Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

началом отсчета на оси

). Каждой счетной точке с коорди-

натами 

или

(

= 0,1,2,...

; z

— число пазов якоря)

соответствует значение индукции



(рис. 2.1). Связь между

координатами 

выражается равенством:





х p p

k k k

         2

, (2.1)

где







— единичная ступенчатая функция;

— число пар полюсов,

    



, (2.2)



— электрическая частота вращения ротора.

Рис. 2.1. Расчетная схема якоря

Магнитное напряжение в

-й точке воздушного зазора

равно:

F Â

k k k

 

 

, (2.3)

где

 

k m

 







, (2.4)

 — составляющие длины воздушного зазора в

й точ-

ке, обусловленные четырьмя зубчатыми структурами за-

зора.

Полюса индуктора образуют первую зубчатую структуру (

=1).

Они могут рассматриваться в виде больших зубцов, отделенных

от якоря равномерным зазором 

, а друг от друга — пазами

конечной или бесконечной глубины и шириной, равной рас-

стоянию между полюсными наконечниками (рис. 2.2, а).

В этом случае











k m k m

 



  

, (2.5)

Рис. 2.2. Расчет зубчатости воздушного зазора, обусловленной: а — по-

люсными сердечниками индуктора; б — зубцами якоря; в — зубцами на

поверхности полюсных наконечников индуктора; г — неконцентрично-

стью гладких поверхностей якоря и полюсных наконечников

где

 













1 1



 

x x

max

—

относительная удельная магнитная проводимость зазора.

Она является периодической функцией, полученной в ре-

зультате сплайновой аппроксимации и периодизации

функции (1.56), рассчитанной по формуле (1.57) для сред-

ней окружности воздушного зазора





A m

  2 .

Зубцы якоря при гладкой поверхности индуктора

(рис.2.2,б) образуют вторую зубчатую структуру (



). Для

нее











k m k m

 



    , (2.6)

где периодическая функция относительной удельной маг-

нитной проводимости





 

получена в результате сплайно-

вой аппроксимации и периодизации функции (1.64), рассчи-

танной по формуле (1.65) для средней окружности воздушно-

го зазора





A m

  2 .

Если ширина зубцов якоря удовлетворяет неравенству

z m

  3 , то для нахождения функции





 



можно вос-

пользоваться и более простой зависимостью (1.56).

Зубцы на поверхности индуктора при гладкой поверхно-

сти якоря (рис. 2.2, в) образуют третью зубчатую структуру

(



). Для нее











k m k m

 



   , (2.7)

Периодическая функция









может быть определена

аналогично предыдущему случаю.

В качестве четвертой зубчатой структуры зазора (



)

выступает неравномерность зазора между гладкой поверхно-

стью якоря и полюсными наконечниками индуктора

(рис.2.2,г). Профилированные, небольшой высоты выступы

на гладкой поверхности индуктора рассматриваются как зуб-

цы. Для параболического характера изменения зазора под

полюсами имеем

 

2 2 2

2 2



min m m min k p p k p

p k p

x b b x b

b x b



     

  











         

    

при

0 при (2.8)

, ;

Формула (2.4) позволяет найти локальные и средние зна-

чения коэффициент Картера:

k m



 







;





k d







 

ср1

 









;

 

x dx

p m



cp2

 









 ,

где

— ширина полюсного наконечника.

Для синхронной машины типа СД 102—8, с параметрами,

отмеченными ниже, будем иметь



cp1

3 3213 , ;



cp2

1 5915 , .

Коэффициент Картера, рассчитанный для этой машины

по обычной методике [160], основанной на усреднении ин-

дукции в пределах зубцовых делений статора и ротора, со-

ставит 1,4684.

Следует отметить, что расчет магнитной проводимости

воздушного зазора с двухсторонней зубчатостью указанным

методом, как показано выше в главе первой, принципиально

точнее по сравнению с известной формулой для этой прово-

димости, содержащей сомножителями относительные маг-

нитные проводимости статора и ротора [96]. Простота и на-

глядность этой формулы — частично следствие упрощения,

вызванного допущением (1.47), которое приводит к возрас-

танию погрешности расчета при увеличении воздушного за-

зора 

. В рассматриваемом методе это допущение снимает-

ся.

