Бахтин С.А., Овчинников И.Г., Инамов Р.Р. Висячие и вантовые мосты. Проектирование, расчет, особенности конструирования

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 3.5. Общая схема аналитических методов расчета висячих мостов

Однако для решения системы уравнений недостаточно применения только

математических методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Это объясняется тем, что в двух уравнениях (см. рис. 3.5) содержится три

группы неизвестных: распор от временной нагрузки

, усилия в подвесках

z и прогибы

. Поэтому задача интегрирования уравнений должна соче-

таться с итерационным процессом поиска деформированного вида соору-

жения. Именно в этом и заключается различие в решении поставленной за-

дачи разными авторами [3, 7, 13].

Методы расчета висячих мостов в отдельности не будем рассматри-

вать, но отметим, что во многих из них в качестве критерия сходимости

итерационного процесса используется

коэффициент деформативности,

введенный Н. Кирсановым:

. (3.4)

Если конструкция жесткая (

Е1

→

∞

), то (r → 0) и можно выполнять

линейный расчет. При

r ≥ 2...3 конструкция становится достаточно гибкой

и расчет требуется вести по деформированной схеме. В реальных висячих

мостах величина r

колеблется от 2 до 20. Итерационный процесс поиска r

происходит аналогично рис. 3.3, б -от

r = 0 по спирали «с избытком—с не-

достатком». Найдя

, можно определить Н

и раскрыть систему уравне-

ний, вычислив z

∗

На рис. 3.6 показаны графики поправочных коэффициентов

= f(r)

для оценки влияния деформационного расчета [7].

Рис. 3.6. Поправочные коэффициенты m

, для приближенного учета

геометрической нелинейности висячих мостов

Вполне очевидны недостатки, присущие аналитическим методам:

1) наличие многих допущений дает заметную погрешность и даже

искажает картину фактической работы;

2) расчет ведется только на отдельные загружения моста временной

нагрузкой, при которых удобно интегрировать уравнения;

3) при расчете упускается часть параметров (число подвесок, их дли-

на, наклон, площадь поперечного сечения пилонов и т. д.).

В связи с этим были разработаны численные методы деформацион-

ного расчета висячих мостов. Они основаны на дискретной модели, т. е.

состоящей из отдельных элементов, более приближенной к реальной кон-

струкции. Наибольшее распространение из них получили смешанный ме-

тод и метод дополнительных параметров жесткости, являющийся модифи-

кацией метода перемещений [5]. Общий подход для численных методов

записываются уравнения равновесия узлов в деформированном

состоянии (рис. 3.7):

xx xc

nn nn nnn

111 212 1 1

δδδ











... ;

..............................

... ;

составляется система конечно-разностных уравнений, учитывающих

нелинейность перемещений и записываемых, как правило, в матричной

форме;

решается система уравнений на

ЭВМ с учетом итерационных процес-

сов поиска деформированного вида.

Таким образом, за счет учета

многих факторов (горизонтальных пе-

ремещений, удлинения элементов, пе-

ременности их сечения и т. д.) удается

добиться высокой точности расчетов.

3.2. Определение невыгодных (опасных) загружений висячих

мостов временной подвижной нагрузкой

Суть проблемы состоит в невозможности использования при расчете

висячих мостов, как в конструкциях, работающих линейно, аппарата линий

влияния (см. рис. 3.1). Существует несколько способов поиска невыгодных

загружений для висячих мостов. Рассмотрим четыре из них, причем в по-

рядке повышения точности.

3.2.1.

Способ 1-й – по двум характерным загружениям: на весь про-

лет (

= l) и на половину пролета (

= 0,5l) (рис. 3.8). Загружение всего

пролета (рис. 3.8, б) дает в первом приближении максимальный изгибаю-

щий момент в середине балки жесткости М

. Второе загружение (рис. 3.8,

в) позволяет получить близкие к экстремальным значения изгибающих

моментов (

, М

) в четвертях пролета.

