Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение

90

п

ж

~

Rr

dr

dt

jrq

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

λ

определим скорость роста парового пузырька

п

ж

п

жп

~

Rr

dr

dt

rd

dR

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′′

−=

ρ

λ

τ

. (6.94)

Суммируя воздействие потоков массы и теплоты, запишем скорость роста

парогазового пузырька

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′′

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

==

пп

ж

п

жг

г

п

~

RrRr

dr

dt

rdr

dCD

d

dR

ρ

λ

ρτ

, (6.95)

где

r

~

- удельная теплота парообразования.

Для определения градиента концентрации

(

)

п

г

Rr

drdC

=

воспользуемся

дифференциальным уравнением массопереноса

i-го компонента

()

ii

i

CDCw

C

2

∇=∇⋅+

∂

r

τ

. (6.96)

Полагая

0,0 ==

∂

w

C

i

r

τ

получим уравнение Лапласа

0

2

=∇

i

C

, которое в

сферической системе координат имеет вид

0

1

г

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

dr

dC

r

dr

d

r

. (6.97)

Первое интегрирование дает

2

1г

r

C

dr

dC

=

, (6.98)

откуда

2

1

г

C

r

С

C +−=

. (6.99)

Определим константы интегрирования из граничных условий

при

r=∞: C

2

= C

г∞

,

при

r=R

п

: C

1

=

(

)

пгг

п

RCC

Rr=

∞

−

. Полагая

пгг

г

п

TR

p

C

Rr

=

и подставив С

1

и С

2

в

(6.99), получим закон изменения концентрации газа в жидкости вокруг

пузырька

∞

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

г

п

пгг

г

C

r

R

TR

p

C

, (6.100)

где

ã

p

- парциальное давления газа в пузырьке;

ïã

T

- температура парогазовой смеси в пузырьке.

Продифференцировав (6.100) по

r при r=R

п

или подставив С

1

в (6.98) при r=R

п

,

получим

п

пгг

г

п

R

TR

p

C

dr

dC

Rr

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

=

. (6.101)

Из уравнения энергии для жидкости

91

()

ж

2

жжж

ж

tatw

t

∇=∇⋅+

∂

r

τ

(6.102)

при

0,0

ж

==

∂

w

t

r

τ

будем иметь

0

ж

2

=∇ t

. (6.103)

Решение этого уравнения с учетом граничных условий дает

(

)

(

)

∞

+

−

−=

ж

ппж

ж

t

r

Rptt

t

s

, (6.104)

(

)

п

пж

ж

п

R

ptt

dr

dt

s

Rr

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

=

. (6.105)

Подставляя (6.101) и (6.105) в (6.95), получим

()()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

′′

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

∞∞ пж

п

ж

пгг

г

гп

п

~

1

ptt

rTR

p

C

D

Rd

dR

s

ρ

λ

ρτ

. (6.106)

Рассматривая пузырек, движущийся в потоке жидкости со скоростью

w

п

,

преобразуем (6.106) к виду

()()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

′′

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

∞∞ пж

п

ж

пгг

г

гпп

п

~

1

ptt

rTR

p

C

D

Rwdx

dR

s

ρ

λ

ρ

, (6.107)

которое отражает изменение радиуса пузырька вдоль продольной координаты

канала. Уменьшение концентрации газа в воде вдоль канала обусловлено

потоками газа из жидкости в пузырьки. Для элементарного объема можно

написать:

гжп

2

к

2

п

пгг

г

)

4

( dcwf

D

dxFnD

TR

p

C

v

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∞

π

πβ

, (6.108)

где

ê

D

и

ê

F

- диаметр и площадь поперечного сечения канала;

пп

п

w

G

f

ρ

&

=

- площадь поперечного сечения занятая потоком пузырей;

−

β

коэффициент массопереноса, м / с.

Так как

п

г

пгг

г

Rr

dr

dC

D

TR

p

C

=

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

β

, тогда

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

=

∞

жп

2

к

2

п

г

)

4

(

п

wf

D

FnD

dr

dC

D

dx

dC

v

Rr

π

, (6.109)

где

.

