Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

3. Пределы

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Число А называется пределом функции f{x) в точке ж = а, если

Ve >

35{е) >

< |х - а| < 5[е) => \f{x) - А\ < е.

Это значит, что Ve > О неравенство |/(ж)

—

А\ < е имеет решение

< |х-а| < S{e).

Для того чтобы найти

S{€)y

сначала найдем множество М такое,

что

X е М

==^

\f{x) -А\<е,

т.е.

решим неравенство \f{x)

—

А\ < е. Затем найдем 5{е) такое, что

< |ж - а| < 5{е)

==>

х е М.

Тогда будем иметь

< |а; - а| < S{e) =^ х Е М => \f{x) - А\ < е.

Это означает, что

Иш f{x) = А.

Записываем ответ в виде: Ve>0 0<|ж —а|< 5{е) => \f{x)—A\ < е.

ПРИМЕР.

Доказать,

что

15x2 - 2а: - 1 ^

lim — = 8.

ж-)>1/3 X — 1/3

РЕШЕНИЕ.

]^5х2

—

2х

—

Число 8 называется пределом функции f{x) = т-rz в

точке

X = 1/3,

если

Уе>0

3S{e) >

х-1/3

<S{e)

15^2 - 2а; - 1

а:-1/3

< £.

Для того чтобы найти (5(б:), сначала найдем множество М такое,

что

X е М

т.е. решим неравенство

15x2

2х

- 1

х-1/3

<е,

15x2

2х

- 1

1/3

< е.

3.5. Понятие предела функции

Затем найдем 5{е)

такое,

что

"-3

S{e)

=^х е М.

Тогда будем иметь

"-3

< 5{£) => X е м

Ibx'^ - 2х - 1

х-1/3

< е.

Решаем неравенство

15x2 - 2х - 1

х-1/3

< е <=> |15х +

- 8| < е <^=Ф ^-77 <^ <

+ 7Т

3 15 3 15

(так как в определении предела функции в точке х ^ 1/3, т.е.

—1/3 7^ О, то можно сократить дробь на множитель х

—1/3).

Таким

образом.

е м

,3 15^3

Следовательно, если

'Я )Ul Q'Q + ir:

З'З 15

'<•) = I5'

15x2 - 2а; - 1

а;-1/3

<е.

то

^-3

<^(e)=^.e(i-^,i)uQ.i

т.е.

15x2 - 2х - 1

х-1/3

<£,

,. 15x2 - 2х - 1 „

Ьт —-— = 8.

х-И/З X

—

1/3

Ответ. Ve >

О О

^-3

<I5

15x2 - 2х - 1

х-1/3

< €.

82 Гл.

Пределы

Условия ЗАДАЧ. Пользуясь определением предела функции в

точке, доказать равенства.

.. 2х^ + Пх +

1Б

^ ^ .. Згс2 + 2х-8

lim =

—1.

2. lim = —10.

x->-3 X + 3 ж->-2

+ 2

6х^ + Бх-1 ^ ^ ^. 9^2 4-12а:+ 3 ^

lim ; =

-1.

4. lim ; = 6.

x-^-l/2 Ж+1/2 сс->-1/3 Ж+ 1/3

За;^ +

- 2 х^ -

о:

- 6 ^

lim 1;^ =

—5.

о. lim — = 5.

х->-1

+1 гс->з а:

—

,. 6х2-9ж + 3 ^ ^ ,. 4х2-15х + 9 ^

lim = 3. 8. lim = 9.

х->1 X

—

1 х-^3 X

—

6x2 +

20^:

+6 _ ,^ ,. 5x2-Зх-

lim = -16. 10. lim

ж->-3 X + 3 х-^1 X

—

Ответы. 1. 5{е) = s/2. 2. S{£) = е/3. 3. ^(е) = е/6. 4. 5(£) = б/9.

(5(б:) = £/3. 6. S{e) = е. 7. J(5) = е/6. 8. 5(б) = е/4. 9. (5(5) = ^/6.

10.

6{€) = е/Ъ.

3.6. Понятие непрерывности

функции в точке

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением, доказать, что

функция /(х) непрерывна в точке а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Вычисляем /(а).

Функция /(х) называется непрерывной в точке х

а, если

Ve >

Ще) >

: |х - а| < (5(e) =Ф |/(х) - /(а)| < е.

