)

Подставим (6.57) в (6.54) и, приравняв (6.54) и (6.55), получим:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

′′

=

Π∞

∞

Π

RR

TT

rd

dR

жж

ж

ρ

λ

τ

~

2

. (6.58)

Если считать, что на границе пузырька (при

R=R

П

)

α

=∞, то Т=Т

П

=Т

S

. Вор

доказывает

[]

18 , что

(

)

(

)

()

S

KP

p

TT

RR

c

Rr

RR

−

′′

=−

∞

ΠΠΠΠ

Π∞

ж

3

жж

1

~

ρ

. (6.59)

81

С учетом (6.59) уравнение (6.58) примет вид

(

)

() ()

()

3

2

1

~

2

ΠΠΠΠ

∞

−

′′

−

=

RRRr

TTc

d

dR

KP

S

ρ

ρλ

τ

ЖЖРЖЖ

. (6.60)

Отношение

R

ПКР

/ R

П

оценивается величиной 10

-1

...10

-5

, поэтому можно

считать, что

(

)

()

2

Ж

2

ЖЖРЖЖ

2

~

2

Ja

R

a

Rr

TTc

d

dR

S

=

′′

−

≈

Π

∞

ρ

ρλ

τ

, (6.61)

где

−

′′

Δ

=

Π

ρ

r

Tc

Ja

~

ЖЖРЖ

критерий Якоба, характеризующий соотношение между

тепловым потоком, идущим на перегрев единицы объема жидкости и

объемной теплотой парообразования; −=

ЖРЖ

Ж

c

a

ρ

λ

коэффициент

температуропроводности.

Для нашего случая можно написать

()

(

)

wDrBTTTTc

dx

dD

SS ΠΠ

Π

′′

−−=

2

1

~

8

ρρλ

ЖЖЖРЖЖ

, (6.62)

где

В

1

- коэффициент, учитывающий реальность процесса; w - скорость потока.

В программе “SCC2PI ” (см. приложение №5 и рис.6.3) при расчете

скачка конденсации используются уравнения (6.62) и (6.63)

.D

dx

dF

p

dx

dI

W

πτ

−= (6.63)

Вместо (6.62) можно использовать

уравнение

w

j

dx

dD

Ж

Π

−ΠΠ

′′

Δ

−=

ρ

2

,

которое при

′

=

ρ

Π

const

получается из

τπρ

π

djD

D

ddG

Ж−ΠΠΠ

Π

Δ−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′′

=

2

3

6

.

6.4. Кавитационные явления при движении капельной жидкости в каналах

переменного сечения

При движении холодной капельной жидкости в каналах с переменным

поперечным сечением в случае понижения статического давления до давления

0 204060

0

40

80

120

Рис. 6.3

82

насыщения жидкости создаются условия для образования паровой фазы в виде

пузырьков (кавитация). Однако при наличии в жидкости невидимых глазом

пузырьков и твердых частиц кавитация может возникнуть и при давлениях,

превышающих давление насыщенного пара. Рост содержания газа в жидкости

приводит к аналогичному эффекту. Сказанное подтверждается и нашими

опытами. На рис 6.4 показано

распределение статического давления вдоль

трубки Вентури, работающей на холодной водопроводной воде с температурой

4С. В нашем случае кавитация возникла при 0.2 ата, что отвечает температуре

насыщения в 60С.

Расчет данного режима в одномерной постановке на основе уравнения

движения

DdxFdpdwG

w

πτ

−−=

&

и сплошности

0)( =fwd

ж

ρ

при const

ж

=

ρ

,

приведенных к виду

F

D

dx

dF

w

dx

dp

wж

1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

πτρ

,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−= D

dx

dp

F

wFdx

dw

ж

πτ

ρ

1

показал, что в минимальном сечении трубки Вентури давление

(

5

min

10187,0 ⋅=p Па) несколько ниже экспериментального из-за не учета в модели

вскипания воды ( см. Приложение №5, программу Vent_1t).

Как показывают визуальные наблюдения, возникновение пузырьков

происходит у стенок канала в самом узком его сечении (горле). При низком

противодавлении до конца расширяющейся части канала сохраняется

двухслойная структура потока – пристенный двухфазный поток и жидкостное

ядро.