Рис. 3.8. Построение огибающей эпюры М

ог

в балке

по двум характерным загружениям

Рис. 3.7. Общая схема численных

методов расчета

Точности данного способа вполне достаточно для построения оги-

бающей эпюры

ог

изгибающих моментов в балке, например, при курсо-

вом проектировании (рис. 3.8, г).

Отметим, что в отличие от большинства конструкций балка жестко-

сти висячего моста работает, во-первых, в каждом сечении на изгибающие

моменты двух знаков (т. е. изгибается и вверх и вниз) и, во-вторых, наибо-

лее напряженно в четвертях пролета (

max

= М

0,25

Данные загружения висячего моста нормативной временной нагруз-

кой дают и экстремальные значения прогибов: при

= l получается мак-

симальный прогиб в середине пролета (

0,5

), при

= 0,5l возникает макси-

мальный прогиб в четверти пролета (

0,25

) и минимальный — в сечении

0,75

l (

0,75

). Как правило, второе загружение гораздо опаснее при проверке

жесткости пролетного строения, так как

ηη η

025 075 05,, ,

+>>. (3.5)

3.2.2.

Способ 2-й —

по линиям влияния, по-

строенным методами

строительной механики

для висячих мостов, как

для обычных стержне-

вых систем без учета

геометрической нели-

нейности. Для этого с

некоторой долей при-

ближения следует при-

нять жесткости элемен-

тов (

, E

) стремящимися к бесконечности.

Полученные при помощи традиционных линий влияния невыгодные

загружения будут, безусловно, точнее, чем в способе 1 (см. рис. 3.8). На

рис. 3.9 приведены очертания линий влияния и соответствующих невыгод-

ных загружений для середины и четверти пролета по материалам Г. Пере-

дерия и В. Качурина [33, 6].

3.2.3.

Способ 3-й — по «функциям влияния» или «фундаментальным

функциям», построенным по аналогии с линиями влияния, но с косвенным

учетом геометрической нелинейности (Н. Кирсанов, И. Дуров). В частно-

сти, найденные длины невыгодных загружений по данному способу будут

в большей мере зависеть от жесткости пролетного строения (например, от

коэффициента деформативности

r), и поэтому диапазон их значений еще

Рис. 3.9. Линии влияния изгибающих моментов

в балке висячего моста, построенные как для

обычных стержневых конструкций

шире:

для

К = 0,25 l

длв

(+)

= (0,37...0,46)l,

длв

(–)

= (0,54...0,63)l;

для

К = 0,5 l

длв

(+)

= (0,25... 0,81)l.

3.2.4.

Способ 4-й — поисковый метод при помощи ЭВМ. Программа

варьирует положение временной нагрузки на пролетном строении и отби-

рает наиболее опасные ее положения, причем расчет ведется по деформи-

рованной схеме, т. е. с учетом всех жесткостных показателей. Результатом

подобного варьирования параметров стали графики (рис. 3.10, а, б), по ко-

торым, например, можно определить, что для сечения в четверти пролета

(

K = 0,25) длина невыгодного загружения составляет l

нз

(+)

= 0,25...0,42 в за-

висимости от жесткости пролетного строения. Далее были построены гра-

фики функций

() () ()+++

= ll

нз лв

() () ()−−−

= ll

нз лв

для значений К = 0...1,0,

отражающих различные положения сечения балки (рис. 3.10, в, г.). Графи-

ки данных функций

= f(K) можно легко аппроксимировать при помощи

многочленов n-й степени:

ϕα α α α

−

=+ +++

KK K

... .

Рис. 3.10. Графики зависимостей длин невыгодных загружений временной

нагрузкой висячих мостов от положения сечения, полученные поисковыми

методами на ЭВМ

Тогда можно получить

длину невыгодных загружений:

нз лв

() () ()

+++

−−−

для любого значения

К = 0...1,0.

Проведенная предвари-

тельная работа по способу 4 по-

зволяет построить огибающую

эпюру

ог

с весьма высокой

точностью с учетом геометри-

ческой нелинейности, исполь-

зуя алгоритм, представленный

на рис. 3.11.

3.2.5.

Заключение. На

основании сравнения результа-

тов, полученных рассмотрен-

ными способами, сформулиру-

ем некоторые выводы.

1. Невыгодные положения

временной подвижной нагруз-

ки, найденные разными спосо-

бами, принципиально не отли-

чаются друг от друга (одинако-

вое количество участков, боль-

шинство опасных загружений

начинается от одной из опор и

т.д.).

2. Длина участков невыгодных загружений существенно отличается

в зависимости от способа определения (0,5

l; l

лв

длв

, l

нз

—до 15...30 %). Ин-

тересно отметить, что для первых трех способов, естественно, сумма длин

участков невыгодных загружений для одного сечения

К равна длине про-

лета

lll

лв лв

() ()

+−

+=. Но сумма соответствующих значений, найденных чет-

вертым, точным способом, меньше длины пролета

lll

нз нз

() ()

+−

+<.

3. Несмотря на существенное различие в длинах невыгодных загру-

жений (

лв нз

− ), отличие в абсолютных значениях найденных по ним изги-

бающих моментов в балке на порядок меньше (до 5...10 %). Таким обра-

зом, невыгодные загружения висячих мостов подвижной нагрузкой можно

Рис. 3.11. Укрупненная блок-схема

алгоритма построения огибающей эпюры М

ог

в балке жесткости точным способом

искать одним из рассмотренных способов в зависимости от требуемой

точности расчетов.

3.3. Теоретические основы расчета вантовых мостов

3.3.1. Главная особенность статического расчета вантовых мос-

тов

заключается в возможности выключения гибких вант из работы при

возникновении в них сжимающих усилий (рис. 3.12, а). В этом случае не-

обходимо повторить расчет, рассмотрев новую конструкцию без выклю-

ченной ванты (рис. 3.12, 6). При проектировании реального моста, безус-

ловно, необходимо избегать подобной ситуации.

Рис. 3.12. Особенности расчета вантовых мостов

Рассмотрим линию влияния усилия в произвольной ванте N

(рис.

3.12, в). В худшем случае загружения отрицательного участка временной

нагрузкой получим величину

Np v

=−+

+− −

()

() () ()

ωω ω

. (3.6)

Первое слагаемое дает растяжение в ванте, а второе — сжатие. По-

этому для обеспечения стабильной работы ванты необходимо выполнить

условие:

pv()

() () ()

ωω ω

+− −

−> или pv>

−

+−

()

() ()

. (3.7)

На практике это выглядит следующим образом: допустим,

(+)

= 1 м,

(−)

= 0,1 м, тогда при р > 0,1v/(1-0,1) = v/9 ванта будет работать только на

растяжение.

Второе отличие расчета вантовых мостов от висячих состоит в том,

что в связи с большей жесткостью их допускается рассчитывать без учета

геометрической нелинейности. Это обусловлено еще двумя причинами:

1) отсутствием S-образного изгиба при загружении части пролета;

2) прямолинейностью вант (рис. 3.12, г).

Теоретически возможен учет геометрической нелинейности для ван-

товых мостов, которая в них имеет место хотя бы за счет провисания вант

(рис. 3.12, д) под действием собственного веса. Но на практике эта величи-

на невелика, так как в вантах провисание «выбирается» при регулировании

усилия в них (см. п. 3.4).

3.3.2.

Статический расчет вантовых мостов методами строитель-

ной механики

. Вантовые конструкции представляют собой многократно

статически неопределимые системы, если ванты рассматривать как стерж-

ни с осевой жесткостью

и с изгибной жесткостью Е

= 0.

