Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

401

инвертор тока аппроксимируется непрерывными зависимо-

стями, связывающими входные и выходные величины токов

и напряжений [81]; токи и напряжения на входе и выходе

инвертора не содержат высших гармонических; частота из-

менения угла отпирания инвертора не превышает критиче-

скую.

Для общности случая рассматривается ВД, имеющий кро-

ме обмотки независимого возбуждения

н и последова-

тельные 

c и

c , расположенные по перпендикулярным

осям симметрии машины и включенные в цепь постоянного

тока инвертора.

Поведение ВД при отсутствии регулирования управляю-

щих воздействий (

~ ~

u u

n fd

  



0 )

при малых прираще-

ниях переменных описывается, как показано в параграфе

8.3.3, восемью дифференциальными уравнениями вида

 

x M j

 







 

1 8

; ,...,

, (8.61)

где через

обозначены в порядке возрастания индекса

соответственно независимые переменные:



(

 1 5,..., );

 ;

;



1 ( )

 6 ; 

0 ; ( )

 6 ;

~ ~







M M J

c c

;  

J J p

здесь

— момент инерции вращающихся частей,

—

число пар полюсов ВД.

Уравнения (8.61) получены при линеаризации шести диффе-

ренциальных уравнений Парка-Горева (пять из них соответ-

ствуют равновесию напряжений обмоток:

d fd d q q

; ; ; ; ;н к к

шестое — равновесию моментов на валу ВД) и двух диффе-

ренциальных уравнений, отображающих в координатах

передачу напряжения синхронизации от зажимов обмотки

якоря через низкочастотный фильтр на вход системы им-

пульсно-фазового управления (СИФУ) инвертора. Опыт по-

казывает, что для устранения коммутационных «провалов» в

402

напряжении синхронизации требуется достаточно мощный

фильтр, и его параметры влияют на статические и динамиче-

ские показатели ВД. Коэффициенты 

рассчитываются по

формулам из параграфа 8.3.3 с учетом насыщения магнитной

цепи ВД и угла коммутации инвертора.

С помощью уравнения (8.61) можно найти операторные

выражения для переменных

и угла нагрузки

 :





 

F p

L p

M p





, (8.62)

 







, (8.63)

где

 

L p

11 18

81 88





 

...

... ... ...

...

— (8.64)

характеристическое уравнение данной системы,

     

F p M p F p F p F

i i i

     



6 0

... , (8.65)

где





M p

— минор определителя (8.64), получающийся в

результате вычеркивания в последнем шестой строки и

столбца

   





    

i i i i i

    



1 1 0 4 4 0

cos sin  , (8.66)

    

1 1 0 4 0

i i i q

r a

   

    

4 4 0 1 0

i i i d

r a

   

403

   

17 18 47 48

0    ,

a l

ji ji



1

( , ,..., )

i j

 1 5 ,



 1 (

i j

 ); 

 0 (

i j

 ).

При подстановке (8.62) в выражение (8.63) получим:

 





 



D p

L p

M p



, (8.67)

где

   

D p F p D p

 



 



D F

k i







   

L p J L p L p











Полином





L p

с коэффициентами

может также рас-

сматриваться как характеристический.

Из выражений (8.62), (8.67) можем получить, в частности,

уравнение связи изображений частоты вращения и угла вы-

бега ротора:



















p p F p D p

 

. (8.68)

Для сравнения отметим, что в случае синхронного двига-

теля с обычным питанием от сети неизменной частоты, как

известно, справедливо:









p p p

   . (8.69)

Если обозначить степени полиномов





L p





D p

соот-

ветственно через



, то, согласно критерию Ми-

404

хайлова, годограф моментной характеристики













M j L j D j

   повернется при изменении



от нуля

до (





) на угол

   

n r s m s m

     2

1 2

( ) ( )

 

, (8.70)

где

— числа корней в правой полуплоскости соответ-

ственно у полиномов





L p





D p

Для устойчивой системы



, и угол поворота годогра-

фа





M j

 будет зависеть от значения

. Оценим

, заменяя

в исходной системе (8.61) переменную

 через

 . Эту за-

мену легко сделать, так как в соответствии с уравнением

(8.63) приращение

 является линейной комбинацией неза-

висимых переменных

. В результате указанной замены

система (8.61) примет вид:

x M j

ji i

 







  

6 6

1 8

( ,... , )

, (8.71)

где



 ;   

j j

6 6 6

 ;    

66 6 6





;

    

ji ji

 

6 6

, (

j i

,  6 );

     

6 6 6

j ji

 





( ) (

 6

При решении этой системы в операторном виде относи-

тельно изображения









x p p



 получим снова уравнение

(8.67), в котором

405

 

L p J







 

11 18

81 88

...

... ... ...

...

, (8.72)

а полином





D p

равняется алгебраическому дополнению оп-

ределителя (8.72):

 

D p







  

   

  

 

11 17 18

51 55 57 58

71 77 78

81 88

... ...

... ... ... ... ...

...

... ...

... ... ...







 

11 17

71 77

...

... ... ...

...

Таким образом,

— число корней полинома





D p

в пра-

вой полуплоскости — будет равно числу собственных значе-

ний матрицы 

в этой полуплоскости.

Если матрица 

устойчива, то



, и годограф мо-

ментной характеристики













M j L j D j M j M

s d

   

 

   (8.73)

у статически устойчивого ВД повернется при изменении



от нуля до бесконечности, согласно формуле (8.70), на

угол   2 . Для



; 2 углы поворота годографа составят

соответственно:  3 2 и  5 2 .

Составляющие моментной характеристики в формуле

(8.73) будут

406

m m m

t t t



 



  

* * *

...

u u u

t t t



 



  

* * *

...

