Барабаш С.Б. Экономико-математические методы и модели
Подождите немного. Документ загружается.
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Кафедра экономико-математических методов и прогнозирования
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Методические указания
по выполнению контрольных работ
Для студентов заочной формы обучения
по всем специальностям
Новосибирск 2007
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к печати на
заседании кафедры “
” 200 г., протокол № .
Составители: Барабаш С.Б., к.ф.-м.н., доцент,
Воронович Н.В., к.э.н., доцент,
Игнатова О.А., доцент,
Пудова М.В., к. ф.-м. н., доцент
Настоящие методические указания предназначены для оказания
помощи студентам заочной формы обучения при выполнении контрольной
работы по дисциплине «Экономико-математические методы и модели».
Здесь приведены тексты и решения пяти задач, относящихся к различным
темам дисциплины.
Наряду с подробным изложением методов решения предложенных
задач кратко рассматриваются основные теоретические положения той
темы, к которой относится данная задача. Для каждой задачи используется
своя нумерация формул, рисунков и таблиц.
Каждый студент заочной формы обучения получает индивидуальный
вариант задания на выполнение контрольной работы. Требования к
выполнению и оформлению контрольной работы стандартные: полный
текст задачи, подробное решение с пояснениями действий и полный ответ
после завершения решения задачи.
1. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. Математическая модель оптимизации выпуска продукции.
Применение двойственных оценок в экономическом анализе планов
производства
Для изготовления продукции двух видов А и В предприятие
расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход.
Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой
продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении
предприятия, и выручки от реализации продукции приведены в таблице:
Нормы затрат ресурсов
Наименование
ресурсов
А В
Объем
ресурсов
Сырье (кг)
Оборудование (ст.-час)
Трудовые ресурсы (чел.-час)
3
2.5
1
5
2
2
1500
860
800
Цена изделия (руб.) 215 250
Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать месячную
программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки
от реализации готовой продукции.
Требуется:
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции
и записать ее в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения, найти оптимальную
программу выпуска продукции.
3. Составив двойственную задачу, к задаче оптимизации выпуска
продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия
«дополняющей нежесткости». Дать экономическую интерпретацию
этого решения.
Задача 2. Математическая модель оптимизации производства с
использованием кредита
Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале
выпуск новой продукции А и В, пользующихся спросом на рынке.
Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может
привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но
не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в
банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением
кредита и процентов по нему в конце квартала.
Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых
ресурсов, объемах сырья и оборудования, имеющихся в распоряжении
предприятия, цены продукции А и В приведены в таблице.
Нормы затрат ресурсов
Наименование
ресурсов
А В
Объем
ресурсов
Сырье (кг)
Оборудование (станко-час)
Трудовые ресурсы (чел.-час)
3
6
8
5
4
2
1500
1560
?
Цена изделия (руб.) 1259 766
Целью организации выпуска новой продукции является получение
максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность
между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за
квартал продукции, и затратами, связанными с обеспечением кредита
(возврат суммы кредита и начисленных процентов).
Требуется:
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции
с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочим с
произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.
2. Определить оптимальную программу выпуска продукции,
максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму
уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если
почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.
3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы как функцию
почасовой ставки оплаты труда t при 10 ≤ t ≤ T и построить ее
график. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и
кредита, обеспечивающего её получение, от почасовой ставки t
оплаты труда; найти функции, выражающие эти зависимости, и
построить их графики.
Задача 3. Максимизация объема выпускаемой продукции в
условиях ограниченных финансовых ресурсов
Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов:
рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.).
Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки
статистических данных, имеет вид:
3020
25
..
L
К
Y
⋅
=
,
где Y — объем выпуска продукции (ед.).
Требуется:
4. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из
переменных: а) K = 20; б) L = 18.
5. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y
1
= 69,
Y
2
= 103, Y
3
= 137
6. Известны объем выпуска продукции Y = 102 и наличные трудовые
ресурсы L = 20 в базовом периоде. Определить потребность в
оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска
продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов
составляет не более 5%.
7. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 8
(ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными
затратами 14 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма
может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 560
(ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации
выпуска продукции, считая, что производственная функция задана
на множестве K ≥ 0, L ≥ 0; найти графическим методом ее решение.
Определить предельную норму технологического замещения
оборудования рабочей силой и предельную эффективность
финансовых ресурсов в точке оптимума.
Задача 4. Построение и анализ сетевых графиков. Оптимизация
сетевого графика
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость
строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения
работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а
также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и
ускоренном режиме их выполнения приведены в таблицах:
Имя работы
A B C D E
Опирается на работу
F, H L K, G L
Нормальный срок (дни)
18 8 8 18 32
Ускоренный срок (дни)
17 6 7 14 29
Норм. стоим. (тыс. руб.)