С увеличением противодавления протяженность двухфазной зоны со

стороны дросселя начинает уменьшаться, но при этом давление в горле канала

остается постоянным. Таким образом, возмущения давления не проходят вверх

по потоку через область, где

р<р

s

, т.е. в узком сечении канала имеет место

сверхзвуковое течение. При значительном дросселировании потока за каналом

давление в горле

р

г

становится больше р

s

и кавитация исчезает.

Схлопывание пузырьков в области повышенного давления приводит к

значительным нагрузкам на стенки канала, которые при длительном

воздействии (более 20 часов и скорости потока выше 40 метров в секунду[48])

могут разрушить поверхность канала.

Подобные явления возникают при обтекании капельным потоком

лопастей гидротурбин, насосов, крыловидных профилей скоростных судов.

Решению данной

проблемы посвящено большое количество работ, [44],

[45], [47], [48] однако следует констатировать, что до настоящего времени не

существует законченной теории кавитации.

Сложность решения задачи заключается в том, что еще не в полной мере

изучено явление интенсивного образования новой фазы (парогазовых

пузырьков) в объеме жидкости. В настоящее время в основе теории лежит

положение, разработанное

Я.Б.Зельдовичем [47] и Я.И.Френкелем [44],

83

согласно которому число способных расти

критических ядер новой фазы в единице

объема в единицу времени определяется

выражением

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

s

кр

exp

kT

W

A

d

dn

J

τ

&

1/(м

3

с). (6.64)

Однако вопрос теоретического

определения численного значения

множителя

А остается открытым. М.

Кронфельд [46], исследовавший упругость

и прочность жидкостей, рекомендует

принимать значение 10

31

1/(м

3

с).

Результаты теоретических расчетов

Я.Б.Зельдовича и Я.И.Френкеля показали,

что значение

А может меняться от 10

20

до

10

42

1/(м

3

с). Согласно опытам

В.П.Скрипова, исследовавшего поведение

перегретых жидкостей [15], [16] для воды

А=10

38

1/(м

3

с). При расчете явлений

кавитации в водяных потоках часто

полагают, что

J

кр

=10

9

1/(м

3

с). Критическая

работа образования пузырька

W

кр

в

большом объеме жидкости складывается из работы образования полости,

работы заполнения этой полости паром и работы образования свободной

поверхности:

σπππ

2

пкрп

3

пкрж

3

пкркр

4

3

4

3

4

RpRpRW +−=

,

или

()

жп

3

пкр

2

пкркр

3

4

4 ppRRW −−=

πσπ

, (6.65)

где

р

ж

– гидростатическое давление (давление окружающей жидкости), р

п

–

упругость пара жидкости,

R

пкр

– критический радиус парового пузырька.

При неустойчивом равновесии и паровой кавитации

жп

пкр

2

pp

R

−

=

σ

. (6.66)

Для парогазового пузырька уравнение статического равновесия имеет вид

п

гsж

2

R

ppp

σ

−+=

. Если

п

гsж

2

R

ppp

σ

−+<

, то пузырек растет, в противном

случае – сжимается. Подставляя (6.66) в (6.65), получим

()

2

жп

3

кр

3

16

pp

W

−

=

πσ

Дж. (6.67)

20 40 60 80 l,

мм

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2

3,4

р

, бар

р

бар

=760,3 мм рт.ст.

t

воды

= 4

0

С

Рис.6.4

84

Теперь (6.64) с учетом (6.67) примет вид

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

s

kTpp

AJ

2

жп

3

кр

3

16

exp

πσ

. (6.68)

Разрыв жидкости происходит при появлении первого пузырька с радиусом

больше критического (

R

п

≥ R

пкр

). Разрешая (6.68) относительно давления р и

полагая, что

р

ж

=z, где z – прочность жидкости, определим теоретическую

прочность жидкости

5,0

кр

3

пж

ln

3

16

s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

J

A

kT

ppz

πσ

Па. (6.69)

При значениях

Т=293К, р

s

=2350 Па,

σ

=7,35⋅10

-2

н/м, А=10

38

1/(м

3

с),

R

пкр

=10

-9

м,

êð

J

= 10

9

1/(м

3

с), по формуле (6.69) получаем: z= -154,3⋅10

6

Па.