п

пгг

г

п

R

TR

p

C

dr

dC

Rr

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

=

Возможен и другой подход для определения

dx

dC

∞г

.

92

Используя критериальное уравнение

33.00.5

п

PrRe6.02 +==

D

Sh

β

и

полагая процесс переноса газа на молекулярном уровне, получим

п

2

D

=

β

, тогда

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

∞

2

жп

2

к

пгп

жп

2

к

2

пг

)

4

(

2

)

4

( wf

D

CCDnD

wf

D

FnDj

dx

dC

v

π

&

, (6.109а)

где

β

j

CC −=

∞гп

- концентрация газа в пузырьке; n

&

- поток пузырей вдоль канала.

Изменение температуры жидкости определим из дифференциального

уравнения

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−−=

=

п

пжк

2

п

жж

ж

~

1

Rr

v

p

dx

Gd

rttFnD

cG

dx

dt

&

απ

, (6.109в)

где

ж

G

&

и

п

G

&

ï

G

&

- расход через канал жидкостной и паровой составляющих

соответственно;

п

ж

2

D

λ

α

= - коэффициент теплоотдачи.

Обобщая изложенное, следует констатировать, что задача о кавитации

может быть решена лишь приближенно.

Ниже приводятся уравнения, позволяющие выполнить расчет

стационарного движения кавитирующей воды в трубке Вентури в одномерной

постановке. Будем полагать, что спонтанное образование новой фазы носит

объемный характер, а интенсивность образования критических ядер

определяется выражением

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

s

кр

exp

kT

W

AJ

, (6.110)

где

ψ

σ

π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

+=

3

4

кр

кр п

3

кр пкр

p

R

RW

, Дж; A=10

38

1/(м

3

с);

(

)

кр

жsкр

ppp

−

=

Δ

(6.111)

или

()

2

жп

3

кр

3

16

pp

W

−

=

πσ

ψ

Дж.

Полагаем, что при достижении определенного значения Δр

кр

в жидкости

образуются паровые пузырьки критического радиуса

R

п кр

=10

-9

м. Значение

коэффициента

ψ

подбирается так, чтобы J

кр

≥10

9

1/(м

3

с) (рекомендуемая

величина при расчете кавитационных потоков).

Массу пузырьков, образовавшихся в элементарном объеме

Fdl в единицу

времени найдем с учетом числа

J

кр

и критического диаметра пузырька

93

Fdl

D

JG

п

3

кр п

кркр п

6

ρ

π

&

=

, кг/с. (6.112)

где

Fdl=сonst – элементарный объем в области горла, в котором происходит

образование пузырьков критического размера. С другой стороны, поток массы

пузырьков критического размера можно записать в виде

п

3

кр п

6

ρ

π

D

nG

&

=

. (6.113)

Приравнивая (6.112) и (6.113) найдем поток пузырей

constFdlJn ==

кр

&

, 1/с. (6.114)

Концентрацию пузырьков

n

v

в элементарном текущем объеме выразим через

поток пузырей

Fw

n

Fdxw

dxn

Fdx

dn

n

v

пп

&&&

===

τ

. (6.115)

В результате образования пузырьков критического размера капельный

поток отдаст теплоту, и его температура незначительно понизится, так как

G

пкр

<<G

ж

. Упрощая задачу, будем полагать, что критические ядра образуются

только один раз. В этом случае вдоль канала выполняется условие

n

&

=const (см.

ф-лу 6.114).

При решении задачи возможно два случая. В первом - задан закон

изменения площади поперечного сечения

F(x) вдоль канала, а во втором -

закон распределение статического давления

р(х). Рассмотрим второй случай.

Изменение статического давления в конфузорной части трубки Вентури

запишем в виде

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

11

конфг

0

конф

m

l

x

p

xp

, (6.116)

тогда

2

конфг

0

2

г

0

11

12

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

m

l

x

p

l

x

p

dx

dp

, (6.117)

где

р

0

– статическое давление на входе в канал, р

г

– давление в горле канала,

т = 2…6 – показатель степени.

