Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

110 Гл.

Дифференцирование

X = y/Scost, . j x = t

—

t'^,

y = smt, to = 7г/б. ' \y = t-t^, to = l.

X=:tCOSt, j

= COS^t,

у = tsint, to = 7г/2. * 1^ 2/ = sin^ t, to

—

7г/4.

= л/Г^, 8 I ^ "

^^^^

^^^'

2/= arcsint, to =

—1.

\ 2/ = ^rctgt, to = 1.

x = lntgt, in / ^ = ^sint + cost,

= l/sin^t, to ='7г/4. [ 2/= sint

—

tcost, to = 7г/4

Ответы.

2ж-22/-7г + 4 = 0, 2ж + 2у-7г = 0.

2/-1 = 0, х-3==0.

2а: + 2?/ - 4 =

О,

2ж - 2у - 2

2ж -

= О,

4- 2^/ = 0.

Ах + 27Г2/ - 7г^ ~ О,

7ГЖ

- 2г/ +

7г

= 0.

6. 2а; + 2г/ - \/2 = О, у - х = 0.

2ж-2?/-7г = 0, 2ж + 2уЧ-7г = 0.

8. 2ж-42/Ч-7г-21п2 = 0, 8х + 4?/- тг - 81п2 = 0.

2а:

+ у-2 = 0, х - 2?/+ 4 = 0.

10.

4а; - 42/ - 7г\/2 = 0, x-\-y-V2 = 0.

4.8.

Производные высших порядков

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную п-го порядка функции

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Производной п-го порядка функции у = f{x) называют производ-

ную от производной порядка (п

—

1), т.е.

j/(")(x)=2/(»-i)(a;)'.

Дифференцируем функцию у — f{x) последовательно несколько

раз,

пока не станет ясной формула для производной п-ого порядка.

Доказываем эту формулу методом математической индукции.

Для этого проверяем, что она справедлива при п = 1, т.е. дает пра-

вильное значение /', и что дифференцирование выражения для /^"^^

эквивалентно замене п на п + 1.

4.8. Производные высших порядков 111

ПРИМЕР. Найти производную п-го порядка функции у =

3^^"^^.

РЕШЕНИЕ.

Найдем последовательно

2/'(х) = (32^+1у = 32"+НЬЗ)2,

у'\х)

= у'{хУ = (32^+1(1пЗ)2)' = 32^+1(1пЗ)222,

у"\х)

= у"{хУ = (32^+ПЬЗ)222)' = 32^+НЬЗ)323.

Проанализировав эти выражения, делаем предположение, что

2/^^На:) = з2"+^(1пЗГ2^.

Докажем эту формулу методом математической индукции.

Проверим, что она справедлива при п =

т.е.

у^^\х)

= г^''-^\1пЗ)2 =

у'{х).

Дифференцирование f^'^^ эквивалентно замене п на п + 1, т.е.

у("Н^)'

= (32^+Ч1пЗ)"2"У = з2^+'(1пЗ)"+'2^+^ = 2/^"+'Н^)-

Ответ,

у^^'^х)

= 32^+^(21пЗ)".

Условия ЗАДАЧ. Найти производные п-го порядка заданных

функций.

у = sin2x-h созЗж. 2. 2/= sin(3x +1) 4-cos2a:. 3.^ = 2^^.

у = 1п(2ж + 4). 5. 2/ = ^-г. Q-y= ^^

х + 1 2а; + 3

7.у = 3^^+^ S.y = 1п(3ж + 1). 9. у = 52^+^

10.2/

= v^.

Ответы.

у(") =

2^^

sin (2а: + ^) + 3^ cos (зх

И-

^).

Зх + 1 + —] +2^cosf2x+ —

yW = 23- (31п2)-. 4. г/Н = ^~^С'^"!? ~ ^^'•

у \ J у (2а;+ 4)^

112 Гл.