Это значит, что Ve >

неравенство |/(х) - /(а)| < е имеет решение

< |х-а| < 5{е).

Для того чтобы найти 5{е), сначала найдем множество М такое,

что

хеМ=^

|/(х)-/(а)| <е,

т.е.

решим неравенство |/(х)

—

f{a)\ < е. Затем найдем (5(e) такое,

что

|х - а| < S{£) => X е М.

3.6. Понятие непрерывности функции в точке 83

Тогда будем иметь

\х- а\ < S{£)

==^

X е М => \f{x) - f{a)\ < е.

Это означает, что f{x) непрерывна в точке х = а.

Записываем ответ в виде: \/£:>0 |х

—а|

< 6{е) => \f{x)~f{a)\<£.

ПРИМЕР. Пользуясь определением, доказать, что функция

f{x) = 5х^ + 5 непрерывна в точке а = 8.

РЕШЕНИЕ.

Вычисляем /(8) = 325.

Функция f{x) называется непрерывной в точке о: = 8, если

\/е>0 3S{e) >

: \х -

< 6{е) =^ \5х^ + 5 - 325| < е.

Это значит, что Ve >

неравенство \f{x)

—

325)

< с имеет решение

|а;-8|

<5{е).

Для того чтобы найти ^(e), сначала найдем множество М та-

кое,

что X G М =^ |5ж^ + 5

—

3251 < £, т.е. решим неравенство

|5х^ + 5

—

325| < £, затем найдем S{£) такое, что |ж

—

8| < 5{е) =>

^ X G М. Тогда будем иметь

\х-8\< S{£) ==^хеМ =^ |5ж2 + 5 - 325| < е.

Решаем неравенство (считая, что е < 320)

15x^-3201 <£Ф=^64-^ <х^ < 64+1 ^=>

А/64-

^<Х <

А/64+|.

Таким образом.

хеМ= ( ^64 - I , W64 + I ) =^

\^^'^

+ 5 -

325|

< £.

Следовательно, если

6{е) = minis-фл^, yW|-8| = y'l

= ./64+1

то

|а; - 8| < S{e) =^ х е { ^/64 - | , W64 + | ) ==> \Ьх' + 5 - 325| < е,

84 Гл.

Пределы

т.е.

f{x) =

Ъх^

Н-

непрерывна

точке

а: = 8.

Ответ.

Ve >

|а; - 8| <

W64

+ ^ - 8

=Ф>

\Ъх^

+ 5 -

325|

< е.

Условия ЗАДАЧ. Пользуясь определением^ доказать^

что

функ-

ция

f{x)

непрерывна

точке

а.

/(ж) =

4а;2-1,

а = 2. 2. f{x)

=^3x^-2,

а = 3.

f{x) =

-x^-5,

а = 1. 4. f{x) =-5x^-7, а = 2.

/(х)

=-4ж2

- 6, а = 3. 6. /(ж) = -3^2 + 8, а = 4.

/(х) =

2а;2

+ 5, а = 2. 8. f{x) = 5x2 + 2, а = 6.

f{x) = 4x^ + 1, а = 8. 10. /(х) =

2x2-1,

а = 7.

Ответы.

1. 5{е) = л/4 -f £:/4 - 2. 2. J(E) = ^9 -f е/3

S{e) =

уТ+7-1.

4. 5{е) = у^4 + g/5 - 2. 5. (5(б) = у^9 + g/4 - 3.

5{е) = >/l6 +

g/3-4.

7. (5(e) = л/4 +

5/2-2.

8. (5(e) = л/36 +

е/5-6.

(5(б) = ^64 + е/4 - 8.

10.(5(е)

v^49

+ е/2 - 7.

3.7. Вычисление Итх^а[Рп{^)/Qm{^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

Рп{х)

^-^« Qm(a^)

2(?e

Рп{х)

= йпХ^ +

an-ix'^"-^

+ ... -f aix + ао,

Qm(:i^)

= ЬтХ"^ л- bm-lX"^'^ -|- . . . + 6iX + бо-

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Если Qmio)

О,

то

функция Pn{x)/Qm[x) непрерывна

точке

lim

^"^^^ -

^"^""^

х^а

Qrn{x) Qrn{o)'

Если Qrn(a)

Pn(a)

о, то

Рп{х)

3.7. Вычисление \imx-^a[Pn(x)/Qm{x)] 85

Если Qrn{o) =

и Р„(а) = О, то, разлагая многочлены на множи-

тели, получаем

Рп{х) ^ {x-a)Pn-i{x)

Qrn{x) {х - a)Qm--i{x)'

где Qrn-iia) 7^

и Pn-i(a) ^ 0.