Счетные точки выбираются на неподвижной оси



, при-

чем таким образом, чтобы каждый зубцовый шаг статора со-

держал

точек.

Фиксируются зубцовые множества

статора:







S z

, , ,...



; ротора:





x R z

, , ,...



1 2

i p





1 2 3 2, , ,... .

Первые определяют счетные точки оси



, относящиеся к

зубцу статора с номером

, вторые объединяют точки, отно-

сящиеся к зубцу с номером

и полюсу

ротора. Находятся

средние значения индукции в воздушном зазоре, приходя-

щиеся на конкретные зубцовые деления статора

B S z



ср

( , ,... )



1 2

; ротора





B R z

ср

, ,... 1 2

и полюсные

деления

B i p



ср

( , ,... )



1 2 2 .

При расчете магнитного напряжения зубцов полагаем,

что магнитный поток, приходящийся на участки оси







пределах зубцового деления





t t

1 2

, полностью входит в зубец

на расстоянии

1 2( )

кp

от вершины зубца. За

1 2( )

кp

принимаем

значение одного открытия паза. В соответствии с этим для

прямоугольных пазов определяются три значения магнитной

индукции, а затем, по кривой намагничивания и значения

магнитной напряженности в зубце: на вершине





вер

, в

критическом сечении





кp

и у основания зубца





осн

Кривую намагничивания стали аппроксимируем сплайнами

третьего порядка. Магнитное напряжение зубцов определяем

по формуле:

Значения величин z z p

  

; ;

определяются пространственным пе-

риодом магнитного поля.





F Í h Í h h

z z z z z z

  

ср кр ср кр1 2

, (2.9)

где





Í Í Í

z z z

ср вер кр1

2  ;





Í Í Í

z z z

ср кр осн2

2  .

Для счетных точек каждого множества

 



или

 

значения

или

принимаются соответственно

одинаковыми.

Магнитное напряжение зубцового слоя для

-й точки

воздушного зазора

F F F

 

1 2

. (2.10)

Магнитное напряжение ярма якоря находим в соответст-

вии с расчетной схемой (рис. 2.1), на которой магнитный

поток

-го зубца якоря

Â l t



1 1



 

ср

Потоки





z z z





элементов ярма якоря определяются в

соответствии с уравнениями:



 





;

   

1

, (2.11)

где









1 2 3 1

   

а а а

...

, 







1

   

z z z

...



    















 

1 1 1 1 1

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 0 1 1

1 2 3 2 1

r r r r r

a a a a z a z

...

... ... ... ... ... ...

...

( ) ( )

r R R i z

ai ai az

 

, , ,. ..1 2 3 ;

r F

  — магнитное со-

противление

-го элемента ярма.

Значения магнитных потоков

 и напряжений

уточняются итерационным методом. При первом просчете

уравнений (2.11) элементы

считаем известными. Найден-

ные значения

B H F

    используются для опреде-

ления элементов

второго приближения и т.д.

Магнитное напряжение

-го полюса индуктора





, рав-

ное сумме магнитных напряжений полюсного сердечника





, стыка сердечника с ярмом







и ярма индуктора





, находится путем расчета магнитных потоков в трех

сечениях полюса: у основания, в среднем сечении и у по-

люсного наконечника. Соответствующая система уравнений,

включая уравнения сплайновой аппроксимации кривых на-

магничивания стали, решается относительно магнитных ин-

дукций и напряженностей в указанных сечениях и ярме ин-

дуктора, средней магнитной напряженности полюсного сер-

дечника методом простых итераций (при малых и средних

насыщениях стали) и методом Ньютона (при значительных

насыщениях).

При расчете суммарного тока, сцепленного с контуром

магнитной цепи, стороны которого проходят через воздуш-

ный зазор, предполагаем линейный характер изменения

МДС обмотки в пределах открытия ее пазов. Это касается

всех обмоток, в том числе и возбуждения. Нахождение уни-

полярной составляющей МДС в данном случае не требуется,

так как каждый расчетный магнитный контур включает в

себя две разных счетных точки воздушного зазора. При об-

ходе такого контура значения униполярной МДС взаимно

компенсируются (их суммарная величина равна нулю), не-

прерывность же магнитного потока учитывается уравнением

(2.15). В принципе для этих контуров можно не обращаться

к понятиям МДС, а пользоваться полными токами, сцеплен-

ными с контурами.