Для диффузорной части канала

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

111

дифг

ср

диф

m

l

x

p

xp

, (6.118)

94

2

дифг

ср

диф

дифг

ср

111

112

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

m

l

x

p

l

x

p

dx

dp

, (6.119)

где

р

ср

– статическое давление на выходном срезе трубки.

Коэффициент диффузии определим по формуле

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

−

ж

0

8,1

0

ж

4

10216,0

p

T

D

, (6.120)

где

р

0

=101325 Па, Т

0

=273 К.

Используя выражение

п

3

п

6

ρ

π

D

nG

&

= , найдем

dx

dR

nR

dx

Gd

п

2

п

4

&

ρπ

=

. (6.121)

Так как

constGGG =+=

жп0

&&&

, то

dx

Gd

dx

Gd

пж

&&

−=

. (6.122)

Из уравнения движения для всего потока

(

)

dxDdpFwGwGd

w ккжжпп

πτ

−−=+

&&

(6.123)

с учетом (6.122) получим

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

++−+−=

к

п

жп

п

ж

1

D

dx

dp

F

dx

Gd

ww

dx

dw

G

dx

dw

w

πτ

&

, 1/с. (6.124)

Уравнение движения пузырька с учетом присоединенной массы жидкости

имеет вид

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−−+−=

ττ

ρρ

π

τ

ρ

d

dw

d

dw

Vwwwwc

D

dx

dp

V

d

dw

V

x

жп

пжпжпжж

2

п

пп

2

1

8

. (6.125)

Подставив (6.124) в (6.125), определим

() ()

1/c,

8

1

2

1

к

ж

пжпжж

2

пп

жп

ж

кп

ж

п

ж

ппп

п

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−−−+−−

−

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++

=

D

G

B

wwwwc

D

dx

Gd

ww

G

B

dx

dp

G

B

FV

G

wV

dx

dw

wx

πτρ

π

ρ

&

(6.126)

где

ппж

5,0 wVB

ρ

=

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

п

Re

314,0

1

Re

32

x

c ;

ж

ппж

п

Re

ν

Dww −

=

.

95

Изменение концентрации газа и температуры жидкости вдоль канала

определим из уравнений (6.127) и (6.128)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

∞

2

жп

2

к

пгп

жп

2

к

2

п

г

4

2

4

wf

D

CCDnD

wf

D

FnDj

dx

dC

v

π

&

, (6.127)

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

dx

Gd

rttFnD

cG

dx

dt

v

p

п

пжк

2

п

жж

ж

~

1

&

απ

. (6.128)

Изменение радиуса пузырька, движущегося в потоке жидкости со

скоростью

w

п

, вдоль продольной координаты канала определим из уравнения

()()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

′′

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

∞∞ пж

п

ж

пгг

г

гпп

п

~

1

ptt

rTR

p

C

D

Rwdx

dR

s

ρ

λ

ρ

. (6.129)

Однако уравнение в форме (6.129) не учитывает влияние сил инерции,

поверхностных и вязкостных сил, которые присутствуют в уравнении Релея:

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

++

′

−−=

′

п

ж

п

ж

2

пжs

жп

п

4

2

31

U

RR

Upp

Rd

Ud

μ

σ

ρ

ρτ

,

п

U

d

dR

′

=

τ

, где

п

U

′

ï

U

′

- скорость поверхности пузырька. (6.130)

Используя (6.129) и (6.130) можно в общем случае написать:

(

)

dxw

dwU

U

wRwR

U

R

wR

pp

dx

dU

п

пп

п

ж

п

2

ж

п

2

ж

п

2

п

2

жп

жs

п

4

2

3

−−−−

−

=

ρ

μ

ρ

σ

ρ

,

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

′′

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

∞∞ пж

п

ж

пгг

г

гпп

п

~

1

ptt

rTR

p

C

D

Rw

U

dx

dR

s

ρ

λ

ρ

. (6.131)

Численное решение рассмотренной задачи реализовано в программе

“VENT_23” (см. приложение №5).