Поскольку в определении предела функции при

ж —>

а аргумент

не может принимать значение, равное а, то в последнем случае можно

сократить множитель х

—

а. Получаем

^->« Qm{x) х-^а [Х - a)Qm-l{x) Qm-lW

ЗАМЕЧАНИЕ.

ЕСЛИ

а является кратным корнем многочленов Рп{х)

и Qm{x), ТО Рп{х) = {Х- а)^Рп-к{х), Qm{x) = (х - a)'Qrn-/W И

Рп{х) ^{х- а)^Рп-к{х)

Qm{x) {Х - aYQm-l{xy

где Qm-i{o) 7^ о и Рп-к{о) ф 0.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

,. х^ - 4x2 - Зх + 18

ИШ —Z г .

х->з х^ - 5x2 + Зх + 9

РЕШЕНИЕ.

Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является

отношением двух бесконечно малых функций при х -> 3.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

х^ - 4x2 _ зх + 18 _ (х - 3)2(х

-Ь

хЗ - 5x2 + Зх + 9 ~ (х - 3)2(х + 1)'

Поскольку в определении предела функции при х -> 3 аргу-

мент не может принимать значение, равное 3, то можно сократить

множитель (х

—

3)2. Получаем

,. х^-4x2-3x4-18 ,. х + 2 5

lim — -z-T.—7. г- = lim

Ответ, lim

:->з д:3 _ 5x2 ^ Зх + 9

х-лъ

хЛ-\

хЗ _ 4^2 - Зх + 18 5

х-лъ

хЗ - 5x2 + Зх + 9 4

86 Гл.

Пределы

Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.

ж^+ 3ж^+ 7x4-5 ^ ,. ж^ + ж^-ж-!

lim г —.

х-^-1

х^

—

ох

—

ж->-1 ж^

—

,. ж2-2ж + 1

lim —-г -.

х^1

2ж2 +

- 3

^._ ж^ + 4ж2 + 5ж + 2

iim о ^

х->-1 ж2 + 2ж4-1

ж^ - бж^ -f 12ж - 8

х->2 ж^ - 2ж2 + 2ж - 4 "

х^

-1

lim

6. lim

ж~->1

ж"* —

ж^ +

ж —

ж^ + 2ж - 3

8. lim

ж->-з ж^ + 5ж^ + 6ж

ж^

-f

2ж

+ 2

ж-)>-1 Ж^ — 1

10.

lim ^

3 - ж2 - ж - 2

п->1 2ж2 - ж - 1 ' ' х->2 Ж^ - 2ж2 + ж - 2

Ответы. 1. 0. 2. 2/3. 3. 0. 4. 2. 5. 1. 6. -4/3. 7. 0. 8. -1/2.

9. 1. 10. 7/3.

3.8.

Вычисление lim^^-^o [f{^)/9{^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

где /(ж) и д{х) — бесконечно малые функции в точке ж = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Бесконечно малые функции, стоящие в числителе

и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные (табличные).

Если /(ж), /1(ж), ^(ж), gi{x) — бесконечно малые функции в точке

ж = О такие, что /(ж) ~ fi{x) и ^(ж) ~ gi{x) в точке ж = О,

и существует Ит^-^о fi{x)/gi{x), то существует

Ит^^^о

f{x)/g{x),

причем

х-^0

д[х) х-^0 gi{x)

3.8. Вычисление limx-)>o [f{x)/g(x)] 87

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

2х sin

lim

х->о 1

—

cos

РЕШЕНИЕ. Выражение под знаком предела является отношением

двух бесконечно малых в точке ж = О, так как

lim

(22:

sin

ж)

= О, lim (1

—

cosx) = 0.

Бесконечно малые, стоящие в числителе и знаменателе, заменяем на

эквивалентные:

2х sin

~ 2а:

•

ж,

ж —>

О,

1 —cosa:~—, а:

—>

Таким образом,

2xsma: ,. 2х

lim = lim „ . = 4.