Известно, что для расчета стержневых статически неопределимых

систем в строительной механике существует три метода:

1) метод сил (основная система получается путем введения лишних

неизвестных

: усилий в вантах, изгибающих моментов в балке, рис. 3.13,

б),

Рис. 3.13. Общая схема расчета вантовых мостов

2) метод перемещений (основная система получается путем введения

жестких заделок в узлы конструкций, в качестве искомых неизвестных ис-

пользуются углы поворота и перемещения этих заделок

, рис. 3.13, в),

3) смешанный метод, который представляет собой комбинацию

двух предыдущих методов и использует частично

, частично Z

.Степень

статической неопределимости вантовой системы при расчете методом сил

можно определить по формуле [6] (см. рис. 3.13, а):

i = B +2n - ш - 3, (3.8)

где

В — число вант (В = 5 на рис. 3.13, а); n — число опор балки жесткости

(n = 3);

ш — количество подвижных опираний, включая подвижные опи-

рания вант на пилонах (

ш = 2). Конструкция, изображенная на рис. 3.13, a

(

i =5+2·3-2-3), шесть раз статически неопределима. Кстати, та же система,

рассчитываемая методом перемещений, имеет 10 неизвестных

(рис. 3.13,

в).

Рассмотренные расчетные схемы предполагают решение задачи в

плоской постановке. Реальная задача расчета современных вантовых мос-

тов гораздо сложнее, так как в них широко используются пространствен-

ные системы и балки жесткости, представляющие собой тонкостенные

конструкции.

Расчет вантового моста требует последовательного использования

расчетных схем, различных по уровню детализации проектируемой систе-

мы: плоская постановка задачи — пространственная расчетная схема —

пластинчато-стержневая модель балки (решаемая численными методами

прикладной теории упругости) — деформационный расчет пилона на ус-

тойчивость с учетом его неоднородности и начальных искривлений и т. д.

Подробнее с современной постановкой расчета вантовых мостов

можно ознакомиться в книге [5, гл. 5-8]. Там отмечается, что наиболее ши-

роко применяют те или иные модификации основных методов строитель-

ной механики. Все большее применение получает метод конечных элемен-

тов, обладающий большой гибкостью и позволяющий получать решения

практически для любых конструкций. Данный метод решает и специаль-

ные вопросы: распределение напряжений в местах анкеровки вант; разви-

тие трещин в железобетонных балках и т. д.

Недостатки метода конечных элементов вытекают из его досто-

инств: увеличение числа неизвестных, приближение расчетных схем к ре-

альным сооружениям приводят к большим затратам машинного времени

мощных ЭВМ, сильно затрудняют обозримость результатов.

3.3.3. Анализ линий влияния внутренних усилий и прогибов в

вантовых мостах

. В связи с тем, что обычно вантовые мосты рассчитыва-

ют без учета геометрической нелинейности, основной метод расчета за-

ключается в построении линий влияния.

На рис. 3.14 приведены линии влияния прогибов и внутренних уси-

лий для двухпролетной вантовой системы [6]. Отметим некоторые особен-

ности:

площадь положительных участков на порядок больше отрицатель-

ных;

очертания л. в.

— гладкие, а л. в. М

имеет пик в точке по-

строения;

загружение главного пролета временной нагрузкой является самым

опасным;

большое значение имеет установка опорной ванты, что снижает ве-

личины

в 1,5...2 раза за счет уменьшения отклонения вершины пило-

на (рис. 3.14, 6). Площадь сечения опорной ванты назначают в 2...4 раза

больше остальных.

Рис. 3.14. Линии влияния двухпролетного вантового моста:

— - с опорной вантой; - - - - без нее

На рис. 3.15 показаны очертания линий влияния аналогичных вели-

чин для трехпролетного вантового моста. Как видно, они принципиально

не отличаются от рассмотренных выше линий влияния, но число участков

у них больше.