Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука»,
М, 1973, 448 стр.
Книга содержит систематическое изложение новых методов исследования
различных типов задач оптимального управления с позиций общих
достаточных условий оптимальности. В частности, рассматриваются
задачи с неполной информацией игрового типа. Большое внимание
уделено мало освещенным в литературе, но типичным для практики
нерегулярным решениям — скользящим режимам и более сложным
минимизирующим последовательностям. Предлагаются специальные методы
их исследования. Решается ряд задач механики космического полета,
иллюстрирующих методы и представляющих самостоятельный интерес.
Рассчитана на научных работников, инженеров и аспирантов, специализирующихся в области оптимального управления. Предисловие.
I. Введение.
Общая задача об оптимуме и оптимальное управление.
Математическая модель управляемой системы.
Структура решения задачи оптимального управления.
II. Основы теории.
Общая задача об оптимуме. Некоторые вспомогательные предложения.
Основные леммы о минимизирующих последовательностях (25).
Приложение основных лемм: задача нелинейного программирования (27).
Принцип сечений (29).
Системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Постановка основной задачи (29).
Основная теорема (32).
Задачи с подвижной границей (34).
Принцип оптимальности.
Системы, описываемые уравнениями в частных производных.
Постановка основной задачи (40).
Основная теорема (42).
Задача с подвижной границей для уравнений в частных производных (44).
Обобщения основной теоремы.
Ослабление требований к функции <р (1,х) (45).
Обобщение на задачи оптимального управления в функциональном пространстве (44).
Стохастические системы.
Постановка задачи (56).
Достаточные условия абсолютного минимума (57).
Дискретные системы.
I. Постановка задачи (59).
Основная теорема (59).
Дополнение. Оценка областей достижимости для класса допустимых.
Комментарии к главе II.
III. Задача Эйлера.
Постановка задачи. Индикатриса.
Различные типы решений задачи в зависимости от вида индикатрисы.
Постоянная индикатриса (63).
Линейная индикатриса (69).
Индикатриса с ограниченной нелинейностью (71).
Невыпуклая индикатриса. Скользящие режимы (76).
Общий случай. Связь с классическими условиями.
Необходимые условия (82).
Уравнение Эйлера (84).
Необходимое условие Вейерштрасса (84).
Некоторые частные случаи (85).
Условия Якоби (87).
Комментарии к главе III.
IV. Метод Лагранжа — Понтрягина.
I. Основные уравнения метода. Принцип максимума Л. С. Понтрягина.
Основные уравнения метода в случае, когда множество Уц не зависит от х (94).
Принцип максимума Л. С. Понтрягина (97).
Основные уравнения метода в случае, когда множество Vu зависит от х (98).
Проблема абсолютного минимума в методе Лагранжа — Понтрягина.
Линейные системы.
Линейный функционал (103).
Задача о минимуме средней ошибки (104).
Относительный минимум.
Случай, когда V —открытое множество и не зависит от х (105).
Общий случай (109).
Связь с условиями Якоби вариационного исчисления.
Задачи с подвижной границей.
Задачи с ограничениями на фазовые координаты.
Условие 1-го порядка (121).
Системы, линейные относительно фазовых координат (127).
Достаточные условия сильного относительного максимума(129).
Системы с многомерным аргументом.
Основные уравнения (136).
Абсолютный минимум (139).
Линейные системы (140).
Задачи о минимуме средней ошибки (141).
Сильный относительный минимум (142).
Дискретные системы.
Комментарии к главе IV.
V. Метод Гамильтона — Якоби — Беллмана.
Уравнение Беллмана для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Задача синтеза оптимального управления.
Синтез оптимального управления для систем, линейных относительно фазовых координат.
Синтез регулятора линейной системы, оптимального по минимуму среднеквадратнческого отклонения от.
невозмущенной траектории.
Постановка задачи (152).
Решение задачи (154).
СлучаЙ Неограниченного интервала времени (156).
Дискретные системы.
Функциональное уравнение Беллмана (159).
Задачи с ограниченным множеством состояний (160).
Доказательство необходимости существования ф (f, х) (161).
Комментарии к главе V.
