Асанов А.З. Введение в математическое моделирование динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

обобщенные координаты динамической системы с

k степенями свободы,



–

скорости изменения обобщенных координат системы.

Если динамическая система обладает запасом кинетической энергии Т,

то ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений

Лагранжа, которые могут быть получены из вариационного принципа

Гамильтона.

Введем в рассмотрение функцию Лагранжа

ii ii i

L(x,x ) T(x,x ) V(x )

=−



. (2.6.2)

Тогда принцип Гамильтона (2.4.2) можно представить в виде

∫

. (2.6.3)

Учитывая выражение (2.4.3), запишем

δδ

∂

∂∂

∑∑



. (2.6.4)

Подставляя выражение (2.6.4) в формулу (2.6.3) и полагая

при

, найдем

tt=

ii i

LL LdL

dt x dt x dt ... x dt

xx xdtx

δδδ

⎡⎤

∂∂ ∂∂

⎛⎞

=+==−

⎜⎟⎢⎥

∂∂ ∂∂

⎝⎠

⎣⎦

∑∑ ∑

∫∫ ∫ ∫





. (2.6.5)

Так как число обобщенных координат

равно числу степеней свободы и так

как

не зависят от времени, то уравнения (2.6.5) справедливы лишь в том

случае, если выражения в скобках равны нулю, т. е.

dL L

dt x x

⎛⎞

∂∂

−

⎜⎟

∂∂

⎝⎠



12i , , ..., k

. (2.6.6)

Уравнения вида (2.6.6) называются уравнениями Лагранжа.

Очень важно то, что уравнения Лагранжа не зависят от выбора

координат. Эти уравнения сохраняют свой вид, т.е. остаются инвариантными

при переходе от одной системы координат к другой.

Учитывая выражение (2.6.3), уравнения (2.6.6) можно переписать в

следующем виде:

dT T V

dt x x x

⎛⎞

∂∂ ∂

−=−

⎜⎟

∂∂ ∂

⎝⎠



12i , , ..., k

. (2.6.7)

Уравнение (2.6.7) можно рассматривать как частный случай уравнений

Лагранжа второго рода:

dT T

dt x x

⎛⎞

∂∂

−=

⎜⎟

∂∂

⎝⎠



12i,,...,k

. (2.6.8)

где

– обобщенные силы. При использовании уравнения (2.6.8)

∂

=−

∂

Обобщенные силы, определяемые последним равенством и зависящие

только от обобщенных координат

, называются силами, имеющими

потенциал.

Однако практически во всех динамических системах действуют силы

трения и имеет место рассеяние энергии. Диссипативные силы или силы

вязкого трения

, пропорциональные скорости, могут быть определены

через функцию рассеяния энергии R

∂

=−

∂



В общем случае, когда в системе действуют обобщенные силы

имеющие потенциал

V, обобщенные диссипативные силы

и внешние

силы

()

, уравнения движения принимают вид

ii ii

dT T V R

(t)

dt x x x x

⎛⎞

∂∂ ∂∂

−=−−+

⎜⎟

∂∂ ∂∂

⎝⎠



12i , , ..., k

. (2.6.9)

Кинетическая энергия

Т представляет однородную квадратичную

положительно определенную форму от обобщенных скоростей, в которой

коэффициенты в общем случае являются функциями координат. Таким

образом, можно записать выражение кинетической энергии в следующем

виде

ij i j

∑∑



, где

ij ji

Коэффициенты

носят название коэффициентов инерции.

Потенциальная энергия

V в первом приближении представляет

положительно определенную квадратичную форму относительно

обобщенных координат:

ij i j

∑∑

, где

∂

В данном случае все производные вычисляются в положении равновесия

при

и, таким образом, являются постоянными.

xx==

Функция рассеяния, или диссипативная функция

R, является

положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей

системы и имеет вид

ij i j

sxx

∑∑



При

ij ji

производные функции рассеяния по скорости, взятые с

обратным знаком, равны обобщенным диссипативным силам.

Функция рассеяния

R характеризует собой скорость рассеяния энергии в

системе. Работа сил сопротивления, пропорциональных скорости, в единицу

времени численно равна функции рассеяния

R, взятой с обратным знаком.

Уравнения Лагранжа (2.6.9) в общем случае приводят к системе

нелинейных уравнений второго порядка вида

{

}

111

i kkk

X t,x,x,x,...,x,x,x

 

12i , , ..., k

Пример 2.6.4. Для пояснения применения уравнений Лагранжа рассмотрим,

пренебрегая силой трения, элементарную механическую систему, состоящую из груза с

массой

m, подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости k

(рис.2.6.7.).