где

 

m D L

j k

j i j

 



 





;

 

u D L

j k

j i j

 









;

 

t D D i k

j k

j i j

  









1 2

; (

 0 1 2 7, , ,..., ).

При вынужденных установившихся качаниях ротора, обу-

словленных действием гармонической составляющей внеш-

него момента на его валу, моментная характеристика





M j



в соответствии с уравнением (8.67) может рассматриваться

как комплексное электромеханическое сопротивление, огра-

ничивающее размах колебаний угла нагрузки [276].

Если в некоторой окрестности значения частоты  









M j M j

 

 , (8.74)

то это значение частоты фиксируется в качестве резонансно-

го, так как ему соответствует большая амплитуда колебания

угла

 .

Известно, что у статически устойчивого синхронного

двигателя (СД) с питанием от сети неизменной частоты дан-

ный годограф при указанном выше изменении



повернет-

ся на угол





, и частота  

, при которой годограф пе-

ресекает мнимую ось (



 0 ), является резонансной при

вынужденных колебаниях ротора [276]. Для нее справедливо

неравенство (8.74).

При этой частоте коэффициент суммарного синхронизи-

рующего момента



равен нулю, а коэффициент суммар-

ного асинхронного электромагнитного момента



поло-

жителен.

407

Следует также отметить, что в случае СД все корни

полинома





D p

являются всегда действительными и отрица-

тельными (



) и им отвечает такое же количество дейст-

вительных корней

полинома





L p

, расположенных в

промежутке между корнями

1

, причем

q q

i i



1

p q

i i

 [276]. Из-за достаточно близкого расположения соот-

ветствующих корней

текущее изменение





arg

M j

 у

устойчивого СД (



) будет монотонным и обусловлено,

главным образом, двумя комплексно-сопряженными корня-

ми полинома





L p

и не выходит за пределы угла



Рис. 8.11. Частотíые момеíтíые характеристики устойчивого

(сплошíая лиíия,





) и íеустойчивого (штриховая лиíия,





) двигателей смешаííого возбуждеíия (

 15,

;

 0

) в

íомиíальíом режиме

408

У устойчивого ВД с



годограф (8.73) может поворачи-

ваться, меняя положительное направление на отрицательное,

и текущее значение





arg

M j

 может стать больше конечного,

соответствующего







и равного   2 (рис. 8.11). Это

связано с тем, что на определенном интервале изменения



вектор





L j

 поворачивается более ускоренно, чем вектор





D j

 . Так, например, как видно из рис. 8.12,





arg

L j

50 260  ; а





arg

D j

50 130  .

Рис. 8.12. Годографы полиíомов





L j







D j



устойчивого двигателя

для íомиíальíого режима (





;

 1 5,

;

 0

)

409

Ускоренное изменение





arg

L j

 обусловлено, очевидно,

более близким расположением к началу координат корней

полинома





L p

по сравнению с соответствующими корнями

полинома





D p

В результате годограф





M j

 может пересекать мнимую

ось, но величина  

, при котором



 0 , необяза-

тельно будет резонансной. С увеличением частоты



проис-

ходит практически монотонное возрастание





M j

 (см. рис.

8.11) и, следовательно, данный ВД не способен к резонанс-

ному изменению угла

 при вынужденных качаниях ротора.

Поскольку матрица 

совпадает с матрицей 

в про-

странстве семи из восьми возможных измерений, то

весьма вероятно, что она будет устойчивой, а, следовательно,

число

— равным нулю, если ВД устойчив [230]. И наобо-

рот, при неустойчивости ВД следует ожидать, что матрица



также неустойчива. Но, вообще говоря, устойчивость ВД

определяется устойчивостью характеристической матрицы



и не требует устойчивости матрицы 

В общем случае



, поэтому в отличие от СД, по виду

годографа моментной характеристики ВД нельзя судить об

его устойчивости. Так, из рис. 8.11 следует, что моментные

характеристики





M j

 с одинаковыми результирующими

углами поворота могут соответствовать как устойчивому, так

и неустойчивому ВД. Сплошная кривая этого рисунка по-

строена для устойчивого ВД, а штриховая кривая относится

к неустойчивому ВД, у которого



. У СД такая не-

однозначность отсутствует, так как для него всегда



Неустойчивый вариаíт ВД подтверждает, что собствеííые зíаче-

íия матриц



близки друг к другу - íаличие двух корíей в

правой полуплоскости у матрицы



вызывает такое же число кор-

íей в этой полуплоскости и у матрицы



410

Если момент сопротивления на валу ВД имеет гармони-

ческую составляющую:

 



M t M e

j t

с c

Re



вызывающую малые установившиеся гармонические колеба-

ния переменных, то согласно выражениям (8.67), (8.73) име-

ем:

 

M t M M

s d

 

 



, (8.75)

где



 



 Re

j t

При комплексной форме записи получим:

 



M M j M

m s d m

 

 

  . (8.76)

Коэффициенты



могут рассматриваться по

аналогии с СД соответственно как суммарные удельные син-

хронные и асинхронные моменты, обусловленные не только

электромагнитным моментом ВД, но и моментом сил инер-

ции на его валу.

Следует отметить, что, в то время как у ВД оба коэффи-

циента



зависят от момента инерции ротора, у

СД такая зависимость имеет место только для коэффициента



[276]. Этот результат вытекает из особенностей уравне-

ний (8.68) и (8.69), связывающих переменные

 и

 .

Определим теперь электромагнитный момент ВД при ма-

лых установившихся колебаниях ротора. В соответствии с

формулами (8.61), (8.62) выражение для комплексной ампли-

туды гармонической составляющей электромагнитного мо-

мента будет иметь вид: