Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение

50

Рис. 4.2 Распределение основных величин по длине сопла Лаваля (LAV2В)

4.2. Расчет сопла Лаваля, работающего на идеальном газе

с испаряющимися каплями

Предлагаемый расчет является более общим случаем, так как здесь

учитывается не только теплоотдача от капель, но и их испарение, которое

приводит к изменению как физических свойств несущего потока, так и

энергетических характеристик сопла.

Из курса “Теория тепло- и

массообмена” известно, что плотность потока

массы пара, покидающего поверхность длиной l, определяется по формуле

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−=

∞Π

Π

Π∞ΠΠ

T

p

T

p

R

ccj

W

β

, где

∫

=

l

dxx

l

0

)(

1

ββ

- средний коэффициент

массоотдачи; R

Π

=R

0

/

μ

Π

; p

ΠW

, p

Π∞

- парциальные давления пара испаряющегося

вещества на поверхности и на бесконечности соответственно.

Средний коэффициент массоотдачи при обтекании газом капли находится из

критериального уравнения

Sh= 2 + ARe

m

Sc

n

, (4.21)

где

ЂСФ

DlSh /

β

= - критерий Шервуда;

∞Γ∞Γ

=

ν

/Re lw ;

ЂСФ

DSc /

∞Γ

=

ν

- критерий

Шмидта; А=0,6 ; m=0,5 ; n=0,33 ;

p

T

DD

n

0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ЂСФ

-коэффициент диффузии;

D

0

=22⋅10

-6

- коэффициент диффузии (водяной пар-воздух) при нормальных

условиях (T

0

=273K, p

0

=1,0133⋅10

5

Па), м

2

/с; n=1,5...2,5.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

0.00

200.00

400.00

600.00

Т, K

p, кПа

х, м

w

г

, м/c

ρ

⋅100, кг/м

3

w

к

, м/c

51

Для нашего случая поток массы пара от капель, находящихся в

элементарном объеме Fdx, найдем из выражения

dx

Dw

G

jFdxnDjGd

v

ΚΚΚ

Κ

Π−ΚΚΠ−ΚΠ

==

ρ

π

&

6

2

.

При определении коэффициента массоотдачи от капель (

β

) необходимо в

критериальное уравнение (4.21) подставлять

ΓΠΓΠΚΚΓΠΚ

−=

μρ

~

/Re Dww , где

ΓΠ

μ

~

-

коэффициент динамической вязкости газопаровой смеси, который будем

считать равным коэффициенту динамической вязкости воздуха (

Γ

μ

~

), что

справедливо при незначительной концентрации пара в газе.

Наличие массотдачи от капель и скольжения между фазами приводит, как

отмечалось выше, к появлению силы Мещерского

(

)

FdxjnDww

v Π−ΚΚΚΠ−Γ

−

2

π

в

уравнении движения несущего потока.

Выражение

*

ΓΠ

di

и

ΓΠ

dT

для газопаровой смеси найдем после

дифференцирования уравнения энергии всего потока (газ, пар, капли),

движущегося в адиабатическом канале.

,0

,

"*"****

"***

=++++

=++

ΠΠΠΠΚΚΚΚΓΓ

ΠΠΚΚΓΓ

GdidiGGdidiGdiG

constiGiGiG

&&&&&

&&&

но

,

ΚΠ

−= GdGd

&&

тогда

(

)

(

)

ΠΚΠΚΚΠΠΓΓ

−+−=+ GdiidiGdiGdiG

&&&&

*"**"**

. (4.22)

Рассмотрим левую часть уравнения

()()

ΓΓΓΓΓΠΠΠΠΠ

Γ

ΓΓ

Π

ΠΠ

+++=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ dwwdTcGdwwdTcG

w

idG

w

idG

pp

&&&&

22

"

Так как

ΓΠΠΓ

== TTT

, a

ΓΠΠΓ

== www

, то

(

)

()

,

*

*"*

ΓΠΓΠΓΠΓΠΓΠΓΠΓΠ

ΓΠΓΠΓΠΓΠΓΓΠΠΓΓΠΠ

=+=

=++=+

diGdTcdwwG

dwwGdTcGcGdiGdiG

p

pp

&&

&&&&&

где

ΠΓΓΠ

+= GGG

&&&

.

