Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.







  

    

1 4 5

2 3

7 8

, (1.61)

               

1 4 5 2 3

7 8

( ) . (1.62)

Комплексная потенциальная функция для рассматривае-

мой немагнитной области плоскости

будет выражаться тем

же уравнением (1.55), в котором постоянную

следует за-

менить постоянной

Используя формулы (1.38), (1.55), (1.60), получим выра-

жение для комплексно-сопряженного вектора магнитной ин-

дукции

   





     



  

t a t a t a





2 3

1 4 5

. (1.63)

Искомая удельная относительная магнитная проводи-

мость для точек фиксированной окружности воздушного за-

зора теперь будет выражаться формулой

     



(

) Im

~ ~ ~

t a t a t a

max

 

  

2 3

1 4 5

. (1.64)

Область плоскости

с двумя пазами (рис. 1.9, в) иден-

тична в области с одним пазом (рис. 1.9, а), если принять

точки первой области

совпадающими друг с

другом. В этом случае для их образов в плоскости

будем

иметь

. Легко видеть, что при наличии этого

равенства и бесконечной глубине оставшегося паза (

0) полученное выражение (1.64) переходит в ранее выведен-

ное — (1.56).

Для расчетной практики формулу (1.64) целесообразно

представить в виде

 

(

) cos

x M

 , (1.65)

где



~ ~ ~

  

2 3

1 4 5

;

(

)

  

j j

  

2 2

 1 6, , ;            

2 3

1 4 5

(

~ ~ ~ ~ ~ ~

) ;

arctg











Рассмотренный практический метод расчета удельной

магнитной проводимости для точек произвольной окружно-

сти воздушного зазора сердечников с односторонней зубча-

тостью может быть распространен и на другие типы пазов с

прямолинейными формами поперечных сечений.

1.3.4. Магнитное поле на эквипотенциальной линии воздуш-

ного зазора

Расчет магнитного поля (МП) на эквипотенциальной

кривой представляет интерес по следующим причинам:

уточняется направление линий МП в воздушном зазоре; на-

ходится вектор магнитной индукции (а не одна его состав-

ляющая, как в предыдущем случае); определение потока век-

тора магнитной индукции через цилиндрическую поверх-

ность, образующая которой проходит через рассматриваемую

эквипотенциаль, является скалярной операцией. Естествен-

но, что эти сведения, в соответствии с общим принципом

данного метода, определяются на основе использования рас-

четной информации, полученной для односторонней зубча-

тости ВЗ.

Точные координаты искомой эквипотенциали в плоско-

сти

(например, для которой

u u u

, 

0 5 ) рассчитывают-

ся путем интегрирования уравнения (1.35) по направлению

луча из начала координат комплексной плоскости

(для

, 0 5 — в положительном направлении оси



). При за-

данной координате

эквипотенциали другую ее коорди-

нату

можно также с достаточной точностью определить по

формуле:

Y y Y Y

  

 

1 2

, (1.66)

где

— координата эквипотенциальной прямой при равно-

мерном ВЗ;



1 2( )

— отклонение эквипотенциали от координаты

обусловленное зубчатостью статора (ротора).

На рис. 1.4, б линия 4 показывает точное положение эк-

випотенциали с

, 0 5 , точками отмечены ее координаты,

полученные с помощью выражения (1.66). На этом рисунке

кривая 3 представляет значения модуля вектора индукции

B B B

 на данной эквипотенциальной линии с

, 0 5 ,

найденные по уравнению (1.37). Аналогичные значения, рас-

считанные по формуле:





* *

  1 1

1 2

  , (1.67)

отмечены на этом рисунке значками



. Здесь 

( , ) 1 2 —

дополнительные воздушные зазоры, определяемые по дан-

ным расчета магнитной индукции

на эквипотенциали

при односторонней зубчатости ВЗ в соответствии с форму-

лой:



  1 1 .

Выводы

1. Метод магнитной проводимости в его классической

форме принципиально всегда дает заниженные значения

магнитной индукции в областях, примыкающих к равномер-

ному ВЗ.

