Барилович В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение
Подождите немного. Документ загружается.
30
FdxnDdpfdwG
v
*
+−=
ΚΚΚ
&
. (3.45)
Выполнив аналогичные выкладки для конденсирующегося дисперсно-
кольцевого потока с учетом (3.18...3.20), можно получить
ΠΛ
−−−= dSFdxnDdpfdwG
glv
τ
*
ппп
&
,
(3.46)
(
)
(
)
Κ−ΠΚΠΠΛΚΚΚΚ
−+−−+−= GdwwEdwwFdxnDdpfdwG
v
&
&
&
УН
*
, (3.47)
(
)
()
.
ΠΛ−ΠΠΛΠ
ΠΛΚΠΛΠΛΠΛΠΛ
−+
+−+−+−=
Gdww
DdwwdSdSdpfdwG
COWWgl
&
&
&
ττ
(3.48)
Для монодисперсного потока, в котором происходит конденсация пара на
каплях (Т
п
>Т
к
), уравнения движения записываются следующим образом:
WWv
dSFdxnDdpfdwG
τ
−−−=
ΠΠΠ
*
&
, (3.49)
(
)
Κ−ΠΚΠΚΚΚ
−++−= GdwwFdxnDdpfdwG
v
&&
*
, (3.50)
где
Κ−Π
Gd
&
=
FdxnjD
vΚ−ΠΚ
2
π
- элементарный поток конденсирующегося
пара на каплях.
Для случая, когда паро-капельный поток с испаряющимися каплями
движется в адиабатическом канале, по стенкам которого течет холодная пленка
можно написать:
(
)
ΠΛΠΠΛ−ΠΠΠ−ΚΚΠΠ
−−−−= dSFdxnDdpfGdwGdwwGd
glv
τ
*
&&&
(3.51)
(
)
OCv
DdwFdxnDdpfEdwGdwwGd
&&
&&
ΚΚΠΛΠ−ΚΚΚΚ
−+−+−=
*
. УН
, (3.52)
(
)
WWglOC
dSdSDdwdpfEdwGdwwGd
ττ
−++−−=
ΠΛΚΠΛΠΛΠΛ−ΠΠΠΛΠΛ
&&
&&
УН
. (3.53)
Выполнив дифференцирование левых частей уравнений и разрешая их
относительно
ii
dwG
&
с учетом (3.21...3.23), получим
(
)
Π−ΚΚΠΠΛΠΠΠ
−−−−−= GdwwdSFdxnDdpfdwG
glv
&&
τ
*
,
(3.54)
()
УН
EdwwFdxnDdpfdwG
v
&
&
ΠΛΚΚΚΚ
−−+−=
*
, (3.55)
(
)
(
)
.
ΠΛ−ΠΠΛΠΠΛΚΠΛΠΛΠΛΠΛ
−+−+−+−= GdwwDdwwdSdSdpfdwG
OCWWgl
&
&
&
ττ
(3.56)
Слагаемые типа
Π−ΚΚΠ
− Gdww
&
)(
называются силой Мещерского. Из
уравнений (3.38) и (3.47) следует, что в двухфазном потоке с испаряющимися
каплями эта сила тормозит паровой поток и ускоряет капельный при
конденсации пара. Несмотря на то, что поток испаряющихся капель (см.
формулу 3.36) или поток конденсирующегося пара теряют количество
31
движения за счет фазовых переходов, в уравнениях движения, записанных
относительно
ii
dwG
&
(см. (3.39) и (3.46)), сила Мещерского отсутствует. Для
того чтобы избежать ошибок в написании уравнений движения при
исследовании двухфазных потоков, необходимо за основу брать уравнения типа
(3.35), (3.36) и (3.37) и далее, с учетом уравнений сохранения массы (3.1)-(3.3),
выполнять нужные преобразования.
Если течение нестационарное, то локальное изменение количества
движения, например, фиксированного элемента паровой составляющей
испаряющегося потока
(Т
К
>T
П
, Т
ПЛ
>T
П
) в единицу времени обусловлено
потоками количества движения через границы выделенного объема как
собственного пара, так и пара, образовавшегося при испарении капель и
пленки, а также действием внешних сил, приложенных к нему, то есть
()
()
.