Возвращаясь к (4.22), получим :

()

[

]

ΓΠΚΚΠΚΠΓΠ

+−−= GdiGGdiidi

&&&

/

**"**

,

()

[

]

ΓΠΓΠΓΠΓΠΓΠΚΚΠΚΠΓΠ

−+−−=

pp

cdwwGcdiGGdiidT /)/(

**"*

&&&

,

где

(

)

ΓΠΠΠΓΓΓΠ

+= GcGcGc

ppp

&&&

/ - удельная изобарная теплоемкость газопаровой

смеси.

Ниже приводится система уравнений, позволяющая выполнить расчет

сопла Лаваля на основе обратной задачи (задан закон изменения статического

давления вдоль продольной оси сопла, см. программу LAV3).

(

)

()

2

0

2

00

11

12

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

l

x

ppl

xppp

dx

dp

CP

, (4.23)

ΚΚΚ

Π−ΚΚ

Π

==

wD

jG

FnjD

dx

Gd

Cv

ρ

π

&&

6

2

, (4.24)

52

ΚΚ

Π−ΚΚ

−=

w

j

dx

dD

ρ

2

, (4.25)

()

ΓΠ

Π

ΚΓΠ

ΚΚΚ

Κ

ΓΠΓΠ

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

−+++−= G

dx

Gd

wwD

Dw

GD

dx

dp

w

G

dx

dw

CW

&

&&&

/

6

3

*

πτ

ρπ

ρ

, (4.26)

ΚΚΚ

ΚΚ

Κ

+−=

ρπ

ρ

3

*

61

Dw

D

dx

dp

wdx

dw

, (4.27)

()

[]

di

dx

iT ij T T

DnF

G

vCΚ

ΚΚΚΠ ΚΓΠ

Κ

*

"* *

&

=− − + −

−

α

π

2

, (4.28)

Κ

∗

ΚΚ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

p

c

dx

dw

w

dx

di

dx

dT

/ (4.29)

()

dx

dw

c

w

Gc

dx

di

G

dx

Gd

ii

dx

dT

p

ΓΠ

ΓΠΓΠ

Κ

Π

ΚΠ

ΓΠ

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−−=

&&

&

/

*

*"*

, (4.30)

()

ΓΠΓΠ

ΓΠ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−= TR

dx

dT

T

p

dx

dp

dx

d

/

ρ

, (4.31)

где

ΠΓΓΠ

+= GGG

&&&

0

;

ΠΚΠΚ

−+= GGGG

&&&&

00

;

(

)

ΠΓΓΠΓΠΓΠΓΠ

+=

μμμμμ

GGG

&&&

;

(

)

ΠΓΠΓΠΓΠΠΠ

=

μμ

GpGp

&&

/

- парциальное давление пара в газопаровой смеси;

(

)

ΓΠΠΠΓΓΓΠ

+= GGGRR

&&&

/

00

μμ

;

(

)

ΓΠΠΠΓΓΓΠ

+= GGcGcc

ppp

&&&

/

;

()

ΚΠ

=

Tfp

S

;

()

(

)

2

966

2731003,02731005,0102,17

~

−⋅−−⋅+⋅=

ΓΠ

−

ΓΠ

−−

Γ

TT

μ

;

()

(

)

2

853

273102908,4273104189,8108,23 −⋅−−⋅+⋅=

ΓΠ

−

ΓΠ

−−

Γ

TT

λ

;

[

()

(

)

3

2

4"

10]273102927304,22501 ⋅−⋅−−⋅+=

ΓΠ

−

ΓΠΠ

TTi

;

()

(

)