При использовании частичных дополнительных ВЗ (нахо-

димых по значению индукции на гладких поверхностях сердеч-

ников) в машинах с малыми ВЗ более предпочтительна форму-

ла (1.43), в которой фиксируется сумма частичных ВЗ.

2. Для снижения методической погрешности метода маг-

нитной проводимости целесообразно использовать формулу

(1.43), в которой частичные дополнительные ВЗ находятся

для точек средней окружности ВЗ (а не для окружностей

гладких сердечников как у классического метода) при его

попеременной односторонней зубчатости. С ростом величи-

ны равномерного ВЗ погрешность вычисления радиальной

составляющей магнитной индукции с помощью указанной

формулы снижается.

1.4. Магнитное поле в воздушном зазоре электрической

машины при нечетном намагничивании сердечников

Методы численного расчета магнитного поля (МП) в зуб-

цовой зоне электрической машины, созданного током от-

дельного проводника в пазу (это поле принято называть не-

четным [150, 254]), представляют самостоятельный интерес

и, кроме того, позволяют оценить погрешности расчета МП

и индуктивных параметров проводников аналитическими

методами с теми или иными исходными допущениями.

Известно, что МП катушки с током может быть пред-

ставлено как совокупность двух нечетных полей, вызванных

пазовыми токами катушки, и некоторого униполярного (чет-

ного) поля, величина которого определяется условиями не-

прерывности результирующего МП [155]. В настоящем раз-

деле рассматривается численный расчет нечетного МП пу-

тем, во-первых, расчленения его на потенциальную и допол-

нительную составляющие [129], во-вторых, — применения

конформного отображения области немагнитного зазора на

полуплоскость, в-третьих, — решения краевой задачи с по-

мощью интеграла Шварца для полуплоскости при определе-

нии потенциальной составляющей поля [192].

1.4.1 Исходные допущения и принципиальные особенности

расчета

При расчете МП приняты следующие допущения:

1. МП является плоскопараллельным;

2. Магнитная проницаемость ферромагнитной среды бес-

конечно велика;

3. Распределение тока по сечению проводника — равно-

мерное.

На рис. 1.10 показаны ферромагнитные сердечники с па-

зами, разделенные немагнитным зазором



. В нижнем пазу

расположен проводник с током

, плотность которого



постоянно по всему сечению проводника. В соответствии с

[129] МП представим в виде:

H H H

 

, (1.68)

где

— магнитная напряженность потенциальной (безвих-

ревой) составляющей МП, для нее всюду:

rot

 0 ; (1.69)

— магнитная напряженность некоторой дополни-

тельной составляющей МП, для которой в области, заня-

той проводником с током, справедливо:

rot

  . (1.70)

Из выражения (1.70) следует:

H l

 





, (1.71)

где

— линия интегрирования.

Для рассматриваемого случая (рис.1.10) за линию

при-

мем отрицательную полуось

. Тогда, поскольку







;

d dyl j

 ,

получим, что эта дополнительная составляющая МП будет

иметь компоненту только по оси

H dy

x z

 





. (1.72)

График изменения

показан на рис. 1.10.

Для того, чтобы ограничить область с полем

дном

паза, разместим на этом дне два одинаковых по величине,

но противоположных по направлению, бесконечно тонких

слоя тока с линейной плотностью

I b

. Поскольку эти слои

при наложении друг на друга взаимно уничтожаются, то они

вместе не являются дополнительными источниками МП.

При расчете поля будем учитывать эти слои раздельно. Пер-

вый слой (на рис. 1.10 он не показан) с током, противопо-

ложным по направлению току паза, при интегрировании по

формуле (1.72) будет восприниматься как дельта — функция

Дирака.

Это обстоятельство обеспечит скачок поля

до нуля на

дне паза. Второй слой (показан на рис. 1.10) с тем же на-

правлением тока, что и в реальном проводнике, является од-

ним из источников потенциального поля

. Это поле будет

создаваться двумя контурами с токами

2 в каждом. Первый

контур состоит из левой половины токовой полосы на дне

паза и обратного провода, расположенного в левой беско-

нечно удаленной точке немагнитного зазора. Правая поло-

вина токовой полосы и обратный провод в правой бесконеч-

но удаленной точке немагнитного зазора образуют второй

контур. Промежуточные элементы этих контуров показаны

на рис. 1.10 пунктиром (они расположены по вертикальным

стенкам нижнего паза и на нижней границе немагнитного

зазора, разделяющего ферромагнитные сердечники).

Условие непрерывности результирующего МП

div ( )

H H

 

0 (1.73)

выполняется всюду, так как для всех точек рассматриваемой

области, включая и боковые стенки нижнего паза, справед-

ливо:

Рис. 1.10. Расчет нечетного поля

div ; div 

H H

 0 0

Дополнительное поле

ориентировано перпендикулярно

боковым стенкам нижнего паза, поэтому вектор индукции

этого поля 

на рассматриваемой границе двух сред не

испытывает скачка . На дне же этого паза имеем:

div div 

H H

 

Примем скалярный магнитный потенциал верхнего сердеч-

ника равным нулю. Два отмеченных ранее электрических

контура обеспечивают скалярные магнитные потенциалы:

U I

max

 2 на ферромагнитной поверхности

; 

max

— на

. На участке

имеем линейное изменение

магнитного потенциала от 

max

до 

max

С помощью конформного преобразования, задаваемого

дифференциальным уравнением Кристоффеля-Шварца:

 

  , (1.74)

где

 

   

       







t a t a t a t a

 

   

1 4

2 3 7 8

, (1.75)

Рис. 1.11. Ñкалярный магнитный потенциал на границе области

можем верхнюю половину комплексной поверхности

с на-

чалом координат в точке

(рис. 1.11) отобразить на немаг-

нитную область комплексной плоскости

c началом коорди-

нат в точке

, являющуюся открытым прямолинейным де-

сятиугольником

А А А

1 2 10

 (рис. 1.10).

При представлении функции



(

)

в форме (1.75) было

принято

= 0,

  . Величина одной из остальных по-

стоянных

(

= 1, 2 ,..., 9) выбирается произвольно

(примем

= —10 ). Другие можно определить рассмотрен-

ным выше численным методом [52]. В частности, для пара-

метров немагнитной области

А А А

1 2 10

 из плоскости

(ва-

риант 1)

b h b h b

1 1 2 2

5 3 2        ; ;

будем иметь

= 2,5483;

= 2,0456;

= 0,2892;

= 2,4957;

= 28,366;

= 40,444;

= 828,47.

На рис. 1.11 показан график изменения скалярного по-

тенциала

на границе немагнитной области в комплексной

плоскости

, т. е. на вещественной оси  . На интервале

a a

2 3

  магнитный потенциал определяется выражением

 

u U

t dt D a

max

    















1 1 2

2



где



1 1 2

( ) ( )

t t D t a

   ,

D t t a

t a

1 2

 



lim ( ) ,

причем



1 2

0( )

 .

Согласно задаче Дирихле для комплексной полуплоско-

сти существует комплексная потенциальная функция

(

) =

(

) +

(

), (1.76)

мнимая часть которой

(

), являясь скалярным магнитным

потенциалом, принимает на вещественной оси  заданное

значение

( ) . Эта комплексная потенциальная функция

выражается через интеграл Шварца для полуплоскости [192]

w t

u d

( )













 



, (1.77)

где

— некоторая вещественная постоянная .

Для произвольной точки верхней полуплоскости

a +

(рис. 1.11) из формулы (1.77) будем иметь выражения со-

ответственно для функций потока магнитной напряженности

и скалярного магнитного потенциала:

v t

u a d

a b

( )

( )( )

( )





 









2 2



  



, (1.78)

u t

b u d

a b

( )



 









 



2 2

. (1.79)

Учитывая, что комплексно — сопряженный вектор на-

пряженности потенциального МП равен:

dw t



( )

из формул (1.74), (1.76) получим

 

R P Q

max

 



 sin cos , (1.80)

 

R P Q

 

max

cos sin



  , (1.81)

где