*
ΠΛΠΠ−ΠΛΠΛΠ−ΚΚΠΠΠΠ
−−−−++
∂
∂
−=
∂
∂
dSFdxnDdpfGdwGdwdxwG
x
wG
glv
τ
τ
&&&
(3.57)
Часто при рассмотрении двухфазных потоков вводят понятие объемной
доли
dV
dV
i
i
=
α
, где
ΠΛΚΠ
+
+
= dVdVdVdV
. Для нашего случая будем иметь:
()
()
(
)
(
)
()
.,
4
,
,,
2
2
dV
x
p
dV
x
p
dx
x
p
fdpfdVj
D
w
dxDjwGdwdVnDjwGdw
dVw
x
dxGw
x
dVwGw
v
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+=
===
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ΠΠΠΠΠΛΚΠ−ΠΛ
ΠΛ
ΠΛ
ΠΛΠ−ΚΠΛΠΛΠΛΚΠ−ΚΚΚΚ
ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ
ααα
ππ
αραρ
ττ
&&
&
Теперь уравнению (3.57) можно придать вид:
()
()
()
()
)58.3(.
4
4
*
22
ΠΚ
ΠΛ
Π
ΠΚΠ−ΠΛ
ΠΛ
ΠΛ
ΚΠ−ΚΚΠΠΠΠΠΠ
+−−
∂
∂
−
−+++
∂
∂
−=
∂
∂
αα
τ
α
ααπαραρ
τ
D
nD
x
p
j
D
w
nDjww
x
w
gl
v
v
Возможен и другой подход при выводе уравнения движения. Как и в
предыдущем случае, рассмотрим испаряющийся поток. Количество движения
элемента паровой фазы равно
ΠΠΠΠΠΠ
=
=
dVwdGwK
ρ
. (3.59)
Возьмем полную производную по времени от (3.59):
()
,
ΠΠΠ
ΠΠ
+= dG
d
d
wdG
d
dw
d
dK
τττ
но
ΠΠΠ
=
dVdG
ρ
, тогда
()
()
.dV
d
d
w
dV
d
dw
dV
d
d
wdV
d
dw
d
dK
ΠΠΠ
Π
ΠΠΠΠΠΠ
Π
Π
Π
+
+=+=
αρ
τ
τ
ραρ
ττ
ρ
τ
(3.60)
32
Введем понятие интенсивности источника массы
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ΠΠΠ
dV
dV
d
d
dV
dG
d
d
J
ρ
ττ
&
. (3.61)
Перепишем (3.60) с учетом (3.61):
()
dVJJw
d
dw
d
dK
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
Π−ΠΛΠ−ΚΠ
Π
ΠΠ
Π
&&
τ
ρα
τ
, (3.62)
где
v
njDJ
Π−ΚΚΠ−Κ
=
2
π
&
, кг/(м
3
с) ,
()
ΚΠΠ−ΠΛ
ΠΛ
Π−ΠΛ
+=
αα
j
D
J
4
&
.
Скорость изменения количества движения парового элемента зависит не
только от внешних сил, действующих на элемент, но и от потоков количества
движения испарившихся капель и пленки
(
)
dVJwJw
Π−ΠΛΠΛΠ−ΚΚ
+
&&
. Исходя из
сказанного, уравнение движения можно записать в виде:
()( ) ()
)63.3(.
4
*
ΚΠ
ΠΛ
ΠΠ−ΠΛΠΛΠΠ−ΚΚΠ
Π
ΠΠ
+−−−
∂
∂
−−−−−=
αα
τ
α
τ
ρα
D
nD
x
p
JwwJww
d
dw
gl
v
&&
Так как
r
w
f
x
yz= (,,,)
τ
, то
τ
∂τ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d
w
dz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
wd
r
r
r
r
r
+++=
,
∂τ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
τ
w
z
w
w
y
w
w
x
w
w
d
wd
zyx
r
r
r
r
r
+++=
.
Для одномерного нестационарного потока можно написать
∂
τ
∂
∂
∂
τ
w
x
w
w
d
dw
+= , тогда уравнение движения примет вид:
()( ) ()
.)64.3(
4
*
ΠΛ
ΚΠΠ−ΠΛΠΛΠΠ−ΚΚΠ
Π
Π
Π
ΠΠ
+−−−−−−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
D
nD
x
p
JwwJww
x
w
w
w
gl
vП
τ
αα
∂
∂
α
∂
∂
∂τ
∂
αρ
&&
В случае одномерного стационарного потока
() ( )
()
.