2

3

27310695,22731475,09,999 −⋅−−−=

Κ

−

ΚΚ

TT

ρ

;

μρ

~

/Re

ΓΠΚΚΓΠΚ

−= Dww ;

()()

ΓΠΓΠ

= ppTTDD

n

000ЂСФ

;

(

)

ЂСФ

DSc

ΓΠΓ

=

ρ

μ

/

~

;

(

)

ΚΚ

+= DDSc /Re6,02

33,05,0

ЂСФ

β

;

()

0

/ RTpTpj

S ΓΠΠΚΠΠΠ−Κ

−=

βμ

; 32,0Re4,4Re24

5,0

++=

ΚΚx

c ;

()

8/

2*

ΚΓΠΚΓΠΓΠΚ

−−= wwwwDcD

x

ρπ

;

ΓΠΓΠΓΠΓΠ

=

μ

ρ

~

/Re

C

Dw ;

25,0

Re079,0

ΓΠ

=

f

c ;

2/

2

ΓΠΓΠ

= wc

fW

ρτ

;

ΓΓΠΓ

=

λ

μ

/

~

Pr

p

c ;

(

)

ΚΓΚ

+= D/PrRe6,02

33,05,0

λα

;

()

(

)

ΓΠΓΠΓΠΚΚΚ

+=

ρρ

wGwGF

C

&&

;

π

CC

FD 4= .

Рассмотрим прямую задачу. Как отмечалось выше, в этом случае, когда

задан закон

F

c

=f(x), необходимо найти градиент статического давления вдоль

продольной оси канала, то есть разрешить систему уравнений (4.24)-(4.31),

включая уравнение сплошности

ΚΚΚΓΠΓΠΓΠ

+= fwfwG

CM

ρρ

&

, относительно dp/dx.

Найдем

dp/dx. Дифференцируя уравнение сплошности и полагая

ρ

K

=const, получим

0=++++

Κ

ΓΠΓΠ

ΚΚ

Κ

ΓΠΓΠ

ΚΚ

ΓΠ

df

w

dw

w

f

dw

w

f

d

f

df

ρ

, (4.32)

но

ΚΓΠ

−

=

fFf

C

, (4.33)

a

n

D

fwG

&

Κ

ΚΚΚΚ

==

ρ

π

ρ

6

3

. (4.34)

53

Дифференцируя (4.33) и (4.34) и подставляя

ΚΓΠ

−= dfdFdf

C

и

Κ

−= dw

w

f

dDn

w

D

df

&

2

π

в (4.32), будем иметь

0

22

=++++

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ΓΠ

Κ

ΓΠΓΠ

ΚΚ

dw

w

f

d

f

dFdw

w

f

dD

w

nD

w

nD

C

ρ

π

ρ

πρ

&&

. (4.35)

Слагаемое

ΓΠ

ρ

d

f

в (4.35) с учетом (4.31), (4.30) и (4.28) представим в виде

(

)

(

)

,

2

"*"*

dx

dw

cT

wf

GcT

FnDTf

dx

Gd

GcT

fiTi

dx

dp

p

f

dx

df

p

Cv

p

ΓΠ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

ΚΓΠ

Π

ΓΠ

ΓΠΠΚΓΠΓΠ

ΓΠ

+

Δ

−

−=

&

πα

ρ

(4.36)

где

Cv

FnjD

dx

Gd

Π−ΚΚ

Π

=

2

π

&

.

Выражение

Κ

ΓΠΓΠ

ΚΚ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− dD

w

nD

w

nD

22

&&

π

ρ

πρ

в (4.35) , учитывая, что

dx

Gd

nD

dx

dD

Π

ΚΚ

Κ

−=

&

2

πρ

, перепишем так:

dx

Gd

ww

Π

ΚΚΓΠΓΠ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

&

ρρ

11

. (4.37)

Подставляя (4.36) и (4.37) в (4.35), найдем

()

,0

11

2"*"*

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

Δ

−

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++

Π

ΚΚΓΠΓΠ

ΚΓΠΓΠ

ΓΠ

ΓΠΚΠ

ΓΠ

ΓΠΠΚ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

ΓΠΓΠΚ

Κ

dx

Gd

ww

wGTc

nfDT

dx

Gd

GcT

fiTi

dx

dp

p

f

dx

dw

w

f

cT

wf

dx

dw

w

f

dx

dF

pp

p

C

&

ρρ

πα

(4.38)

где

Κ

= wFnn

Cv

&

.