Дифференцирование

^ (a;+l)"+i'

(2a:

3)"+i

у(") = 32-+Ч21ПЗГ.

2/(»)

^"^CTSl~^^'-

,И =

5^^+^ (21п5)Г

10. ,W =

^"^Г("^^)^^^

4.9.

Формула Лейбница

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную

п-го

порядка функции

u{x)v{x).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функции

и{х) и v{x)

имеют производные

до п-го порядка включительно,

то

справедливы следующие формулы:

{uv)"

и"уЛ-2и'и' -Vuv",

{uvУ^'

= u'"v +

Ъи"у'

Zu'v"

Л-

uv'",

(ui;)(4)

u^^^v

+ Ы"'у' -f Ы"и" +

4.u'v'"

+ uv^^\

^(^-l)„.(n-

[uvf^^

UWT;

nu("-i)^'

+ ^

^u^^-^^v"

+ ... +

uv^""^

J2c'^u^-%^'\

(1)

/c=0

7.!

где u^^^

= It,

v^^^

и C^ = , |. ^'

—

биномиальные коэффици-

енты.

Формула

(1) для п-й

производной произведения называется фор-

мулой Лейбница.

Следовательно,

для

определения производной

п-го

порядка фун-

кции вида

у =

и{х)у(х) нужно вычислить

все

производные

(до п-го

порядка включительно) каждой

из

функций

и{х) и v{x),

биномиаль-

ные коэффициенты (7^

воспользоваться формулой Лейбница.

ПРИМЕР. Найти производную 4-го порядка функции

4.9. Формула Лейбница 113

РЕШЕНИЕ.

Применяем формулу Лейбница (1). В данном случае

п = 4, и{х) = ж^ -f 2, v{x) = е^^+^

Имеем

и'{х) = 3х^, и''(х) = 6х, и"'{х) = д, и^'^\х) = 0,

г;'(х) - 4e^^+^ v"{х) =

А''е^''^^

t;"'(^) = 4V^•^^ v^^\x) = ^^е^^^\

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получим

У^-

= ((^3 ^ 2)е^^+3)

^^^

. е^^+^ + 4.6-4. е^^+^ +

+ i^(6a:)4^e^^+3 ^ ^(Зх^)43е-^з _, lll;|ll(.3 + 2)4^е^^+^ =

= 32е^^+3(8хЗ + 24а:2 + 18ж + 19).

Ответ. 2/^^^ = 32е^^+3(8жЗ + 24^2 + 18х + 19).

Условия ЗАДАЧ. Найти производные указанного порядка задан-

ных функций.

2/ = (^^ + 1)1пх, у(^)=? 2. 2/ = (^3 +2) cos

2а:,

2/'"=?

?/ = a:2sin(3a; + l), г/'"==? 4. ?/== (а;^ + l)cos3a;, 2/(5)=?

у = (а:3 + ж)1пж, у'" =1 6. 2/= (а:^ + 1) 1п(а; + 2), 2/^^)=?

у = (х2 + 1)2^, у(5)=:? 8. 2/ = sin2xlnx, 2/'"=?

9. у = (ж2 + 1)е2^+\ у(5)=? 10. 2/= (х^ + 2)33^ у^^^ =?

Ответы.

,(5) . f!

21.

х^

2/'" = (8^2 - Збж + 16) sin 2х - (Збж^ - 6) cos 2х.

2/'" = (18 - 27^2) cos(3a: + 1) - 542:sm(3x + 1).

114 Гл.

Дифференцирование

2/(^) = 810х cos Зх - 27(9x2 - 11) sin Зх.

,„ бх^Ьх + Их^ - 1

5. г' = ^ .

^ ,.л 6х^ + 60x2 + 240х + 456

^ (х + 2)5

7/(^) = 2^

1п^

2 [(х2 + 1) Ь^ 2 + 10х In

+ 20].

. ,„ о ^ , 6cos2x (12x2-2) sin 2х

8. 2/'" ==-8cos2xlnx -^ ^ .

