Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

воздушным зазором



и содержащих два открытых паза

(рис.1.4,а). Соответствие внутренней области этого открыто-

го в бесконечности десятиугольника комплексной плоскости

z x jy





и верхней комплексной полуплоскости

t j

  

задается дифференциальным уравнением Кристоффеля-

Шварца:

t a

  













( )

где

— числа (постоянные) вещественной оси  , соответст-

вующие вершинам

многоугольника с внутренними уг-

лами  

По условиям нормировки три постоянных (из полного их

числа) могут выбираться произвольно. Примем:

= —10;

= 0;

  .

Остальные семь находятся путем решения системы нелиней-

ных интегральных уравнений, задающих соответствие разме-

ров граничных участков областей

z и t

. Это решение можно,

в частности, эффективно получить путем преобразования

исходной системы к системе дифференциальных уравнений

на основе метода продолжения решения по параметру [119].

Для бесконечно глубоких пазов сердечников количество

искомых постоянных уменьшается до пяти, так как имеем

a a a a

2 3 7 8

 ; . Теперь исходная система содержит только

два интегральных уравнения, остальные, связанные с пре-

дельным переходом трех открытых вершин многоугольника,

являются алгебраическими. Хотя эти два интегральных урав-

нения и могут быть разрешены аналитически и вся система

уравнений становится трансцендентной [168], но поиск ре-

шения существенно не облегчается, так как полученная сис-

тема решается только численными методами .

Целесообразно иметь сравнительно простую систему ал-

гебраических уравнений для нахождения постоянных, со

Рис. 1.4,а. Магнитное поле при





;

3 

;

4 

;

h h

1 2

   

Радиальная составляющая магнитной индукции на средней окруж-

ности воздушного зазора: 1 — точный расчет; 2 — по формуле (1.43),

причем

 



1 2

находятся для





0 5,

; 

— по формуле классического

метода (1.42);



— по формуле (1.43), причем

 



1 2

находятся для глад-

ких поверхностей сердечников.

Модуль вектора магнитной индукции на эквипотенциальной ли-

нии

, 0 5

: 3 — точный расчет;



— по формуле (1.45). Эквипотен-

циальная линия

, 0 5

: 4 — точный расчет;



— по формуле (1.44)

ответствующих взаимному положению сердечников, при ко-

тором оси их бесконечно глубоких пазов совпадают. Реше-

ние этой системы, получаемое методом простых итераций,

может служить целям контроля правильности интегрирова-

ния разрывных функций [96] при нахождении постоянных

методом продолжения решения по параметру для случая

произвольного взаимного положения сердечников. Исходя из

равенства магнитной проводимости силовых трубок, распо-

ложенных симметрично относительно общей оси пазов, мо-

жем получить:

 

a a a a a a k a

a a a a a a k

a a a a a a a a a

2 3 2 1 2

2 1 2

9 2

2 7 8 4 2

    

   

    











( )( ) ;

; ; ,

(1.36)

где

k a b

1 2 1 1 2

2 2

( ) ( )

  .

В табл. 1.4 приведены значения постоянных для различ-

ных относительных поперечных размеров бесконечно глубо-

ких пазов и их межосевых расстояний, найденные методом

[119]. Постоянные в строках табл. 1.4, для которых значения

 равны 0,8; 4; 20, отвечают симметричному положению

сердечников. Они подсчитаны по формулам (1.36). Расчет их

по общим исходным уравнениям дает значение

,отличающиеся от табличных цифрами двух последних раз-

рядов .

При разнице магнитных потенциалов между сердечника-

ми

относительное значение комплексно-сопряженного

вектора магнитной индукции (в долях величины

B u

  

0 м

) равно:

 

   

t a t a t a t a

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 7 8

1 4

. (1.37)

Òаблица 1.4

П о с т о я н н ы е



a a

2 3



a a

7 8



5,70039

3,21405

20,9639

53.8014

139,595

0,2

5,76689

3,28392

11,9879

30.5618

78,9048

1 0,6

0,4

5,82854

3,35756

6,91551

17.5411

45,0178

0,6

5,86582

3,41521

4,00344

10.1366

25,8579

0,8

5,86268

3,43710

2,3100

5.86268

14,8792

1,02072

0,09446

42,2912

1030,21

27680,0

1,50240

0,15023

7,36667

128,241

3354,20

5 3 2

2,32562

0,29441

2,46768

32,9806

809,737

3,00159

0,60905

0,68835

10,4288

233,725

2,97203

0,88330

0,15155

2,97203

58,2843

0,04898

—0,000216

47,2500

26652,6

16708

0,41164

0,00200

2,75803

197,327

119738

1,23412

0,00891

1,25790

40,4634

22260,4

2,40173

0,11301

0,11665

11,1519

5441,50

2,52318

0,63664

0,00624

2,52318

1019,90

С помощью дифференциального уравнения (1.35) осуществ-

ляется «привязка» значений индукции, как функции

B B t

 ( ) , к точкам комплексной плоскости

. Формула (1.37)

следует из уравнения (1.35) и известной зависимости [192]:





, 1.38)

где

w = v + ju

— комплексная потенциальная функция плос-

копараллельного магнитостатического поля, которая при

униполярном намагничивании сердечников равна:





ln . (1.39)

1.3.2. Магнитное поле на окружности воздушного зазора

Формулы (1.35), (1.37) позволяют рассчитать радиальную

составляющую магнитной индукции

B B B

y y m

 в точках

средней окружности воздушного зазора (ВЗ), для которых

  2 .