81 60 70 89 111
Плата за ускор. (тыс. руб.)
5 8 4 8 6
Имя работы
F G H K L
Опирается на работу
A, C K, G A, C
Нормальный срок (дни)
34 7 11 7 8
Ускоренный срок (дни)
29 6 9 6 6
Норм. стоим. (тыс. руб.)
108 51 60 51 55
Плата за ускор. (тыс. руб.)
15 3 4 3 6
Требуется:
8. С учетом технологической последовательности работ построить
сетевой график выполнения этих работ.
9. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при
нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и
его продолжительность, указать все возможные критические пути,
определить стоимость всего комплекса работ.
10. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при
сокращении сроков строительства на 2 дня. В какую итоговую сумму
обойдется фирме ускоренная стройка павильона?
Задача 5. Построение и анализ уравнения парной линейной
регрессии
Имеются данные по 8 субъектам Российской Федерации за январь-
март 2006 г. о денежных доходах и потребительских расходах (в тыс. руб.)
на душу населения в среднем за месяц, приведенные в таблице:
№ Субъекты РФ Денежные доходы (x) Потребит. расходы (y)
1 Орловская обл. 2,82 2,04
2 Рязанская обл. 2,59 1,86
3 Астраханская обл. 2,59 2,26
4 Нижегородская обл. 2,58 2,34
5 Свердловская обл. 2,88 2,64
6 Челябинская обл. 3,59 2,59
7 Томская обл. 2,44 1,89
8 Иркутская обл. 2,66 2,3
Требуется:
1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на
основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде
статистической зависимости расходов y от доходов x; записать эту
гипотезу в виде математической модели.
2. Используя метод наименьших квадратов, найти точечные оценки
неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение
регрессии и построить график функции регрессии.
3. Найти коэффициент парной корреляции между доходами и
расходами.
4. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных расходов
в n-м субъекте РФ в будущем периоде, предполагая, что
среднемесячные доходы в этом субъекте РФ увеличатся на 30 %.
5. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. Математическая модель оптимизации выпуска
продукции. Применение двойственных оценок в экономическом
анализе планов производства
Исходные данные задачи имеют числовые значения, представленные
в следующей таблице.
Нормы затрат ресурсов
Наименование
ресурсов
А В
Объем
ресурсов
Сырье (кг)
Оборудование (станко-час)
Трудовые ресурсы (чел.-час)
3
2.5
1
5
2
2
1500
860
800
Цена изделия (руб.) 215 250
1.1. Построение математической модели оптимизации выпуска
продукции
Любая оптимизационная модель включает три основных элемента:
• переменные, которые следует определить;
• ограничения, которым должны удовлетворять переменные;
• целевую функцию, подлежащую оптимизации.
В нашей задаче необходимо определить месячные объемы выпуска
продукции А и В. Обозначим эти объемы как переменные модели:
x
1
— месячный объем выпуска продукции А,
x
2
— месячный объем выпуска продукции В.
Ограничения модели должны учитывать физические возможности
использования ресурсов. Поэтому модель должна включать для каждого
ресурса, используемого в производстве, ресурсное ограничение вида
расход ресурса для выпуска продукции ≤ имеющийся объем ресурса.
Используя данные таблицы, определим затраты каждого вида ресурса
для выпуска производственной программы х = (х
1
, х
2
):
расход сырья = 3х
1
+ 5х
2
,
затраты времени работы оборудования = 2.5х
1
+ 2х
2
,
затраты рабочего времени = х
1
+ 2х
2
.
Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их
имеющийся объем, то имеем ресурсные ограничения
3x
1
+ 5x
2
≤ 1500,
2.5x
1
+ 2x
2
≤ 860,
x
1
+ 2x
2
≤ 800.
Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности
переменных х
1
и х
2
, т.е. х
1
≥ 0, х
2
≥ 0.
Целевая функция модели должна выражать основную цель
деятельности предприятия: получение максимальной выручки от
реализации произведенной в течении месяца продукции. Если обозначить
функцию размера выручки через Z, то
Z = 215x
1
+ 250x
2
,
а основная цель предприятия может быть выражена так:
максимизировать целевую функцию Z = 215x
1
+ 250x
2
.
Для записи условия максимизации целевой функции часто
используется следующая форма:
Z = 215x
1
+ 250x
2
→ max,
где символ “max” есть сокращение латинского слова maximum.
Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска
продукции может быть записана в следующем виде.