Растягивающее напряжение, при котором наступает разрыв жидкости,

можно определить и из выражения

п

гsж

2

R

ppp

σ

−+=

, при этом получается

значение

р

ж

=-147⋅10

6

Па. Так как

σ

=f(T), а z∼

σ

3

/T

s

, то важно знать

зависимость

z=f(T). Анализ литературных источников показывает, что наиболее

достоверными являются экспериментальные данные, полученные Л.Бриггсом

для воды [45], и представленные на рис.6.5. Результаты получены с помощью

стеклянной открытой с обоих концов трубки, вращавшейся в горизонтальной

плоскости. До начала опытов трубка опускалась в кипящую воду, что

исключало наличие пузырьков и обеспечивало условие

1

z

объема

пов

=

z

, при

котором краевой угол смачивания равен нулю. Объемная прочность

определялась по разрыву жидкости на оси вращения в поле центробежных сил.

Сравнение результатов расчета с опытными данными, как видим, показывает,

что реальная прочность воды при

Т=293К более чем в пять раз меньше

теоретической. С ростом температуры из-за ослабления межмолекулярных

связей прочность воды уменьшается. Работа образования критического

зародыша новой фазы на плоской поверхности равна или меньше работы при

гомогенном образовании зародыша в большом объеме. В этом случае

W

кр

(см.

формулу 6.67) необходимо умножить на функцию

() ()( )

θθθ

cos2cos1

4

1

2

−+=f

,

где

θ

- краевой угол (см. рис.). При абсолютном смачивании жидкостью

поверхности

θ

=0, f(

θ

)=1. Если поверхность абсолютно не смачиваемая, то

θ

=180

0

, f(

θ

)=0, W

кр

=0. Отметим, что работа образования критического зародыша

на впадине будет меньше, чем на плоской поверхности и зависит от

геометрической формы впадины (для впадины типа “ласточкин хвост” она

85

будет минимальной), поэтому наиболее вероятно возникновение пузырьков на

микротрещинах.

При рассмотрении роста пузырька в

зависимости от разности давлений внутри

пузырька и в объеме жидкости используют

уравнение Релея

, которое позволяет

оценивать вклад инерционных,

поверхностных и вязкостных сил в процесс

роста пузырька. Получим уравнение Релея

для вязкой жидкости. В сферической

системе координат уравнение сплошности

имеет вид (см. рис.)

(

)

()

0

sin

1

sin

11

2

=

∂

+

∂

+

∂

+

∂

ψθ

θ

θθ

ρ

τ

ρ

ru

r

ru

r

ru

r

. (6.70)

Если скорости частиц зависят только от радиуса, уравнение приводится к виду

()

0

2

=

∂

+

∂

+

∂

ur

r

u

ρ

τ

ρ

(6.71)

для сжимаемой жидкости и

(

)

0

1

2

=ur

dr

d

r

(6.72)

для несжимаемой (

ρ=const).

Интегрируя (6.72), получим

const

2

пп

2

== Ruur

.

С учетом выражения для скорости перемещения

границы пузырька

τ

d

Rd

u

п

&

=

получаем закон изменения радиальной скорости

жидкости

()

2

п

2

п

,

r

RR

ru

&

=

τ

, (6.73)

т.е. при

r→∞, u(r,

τ

) →0; при r→0, u(r,

τ

) →∞.

Равенство

2

пп

2

Ruur =

отражает условие

0 10 20 30 40 t, C

10

20

30

z⋅10

-6

Па

Рис. 6.5

θ

σ

ж-п

σ

ж-с

σ

п-с

жидкость

пузырь

θ

ψ

r

dr

θ

d

ψ

86

сохранения объемного расхода. Условие сохранения массового расхода внутри

пузырька и вне его (в окружающей жидкости) дает уравнение

жж

2

пп

2

п

44

ρπρπ

uruR =

, откуда

ж

2

пп

2

п

ж

ρ

r

RR

u

&

=

.

Запишем уравнение движения вязкой жидкости в сферической системе

координат, когда искомые величины зависят от

τ

и r:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

+

∂

+

∂

−=

∂

+

∂

22

2

ж

221

r

u

r

u

r

u

r

p

r

u

ν

ρτ

. (6.74)

Подставляя в(6.74) значения производных

ru

∂

и

τ

∂∂u

с учетом

выражения (6.73), получим

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−+

∂

−=−+

4

п

2

п

4

п

2

п

4

п

2

п

ж

5

2

п

4

п

2

п

2

пп

2

246

1

2

1

r

RR

r

RR

r

RR

r

p

r

RR

RRRR

r

&&&&

&&&

ν

ρ

,

или

()

r

p

r

RR

RRRR

r

∂

−=−+

ж

5

2

п

4

п

2

п

2

пп

2

1

2

1

ρ

&

&&&

. (6.75)

Проинтегрируем (6.75) по радиусу от

r=

∞

до r=R

п

()

∫∫∫

=

∞=

=

∞=

=

∞=

∂

−=−+

ппп

ж

5

2

п

4

пп

2

п

2

пп

2

1

22

1

Rr

r

Rr

r

Rr

r

dr

r

p

r

dr

RRdrRRRR

r

ρ

&&&&

;

(

)

(

)

пп

ж

2

ппп

2

п

1

2

1

2 RppRRRR −=−+

∞

ρ

&&&&

.