Преобразуем (4.38), используя (4.26) и (4.27) к виду

()

++−+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+−×

×=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ΓΠΓΠ

ΓΠ

Κ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

Κ

ΚΚΚ

Κ

ΓΠ

Κ

ΓΠ

Κ

ΓΠ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

1111

6

1

22

3

*

23

2

Mk

wG

fD

w

f

Mk

w

f

G

wD

D

dx

dp

w

G

M

w

f

CW

&&

&

πτ

ρπ

ρ

(

)

()

,

1

11

1

2

"*"*

dx

dF

wwa

knDT

dx

Gd

w

Mk

w

a

kiTi

G

f

C

−

−Δ

+

⎥

⎦

⎤

+−

−+−

⎢

⎣

⎡

Δ

+

−−

+

ΓΠΓΠΚΓΠ

ΓΠΚΠ

ΚΚ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

ΓΠΠΚΚ

ΓΠ

ρ

πα

ρ

&

(4.39)

54

где

2

ΓΠ

ΓΠΓΠ

=

a

k

p

ρ

;

()

1/

2

−=

ΓΠΓΠΓΠΓΠ

kaTc

p

;

ΚΓΠ

−

=

Δ

www

.

Отметим, чтобы получить (4.39), необходимо выполнить утомительные

преобразования!

Разрешая (4.39) относительно dp/dx, окончательно можно написать

()

++−×+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+−×

×

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

ΓΠΓΠΓΠΓΠΓΠ

ΚΓΠ

ΓΠΚ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

Κ

ΚΚΚ

ΓΠΓΠ

Κ

ΓΠ

Κ

ΓΠ

Κ

ΓΠ

GMkwD

wf

Mk

G

wD

w

G

M

dx

dp

CW

&

1111

6

1

22

3

*

23

2

ρπτ

ρπ

ρ

()

(

)

()

,1

11

1

222

2

"*"*

22

⎭

⎬

⎫

−

⎥

⎦

⎤

+−

⎢

⎣

⎡

−+−

Δ

+

−−

+

−Δ

+

ΓΠ

ΓΠΓΠ

ΓΠΚ

ΓΠΓΠΠ−ΚΚ

ΚΚ

ΓΠΓΠ

ΓΠ

ΓΠΠΚΚ

ΓΠΚ

ΓΠΓΠΓΠΚ

dx

dF

f

w

Gw

wnjD

w

Mk

w

a

kiTi

Gw

MknDT

C

ρρπ

ρ

ρπα

&

(4.40)

где

()

3

000

/6

ΚΚΚ

= DGn

πρ

&

- число капель в единицу времени (поток капель), 1/c.

Первое слагаемое в правой части уравнения (4.40) учитывает

сопротивление капель, второе - силу трения между парогазовым потоком и

стенками канала, третье - теплоотдачу от капель к потоку, четвертое -

характеризует эффекты, связанные с массопереносом, пятое - воздействие

геометрии канала на поток.

Если, например, течение дозвуковое, то есть

01

23

2

<−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Κ

ΓΠ

Κ

ΓΠ

Κ

ΓΠ

ρ

w

G

M

&

, то все воздействия на поток при dF

C

/dx<0,

как видно из (4.40), будут приводить к падению dp/dx.

Используя уравнения (4.40), (4.24)-(4.31) и F

C

=f(x), можно определить

значения основных физических величин вдоль канала. Приведенные выше

уравнения реализованы в программе LAV3B, представленной в приложении

№3, где приводятся текст программы и результаты расчета в виде таблицы.