х^о 1

—

cos

а:

х->о х^ 2

_ ,. 2a:sina:

Ответ, lim = 4.

ж->о 1

—

cos

а:

Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.

,. In(l + sin2a:) ^ ,. Зж^ + 6а:

'' ^— 2. lim

ж-^о sin

За:

5^-1

lim

—

г.

ж->0 1п(1 -f Х)

—

cos2x

lim —r-2 7"

ж->о е^^ - 1

,. tg2a:

ж-^о е^^

—

_ sin

2а:

lim -.

lim

ж-fO sin

За:

—

cos 2х

ж->о cos

Ъх —

cos За:

_ .. V9Tx-3

о. lim —.

ж->о

arctg 2а:

8. lim'-^^^^

10.

lim

х-^о

sin^

arcsin 2 a:

ж-)^о ln(l - 2x)' ' ж-^о ln(e - 2a:) - 1'

Ответы. 1. 2/3. 2. 2. 3. 1п5. 4. -1/4. 5. 1. 6. 1/12. 7. 1.

8. 1/4. 9. -1. 10. -е.

Гл. 3. Пределы

3.9. Вычисление

Иш^-^а

[/(^)/р(^)]

ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ. Вычислить предел

у /W

hm -у-т-,

х-^а

д[х)

где f{x) и д{х) — бесконечно малые функции в точке х = а.

ПЛАН

РЕШЕНИЯ.

Нужно заменить f{x) и д{х) на эквивалентные им бесконечно

малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функ-

ций составлена для точки х = 0. Поэтому сначала сделаем замену

переменной х

—

а = t и будем искать предел при t

—>

Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгеб-

раическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в

произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

ПРИМЕР.

Вычислить предел

,. cos Зх —cos

lim

г- .

х-^тг

tg'^2x

РЕШЕНИЕ.

Поскольку

lim

[cos Зж — cos х]

= О, lim tg ^2х = О,

X—)-7Г Х->7Г

ТО выражение под знаком предела является отношением двух беско-

нечно малых функций при х -^

тт.

Нужно заменить эти бесконечно

малые функции эквивалентными. Для этого сначала сделаем замену

переменной ж

—

тг = t:

cos Зх - cos X ,. cos 3(7г -{-t) —

COSITT

-h t)

lim r- = lim r-7 г .

х->7г tg22a: t->o tg22(7r-ht)

Используя тригонометрические формулы и заменяя в произве-

дении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, полу-

чим

.. cos 3(7г -ht) - cosin + t)

lim

7ГТ-, ^^ =

t-^O tg22(7r + t)

COS

t-COS

,. -2sin2tsin(-t) ,. 2

•

^ ^

= lim 7Г- = lim Г-- = lim ——r— = 1.

3.10. Вычисление limx->o [tx(x)^^'^^] 89

_ ,. cos3x —cosx

Ответ, lim r- = 1.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.

,. х^ -1 ^ 1. 1 + cos5x

lim

—

. 2. lim Ту .

х->1 In

х-^7г sin Зж

,. l + cos27rx ,. зшЗтгх

lim Ту . 4. lim -;—-—.

а:->1/2 tg''27rX х-^2 81п87Га:

\/ж2 -

- 1 - 1 tg5x

lim —-. -г . 6. lim ——-.

х^2 1п(х - 1) х^7г/2 tg Зх

lim -; . 8. lim .

х-)>1 ЗШТГХ х^1 ЗШТГХ

9. lim -:Ц--. 10. lim

X—>7Г

sin3x х-^2 sinTTX

Ответы. 1. 3. 2. 5/18. 3. 1/2. 4. 3/8. 5. 3/2. 6. 3/5. 7. З/тг.

8. -1/(47г). 9. -5/3. 10. (41п2)/7г.

3.10. Вычисление Итд;_^о [г^(:з:)^^^^]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

х->0

где lim и(х) = 1 и lim v(x) = оо.

х->0 ^ х->0 ^

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Преобразуем выражение под знаком предела:

uixy^""^ ^еЧх)1пи(х)^

Поскольку показательная функция е^ непрерывна, то можно

перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

lim luixY^''^] = lim е^^^^^^^^^^ = eiim.->ob(x)inu(x)]^