4
1
*
⎥
⎥
⎦
⎤
+−−−
−−−−
⎢
⎣
⎡
=
ΠΛ
Π−Κ
ΠΚΠ−ΚΠ−ΚΠ
Π−ΚΠ−ΠΛΠΛΠΠ−ΚΠ−ΚΚΠ
Π
Π
D
F
FnD
dx
dp
F
FJwwFJww
G
dx
dw
v
ααα
&&
&
(3.65)
33
Если обозначить
FdxJdxFnjDGd
v Π−ΚΠ−ΚΠ−ΚΚΠ−Κ
==
&
&
2
π
, то
===
Π−ΚΠ−ΠΛ
Π−ΠΛ
Π−ΚΠ−Κ
Π−Κ
FJ
dx
Gd
FJ
dx
Gd
.
.
;
&
&
&
&
()
ΠΛΠ−ΠΛΠ−ΠΛΚΠ
ΠΛ
Π−Κ
=+= Djj
D
F
παα
4
, и мы приходим к уравнению движения
для паровой составляющей в обычной форме (см. 3.41):
() ()
(3.66)./где,
1
*
dxdSDD
dx
dp
f
FnD
dx
Gd
ww
dx
Gd
ww
G
dx
dw
glglgl
v
ΠΛΠΛΠΛΠ
Π−ΠΛ
ΠΛΠ
Π−Κ
ΚΠ
Π
Π
=
⎥
⎦
⎤
−−
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−=
τπτπτ
&&
&
Рассмотрим более подробно силы, входящие в уравнения движения.
При больших относительных скоростях выражение
()
8/
2
ΚΠΚΠΠΚ
−− wwwwDc
x
ρπ
представляет силу сопротивления одной капли, а
()
dxFnwwwwDc
vx Κ−ΠΚΠΚΠΠΚ
−−
ρπ
2
- сопротивление капель, имеющих объемную
концентрацию
v
n в элементарном объеме dxF
Κ−Π
. Для случая, когда вязкостные
силы преобладают над инерционными (Re
к
≤0,1), а обтекание единичной сферы
потоком безотрывное , Стокс получил выражение
()
3
πμ
ΠΚ Π Κ
Dw w− . По
определению коэффициент сопротивления с
х
- это отношение силы
сопротивления к силе , обусловленной динамическим напором
(
)
(
)
2/4/
22
wD Δ
ΠΚ
ρπ
,
тогда
(
)
(
)
ΚΠΚΠΠΚΚΠ
=Δ=ΔΔ= Re/24/248//3
22
wDwDwDc
x
ρμρππμ
.
Обобщение многочисленных опытных данных по обтеканию твердых
сферических частиц в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса
(0,1≤Re
к
≤2⋅10
4
) позволило получить аппроксимацию так называемой
стандартной кривой [8]
(
)
(
)
32
Reln001443,0Reln03471,0Reln8893,0271,3ln
ΚΚΚ
++−=
x
c .
Однако в реальных потоках, например, с ростом концентрации частиц в
потоке, с
х
возрастает и становится больше, чем определяемый по стандартной
кривой. Аналогичный эффект имеет место в высокоградиентных потоках.
Увеличение степени турбулентности потока, особенно при больших числах Re
к
снижает с
х
. В потоках, содержащих пузырьки или капли, возможна их
деформация или даже разрушение ( более подробно эти вопросы рассмотрены в
[8],[9]), что отражается на с
х
. Так, если ввести каплю в высокоскоростной поток
газа, то она вначале примет форму эллипсоида, большая ось которого будет
перпендикулярна потоку, а затем, если критерий Вебера We=
ρ
п
D
к
Δw
2
/
σ
,
характеризующий соотношение между силами динамического напора и
поверхностного натяжения, будет больше критического значения (We
кр
=6),
определяющего максимально устойчивый диаметр капли маловязкостной
34
жидкости, произойдет её разрушение на более мелкие капли. Отметим, что в
плавно ускоряющихся потоках We
кр
может достигать 10...12 .
Если вязкость жидкости значительна, то критическое число Вебера
следует определять по формуле [24]
8,0
2
1412
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
ΚΚ
Κ
ΚΡ
σρ
μ
D
We
,
где выражение в скобках носит название “параметр устойчивости”.
Если капля вводится в поток при значительном числе Вебера (We
0
> We
КР
),
то в результате ее последовательного дробления образуется множество мелких
капель, диаметр которых D
К
можно определить из уравнения [11]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Κ
Κ
Κ
Π
Κ
Κ
D
D
Wec
We
D
D
x
0
125,0
00
5,1
25,0
0
25,0
0
ln315,0
9,1
ρ
ρ
,
где подстрочный индекс “0” относится к начальным условиям.
