Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1
Подождите немного. Документ загружается.
51
Рис. 1.8. Дополнительные воздушные зазоры для односторонних
зубчатых областей с
b
3
2
. Зубцы на статоре:
b
`1
5
;
b
`2
0
(1 — для окружности с y
0
; 2 —
y
0 5,
; 3 —
y
0 75,
).
Зубцы на роторе:
b
`1
0
;
b
`2
3
(4 — для окружности с
y
1
; 5 —
y
0 5,
; 6 —
y
0 25,
). Ñуммарный дополнитель-
ный воздушный зазор
1 2
(7 — сумма ординат
кривых 1 и 4; 8 — сумма ординат кривых 2 и 5)
52
Òаблица 1.5
П о с т о я н н ы е
b
1
b
2
b
3
a a a
2 3 4
a
6
a a
7 8
a
9
1 0 0,4
10
5,0055 13,1046 34,3082
5 0 2
10
0,66859 18,0272 486,067
25 0 10
10
0,030409
19,0665 11954,7
Òаблица 1.6
П о с т о я н н ы е
b
1
b
2
b
3
a a
2 3
a
4
a a a a
6 7 8 9
0 0,6 0,4
5,53861 3,06439
4,138
0 3 2
0,91911 0,083803
0,3716
0 15 10
0,044053
—0,19408
.
10
-3
0,01457
Далее находим с помощью формул (1.35), (1.37) коорди-
нату
х
и радиальную составляющую индукции
B
y
*
на средней
окружности ВЗ с односторонней зубчатостью. Дополнитель-
ный ВЗ рассчитывается по выражению:
* *
1 1
B
y
.
Из рис. 1.8 видно, что величины дополнительных ВЗ, в
общем случае, существенно зависят от координаты
y
, а их
значения для
y
2 отличаются от аналогичных значений,
используемых в классическом методе магнитной проводимо-
сти. Это отличие особенно важно на участках, включающих
стенки пазов, разделяющих области с равномерным и нерав-
номерным ВЗ, где классический метод всегда дает занижен-
ные значения магнитной индукции (рис. 1.4, 1.6, 1.7). Пред-
лагаемый метод, как видно из пунктирных кривых (рис. 1.4,
1.6, 1.7), на участке «зубец против зубца» дает практически
истинные значения индукции, а на ближайших частях сосед-
них участков — значения приближающиеся к истинным.
53
Пунктирные кривые на указанных рисунках получены с по-
мощью формулы (1.43), дополнительные зазоры в которой
находятся для точек средней окружности ВЗ. Использование
формулы (1.42) дает худшие результаты.
При достаточно большом значении равномерного воз-
душного зазора
предлагаемый метод дает значения индук-
ции, практически совпадающие с данными точного расчета
(рис. 1.7). Из этого же рисунка видно, что при расчете ин-
дукции классическим методом наблюдается значительная
погрешность.
Этот результат можно объяснить тем, что при относи-
тельно большом равномерном ВЗ вклад самих дополнитель-
ных зазоров и влияние нелинейных связей между ними на
величину эквивалентного результирующего ВЗ снижается.
Таким образом, вычислительный эксперимент показыва-
ет, что униполярное магнитное поле вычисляется более
точно при использовании суммы односторонних дополни-
тельных ВЗ, найденных для тех точек окружности ВЗ, в ко-
торых магнитное поле определяется. Применение классиче-
ского метода магнитной проводимости при расчете такого
поля дает большую погрешность.
Этот вывод можно подтвердить и такими несложными
выкладками. Введем в рассмотрение односторонние удель-
ные магнитные проводимости ВЗ:
1
1
1
,
2
2
1
(1.44)
и связанные с ними вспомогательные величины:
g
1 1
1
,
g
2 2
1
. (1.45)
Тогда выражение для результирующей удельной магнитной
проводимости ВЗ с двухсторонней зубчатостью будут иметь
вид:
54
12
1 2
1 2
2
1 2
1 1
1
g g
, (1.46)
где
1 2 1 2
1
( ) ( )
g
.