VI. Скользящие и вырожденные оптимальные режимы.
Специальная задача.
Достаточные условия абсолютного минимума и конструкция минимизирующей последовательности.
Обобщение метода Лагранжа — Понтрягина.
Замечания о методе Беллмана.
Теорема существования минимали в классе допустимых.
Скользящие режимы и преобразования вариационных задач.
Комментарии к главе VI.
VII. Метод кратных максимумов.
Общая схема метода. Уравнение кратных максимумов.
Линейное уравнение кратных максимумов.
Системы с отделимым линейным управлением (191).
Производная задача (197).
Случай неограниченного линейного управления (198).
Некоторые обобщения.
Циклические скользящие режимы.
Вырожденная задача о минимуме второй вариации функционала.
Постановка задачи (211).
Переход к производной задаче (213).
Задача с неограниченными производными и обобщенный переход к производной задаче.
Постановка задачи (215).
Производная задача (217).
Условия существования последовательности {л^,. (<)} (224).
Метод кратных максимумов для непрерывных систем в общем случае.
Характеристическая система уравнения кратных максимумов (226).
Необходимые условия максимума R и минимума О (227).
Достаточные условия оптимальности (230).
Задача со свободным правым концом. Оптимальный синтез на многообразии S (232).
Сильный относительный минимум (235).
Случай нескольких максимумов функции Н (236).
Дискретные системы.
Постановка задачи (240).
Уравнение кратных максимумов (241).
Производная задача. Достаточные условия оптимальности (242).
Дополнение. Эквивалентность задачи о минимуме функционала с линейными связями.
и производной задачи.
Комментарии к главе VII.
VIII. Приближенные методы.
Постановка задачи.
Задача об улучшении элемента о е D (252).
Задача об улучшении нижней границы (252).
Общий принцип решения.
Задача улучшения процесса.
Метод улучшения по программе-управления и начальному состоянию (255).
Метод улучшения по начальному значению сопряженного вектора (258).
Задача об улучшении оценки.
Линейные задачи.
Решение задачи в целом или построение оцененной минимизирующей последовательности.
Приближенный синтез оптимального управления.
Комментарии к главе VIII.
IX. Оптимальные маневры летательных аппаратов в вакууме.
Оптимальное движение центра масс космического аппарата.
(общая постановка задач и переход к производной задаче).
Однородное (постоянное) гравитационное поле.
Исследование пронзводноП задачи (275).
Реализация решения производной задачи в исходном классе. Структура оптимальных режимов (279).
Обобщение на случай подвижных* концов (281).
Режимы особого управления (283). 5. Заключение (284).
Центральное ньютоновское поле.
Уравнения производной задачи (285).
Предварительный анализ (287).
Особые режимы (298).
Некоторые частные задачи (304).
О компланарных переходах (306).
Замечания о способе задания функции Ф (306).
Некоторые типы оптимальных переходов.
Поворот плоскости орбиты (308).
Скользящий режим в задаче поворота плоскости орбиты (314).
Изменение ориентации орбиты в плоскости (319).
Некоторые задачи оптимального управления ориентаций космических аппаратов.
Уравнения углового движения (324).
Аппарат, вращающийся вокруг оси симметрии (325).
Аппарат, вращающийся вокруг нормали к оси симметрии (332).
Комментарии к главе IX.
X. Задачи оптимизации траекторий летательных аппаратов в атмосфере.
Уравнения движения летательного аппарата в атмосфере.
Горизонтальный полет самолета на максимальную дальность.
Вертикальный-подъем на максимальную высоту.
Спуск космического аппарата в атмосфере с использованием двигателя.
Постановка задачи (349).
Решение задачи (350).
Численный алгоритм и результаты (352).
Безопасный спуск в атмосфере с минимальным расходом хладоагента.
Постановка задачи (358).
Переход к производной задаче (361).
Решение производной задачи (362).
Результаты расчета (364).
Реализация в классе допустимых (367).
Комментарии к главе X.
XI. Системы с неполной информацией (оптимизация по игровым критериям).
Постановка задачи.
Основные теоремы.
Полная информированность о состоянии. Оптимальный синтез.