Японскими учеными [31] на основе модели: “срыва гребней
сворачивающихся волн” была сделана попытка обобщить большое число
опытных данных при кольцевом двухфазном течении в критериальном виде.
С точностью ± 40% большинство этих данных описывается соотношением
66,033,0
66,017,0
ReRe028,0)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
f
g
f
g
gfvme
DW
μ
μ
ρ
ρ
,
где
;/)(
2
σρ
vmggvme
DjDW =
fhfff
Dj
μ
ρ
/Re
=
- число Рейнольдса для
жидкости;
ghggg
Dj
μ
ρ
/Re = - число Рейнольдса для газа;
gf
jиj - объемные плотности потока жидкости и газа соответственно, м/с;
h
D
- эквивалентный диаметр канала.
Объемный медианный диаметр образовавшейся кали предлагается
определять по формуле
66,033,0
66,017,0
2
ReRe028,0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
f
g
f
g
gf
gg
vm
j
D
μ
μ
ρ
ρ
ρ
σ
В работе [31] отмечается, что при дроблении капель в газовом
потоке критическое число Вебера может быть определено из выражения
()
8,02
)/(1412
σρμ
DWe
ffкр
+= ,
где D- диаметр капли.
Однако в пульсирующем потоке значение критического числа Вебера , как
утверждают авторы, может снижаться на 50% по сравнению с величиной
полученной из вышеприведенного выражения.
При расчетах двухфазных потоков с целью повышения точности
результатов используют, как правило, экспериментальные зависимости
с
х
=f(Re
к
), найденные в заданном интервале изменения чисел Re
к
. В качестве
примера приведем некоторые из них.
35
В диапазоне изменения числа Re
к
=1...15 часто используют формулу
Клячко [8]
(
)
ΚΚ
+= Re/6/Re124
3/2
x
c . Если 15≤ Re
к
≤500 , то с
x
=48/ Re
к
. В [9] для
деформирующейся и дробящейся капли приводится формула
c
x
≈ 0 265
025
,Re
,
Κ
.
Для газовзвесей при Re
к
>1 и объемной концентрации частиц в потоке α
к
≤0,05
коэффициент сопротивления может быть найден из выражения
MWexx
cc
ψψψ
α
0
=
[10] ,
где
()
4,0
Re
4
Re
24
Re
5,0
0
++=
Κ
Κ
x
c - коэффициент сопротивления твердой сферической
частицы, обтекаемой несжимаемым потоком;
ψ
α
=(1-
α
к
)
-2,7
- коэффициент, учитывающий стесненность обтекания;
ψ
)03,0exp(
5,1
We
We
= - коэффициент, учитывающий деформацию капель
(0≤We≤25);
ψ
М
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
Κ
88,063,4
Re
0,3427,0
exp1
M
- поправка на сжимаемость несущего газа;
ΠΠ
Δ
=
TkR
w
M
- число Маха.
Получив определенные сведения о силе сопротивления капель в потоке,
перейдем к рассмотрению сил трения на границе пар-пленка. Из уравнения
Навье-Стокса для ламинарного режима течения и гладкой пленки, когда
определяющими являются силы трения и статического давления, а выпадение
капель в пленку отсутствует, можно получить
0
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
ΠΛ
ΠΛ
x
p
y
w
μ
.
Если изменение давления вдоль канала постоянного сечения подчиняется
закону Дарси, то есть
=
dx
dp
const, то уравнение принимает вид:
0
2
2
=−
ΠΛ
ΠΛ
dx
dp
dy
wd
μ
. (3.67)
Интегрируя (3.67) , найдем
.
2
,
21
2
1
CyC
y
dxdp
w
Cy
dxdp
dy
dw
++=
+=
ΠΛ
ΠΛ
ΠΛ
ΠΛ
μ
μ
36
Из граничных условий: y=0 ,
0
=
ΠΛ
w ; y=
δ
(
δ
-толщина пленки),
ΠΛ
=
ΠΛ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
τ
δ
gl
y
dy
dw
определим константы интегрирования
δ
μμ
τ
ΠΛΠΛ
−=
dxdp
C
gl
1
, С
2
=0
и закон изменения скорости жидкости по толщине пленки
y
dxdp
y
dxdp
w
gl
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
ΠΛΠΛΠΛ
ΠΛ
δ
μμ
τ
μ
2
2
.