Х'^ Х"^

9. у(^) =32е2^+^(х2 + 5х + 6).

10.

у(4) ^ 33^+21пЗ [(9х^ + 18)

1п^

3 + 36x2 In^ 3 + ЗбхЬЗ + 8].

4.10. Вторая производная функции,

заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную второго порядка

функции, заданной параметрически.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция задана параметрически:

( х^ fit),

y^git),

то ее первая производная определяется формулами

(1)

fit) •

Дифференцируя у' по х как сложную функцию х и используя фор-

мулу для производной обратной функции, получим

= fit),

n_(9'{t)\

^ \nt)) fit)'

ПРИМЕР. Найти производную второго порядка функции, задан-

ной параметрически:

= Int,

1 у = arctgt.

4.10. Вторая производнал функции, заданной параметрически 115

РЕШЕНИЕ.

Вычисляем

dx 1 dy 1

dt t' dt

+ ^2

и подставляем эти значения в формулу (1):

(

= Int,

у'-

l+t2'

Дифференцируя у' по х как сложную функцию х и используя фор-

мулу для производной обратной функции, получим

= Int,

y"=(-^)'-t^'-^-^

X = Int,

Ответ. I „ t(l-t'^)

Условия ЗАДАЧ. Найти производные второго порядка функций^

заданных парамет,рически.

X = t + sint,

у = 3

—

cos t.

Г x =

cosH,

2. /

1 y = smU. \

r x = \ntgt, ^ r x = ln{l + t^),

\ y =

l/sm'^t.

' \ y =

arctgt.

^ ( x = Vl - f^, Q ( x = уД,

\ 2/ = arcsint. * \ 2/ = lni.

^ ( x = sin^ t, 8 I ^

2/ = In cost. ' \ у

= arctgt.

X = 1/t^, j x = arctgt,

y== 1/(^^ + 1). "• I y = t^ + l.

116 Гл.

Дифференцирование

Ответы. (Соответствующие выражения

для x{t)

опущены.)

у" =

l/{3cos*tsmt).

2. y" = l/(l +

cos<)2.

y"=ActgH.

2/"

= -(l +

f2)(4f3).

у" = -VT^^/t^. 6. y" = -2/t.

y" = -l/cosH. 8. y" = 2ty{l + f)\

y" =

-2fV(l

<^)^-

10.

2/"

- 6f4 +

8*2

+ 2.

Глава 5

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

При изучении темы ГРАФИКИ ФУНКЦИИ вы научитесь иссле-

довать поведение функции: находить ее область определения, асимп-

тоты, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, про-

межутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба, а также вопло-

щать полученные результаты в виде эскиза графика. Кроме того, вы

научитесь находить наименьшие и наибольшие значения функции, не-

прерывной на отрезке, и исследовать локальное поведение функции

по ее производным высших порядков.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ-

водные функции (любого порядка), решить уравнения для нахожде-

ния точек возможного экстремума и перегиба, найти значения функ-

ции в требуемых точках, выполнить все численные расчеты и прове-

рить правильность полученных вами результатов.

5.1.

Общая схема построения

графика функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать функцию у = f{x) и постро-

ить ее график.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Полученные в каждом пункте результаты по-

следовательно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого

графика и в итоге получаем эскиз графика.

Находим область определения D функции f{x) и исследуем

ее поведение в граничных точкгьх х = xi,a:2,... ,Xn,ioo области D,

включая и X = ±сх).

а) Пусть X = Хк (/г =

1,2,...

,п) — конечная граничная точка

области D (т.е. f{x) не определена в этой точке). Вычисляем одно-

сторонние пределы

lim f{x) и/или lim f{x).

118 Гл.

Графики функций

Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то х = Xk — верти-

кальная асимптота графика f{x).