Короткозамкнутую обмотку на полюсах индуктора пред-

ставляем в виде двухслойной обмотки, имеющей шаг, рав-

ный зубцовому делению (на участке в пределах полюсного

наконечника), и



1 .

Основной целью расчета является определение значений

индукции



в точках воздушного зазора 

или

, взя-

тых соответственно в неподвижных относительно статора

или ротора системах координат. В силу периодичности маг-

нитного поля имеем

 

B B

k n z





 



. (2.12)

Следовательно, для определения



необходимо соста-

вить 2

Q nz





уравнений. Это будут (2

—1) уравнений рав-

новесия магнитных контуров, имеющих шаги по расточке

соответственно из

и единицы счетных точек:

U U U F F

k k Q ak k k Q

   

 

, (2.13)

U U F F

k k k k

  

 1 1

, (2.14)

и одно уравнение непрерывности магнитного потока:









0 . (2.15)

В формулах (2.13), (2.14)

U F F F

k k zk

  

 2

, (2.16)

   

U F F F

k Q

k Q z k Q



 

  



— (2.17)

магнитные напряжения переходного слоя и полюса индукто-

ра, приходящиеся на сторону контура со счетной точкой воз-

душного зазора соответственно

и (

k Q

 );

 

U F

i S

k Q







— (2.18)

магнитное напряжение части контура с шагом

, соответст-

вующей ярму якоря;

—

номер зубца якоря, через который

проходит сторона контура со счетной точкой зазора

;













F F F х F х

k k f k k

  

— (2.19)

сумма МДС обмоток якоря, возбуждения и успокоительной,

приходящихся на счетную точку зазора

В случае, когда пространственный период изменения

магнитного поля составляет

2

(

z z p

1 1



 ; имеем обмотку

якоря с целым

или

q N

 2 целому числу) в качестве

счетных точек удобно взять точки, принадлежащие первым

двум полюсам. Эти точки удовлетворяют неравенствам:

 

  



 2 2

;

 

 2 3 2

 



2.2.2. Решение исходной системы уравнений (2.13)—(2.15)

на ЭÂМ

При отсутствии насыщения магнитной цепи, когда

F F U

zk ak

  

0 ,

исходная система алгебраических уравнений (2.13)—(2.15)

является линейной и может быть решена, при заданных зна-

чениях токов обмоток и углового положения ротора, стан-

дартными численными методами, например, методом Гаусса.

Попытки решений системы с учетом насыщения магнитной

цепи методом Ньютона применительно к синхронной маши-

не типа СД 102—8 мощностью 75 кВт (открытые пазы на

статоре;

=5/2;



=15;

=2) в большинстве случаев успеха

не имели — для получения решения требуется знание на-

чального вектора неизвестных сравнительно хорошего при-

ближения. Наиболее надежно и достаточно просто этот век-

тор можно определить методом продолжения решения по

параметру [119]. Исходную систему нелинейных уравнений,

записанную в векторном виде





f x F

 , (2.20)

где









 

x x x B B B

Q Q

1 2 2 1 2 2

... ...

T T

  

;

— вектор-функции соответственно левой и правой

частей исходной системы,

можно представить также в форме









f x C F C

   

T ,

(2.21)

где



некоторый вещественный параметр с областью непре-

рывного изменения

0  

;





C f x



— значение вектора

при произвольном (на-

чальном) векторе



Как видно из (2.21), переменные

непрерывно зависят

от значения параметра :





x x

i i

  ;

i Q

 1 2 2, ,... , (2.22)

причем решение



соответствует значению параметра

  0

. При

 

уравнение (2.22) принимает вид (2.20). Оче-

видно, решение





x x T

i i

 является искомым. В соответст-

вии с теорией о неявных функциях решение уравнения (2.21)