Определим среднюю скорость пленки
δ
μ
τ
δ
μδ
δ
∫
ΠΛΠΛ
ΠΛΠΛ
+−==
0
2
23
)(
1
gl
dxdp
dyyww
. (3.68)
Из баланса сил, действующих на элементарный объем
dxDFdp
gl
π
τ
ΠΛ
= , где
δ
2
−
=
ΠΛ
DD ; D-диаметр канала,
определим градиент давления вдоль продольной оси канала
ΠΛ
=
Ddx
dp
gl
τ
4
.
Подставляя dp/dx в (3.68), получим
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
ΠΛΠΛ
D
w
gl
δ
μ
δτ
3
4
2
1
. (*)
Используя (*), выразим касательное напряжение на границе раздела фаз
через критерий Рейнольдса
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ΠΛ
ΠΛ
ΠΛ
μ
δρ
w
Re :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ΠΛ
ΠΛ
ΠΛΠΛ
D
gl
δ
δρ
μ
τ
3
4
2
1
Re
2
2
.
Если под коэффициентом трения на межфазной поверхности понимать
выражение
()
2
)(
2
δ
ρ
τ
=
ΠΛΠΠ
−
=
y
gl
glf
ww
c
, где
ΠΛ
=
ΠΛ
=
waw
y
δ
- скорость пленки при y=
δ
(в зависимости от режима течения а=1,5...2,5 [8]), то
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ΠΛ
ΠΛ
Π
ΠΛ
ΠΠ
ΠΛΠΛ
D
w
wa
w
c
glf
δ
δρρ
μ
3
4
2
1
1
Re2
2
2
2
2
)(
.
Умножив и разделив правую часть на
2
ΠΛΠΛ
w
ρ
, получим
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ΠΛ
Π
ΠΛ
ΠΛΠΠ
ΠΛΠΛ
D
w
wa
w
w
c
glf
δ
ρ
ρ
3
4
2
1
1Re
2
2
2
2
)(
. (3.69)
Для случая, когда
ΠΛΠ
>> ww , а
ΠΛ
<
< D
δ
37
ΠΛΠΠ
ΠΛΠΛ
=
Re
2
2
2
)(
w
w
c
glf
ρ
ρ
.
Однако значения коэффициента трения на межфазной границе,
найденные из эксперимента, превышают расчетные, полученные в
предположении гладкой поверхности пленки. Расхождение объясняется
наличием волн на поверхности пленки, амплитуда которых возрастает с
увеличением
Re
ΠΛ
, что приводит и к росту касательного напряжения трения.
Поэтому предпочтение отдается опытным данным. Например, для дисперсно-
кольцевого режима течения в трубах в диапазоне 93
≤
ΠΛ
Re ≤720 в работе [8]
приводятся графики c
f(gl)
=f(Re
ПΛ
) . Используя один из графиков, мы получили
аппроксимацию c
f(gl)
=[7+0,029(Re
ПΛ
-93)]·10
-3
.
Приведенные выше зависимости cf
fgl()
(Re )
=
ΠΛ
и имеющиеся данные
по с
W
=
ϕ
(Re )
ΠΛ
получены в основном для спутного движения пара и пленки в
каналах при незначительной средней скорости пленки, когда
ΠΛ
Re не
превышает 800. Однако в ряде технических устройств (соплах, работающих на
двухфазных потоках, струйных насосах, инжекторах, турбинах, использующих
в качестве рабочего тела вскипающую жидкость) Re
ΠΛ
может в 20...60 раз
превышать указанное значение. Так, на выходе из рабочей лопатки
гидропаровой турбины
Re
ΠΛ
=(2...5)⋅10
4
. Поэтому для расчета
высокоскоростных двухфазных потоков необходимо знать величину
коэффициента трения c
W
между высокоскоростным пристенным слоем
жидкости и стенкой при больших числах
ΠΛ
Re .
Исследования по определению
c
W
были проведены в ЛПИ в 1986 г.
В.А.Бариловичем. Участок, на котором проводились опыты, состоял из
открытого горизонтального лотка прямоугольного сечения шириной 14 мм
и длиной 1000 мм. В начале канала было установлено сопло Лаваля,
работающее на перегретой воде. Продольная ось сопла с осью канала
составляла угол 15
0
(см. рис. 3.3). Срез сопла прямоугольной формы нижней
гранью плотно прилегал к основанию канала. Измерение динамического напора
потока осуществлялось плоской микротрубкой Прандтля, которая соединялась
с образцовым манометром. Ширина рабочей части трубки равнялась 3 мм,
толщина - 0,4 мм. Система крепления трубки обеспечивала ее перемещение
вдоль и поперек канала с помощью супорта, контролировавшееся индикатором
с
ценой деления 0,01 мм. Движение зонда осуществлялось без “мертвого хода”.