Известно аналитическое выражение для определения ин-

дукции на гладкой поверхности сердечника при односторон-

ней зубчатости ВЗ [96, 242]:





B B

* * *

  1 1  , (1.40)

где





 

( ) ( ) ( )( ) ;

( ) ( ) ;

1 1

2 1 2

1 2 4

1 2

    

  













   

 

u u

u b b

(1.41)

— ширина паза бесконечной глубины ;

  1 — координата промежуточного преобразования,

связанная с координатой

сравнительно простой транс-

цендентной зависимостью [96].

Согласно методу [93] индукция на средней окружности

ВЗ при его двухсторонней зубчатости находится по эмпири-

ческой формуле:





* * * * * * *

( ) ( )      1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2

      , (1.42)

где  

1 2

( )

  — относительные дополнительные ВЗ, обу-

словленные пазами сердечников шириной

1(2)

и опреде-

ляемые по выражению (1.41).

Следует обратить внимание на существенную особен-

ность этого метода, заключающуюся в том, что хотя индук-

ция рассчитывается в точках средней окружности ВЗ, допол-

нительные зазоры (магнитные проводимости) определяются

для точек других окружностей, совпадающих со следами

гладких

Рис. 1.4,б. Магнитное поле при b

5 

;

3 

;

h h

1 2

    :

3 

(обозначе-

ние кривых и точек то же, что и на рис. 1.4,а)

Рис. 1.4,в. Магнитное поле при b

5 

;

3 

; h h

1 2

    :

2 

(обозначе-

ние кривых и точек то же, что и на рис. 1.4,а)

Рис. 1.4,д. Магнитное поле при b

5 

;

3 

;

h h

1 2

    :

/=0(обозначение кривых и

точек то же, что и на рис. 1.4,а)

Рис. 1.4,г. Магнитное поле при b

5 

;

3 

; h h

1 2

    :

1 

(обозначе-

ние кривых и точек то же, что и на рис. 1.4,а)

поверхностей обоих соответствующих сердечников. Это не-

соответствие, исторически связанное, видимо, с аналитиче-

ским удобством нахождения координат

x, y

при конформном

отображении области ВЗ с односторонней зубчатостью [242],

является, как показано ниже, источником дополнительной

погрешности метода.

Целесообразно оценить возможность нахождения индук-

ции в рассматриваемых точках ВЗ с помощью другой эмпи-

рической зависимости:





* * *

  1 1

1 2

  , (1.43)

в которой расчетный эквивалентный ВЗ равен сумме равно-

мерного и, отмеченных выше, дополнительных ВЗ. Эта зави-

симость, не содержащая произведения дополнительных ВЗ,

по физическим соображениям представляется более пред-

почтительной, чем формула (1.42).

На рис. 1.4, a, б, в, г, д точками (светлыми и темными)

помечено распределение радиальной составляющей индук-

ции в ВЗ, подсчитанное по формулам (1.42), (1.43) для пазов

с поперечными размерами

b b

1 2

5 3  ; , занимающими

различные положения друг относительно друга

(

4 3 2 1 0  ; ; ; ; ). Сплошной линией показаны кривые этой

составляющей индукции в точках ВЗ с

  2 , найденные

методом конформного отображения по формулам

(1.35)



(1.37) . Все эти положения (

4 3 2 1 0  ; ; ; ; ) отхваты-

вают симметричную половину пространственного сдвига

сердечников с взаимным перекрытием противолежащих па-

зов.

На рис. 1.5 показаны силовые линии униполярного маг-

нитного поля между сердечниками, фиксирующие магнит-

ные трубки равной проводимости, для случая:

b h

1 1

5   ;

b h

2 2

3   ;

2  .

Точки и кривые (рис. 1.6, 1.7) соответствуют случаю, когда

размер равномерного ВЗ



в 5 раз соответственно меньше и

больше по сравнению с его величиной на рис. 1.4. Видим,

что приближенные расчеты по формулам (1.42), (1.43) обес-

печивают сравнительно удовлетворительное приближение к

точному распределению индукции (рис. 1.6, 1.7).

Поскольку маг-

нитная индукция рас-

считывается для то-

чек средней окружно-

сти ВЗ, то, очевидно,

дополнительные зазо-

ры 

( , ) 1 2 в

формуле (1.43), обу-

словленные односто-

ронней зубчатостью,

следует искать, в от-

личие от методики

[93], также для этой

окружности. Указан-

ные зазоры (или свя-

занные с ними ло-

кальные магнитные

проводимости), как

функции  

j j

x y

 ( , ),

в принципе могут

быть определены ана-

литически для точек

  2 [73, 174] или

найдены общим ме-

тодом, изложенным

выше, по формулам (1.35)—(1.37). В последнем случае пред-

варительно определяются постоянные Кристоффеля-Шварца

для двух вариантов исходных данных: в первом — отсутству-

ет зубчатость на статоре (

0 ), во втором — на роторе (

= 0). Некоторые значения указанных постоянных приведены

в табл. 1.5 (статор) и табл. 1.6 (ротор).

Рис. 1.5. Картина униполярного поля

в пазах

Рис. 1.6. Магнитное поле при b

25 

;

15 

; b

10 

, h h

1 2

    (

обозначение

кривых и точек то же, что и на рис. 1.4,а)

Рис. 1.7. Магнитное поле при b

1 

; b

0 6  ,

;

0 4  ,

, h h

1 2

   

(обозначение кривых и

точек то же, что и на рис. 1.4,а)