7. Воздействия на поток

7.1. Расчет инжектора, работающего на сухом насыщенном паре

В данном разделе “Одномерный двухфазный поток” рассматриваются

процессы расширения, смешения и конденсации двухфазного потока в каналах

переменного сечения с прямой осью. На основе полученных уравнений

составлены программы расчета, позволяющие определить искомые физические

величины вдоль канала. Однако большинство энергетических устройств состоят

из нескольких сопряженных элементов. Так, например, инжектор включает

сопло, камеру

смешения и диффузор. В этом случае следует составлять

программу для каждого элемента, а затем, после отладки, объединять их в

единое целое. Такой подход особенно плодотворен, когда ре-

96

шаются прямые задачи, где при движении двухфазного потока возможны

кризисные явления.

В качестве примера рассмотрим расчет инжектора, работающего на сухом

насыщенном паре [32].

Инжектор - это струйный аппарат, который сочетает в себе компактный

высокоэффективный теплообменный аппарат (камеру смешения), где в

процессе конденсации пара на холодных каплях пассивной жидкости

коэффициент теплоотдачи достигает

сотен тысяч Вт/(м

2

К) (при конденсации

пара на холодных стенках

α

=7000...9000 Вт/(м

2

К)), и насос, позволяющий в

несколько раз повысить давление на выходе по сравнению с давлением

активного (пар) и пассивного (холодная жидкость) агентов на входе в

инжектор.

Первый пароводяной инжектор, созданный Г. Джиффардом в 1858 году

[33], использовался в качестве насоса для подачи воды в котел паровоза. В

последующие годы интерес к исследованию

этих струйных аппаратов снизился

в связи с появлением насосов, имеющих более высокую эффективность.

В 60-е годы, в период бурного развития космонавтики, инжекторы

использовались в компактных жидкометаллических МГД-преобразователях

(аппаратах для непосредственного преобразования теплоты в электрическую

энергию), предназначенных для космических объектов.

В настоящее время, по предложению проф. В.В.Фисенко, инжекторы

начинают применятся в отопительных системах зданий, что позволяет

экономить топливо (до 10...12%) и электроэнергию по сравнению с

существующими схемами, включающими подогреватели сетевой воды и

насосы.

В предлагаемой методике расчета инжектора вначале выполняется расчет

“разгонного” сопла (сопла Лаваля), а затем камеры смешения и диффузора,

состоящего из сопряженных цилиндрического и конического каналов.

Так

как равновесная модель расширения пара с верхней пограничной

кривой с учетом сил трения удовлетворительно согласуется с опытными

данными, то используем ее для расчета сопла Лаваля. Будем считать, что

статическое давление вдоль канала меняется по закону (обратная задача)

11

2

0

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

l

x

p

CP

, где х-текущая координата, l-длина сопла, р

0

и р

СР

-

статические давления на входе и на срезе сопла соответственно.

В этом случае система обыкновенных дифференциальных уравнений

примет вид

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

11

12

2

0

2

00

l

x

ppl

xppp

dx

dp

CP

,

(

)

dx

dp

w

vF

M

dx

dF

2

1−−=

,

97

dx

dp

w

v

dx

dw

S

−= ,

D

wc

dx

dp

w

v

dx

dw

f

2

−−= ,

dx

dF

F

v

dx

dw

w

v

dx

dv

+=

,

()

dx

dp

r

T

vv

dx

dT

′

−

′′

=

, где

w

S

, w - изоэнтропийная и действительная скорости влажного пара,

с

f

= f(Re); Re=wD

ρ

/

μ

;

()

μμ

μ

′′

−+

′

=

xx

1

; M=w/a;

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

′′

=

vv

vr

Tc

a

v

;

vxvxv

′

−+

′′

= )1(

;

vvv

cxcxc

′

−+

′′

= )1( , удельные изохорные теплоемкости берутся со

стороны двухфазной области [5]. Наличие сил трения приводит к появлению

теплоты трения, которая увеличивает степень сухости пара (а следовательно, и

его удельный объем):

()

r

w

xx

S

cSД

2

1

2

ϕ

−+= ,

где

ϕ

с

=w/w

S

- коэффициент скорости сопла, r - удельная теплота

парообразования.