38
Перед началом
опытов трубка Прандтля, соединительная трубка и манометр заполнялись
водопроводной водой. Зонд вводился в поток при истекающей воде из трубки,
затем водопроводный кран закрывался, образуя замкнутую систему зонд-
манометр.
Исследования показали, что на начальном участке за соплом формируется
высокоскоростной ускоряющийся пристенный слой жидкости. За зоной
орошения существует участок, где
отсутствует заметный срыв жидкости с
поверхности слоя, так как здесь выполнялось условие δ
w
ΠΛ
=const. На этом
участке длиной 115 мм и проводилась основная серия опытов. Толщина
пристенного жидкостного слоя определялась расстоянием от дна канала, на
котором динамический напор достигал максимального значения.
Движение пристенного испаряющегося (
Т
пл
>Т
п
) слоя жидкости
переменной массы в канале описывается уравнением
dSdpfDdwwwdG
glWOC
)()(
ττ
−−−−=
ΠΛΠΛΚΠΛΠΛ
&
&
.
Для безградиентного течения на участке, где отсутствует приток массы
капель, можно написать
dSwdG
glW
)(
ττ
−−=
ΠΛΠΛ
&
или dxwdw
W
gl
W
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
ΠΛΠΛΠΛ
τ
τ
τδρ
1 .
Так как
2/
2
ΠΛΠΛ
= wc
WW
ρτ
, a 2/)(
2
ΠΛΠΠ
−= wwc
glgl
ρτ
, то
()
dx
wc
wwc
wc
wd
W
gl
W
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
ΠΛΠΛ
ΠΛΠΠ
ΠΛ
ΠΛ
2
2
1
2
ρ
ρ
δ
.
Если принять, что
c
gl
и c
W
- величины одного порядка, то в
рассматриваемом случае
τ
gl /
τ
W
≈
(3...4)⋅10
-3
. Таким образом, локальное значение
коэффициента трения найдем из выражения
dx
wd
w
c
W
ΠΛ
ΠΛ
−≈
δ
2
. (3.70)
γ
dz
z
0
z
z
1
z
y
0
Рис. 3.3 К расчету коэффициента трения пристенного
слоя жидкости
39
Опыты показали, что средняя скорость пристенного слоя жидкости вдоль
канала на участке устойчивого движения изменяется на разных режимах по
линейному закону, т.е.
dw dx const
ΠΛ
/
=
.
Так, для одного из режимов (
dw dx
ΠΛ
/
=
-129,4 с
-1
) в начале участка
3
3
1
10063,3
36
4,12910426,02
−
−
⋅=
⋅⋅⋅
=
W
c , в конце -
3
3
2
10959,8
21
4,12910727,02
−
−
⋅=
⋅⋅⋅
=
W
c .
Среднее значение
W
c для всего участка определим по формуле
3
21
1
2
1
10292,5
115
426,02
1
21
36
)(
2
1
−
ΠΛ
ΠΛ
⋅=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
xxw
w
с
W
δ
,
которая получается после интегрирования (3.70) с учетом уравнения
сплошности
δ
=
δ
1
ww
ΠΛ ΠΛ1
/
. На расстоянии 65 мм от нижнего среза сопла вниз
по потоку
3
3
10435,3
9,33
4,1291045,02
−
−
⋅=
⋅⋅⋅
=
W
c
, а динамический напор на расстоянии
0,45 мм от дна канала составил 1,7 МПа (см. рис.3.4), что соответствовало
скорости жидкости на границе слоя, равной 59,9 м/c. Чтобы представить, как
велика эта скорость, уместно сравнить ее со скоростью автомобиля. Так, если
автомобиль движется со скоростью 90 км/час, то за 1 секунду он проходит
расстояние в 25 метров
. В нашем случае средняя скорость воды составляла 122
км/час, а в слое толщиной 0,45 мм она изменялась от 0 до 216 км/час!
Обработка
собственных опытных данных в критериальном виде позволила нам получить
уравнение
2
,
0
2
,
4
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0,5
1
,
0
1,5
р
,
МПа
у
,
мм
z=215 мм
165
115
65
Рис. 3.4 Эпюры динамического напора пристенного слоя на
различных расстояниях от среза сопла