При допущении
2
1 2
0
g g
(1.47)
полученная формула (1.46) совпадает с известной классиче-
ской зависимостью [94].
Из формулы (1.46) видно, что рост размера равномерного
ВЗ приводит к увеличению разницы в значениях результи-
рующей удельной магнитной проводимости, рассчитанной
классическим и предлагаемым методами.
Рассмотренный метод нахождения радиальной состав-
ляющей магнитной индукции в ВЗ при его двусторонней
зубчатости может быть распространен и на другие окружно-
сти ВЗ, отличные от средней. Как показывает кривые рис.
1.8, для некоторых таких окружностей, достаточно близко
проходящих у сердечников, соответствующие дополнитель-
ные зазоры на участках оси
x
, примыкающих к краям пазов ,
становятся отрицательными. Это указывает на то, что на от-
меченных участках магнитная индукция при односторонней
зубчатости ВЗ превышает величину
B
m
(индукцию равно-
мерного МП в ВЗ величиной
).
Для более полного учета влияния особенностей зубчатой
структуры сердечников на распределение МП в достаточно
большом ВЗ (например, таком как на рис. 1.4, 1.7) целесооб-
разно производить расчет этого поля на двух окружностях,
каждая из которых проходит вблизи соответствующих сер-
дечников. В этом случае представляется возможным более
точно определить поток взаимоиндукции на каждом зубцо-
вом делении сердечников, выявить характер его распределе-
ния по поверхностям зубцов и в пазах с целью последующего
расчета МП в стальных участках магнитопровода. Эти ок-
ружности не следует выбирать совпадающими со следами
гладких поверхностей сердечников, поскольку в таком случае
55
на окружностях появляются точки (совпадающие с углами
соответствующих зубцов), в которых индукция обращается
теоретически в бесконечность.
С целью более точного расчета всплесков радиальной со-
ставляющей индукции на участках средней окружности ВЗ
малой величины, примыкающим к краям зубцов, противоле-
жащих пазам другого сердечника, целесообразно отступить,
как и в классическом методе магнитной проводимости, от
соответствия координат точек ВЗ при односторонней и двух-
сторонней его зубчатости. В этом случае дополнительные ВЗ
для указанных участков следует определять не для средней
окружности, а для специальной кривой, приближающейся к
краям зубцов.
1.3.3. Практический метод расчета удельной магнитной
проводимости на произвольной окружности воздушного за-
зора при односторонней зубчатости сердечников
Магнитное поле воздушного зазора напротив средней
части зубца шириной
b
z
3 может считаться равномер-
ным. В этом случае магнитную проводимость униполярному
потоку можно определить с помощью конформного отобра-
жения верхней полуплоскости
t
на область плоскости
z
с
бесконечно длинной полуполосой шириной
и полупазом
шириной
b
/2 (рис.1.9, а, б ) .При бесконечной глубине по-
лупаза указанное отображение реализуется дифференциаль-
ным уравнением [174]
dz
t a
t a t a dt
1
2
1 3
, (1.48)
где
a
1
=—1;
a
2
= 0;
a b
3
2
2 .
Уравнение (1.48) запишем для координатных составляющих
в виде
dx R d R d
dy R d R d
cos sin ,
sin cos ,
, (1.49)
56
где
R
1
2
1
3
;
j j
a
2
2
,
j
1 2 3, , ;
1
2
1 3 2
;
j j
*
, если
a
j
0 ;
j j
*
, если
a
j
0 ;
j j
a
*
arctg .
Окружность воздушного зазора ( линия
АА
4
на рис. 1.9, а)
описывается дифференциальными уравнениями (1.49), в ко-
торых следует положить
dy
= 0. В результате получим сис-
тему обыкновенных дифференциальных уравнений с незави-
симой переменной
d
d
1
tg
;
dx
d
R
sin
(1.50)
и начальными условиями
0 0; ;
x a
. (1.51)
Величина
а
находится из решения интегрального уравнения
R d y
a
a
A
1
3
( )
, (1.52)
где
R R
1
0
( ) ;
y
A
— расстояние от гладкой поверхности сердечника до
рассматриваемой окружности (рис. 1.9).