На срезе сопла поток равновесен, следовательно Т

ГК

= Т

П

=Т ,

w

ГК

= w

П

= w, а секундные массы сухого насыщенного пара и капель

соответственно равны:

(

)

CMДCMД

GxGGxG

&&&&

−=

′

=

′′

1, . Задаваясь размером горячих

капель (D

K

=(1...2)⋅10

-5

мм) на выходном срезе сопла, образовавшихся в

результате конденсации пара в процессе расширения, определим их поток и

концентрацию

ρπ

′′

=

Κ

3

6 DGn

&

|с

-1

|,

Cv

Fwnn

Κ

=

&

|м

-3

|.

Результаты расчета на срезе сопла передаются в качестве входных

граничных условий для программы расчета камеры смешения через файл

данных CJ4A.DAT (см. приложение №5, программа VAP7В_IN).

Рассмотрим процессы в камере смешения. Так как расчет “разгонного”

сопла Лаваля осуществляется на основе равновесной модели с трением, то

предполагается, что в камеру смешения (КС) поступает

равновесный влажный

пар, у которого

ΠΓΚΠΓΚ

== TTww , . Для осуществления процесса конденсации

пара в камеру также подается холодная вода, как правило, при незначительной

скорости. В результате силового взаимодействия между несущим паровым

потоком и холодными каплями происходит их дробление, причем диаметр

мелких холодных капель определяется по формуле [11]

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′′

+=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΧΚ

Π

ΧΚ

D

Wec

WeD

D

x

0

125,0

00

5,1

0

25,0

0

25,0

0

ln135,0

9,1

ρ

,

где

()

ΧΚ

ΧΚΧΚΠΠ

−

′′

=

0

2

0

σ

ρ

Dww

We

- критерий Вебера, определяемый по условиям на

входе в КС;

)(Re

00

fc

x

= ;

(

)

Π

ΧΚΧΚΠΠ

−

′

=

0

Re

μ

ρ

Dww

.

Сделаем допущение: разрушение капель происходит на участке,

протяженность которого много меньше длины КС. Как отмечалось в §4.4,

98

будем считать, что в начальном сечении КС холодные и горячие капли

равномерно распределены в паре, то в целом поток термически и механически

неравновесен. Расчет будем вести на основе обратной задачи, полагая заданным

закон изменения статического давления вдоль КС, при этом будем считать, что

0<

dx

dp

. Секундный расход холодной воды, подаваемой в начальном сечении КС,

в первом приближении определяется из уравнения теплового баланса

()()

(

)

()

(

)

(

)

НЕДСРKCСРKCДKCKC

iipiGGpixprpi Δ−−

′

=

′

−+

′

ΧΒΧΒΠ ..00

&&

где р

КС0

и р

КС.СР

-

статические давления парожидкостного потока соответственно на входе и

выходе КС;

Π

G

&

- расход пара через сопло Лаваля, который в дальнейшем

уточняется;

НЕД

iΔ - недогрев холодной воды до температуры насыщения.

Для камеры с изобарным процессом

(

)

(

)

CPKCKC

pipi

.0

′

=

′

и уравнение

теплового баланса примет вид:

()

(

)

(

)

НЕДKCДKC

iipiGGxpr Δ−−

′

=

ΧΒΧΒΠ

&&

.

Аналогичные формулы можно написать и для горячих (испаряющихся)

капель.