Полная информированность о состоянии. Уравнения оптимальной программы.
Неполная информированность о состоянии. Условия отсутствия цены информации.
Дискретный достаточный оператор измерения.
Оптимальнее управление при недостаточной информированности.
Комментарии к главе XI.
Литература.
Предметный указатель.
Рассчитана на научных работников, инженеров и аспирантов, специализирующихся в области оптимального управления. Предисловие.
I. Введение.
Общая задача об оптимуме и оптимальное управление.
Математическая модель управляемой системы.
Структура решения задачи оптимального управления.
II. Основы теории.
Общая задача об оптимуме. Некоторые вспомогательные предложения.
Основные леммы о минимизирующих последовательностях (25).
Приложение основных лемм: задача нелинейного программирования (27).
Принцип сечений (29).
Системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Постановка основной задачи (29).
Основная теорема (32).
Задачи с подвижной границей (34).
Принцип оптимальности.
Системы, описываемые уравнениями в частных производных.
Постановка основной задачи (40).
Основная теорема (42).
Задача с подвижной границей для уравнений в частных производных (44).
Обобщения основной теоремы.
Ослабление требований к функции <р (1,х) (45).
Обобщение на задачи оптимального управления в функциональном пространстве (44).
Стохастические системы.
Постановка задачи (56).
Достаточные условия абсолютного минимума (57).
Дискретные системы.
I. Постановка задачи (59).
Основная теорема (59).
Дополнение. Оценка областей достижимости для класса допустимых.
Комментарии к главе II.
III. Задача Эйлера.
Постановка задачи. Индикатриса.
Различные типы решений задачи в зависимости от вида индикатрисы.
Постоянная индикатриса (63).
Линейная индикатриса (69).
Индикатриса с ограниченной нелинейностью (71).
Невыпуклая индикатриса. Скользящие режимы (76).
Общий случай. Связь с классическими условиями.
Необходимые условия (82).
Уравнение Эйлера (84).
Необходимое условие Вейерштрасса (84).
Некоторые частные случаи (85).
Условия Якоби (87).
Комментарии к главе III.
IV. Метод Лагранжа — Понтрягина.
I. Основные уравнения метода. Принцип максимума Л. С. Понтрягина.
Основные уравнения метода в случае, когда множество Уц не зависит от х (94).
Принцип максимума Л. С. Понтрягина (97).
Основные уравнения метода в случае, когда множество Vu зависит от х (98).
Проблема абсолютного минимума в методе Лагранжа — Понтрягина.
Линейные системы.
Линейный функционал (103).
Задача о минимуме средней ошибки (104).
Относительный минимум.
Случай, когда V —открытое множество и не зависит от х (105).
Общий случай (109).
Связь с условиями Якоби вариационного исчисления.
Задачи с подвижной границей.
Задачи с ограничениями на фазовые координаты.
Условие 1-го порядка (121).
Системы, линейные относительно фазовых координат (127).
Достаточные условия сильного относительного максимума(129).
Системы с многомерным аргументом.
Основные уравнения (136).
Абсолютный минимум (139).
Линейные системы (140).
Задачи о минимуме средней ошибки (141).
Сильный относительный минимум (142).
Дискретные системы.
Комментарии к главе IV.
V. Метод Гамильтона — Якоби — Беллмана.
Уравнение Беллмана для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Задача синтеза оптимального управления.
Синтез оптимального управления для систем, линейных относительно фазовых координат.
Синтез регулятора линейной системы, оптимального по минимуму среднеквадратнческого отклонения от.
невозмущенной траектории.
Постановка задачи (152).
Решение задачи (154).
СлучаЙ Неограниченного интервала времени (156).
Дискретные системы.
Функциональное уравнение Беллмана (159).
Задачи с ограниченным множеством состояний (160).
Доказательство необходимости существования ф (f, х) (161).
Комментарии к главе V.
VI. Скользящие и вырожденные оптимальные режимы.
Специальная задача.
Достаточные условия абсолютного минимума и конструкция минимизирующей последовательности.
Обобщение метода Лагранжа — Понтрягина.
Замечания о методе Беллмана.
Теорема существования минимали в классе допустимых.