57
Рис. 1.9. Расчет проводимости воздушного зазора
58
Если в качестве независимой переменной принять коор-
динату , то при
dy
0 система уравнении (1.49) примет
вид
d
d
tg ;
dx
d
R
cos
. (1.53)
Численное решение системы дифференциальных уравне-
ний (1.50) при начальных условиях (1.51) обозначим:
~ ~ ~
x x
;
~
~
(
~
) . (1.54)
Образами точек окружности плоскости
z
:
у
=
y
A
;
x
x
~
бу-
дут точки линии плоскости
t
с координатами:
~
;
~
.
Комплексная потенциальная функция
w t v t u t
( ) ( ) ( ) ,
описывающая магнитное поле в немагнитном зазоре плоско-
сти
z
(рис. 1.9, а) при краевых условиях: магнитный потен-
циал линии
А
2
А
1
А
4
постоянен и равен
u
м
, линия
А
2
А
3
яв-
ляется силовой линией магнитного поля — имеет вид [155]:
w t
u
t
a
( ) arch ( )
M
2 1
3
. (1.55)
Используя формулы (1.38), (1.48), (1.55), найдем ком-
плексно-сопряженный вектор магнитной индукции
B
j
u
t
t
0
1
M
59
и искомую удельную относительную магнитную проводи-
мость униполярному потоку для точек фиксированной ок-
ружности воздушного зазора
*
*
(
~
) Im
~
~
x
B
B
j
t
t
y
max
1
1
1
, (1.56)
где
~
~
~
t j
,
*
.
Для непосредственного расчета формулу (1.56) представим в
такой форме
*
(
~
) cos
x
M
M
1
2
1 2
2
, (1.57)
где
M
1
2 2
~
~
;
M
2
2 2
1 (
~
)
~
;
1
аrctg
~
~
;
2
1 аrctg
~
~
.
При
х
= 0,
у
=
y
A
(на середине паза) имеем минималь-
ное значение удельной относительной магнитной проводи-
мости, которое определим по формуле (1.57), подставив в
нее
~
a
;
~
0 ;
1 2
0 .
В результате получим
min
a
a
*
1
. (1.58)
При
y
A
= 0 имеем
a a b
3
2
2 , и формула (1.58) пере-
ходит в известную зависимость [155]
60
min
b
*
( )
2
1 2
2
. (1.59)
С ростом значения
y
A
(при удалении по оси паза от сер-
дечника с гладкой поверхностью) неравенство
а
<
а
3
усили-
вается и, как следует из формулы (1.58), минимальное значе-
ние магнитной проводимости снижается — становится
меньше значения (1.59).
Анализируя выражения (1.50), (1.57), можно убедиться,
что при
~
x
имеем
* *
( )
max
1 .
Расчет удельной магнитной проводимости воздушного
зазора с односторонней зубчатостью при относительно узких
зубцах ( )
b
z
3 может выполняться на основе конформного
преобразования немагнитной области плоскости
z
, содержа-
щей бесконечную полуполосу шириной
,зубец шириной
b
z
и два пазовых участка конечной глубины (рис. 1.9, в ). Кон-
формное соответствие верхней полуплоскости
t
и этой девя-
тиугольной области плоскости
z
задается дифференциальным
уравнением
dz
dt
t a t a t a
t a t a t a t a t a
1 4 5
2 3
6
7 8
, (1.60)
в котором: примем
a
7
0 ;
a
9
;
a
1
— произвольно задан-
ное число, например,
a
1
10 . Остальные шесть чисел
a j
j
( , ) 2 6 8 подлежат численному расчету .
При нахождении образа окружности воздушного зазора в
плоскости
t
будем использовать ту же систему дифференци-
альных уравнений (1.50), в которой функции
R
и
теперь
имеют следующий вид