В окончательном виде будем иметь:

()

пж

ж

2

ппп

1

2

3

ppRRR −=+

∞

ρ

&&&

. (6.76)

Полученное уравнение второго порядка называется уравнением Релея.

Отметим, что хотя в исходном уравнении (6.74) вязкостные силы присутствуют,

в данной постановке задачи, когда

u(r,

τ

), в уравнении (6.76) их нет.

Анализ уравнения (6.75) показывает, что при

r>R

п

в жидкости на

расстоянии

r

∗

, где

0=∂

∂

rp

, давление в жидкости достигает максимального

значения. При

r= r

∗

из (6.75) можно получить

(

)

2

п

4

пп

2

п

2

пп

3

22 RRRRRRr

&&&&

=+

∗

,

откуда

3

1

пп

2

п

2

п

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

∗

RRR

R

Rr

&&&

&

. (6.76a)

Для того, чтобы

r

∗

было больше

п

R необходимо при

п

R

&&

< 0 выполнение

неравенства

пп

2

п

2 RRR

&&&

+

> 0 . Отметим, что при

п0п

RRR

=

< 0,2 r

∗

/

п

R →1,587.

Максимальное давление в жидкости при

r= r

∗

определим из (6.77) [30]

87

(

)

пп

2

п

жmaxж

2

4

3

RRR

r

R

p

&&&

+=

∗

ρ

+

∞ж

p

. (6.77)

Рассмотрим схлопывающийся пузырь, радиус которого изменяется от

R

п0

до R

п

(R

п

< R

п0

).Элементарную кинетическую энергию жидкости, имеющей

форму сферич еского кольца радиуса

r толщиной dr, можно записать в виде

drr

u

dE

2

ж

4

2

πρ

=

. (6.78)

С учетом (6.73) уравнение (6.78) примет вид

drr

r

RR

dE

2

4

п0

4

п0

ж

2

πρ

&

= . (6.79)

Интегрируя(6.79) в пределах от

R

п0

до R

п

, получим

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=Δ 12

п0

п

2

п

3

пж

R

RRE

&

πρ

. (6.80)

Элементарная работа образования объема пузырька при Δ

p=const равна

пп

pdVdL Δ−=

. В интегральной форме будем иметь

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−Δ=

3

п0

3

п

3

п0п

1

3

4

R

RpL

π

. (6.81)

Работа образования пузырька равна убыли кинетической энергии, т.е.

ï

L

= -

Δ

E , поэтому приравнивая (6.80) и (6.81), получим

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−Δ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

3

п0

3

п

3

п0

п

2

п

3

пж

1

3

4

12

R

Rp

R

RR

ππρ

&

,

откуда находим скорость перемещения границы пузырька во время

схлопывания при изменении его радиуса от

R

п0

до R

п

2

1

п0

п

3

п0

3

п

3

пж

3

п0

п

1

3

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Δ

=

R

pR

R

ρ

&

. (6.82)

Выражая(6.82) в безразмерном виде

2

1

3

2

3

2

1

жп0

1

11

3

21

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

=

R

p

Rd

dR

ρτ

, (6.83)

где

п0п

RRR =

- безразмерный текущий радиус пузырька, определим после

взятия интеграла время схлопывания пузырька

∫

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

=

1

0

2

1

3

2

3

2

1

ж

п0

1

2

3

R

dR

R

p

R

ρ

τ

. (6.84)

Вычисление определенного интеграла выполним численным методом,

например, по формуле трапеций (см. приложение №5, программа

“TAU_BUBBLE”).

88

Используя при выводе уравнения Релея закон сохранения количества

движения в общем виде получим

()

жп

п

ж

п

ж

2

п

2

п

2

п

42

2

3

pp

d

dR

RRd

dR

d

Rd

R −=++

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

τ

μσ

ρ

ττ

. (6.85)

Уравнение позволяет оценивать вклад инерционных, поверхностных и

вязкостных сил в процесс роста пузырька. При размерах пузырька

R

п

≈R

пкр

существенными являются силы поверхностного натяжения

п

2

R

σ

. При R

п

>>R

пкр

уравнение может быть сведено к виду

2

1

ж

жпп

3

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

ρτ

pp

d

dR

, (6.86)

так как

2

п

2

3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

τ

d

dR

>>

2

п

2

п

τ

d

Rd

R

, а

п

2

R

σ

мало.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

(6.85) может быть представлено в виде двух уравнений первого порядка и

решено численным методом

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++−−=

п

ж

п

ж

2

пжп

жп

п

42

2

31

W

RR

Wpp

Rd

dW

μσ

ρ

ρτ

,

τ

d

dR

п

=

п

W

(реализовано в программах “CAV_1” и “CAV_2” , которые позволяют

определить скорость движения поверхности пузырька

ï

W

= f(

τ

) и

)(

ï

τ

ϕ

=R

при

его росте и “схлопывании”- в этом случае необходимо в первом уравнении

изменить знаки на обратные у

п

p

и

ж

p

(см. приложение №5)).

Расчеты показывают, что при перепаде давления между жидкостью и

пузырьком равным

Па104,0

5

⋅ пузырек уменьшает свой диаметр с 20 мм до 0,972

мм за

,10885,2

3

сек

−

⋅

при этом скорость границы пузырька увеличивается от 0,0 до

443,6 м/c, а энергия жидкости окружающей пузырек становится равной 0,141

Дж. Максимальное значение кинетической энергии 0,165 Дж имеет место на

радиусе 1,83 мм, скорости 65,7 м/с и времени

.10863,2

3

сек

−

⋅

По мере увеличения размера пузырька и замедления скорости его роста,

определяющим фактором дальнейшего роста становится подвод теплоты к нему

от окружающей жидкости. На этом этапе используются уравнения вида

2

1

ж

a

п

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ττ

a

J

d

dR

, (6.87)

2

a

п

жп

2

J

R

a

d

dR

=

τ

, (6.88)

89

где

()

п

пжжж

a

~

ρ

r

TTc

J

p

−

=

- критерий Якоба.

Однако в большинстве случаев представляет интерес образование новой

фазы при течении капельной жидкости около поверхности обтекаемого тела,

когда вблизи стенок, благодаря вихревой структуре потока, имеет место

локальное понижение давления в вихрях, что создает условия значительного

локального перегрева жидкости (на фоне незначительного термодинамического

перегрева) и интенсивного образования паровой фазы

. С этих позиций

возникновение новой фазы было рассмотрено А.А.Столяровым и

Н.Б.Кондуковым Н.Б. [49], но в целом этот вопрос до настоящего времени еще

недостаточно изучен. Остается открытым и вопрос роста и сжатия парогазовых

пузырьков в реальных жидкостях, содержащих растворенный газ.

Рассмотрим рост парогазового пузырька в капельном потоке

, содержащем

растворенный газ. Введем понятия концентрации газа в воде

OH

г

2

V

G

C =

.

Поступление газа к поверхности пузыря обусловлено процессами

диффузии и конвективного переноса концентрации:

τ

d

dR

C

dr

dC

Dj

Rr

п

г

п

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

=

r

. (6.89)

Будем считать, что конвективная составляющая много меньше диффузионной,

тогда плотность потока газа составит

п

г

Rr

dr

dC

Dj

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

r

. (6.90)

Скорость изменения массы газа в пузырьке

п

г

2

пг

2

п

г

Rr

dr

dC

DDjD

d

dG

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

ππ

τ

. (6.91)

Так как

г

3

п

г

6

ρ

π

D

G =

, то

τ

ρπ

τ

π

ρρ

π

ττ

d

dD

d

dDDD

d

dG

г

3

пп

2

п

гг

3

пг

626

+=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

.

Можно показать, что

τ

ρ

τ

d

dD

гп

>> , тогда

τ

ρ

π

ρ

π

ττ

d

dD

D

d

dG

п

2

пгг

3

пг

26

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= . (6.92)

Приравнивая (6.91) и (6.92), получим выражение для скорости роста газового

пузырька

п

г

п

Rr

dr

dC

D

d

dR

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

ρτ

. (6.93)

Из уравнения теплового баланса, записанного в предположении, что вся

подведенная теплота идет на парообразование:

Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение

Подождите немного. Документ загружается.