Уравнения движения для горячих и холодных капель можно записать так:

ΓΚΓΚΓΚ

ΓΚ

ΓΚΓΚ

ΓΚ

+−=

wD

D

dx

dp

wdx

dw

ρπρ

3

*

61

,

dx

Gd

G

ww

wD

D

dx

dp

wdx

dw

ΧΚ

ΧΚΠ

ΧΚΧΚΧΚ

ΧΚ

ΧΚΧΚ

ΧΚ

−

++−=

&

)(61

3

*

ρπρ

,

где

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

11

12

2

кс

кс0кс

2

кс

кс0кс0кс

l

x

ppl

xppp

dx

dp

CP

;

(

)

(

)

8Re

2*

ΚΠΚΠΠΚ

−−= wwwwDcD

x

ρπ

;

Π

ΠΚΚΠ

−

=

μ

ρ

Dww

Re

.

Дифференцируя левую часть уравнения движения для всего потока

(

)

dxDdpFwGwGwGd

CMWCM

πτ

−−=++

ΠΠΧΚΧΚΓΚΓΚ

&&&

и разрешая его относительно

dxdw

Π

с учетом, что 0=++

ΠΓΚΧΚ

GdGdGd

&&&

, получим

()()

.

Π

ΧΚ

ΧΚΠ

ΓΚ

ΓΚΠ

ΧΚ

ΓΚ

Π

⎥

⎦

⎤

−+−

⎢

⎣

⎡

+−−−−= G

dx

Gd

ww

dx

Gd

ww

dx

dw

G

dx

dw

GD

dx

dp

F

dx

dw

CMWCM

&

&&

πτ

Рассматривая процесс конденсации на холодной капле, можно написать

(

)

τπα

dTTDrdGdiG

ΧΚΠΧΚΚ−ΠΚ−ΠΧΚΧΚ

−−=

2

,

где

ΧΚ

=

ρ

π

6

3

D

G

.

Для установившегося теплового состояния уравнение примет вид

(

)

τπα

dTTDrdG

ΧΚΠΧΚΚ−ΠΚ−Π

−=

2

,

откуда находим скорость изменения диаметра холодной капли

(

)

ΧΚ

ΧΚΠΧΚ

−

=

ρ

α

τ

r

TT

d

dD 2

,

99

где

()

ΧΚ

Π

ΠΚΚ−Π

+=

D

λ

α

33,05,0

PrRe6,02 .

Расход холодных капель можно записать в виде

n

D

G

&

ΧΚ

=

ρ

π

6

2

.

Дифференцируя последнее уравнение при

n

&

=const, получим

ΧΚ

ΧΚΧΚ

ΧΚ

== dD

D

G

dDn

D

Gd

&

3

2

ρ

π

или

dx

dD

D

G

dx

Gd

ΧΚ

ΧΚΧΚ

=

&&

3

.

Так как в КС движется однокомпонентный двухфазный поток, то Т

П

=f(p).

Изменение температуры холодных капель вдоль продольной координаты

найдем после численного интегрирования уравнения

()

[

()

]

()

.

,

6

**

ΧΚΧΚ

ΧΚ

ΧΚΧΚΧΚ

ΧΚΠΧΚ−ΠΧΚ−ΠΧΚΠ

ΧΚ

=

−−+−=

iT

dx

dw

w

Dw

TTjii

dx

di

ϕ

ρ

α

Температуру горячих капель определим из уравнения энергии,

записанного для всего потока

*

0

***

CM

IiGiGiG

&

&&&

=++

ΠΠΧΚΧΚΓΚΓΚ

,

где

*

0CM

I

&

- полная энтальпия парожидкостного потока на входе в КС по

заторможенным параметрам

()

2

***

0

ΓΚ

ΓΚΧΚΧΚΠΠΓΚ

−−−=

w

GiGiGIi

CM

&&&

&

,

(

)

ΓΚΓΚ

=

ifT

.

Предполагается, что после достижения граничной плотности поток имеет

пузырьковую структуру, а фазы находятся в механическом равновесии. Исходя

из этих условий, на основе термически неравновесной модели выполняется

расчет диффузора, состоящего из сопряженных цилиндрического и конического

Рис.7.1

Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение

Подождите немного. Документ загружается.