б) Исследуем поведение функции при х -> Н-оо:

если существуют конечные пределы

lim = к и lim \f(x)

—

кх] = Ь,

ТО прямая у — кх

Л-Ь

— наклонная асимптота графика функции f[x)

при X -л +00 (если /с = О, т.е.

~ Ит^-ч+оо f{x), то у = b — горизон-

тальная асимптота).

Аналогично исследуется поведение функции при а:

—)•

—

оо.

Отметим, что асимптоты при а:

—>

4-оо и при

-^ — оо могут быть

разными.

Выясняем четность и периодичность функции.

Если /(—ж) = /(ж), то функция /(ж) называется четной. Графики

четных функций симметричны относительно оси 0Y. Поэтому гра-

фик четной функции достаточно построить для х >

и нарисовать

весь график, отразив полученную кривую относительно оси 0Y.

Если f{~x) = —/(ж), то функция f{x) называется нечетной. Гра-

фики нечетных функций симметричны относительно точки (0,0). По-

этому график нечетной функции достаточно построить для а: >

нарисовать весь график, отразив полученную кривую относительно

точки (0,0).

Если f{x-\-T) = f{x) при некотором Т > О, то функция f{x) назы-

вается периодической. График периодической функции имеет одну

и ту же форму на каждом из отрезков ..., [—2Т,

—Т],

[—Т,

0],

[0,Т],

[Т,

2Т], ... Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь

одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на

остальных отрезках.

Находим точки пересечения графика с осями координат. Для

этого вычисляем /(0) и решаем уравнение /(х) = 0.

Находим точки максимума и минимума функции и интервалы

монотонности. Для этого:

а) вычисляем производную f'{x) и находим критические точки

функции, т.е. точки, в которых f'{x) = О, ±оо или не существует.

Отметим, что если /'(а) = О, то касательная к графику в этой точке

горизонтальна, если f'{a) = ±оо, то касательная вертикальна.

б) определяя знак производной, находим интервалы возрастания

и убывания функции: если f'{x) > О, то функция возрастает, если

f'{x)

< О, то функция убывает;

5.1.

Общая схема построения графика функции 119

в) если производная меняет знак при переходе через критическую

точку а Е D^ то а — точка экстремума:

если f'{x) >

при X Е (а

—

J, а) и f'{x) <

при х G (а,а -f J), то

а — точка максимума;

если f'{x) <

при X G (а

—

(J,

а) и f'{x) >

при х G (а,а + (J), то

а — точка минимума;

если производная сохраняет знак при переходе через критическую

точку, то в этой точке экстремума нет.

Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости

вверх и вниз. Для этого:

а) вычисляем производную f"{x) и находим точки, принадлежа-

щие области определения функции, в которых f"{x) — О, iboo или

f'{x)

не существует;

б) определяя знак второй производной, находим интервалы вы-

пуклости вверх и вниз: если /"(х) > О, функция выпукла вниз, если

f"{x)

< О, функция выпукла вверх;

в) если вторая производная меняет знак при переходе через точку

а Е D, в которой f"{x) — О, iboo или не существует, то а — точка

перегиба (при f'{a) =

график имеет горизонтальную касательную,

при f

{а)

= ±оо — вертикальную касательную).

6. Уточняя полученный эскиз (например, можно определить еще

координаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полу-

ченные в окрестностях граничных точек области определения (вблизи

асимптот), критических точек и точек перегиба, получаем график

функции у = f{x).

х^

ПРИМЕР. Исследовать функцию у = —- :-^ и построить ее

график.

РЕШЕНИЕ. Полученные в каждом пункте результаты последова-

тельно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого гра-

фика и в итоге получаем эскиз графика.

Находим область определения D. Очевидно, что функция опре-

делена при всех ж, кроме х = 2. Поэтому D = (—оо, 2) U (2, -f-oo).

Исследуем поведение функции в граничных точках области D.

а) Вычисляем пределы:

х^

lim —- г^ = +00,

х->2-о 4(2 - ху