Скользящие режимы и преобразования вариационных задач.
Комментарии к главе VI.
VII. Метод кратных максимумов.
Общая схема метода. Уравнение кратных максимумов.
Линейное уравнение кратных максимумов.
Системы с отделимым линейным управлением (191).
Производная задача (197).
Случай неограниченного линейного управления (198).
Некоторые обобщения.
Циклические скользящие режимы.
Вырожденная задача о минимуме второй вариации функционала.
Постановка задачи (211).
Переход к производной задаче (213).
Задача с неограниченными производными и обобщенный переход к производной задаче.
Постановка задачи (215).
Производная задача (217).
Условия существования последовательности {л^,. (<)} (224).
Метод кратных максимумов для непрерывных систем в общем случае.
Характеристическая система уравнения кратных максимумов (226).
Необходимые условия максимума R и минимума О (227).
Достаточные условия оптимальности (230).
Задача со свободным правым концом. Оптимальный синтез на многообразии S (232).
Сильный относительный минимум (235).
Случай нескольких максимумов функции Н (236).
Дискретные системы.
Постановка задачи (240).
Уравнение кратных максимумов (241).
Производная задача. Достаточные условия оптимальности (242).
Дополнение. Эквивалентность задачи о минимуме функционала с линейными связями.
и производной задачи.
Комментарии к главе VII.
VIII. Приближенные методы.
Постановка задачи.
Задача об улучшении элемента о е D (252).
Задача об улучшении нижней границы (252).
Общий принцип решения.
Задача улучшения процесса.
Метод улучшения по программе-управления и начальному состоянию (255).
Метод улучшения по начальному значению сопряженного вектора (258).
Задача об улучшении оценки.
Линейные задачи.
Решение задачи в целом или построение оцененной минимизирующей последовательности.
Приближенный синтез оптимального управления.
Комментарии к главе VIII.
IX. Оптимальные маневры летательных аппаратов в вакууме.
Оптимальное движение центра масс космического аппарата.
(общая постановка задач и переход к производной задаче).
Однородное (постоянное) гравитационное поле.
Исследование пронзводноП задачи (275).
Реализация решения производной задачи в исходном классе. Структура оптимальных режимов (279).
Обобщение на случай подвижных* концов (281).
Режимы особого управления (283). 5. Заключение (284).
Центральное ньютоновское поле.
Уравнения производной задачи (285).
Предварительный анализ (287).
Особые режимы (298).
Некоторые частные задачи (304).
О компланарных переходах (306).
Замечания о способе задания функции Ф (306).
Некоторые типы оптимальных переходов.
Поворот плоскости орбиты (308).
Скользящий режим в задаче поворота плоскости орбиты (314).
Изменение ориентации орбиты в плоскости (319).
Некоторые задачи оптимального управления ориентаций космических аппаратов.
Уравнения углового движения (324).
Аппарат, вращающийся вокруг оси симметрии (325).
Аппарат, вращающийся вокруг нормали к оси симметрии (332).
Комментарии к главе IX.
X. Задачи оптимизации траекторий летательных аппаратов в атмосфере.
Уравнения движения летательного аппарата в атмосфере.
Горизонтальный полет самолета на максимальную дальность.
Вертикальный-подъем на максимальную высоту.
Спуск космического аппарата в атмосфере с использованием двигателя.
Постановка задачи (349).
Решение задачи (350).
Численный алгоритм и результаты (352).
Безопасный спуск в атмосфере с минимальным расходом хладоагента.
Постановка задачи (358).
Переход к производной задаче (361).
Решение производной задачи (362).
Результаты расчета (364).
Реализация в классе допустимых (367).
Комментарии к главе X.
XI. Системы с неполной информацией (оптимизация по игровым критериям).
Постановка задачи.
Основные теоремы.
Полная информированность о состоянии. Оптимальный синтез.
Полная информированность о состоянии. Уравнения оптимальной программы.
Неполная информированность о состоянии. Условия отсутствия цены информации.
Дискретный достаточный оператор измерения.
Оптимальнее управление при недостаточной информированности.
Комментарии к главе XI.
Литература.
Предметный указатель.