4.3 Высоковлажный поток

Под высоковлажным потоком будем понимать такой поток, у которого

степень сухости несколько больше граничной, при которой в процессе

расширения происходит переход пузырьковой структуры в капельно-паровую.

Так, например, граничная степень сухости пара

()

1/

1

6/21

1

/

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=+=

Π

ΠΠ

ρρ

π

ж

GGGx

жгр

&&&

при температуре t

s

=150C равна 7,95·10

-3

.

55

Однако все уравнения, полученные для такого потока, справедливы для

капельно-паровых потоков с низким влагосодержанием. Особенность расчета

высоковлажного потока заключается в том, что здесь необходимо учитывать

нестационарный характер охлаждения капель. Неучет этого обстоятельства

приводит, как показывают расчеты, к завышению энергетических

характеристик сопел, работающих на вскипающих и высоковлажных потоках,

особенно при

наличии в них крупнодисперсной влаги (D

к

=4...8·10

-5

м), по

сравнению с опытными данными.

Экспериментальные исследования таких потоков показывают, кроме того,

что длина расширяющейся части сопла, при прочих равных условиях, влияет на

коэффициент полезного действия сопла (

η

с

=

ϕ

с

2

), где

ϕ

с

- коэффициент скорости

сопла. У коротких сопел (l

рс

/d

г

=6, где l

рс

-длина расширяющейся части сопла)

поток на срезе имеет значительную термическую неравновесность, при этом

температура капель превышает температуру пара на 30 и более градусов, что

приводит к значительной потере располагаемого перепада энтальпии. Такие

сопла малоэффективны (

ϕ

с

≈0,45...0,5) и работают с большим шумом, так как в

этом случае взрывной распад капель происходит вне сопла. При

значительной длине (l

рс

/d

г

≥50) начинают сказываться силы трения и

эффективность падает, то есть существует оптимальная длина. Для одного из

режимов (p

0

*

=0,5МПа, Т

0

*

=420К, р

ос

=0,1МПа) нами получено оптимальное

отношение (l

рс

/d

г

)

опт

≈38 при

ϕ

с

≈ 0,8, где l

рс

- длина расширяющейся части сопла.

Таким образом, здесь в отличие от сопел, работающих на газовых средах,

длина сопла при безотрывном течении оказывает существенное влияние на

КПД, так как время нахождения жидкой фазы в канале определяет степень

завершенности фазовых переходов.

Вернемся к вопросу нестационарного охлаждения капель. Для газовых

потоков, несущих испаряющиеся

капли, при определении коэффициента

теплоотдачи от капель используется зависимость

()

Κ

Γ

ΓΚΓ−Κ

+=

D

C

nm

λ

α

PrRe2 (4.41)

и в большинстве случаев выполняется условие Bi≤0,1 (напомним, что критерий

Bi

к

=(D

к

/(2

λ

к

))/(1/

α

) является определяющим и характеризует соотношение

между внутренним и внешним термическими сопротивлениями), что позволяет

считать температуру в центре и на поверхности капли одинаковой. Однако при

испарении жидкости в собственный пар коэффициент теплоотдачи на границе

раздела находят по формуле [12].

()

ss

TRvvT

r

Π

Π−Κ

′

−

′′

=

π

κ

α

2

конд

, (4.42)

где

κ

конд

=35/p

s

0,56

- коэффициент конденсации. Если предположить, что

коэффициент конденсации равен коэффициенту испарения, то для паро-

капельных потоков даже с мелкодисперсной структурой (D

к

≈10

-5

м) Bi

к

может

56

быть значительно больше единицы и в этом случае для испаряющейся капли

температура в центре будет выше температуры на поверхности.

Особенность предлагаемого расчета заключается в следующем.

Используя решение дифференциального уравнения теплопроводности шара

[13]

(

)

(

)

()

[]

∑

∞

=

−

=

−

=

1

2

0

exp

cossin

sincossin2

),(

n

nnnn

Fo

R

tt

tRt

μ

μμμμ

τ

θ

ж

, (4.43)

где

0

/ RRR = - текущий безразмерный радиус, определяем безразмерную

разность температур между поверхностью капли и окружающим ее паром

(

)

(

)

()

[]

∑

=

ΠΚ

=

−

=

−

=

3

1

2

1

exp

cossin

sincossin2

n

nnnn

R

Fo

TT

μ

μμμμ

μ

θ

(4.44)

и далее находим температуру на поверхности капли

(

)

Π

=

ΠΚΚ

+−= TTTT

R

1

θ

. (4.45)

Так как выражение (4.43) получено для случая, когда при

τ

=0 все точки

шара с радиусом R

0

имеют одинаковую температуру t

0

, то предполагается, что в

начале каждого шага по координате х капля имеет среднюю температуру

T

Κ

,

найденную из уравнения сохранения энергии для всего потока

273

2

/

2

22

"*

0

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

Κ

Π

ΠΠΚ p

c

w

G

w

iGIT

&&

, (4.46)

то есть на каждом шаге мы сводим задачу к решению (4.43).

Зная

α

и Т

кR

, по формуле (4.47) определяем результирующий поток пара

от испаряющейся капли

(

)

rTTj

R

/

)( ΠΚΠ−Κ

−

=

Δ

α

. (4.47)

При определении критерия Фурье Fo=a

к

τ

/(D

к

/2)

2

использовались зависимости:

a

к

=

λ

к

/c

pк

/

ρ

к

,

τ

=Δх/w

к

.

Для нахождения корней трансцендентного характеристического уравнения

tg

μ

=-

μ

/(Bi

к

-1) (4.48)

внутри основной программы организуется дополнительный цикл.

При расчете высоковлажных потоков с очень мелкодисперсной

структурой (R

к

≤10

-2

мкм) необходимо учитывать поверхностные эффекты. В

этом случае давление в капле

р

к

=р

s

+2

σ

/R

к

, (4.49)

где p

s

- давление насыщенного пара,

σ

- коэффициент поверхностного

натяжения, а давление пара р

п

над каплей при равенстве химических

потенциалов фаз можно найти из формулы Кельвина

S

TRR

v

p

v

p

ΠΚ

Π

′

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

′′

′

=

~

2

1ln

σ

, (4.50)

где

~

R

Π

- газовая постоянная пара.

В области, где p

s

намного меньше критического давления пара, формула

(4.50) переходит в (4.51)

57

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

=

ΠΚ

Π

S

TRR

v

pp

~

2

exp

σ

. (4.51)

Так, в [14] энтальпия капли с учетом поверхностной энергии

записывается в виде

ΚΚΚ

Κ

ΚΚ

∞ΚΚ

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

RdT

d

T

R

ii

ρ

σσ

σ

ρ

23

, (4.52)

где

Κ

dT

d

T

σ

- скрытая теплота образования единицы поверхности [5].

Для пузырьковой структуры энтальпию несущей жидкой среды с учетом

поверхностной энергии предлагается рассчитывать из выражения

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

ΠΠ

Π

∞

ж

жж

ж

жж

dT

d

T

wGR

wG

ii

σ

ρ

&

3

. (4.53)

В дальнейшем мы не будем учитывать эти эффекты.

В качестве примера рассмотрим расчет сопла, работающего на

высоковлажном потоке. Для этого уравнения (4.42), (4.44 - 4.48) необходимо

дополнить следующей системой уравнений:

ΚΚΚ

ΚΠ

Δ

=

ρ

wD

Gj

dx

Gd

&&

6

,

()

ΚΚ

Κ

Δ−= wj

dx

dD

ρ

/2 ,

(

)

()

2

0

2

00

11

12

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

l

x

ppl

xppp

dx

dp

CP

,

()

Π

ΚΠ

ΚΚΚ

Κ

ΠΠ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+++−= G

dx

Gd

wwD

Dw

GD

dx

dp

w

G

dx

dw

CW

&

&&&

πτ

ρπ

ρ

3

*

6

,

ΚΚΚ

ΚΚ

Κ

+−=

wD

D

dx

dp

wdx

dw

ρπ

ρ

3

*

61

,

ρ

п

=1,213⋅10

-5

⋅

p

0,9375

, T

п

=5,677⋅p

0,25

+273 , Re

к

=⏐w

п

-w

к

⏐D

к

ρ

п

/

μ

п

,

с

x

=24/ Re

к

( 0≤ Re

к

≤1),

с

x

=24/ Re

к

0,667

( 1≤ Re

к

≤390),

с

x

=0,45

( Re

к

>390),

()

8

2*

ΚΠΚΠΠΚ

−−= wwwwDcD

x

ρπ

,

(

) ()

ΚΚΚΠΠΠ

+= wGwGF

C

ρρ

&&

,

5,0

)/4(

π

cc

FD = ,

5,0

22

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

ΚΠ

ΚΚΠΠ

GG

wGwG

w

&&

&

дсм,

.

Приведенная система уравнений реализована в программе LAV7 (см.

приложение №3). Программа позволяет выявить влияние диаметра капель и

длины сопла на его эффективность.

58

Так, например, выполненные расчеты для случая: р

0

=6,5⋅10

5

Па, Т

к0

=438К,

Т

п0

=435К, w

п0

=15м/c, w

к0

=10 м/c,

0Π

G

&

=12⋅10

-3

кг/c,

0Κ

G

&

=0,4 кг/c показали, что

перевод двухфазного сопла с крупнодисперсной влаги (D

к

=8⋅10

-5

м) на

мелкодисперсную (D

к

=8⋅10

-6

м) увеличивает коэффициент скорости с 0,549 до

0,816 (при l

c

=0,15 м), что снижает потерю кинетической энергии в 2,1 раза!

В программе LAV4 (приложение №3) коэффициент теплоотдачи

определяется по формуле (4.41). Сравнение результатов расчетов по этим

программам позволяет выявить влияние нестационарного охлаждения капель на

характеристики высоковлажного потока.

4.4. Смешение парокапельных потоков

С процессами смешения в потоке мы встречаемся в ряде энергетических

устройств.

Так, в эжекторе, работающем на паре, имеет место смешение

парокапельного и газового потоков, в инжекторах - смешение парокапельного

потока с потоком холодной жидкости. Снижение температуры перегретого пара

в пароохладителе также осуществляется путем ввода в камеру смешения

холодной жидкости.

В термодинамическом аспекте расчет сводится, как правило, к

определению скорости и температуры смеси

на выходе из камеры смешения,

при этом используют уравнения энергии для адиабатического канала

∑

=

==

n

i

iiCMCM

iGGiI

1

***

&&

&

и сохранения потока массы

∑

=

n

i

iCM

GG

1

&&

. Однако, подобный

расчет не дает ответа на вопрос - какой длины должна быть камера смешения и

как должна изменяться площадь ее поперечного сечения вниз по потоку. На

эти вопросы может ответить только расчет базирующийся на

законах гидрогазодинамики, причем за счет геометрического воздействия на

поток можно создать камеры, в которых dp/dx<0, dp/dx=0

и dp/dx>0.

Рассмотрим процессы в камере смешения. Будем считать, что в камеру

смешения поступает влажный пар, к которому подмешивается холодная

жидкость. Подвод холодной жидкости в камеру может осуществляться как

через периферийное сопло, так и через центральное сопло или группу сопел,

причем последнее позволяет получить более однородную структуру потока.

Упрощая задачу,

будем считать, что в начальном сечении камеры холодные и

горячие капли распределены равномерно в сухом насыщенном паре, но в целом

поток термически и механически неравновесен. При своем движении в камере

и наличии обменных процессов он будет переходить в равновесное состояние:

значения температуры и скорости фаз будут близки между собой. Переход в

это

состояние или близкое к нему и определит длину камеры смешения.

Для потока холодных капель, на которых конденсируется пар, уравнение

движения запишем в виде

59

(

)

dx

Gd

G

ww

wD

D

dx

dp

wdx

dw

ΚΠ

ΧΚ

ΧΚΠ

ΧΚΧΚΧΚ

ΧΚ

ΧΚΧΚ

ΧΚ

−

++−=

-

&

ρπ

ρ

3

*

6

1

. (4.54)

Для горячих капель будем иметь

ΓΚΓΚΓΚ

ΓΚ

ΓΚΓΚ

ΓΚ

+−=

wD

D

dx

dp

wdx

dw

ρπ

ρ

3

*

6

1

. (4.55)

Производную dw

П

/dx определим из уравнения движения, записанного для

всего потока

(

)

dxDdpFwGwGwGd

KCWKC

πτ

−−=++

ΠΠΓΚΓΚΧΚΧΚ

&&&

. (4.56)

Дифференцируя левую часть (4.56) и учитывая, что

(

)

0=++

ΠΓΚΧΚ

GGGd

&&&

и

ΓΚΠΚ

−= GdGd

&&

-

, а

ΧΚΚΠ

= GdGd

&&

-

и подставляя значения

dw

ХК

/dx и dw

ГК

/dx из (4.54) и (4.55), получим

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−++++−=

ΠΚ

ΓΚΠ

ΓΚΓΚΓΚ

ΓΚΓΚ

ΧΚΧΚΧΚ

ΧΚΧΚ

Π

dx

Gd

ww

wD

GD

wD

GD

D

dx

dp

f

G

dx

dw

KCW

-

&&&

&

ρπρπ

πτ

3

*

3

*

66

1

(4.57)

Так как нами рассматривается прямая задача, то необходимо найти

выражение градиента давления вдоль камеры смешения. Из уравнений

сплошности, полагая

ρ

к

=const ,

(

)

ΚΠΧΚΧΚΧΚ

=

-

Gdfwd

&

ρ

, (4.58)

(

)

ΠΚΓΚΓΚΓΚ

−=

-

Gdfwd

&

ρ

, (4.59)

определим соответственно

dx

dw

w

f

dx

Gd

wdx

df

ΧΚ

ΧΚΚΠ

ΧΚΧΚ

ΧΚ

−=

-

&

ρ

1

, (4.60)

dx

dw

w

f

dx

Gd

wdx

df

ΓΚ

ΓΚΠΚ

ΓΚΓΚ

ΓΚ

−−=

-

&

ρ

1

, (4.61)

где

0

2

>=

ΧΚΧΚ−ΠΧΚΚΠ KCv

FnjDdxGd

π

-

&

и 0

2

>=

ΓΚΠ−ΓΚΓΚΠΚ KCv

FnjDdxGd

π

-

&

.

Производные

dxd /

"

Π

ρ

и dxdf /

Π

найдем из формул:

dx

dp

d

dx

d

""

ΠΠ

=

ρρ

, (4.62)

dx

df

dx

df

dx

dF

dx

df

KC

ΓΚΧΚΠ

−−= . (4.63)

Дифференцируя уравнение сплошности для всего потока

(

)

0

"

=++

ΧΚΧΚΧΚΓΚΓΚΓΚΠΠΠ

ρρρ

fwfwfwd (4.64)

с учетом (4.54),(4.55),(4.57) и (4.60)-(4.63) после долгих преобразований

получим:

()

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

Π

ΧΚ

Π

ΧΚ

Π

ΧΚ

ΓΚ

Π

ΓΚ

Π

ΓΚ

Π

f

w

G

w

G

ddp

w

dx

dp

1

2

"

32

"

3

"

2

ρ

&

Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение

Подождите немного. Документ загружается.