Кинетическая энергия движущейся массы:

xmT



Потенциальная энергия пружины:

xkdxxkV

∫

Рис.2.6.7

Последовательно подставляя найденные выражения для Т и V в

уравнения (2.4.2), (2.4.6), найдем следующее дифференциальное

уравнение рассматриваемой системы

xkxm



. (2.4.10)

Рис.2.6.8

Система уравнений описывает поведение консервативной

динамической системы, в которой рассеяние энергии отсутствует.

При наличии демпфирующего устройства (рис.2.6.8) необходимо

учитывать рассеивание энергии. Функция рассеяния, или

диссипативная функция R является квадратичной формой от

обобщённых скоростей системы, в данном случае:

xfR



Тогда диссипативная сила через эту функцию определяется как:

Qfx

∂

=− =

∂



. Тогда соотношение (2.4.9) для рассматриваемого

примера дает уравнение:

Pkxxfxm



. (2.4.11)

Это уравнения (2.4.10) и (2.4.11) и есть математические модели (описания)

рассматриваемой механической системы в двух вариантах, учитывающих различные

факторы.

2.6.3. Формирование математических моделей экономических

процессов и систем.

Рассмотрим наиболее существенные особенности экономических

объектов как динамических систем.

Экономическая система, охватывая параметры и характеристики

производства, распределения, обмена и потребления материальных благ,

является подсистемой социально-экономической суперсистемы, т. е. цели ее

функционирования подчинены социальным целям и вытекают из них.

Следует, прежде всего, отметить, что существуют различные подходы к

описанию и анализу экономических процессов и систем: среди них – два

основных направления – традиционное (

равновесное) и эволюционное.

Первый подход заключается в том, что переходные процессы в экономике

заканчиваются установлением устойчивого равновесия, т.е. паузой между

переходными процессами служит устойчивое равновесие. Во втором случае

считается, что экономика постоянно находится в состоянии неравновесия,

т.е. паузой служит очередной переходный процесс.

Любая экономическая система зависит от множества факторов

осуществляет совокупность функций, реализует множество целей. Это

означает, что в процессе функционирования, например, предприятия,

одновременно ставятся и реализуются цели:

• достижение максимально возможной прибыли от выпуска продукции,

• обеспечение высокого уровня сервиса,

• снижение себестоимости,

• обеспечение определенного уровня качества и рентабельности

производимой продукции и др.

Некоторые из этих показателей по своей направленности могут быть

противоречивыми: например, стремление обеспечить высокий уровень

сервиса одновременно ведет и к суммарному росту себестоимости.

Экономические управленческие задачи плохо структурированы, т.е. не

все элементы задачи и алгоритмы решения задачи известны, и поэтому

не

всегда модель может быть построена однозначным образом.

Один из характерных приемов в экономике при моделировании плохо

структурированных задач заключается в итеративном режиме использования

математических моделей (т.е. многократное выполнение определенной

последовательности действий, в конечном итоге приближенно приводящее к

искомому результату). Процесс сходимости искомых показателей

экономического процесса к истинным значениям в итеративном режиме

понимается как целенаправленный человеко-машинный диалог с

возможными изменениями исходных данных и, возможно, отдельных

элементов модели. Таким образом происходит уточнение самой модели

экономического объекта с помощью имитации его функционирования.

Экономика – сложная иерархическая динамическая система. В

зависи-

мости от цели исследования экономику представляют в различных разрезах.

Такое разбиение удобно для исследования общественных отношений,

складывающихся в процессе производства. Так, на верхнем уровне иерархии

экономику рассматривают как систему общественного производства,

распределения, обмена и потребления.

Рассмотрим взаимосвязи между показателями верхнего уровня

экономической иерархии (рис.2.6.9). Одним из подходов к решению данной

проблемы является построение так называемой макроэкономической модели.

Макроэкономические модели – это модели, изучающие свойства и тен-

денции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических

показателей, таких, как валовой и конечный продукты, трудовые ресурсы,

производственные фонды, капитальные вложения, потребление и т. д.

Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.

В общем

случае производство может быть охарактеризовано взаимодействием и

взаимосвязями ряда основных факторов:

(,, )YFKLM

где

Y – валовой внутренний продукт;

– основные производственные

фонды;

– трудовые ресурсы (работники);

– материалы (включая сюда и

сырье, и энергию, и компоненты продукции).

Положим, что экономика, как замкнутое единое неструктурированное

целое, производит один универсальный продукт, который может как

потребляться, так и инвестироваться. Кроме того, положим, что материалов,

сырья, энергии достаточно, и они не вносят каких-либо ограничений. Тогда в

модели можно рассматривать пять

макроэкономических показателей:

Y – валовой внутренний продукт (ВВП);

– валовые инвестиции;

C – фонд потребления;

– основные производственные фонды (ОПФ);

– число работников в производственной сфере.

Первые три переменные (

Y ,

, ) являются показателями типа потока (их

значения накапливаются в течение года), переменные

– мгновенные

переменные (их значения могут быть измерены, вообще говоря, в любой

момент непрерывного времени).

Определим производственную функцию от ресурсов – основных произ-

водственных фондов и числа работников в виде

(,)YFKL

Эта функция, как правило, определяется по наблюдениям за экономическим объектом. Так,

например, мультипликативная производственная функция экономики США, рассчитанная по

данным за 1980 -1995 гг., имеет вид:

, где , измеряются в млрд. долл., a

– в млн. чел.

0.404 0.803

2.248YKL= Y K

Пусть ВВП , произведенный в результате производственной

деятельности, идет на производственное потребление

и выделяется в

качестве конечного продукта (конечного ВВП)

, т.е.

YPY

+ .

Распределение конечного ВВП на валовые инвестиции

и потребление

опишем уравнением .

YI=+C

Использование основных производственных фондов (ОПФ) представим

в виде рекуррентного соотношения для определения ОПФ будущего года по

значениям ОПФ и инвестиций текущего года

(1 )

−

−+

В этом уравнении

– коэффициент выбытия (износа) ОПФ в расчете на год. Данный

коэффициент предполагается постоянным. Из уравнения видно, что инвестиции, сделанные в

текущем году, материализуются в фонды в будущем году.

В предположении, что годовые темпы прироста числа работников

постоянны, численность работников опишем рекуррентным соотношением

(1 )

−

, определяющим число работников в будущем году на

основании числа занятых в текущем году

(

const

– темп прироста числа

работников).

Положим, что валовые капитальные вложения (инвестиции) (

) делятся

на амортизационные отчисления

и чистые капитальные вложения

идущие на расширение производственных фондов

Am I

Капитальные вложения составляют материальную основу наращивания

и перевооружения производства. За счет капитальных вложений

осуществляется ввод в действие основных производственных фондов.

Предположим, что валовые инвестиции полностью расходуются на

прирост основных производственных фондов в том же году и на

амортизационные отчисления:

qK Am

∆

, (2.4.14)

где

1ttt

−

∆= −

– прирост основных производственных фондов в году t;

– параметр модели; q

– амортизационные отчисления;

–

коэффициент амортизации;

– основные производственные фонды в году t.

Рис. 2.6.9 Обобщенная структурная схема экономической системы

Таким образом, в предположении дискретности времени получили

совокупность уравнений

(,),

(1 ) ,

(1 ) , 0, 1, 2,...,

ttt

ttct t tt

ttt

YFKL

YPY

YIC

IAmI или IqKAm

KKI

−−

−

=+ =∆+

=− +

=+ =

(где

– базовый год; – конечный год изучаемого периода; 0t = tT=

– заданные величины), которая представляет собой модель однопродуктовой

экономики (модифицированная модель Солоу с дискретным временем).

Модель Солоу с непрерывным временем. Предположим теперь, что

время, измеряемое вначале с дискретностью в один год, будет измеряться с

дискретностью

∆

(например, полугодие, квартал, месяц, декада, день). При

дискретности в один день время можно считать практически непрерывным.

При дискретности

модель Солоу будет выглядеть следующим

образом:

t∆

()

(,),

, , 2 ,..., , ,

ttt

ttttt

ttt tttt

ttt tt

YFKL

YPY

YIC

It qK K Amt

KK K I t

LL L t t t t nt n

−∆

−∆ −∆ −∆

−∆ −∆

∆= − + ∆

−=− +∆

−= ∆ =∆∆∆ =

∆

где

, – соответственно ВВП, инвестиции и потребление за год, начи-

нающийся в момент

−∆

∆

– выбытие фондов за время ( ,ttt

−

∆ );

−∆

∆

– инвестиции за время ( ,ttt

−

∆ );

−∆

∆

– прирост числа занятых за время ( ,ttt

−

∆ ).

При переходе к пределу при

∆

→

уравнения принимают следующую

форму (уравнения модели Солоу с непрерывным временем):

[]

(,),

,(0),

,(0), 0,

ttt

ttt t t t

YFKL

YPY Y IC

IqKAm

KKIKK

LL L tT

=+ =+

=− + =

== ∈

Следует отметить, что модель Солоу в дискретной форме и модель

Солоу в непрерывной форме

, несомненно, являются разными моделями и

расчеты по ним приводят к разным, однако достаточно близким, результатам.

Таким образом, экономические динамические системы могут быть

представлены в форме конечно-разностных уравнений (дискретное время) и в

форме дифференциальных уравнений (непрерывное время). В общем случае,

между математическими методами дифференциальных и конечно-разностных

уравнений нет существенного различия

: при решении дифференциальных

уравнений их приближенно заменяют на конечно-разностное и, напротив,

любое конечно-разностное уравнение можно приближенно заменить

дифференциальным.

В модели Солоу экономика представляет собой неструктурированное

целое и производит один агрегированный продукт, который может как

потребляться, так и инвестироваться. Данное утверждение можно

интерпретировать как представление экономики в виде одного динамического

элемента. При более детальном знакомстве с моделью очевидно, что

экономика в форме модели Солоу состоит из четырех элементов,

объединенных в контуры обратными связями (рис.2.6.9). Кроме того,

экономика нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратами

ресурсов

задается в виде нелинейной производственной функции.

Таким образом, даже агрегированное модельное представление

экономики позволяет сделать вывод о том, что она является сложной

динамической системой.

В некоторых случаях используют упрощенные варианты

однопродуктовой динамической модели.

Так, можно положить, что все капитальные вложения идут на ввод в

действие новых основных производственных фондов

и при этом основные

фонды не изнашиваются. Считая, что прирост выпуска продукции

пропорционален капитальным вложениям, т.е.

1ttt

YYY

−

∆=−

=∆

, можно

получить модель вида

tt t

YaY YC

+∆+

которая носит название однопродуктовой открытой динамической модели

Леонтьева

В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель

Леонтьева имеет вид

YaY C

=+ +

С математической точки зрения эта модель представляет собой линейное

неоднородное дифференциальное уравнение.

В другом варианте можно положить, что непроизводственное

потребление

идет полностью на восстановление рабочей силы L(t).

Тогда, введя норму потребления

(t), получим

()Ct

() () ()Ct t Lt

Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску

продукции, то

(t) b(t)Y(t)=

, где b(t) – норма трудоемкости.

С учетом последних соотношений, можно получить «замкнутую по

потреблению» модель расширенного воспроизводства (замкнутая

Леонтьев – известный американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике.

однопродуктовая модель Леонтьева):

()

() () () () ()

dY t

YatYt tbtYt

ηγ

=++

. (2.4.16)

Последнее уравнение является однородным дифференциальным уравнением

вида

dY( t )

(t)Y(t)

−=

, где

1()()(

()

at t bt

)

−

Тогда развитие экономики определяется решением этого уравнения:

() exp( () )

Yt Y ptdt=−

∫

Можно рассмотреть случай, когда непроизводственное потребление

является известной функцией времени.

В этом случае закон развития экономики можно определить из модели

(2.4.16), которая с математической точки зрения является неоднородным

дифференциальным уравнением вида

() () ()

tYt f t

, где

1 a( t ) C( t )

p(t) , f(t)

(t) (t)

ηη

−

=− =−

с решением

000

( ) exp( ( ) )( ( )exp( ( ) ) )

ttt

Y t p t dt f t p t dt dt Y=− +

∫∫∫

Таким образом, можно сделать следующий вывод.

Построение математических моделей управления производством на

каждом уровне иерархии связано с использованием агрегированной

(укрупненной) информации: чем выше уровень иерархии, тем большая

степень агрегирования данных. И соответственно должны существовать

относительно простые методы, алгоритмы разукрупнения информации при

переходе к более низким уровням управления.

2.6.4. Линеаризация уравнений математической модели

Часто с целью упрощения исследования динамической системы

выполняется линеаризация полученных уравнений, если это, конечно,

допустимо. Отсутствие разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся

характеристик и справедливость уравнения в течение всего исследуемого

интервала времени обычно являются достаточными признаками возможности

проводить линеаризацию.

Метод исследования динамических систем путем замены нелинейного