Найти неизвестные значения переменных х
1
, х
2
, удовлетворяющие
ограничениям
3x
1
+ 5x
2
≤ 1500,
2.5x
1
+ 2x
2
≤ 860,
x
1
+ 2x
2
≤ 800,
х
1
≥ 0, х
2
≥ 0,
и доставляющие максимальное значение целевой функции
Z = 215x
1
+ 250x
2
→ max.
Построенная модель является задачей линейного программирования.
Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется
допустимым. Допустимое решение, доставляющее максимальное значение
целевой функции, называется оптимальным.
1.2. Нахождение оптимальной производственной программы выпуска
продукции
Решение задачи линейного программирования с двумя переменными
может быть получено графическим способом, который состоит из двух
основных этапов:
1. Построение множества допустимых решений, удовлетворяющих всем
ограничениям модели.
2. Нахождение оптимального решения на множестве допустимых
решений.
800
500344
300
430
400
x
2
x
1
3
1
2
A
0
B
C
D
Построим множество допустимых решений или, что то же самое,
область допустимых решений. Проведем перпендикулярные оси
координат: горизонтальная — 0х
1
, вертикальная — 0х
2
(см. рис. 1.1).
Условия неотрицательности переменных х
1
≥ 0 и х
2
≥ 0 показывают, что
область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы
координат. Для изображения на плоскости множества точек, координаты
которых удовлетворяют ресурсным ограничениям модели, рассмотрим
уравнения, получаемые из соответствующих неравенств заменой знака “≤”
на знак “=”. В результате такой замены получим три линейных уравнения,
которые представляют собой уравнения прямых:
3x
1
+ 5x
2
= 1500, (1)
2.5x
1
+ 2x
2
= 860, (2)
x
1
+ 2x
2
= 800. (3)
Чтобы провести на плоскости прямую линию, достаточно знать
любые две различные точки, лежащие на этой прямой. Рассмотрим
уравнение первой прямой. Если положить х
1
= 0, то х
2
= 1500/5 = 300, а при
х
2
= 0 значение х
1
= 1500/3 = 500. Следовательно, прямая (1) проходит
через две точки с координатами (0, 300) и (500, 0). На рис. 1.1 эта прямая
обозначена как линия (1). Аналогично строятся прямые (2) и (3).
Рис. 1.1. Иллюстрация построения множества допустимых решений
Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точки,
расположенные по одну сторону прямой, удовлетворяют
соответствующему неравенству, а точки, расположенные по другую
сторону, не удовлетворяют. Для того чтобы определить искомую
полуплоскость, выбирается некоторая «тестовая» точка и ее координаты
подставляются в левую часть неравенства.
Если для этой точки неравенство выполняется, то она лежит в
искомой полуплоскости, т.е. все точки этой полуплоскости удовлетворяют
неравенству модели. Если же для «тестовой» точки неравенство не
выполняется, то искомой будет та полуплоскость, которая не содержит эту
точку. Взяв в качестве «тестовой» точку с координатами (0, 0),
убеждаемся, что она удовлетворяет всем неравенствам модели:
3х
1
+ 5х
2
= 3×0 + 5×0 = 0 < 1500,
2.5х
1
+ 2х
2
= 2.5×0 + 2×0 = 0 < 860,
х
1
+ 2х
2
= 1×0 + 2×0 = 0 < 800.
Следовательно, все полуплоскости, соответствующие неравенствам
модели, содержат точку (0, 0). На рис. 1.1 искомые (допустимые) полу-
плоскости показаны стрелками.
Точки множества допустимых решений должны удовлетворять всем
ограничениям. Следовательно, множество допустимых решений является
пересечением всех допустимых полуплоскостей и представляет собой
многоугольник АВСD (заштрихованная область на рис. 1.1). Любая точка,
расположенная внутри этого многоугольника или на любом отрезке его
границы, является допустимым решением, т.е. удовлетворяет всем
ограничениям модели.
344
0
x
1
А
Z = 21500 Z = 43000
300
grad Z = (215, 250)
2.5x
1
+ 2x
2
= 860
x
2
3x
1
+ 5x
2
= 1500
точка максимума:
x
1
200
*
= , x
2
180
*
=
В
С
D
Z = 88000
Рис. 1.2. Иллюстрация нахождения точки максимума целевой функции
Для нахождения оптимального решения необходимо определить
направление возрастания целевой функции Z = 215x
1
+ 250x
2
. Если
приравнять Z к нескольким возрастающим значениям, например, 21500 и
43000, то получим уравнения прямых
215x
1
+ 250x
2
= 21500 и 215x
1
+ 250x
2
= 43000.
На рис. 1.2 эти прямые изображены штриховыми линиями, а
направление возрастания целевой функции — двойной стрелкой. Отметим,
что линию, в точках которой функция принимает постоянное значение,
называют линией уровня функции. Штриховые линии на рис. 1.2 — это