Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

100 Гл.

Дифференцирование

постоянные. Используем формулу производной линейной комбинации

{CiUi + C2U2 -f

. . .

+ CnUnY = Ciu[ + C2U2 +

. . .

CnU'^^

• функция имеет вид и

v. Используем формулу производной

произведения

(и-

v)' = и' '

-\-U' v'.

• функция имеет вид —. Используем формулу производной част-

ного:

/ г/ \' и'

• V

~ и ' v'

• Функция имеет вид и(у(х)). Используем формулу производной

сложной функции

u{v{x))'

—

u'{v)

•

v'{x).

• функция имеет вид

и{хУ^^\

Производная такой функции вы-

числяется с помощью формулы

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каж-

дым знаком производной не окажется табличная функция.

ПРИМЕР. Найти производную функции

Зх^

-h

4х^ - х2 - 2

У =

РЕШЕНИЕ.

Функция у{х) имеет вид

15\/1 +

ж2

15 V

где и{х) = Зх^ -f- 4х^

—

х^

—

2 и v{x) = у/1

Ч-

ж^ . Используя формулу

для производной частного, получаем

1 {Зх^ + Ах^ -х^- 2У УТТ^ - {Зх^ -Ь Ах^ -х^-2) {УТТ^)'

15 (\/iT^)2

4.2. Вычисление производных 101

Функция и{х) = Зх^ + 4а;'^

—

ж^

—

2 является линейной комбина-

цией табличных функций. Поэтому

(Зж^ + 4х^ - х2 - 2)' = 18х^ + 1бх^ - 2х.

Функция v{x) = \/1 + ж^ имеет вид

г;(а:) = ui(i;i(a;)),

где Til = \/^ и z;i(x) = 1 + ж^. Используя формулу для производной

сложной функции, получаем

v\x) = (v^)' (1 + х^У = -i= 2^ =

2,/щ 2\/1 +

ж2

Ответ, у' =

^ 2х

, (18а;^ + 16х^ - 2х) VTTx^ - (Зх^ + 4а;^ - а;^ - 2) —==

_ 1

2У/ТТХ'

15 1 + ^2

Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных функций.

у = 2^^^. 2. у = \п{х +

^/TTx^).

3. ?/ = ln2(l-cosx).

, . .

(sin

+ cos

^ sh2a:

?/= m(arcsin\/^). 5. y = ^ • 6. y = —^—.

^ ^ ^ 1Ч-1п2з ch22x

7. у = arcsin -7= . 8. у = arctg3^

9. у = ln(l + Vthx).

y/x

10.

2/ = lnsin3

—

cos^x

smx

Ответы. 1. 2v^^ , !"V • 2. ^=L=. 3. ^^^"^^(1 - cosx)

2cos^xVtga; v

+ a:^ l-cosx

^ 2ch22x-4sh^2x ^ 1

3'^cosa;. 6. r^- . 7.

2\/х-ж2 arcsin v^' ' ' ' ch^ 2ж ' ' 2ж Vx - 1"

3v^ln2 1 cosa;(l-f sin^x)

y. "~ / ^^ о • J-U.

• (l + 32V^)2v^' * 2(thx + \/thx)ch2x' * sin^x

102 Гл.

Дифференцирование

4.3.

Уравнение касательной и нормали

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной и нор-

мали к кривой у = f{x) в т.очке с абсциссой а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция f{x) в точке а имеет конечную

производную, то уравнение касательной имеет вид

у = f{a) +

f'{a){x

- а). (1)

Если f'{a) = оо, то уравнение касательной имеет вид х = а.

Если /'(а) 7^ О, то уравнение нормали имеет вид

y^f{a)-j^^{x-a).

(2)

Если /'(а) = О, то уравнение нормали имеет вид х = а.

Находим значение /(а).

Находим производную

f'{a).

Подставляя найденные значения /(а) и f'{a) в (1) и (2), полу-

чаем уравнения касательной и нормали.

ПРИМЕР. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

V^-^ V^

в точке с абсциссой а = 1.

РЕШЕНИЕ.

Находим /(1) = 2/3.

Находим производную /'(1) =2/3. Так как /'(1) т^

и /'(1) /оо,

то воспользуемся уравнениями (1) и (2).

Подставляя найденные значения /(а) = 2/3 и /'(а) = 2/3 в (1)

и (2), получаем уравнения касательной и нормали:

2 2/ -.4 2 3. ^,

у = —I—(х —1), V = (х

—

1 .

^3 3^

^'^32^

Ответ. Уравнение касательной: 2х

—

Sy = 0. Уравнение нормали:

9ж + б2/ - 13 = 0.

4.4.

Приблиэюенпые

вычисления с

помощью дифференциала

103

Условия ЗАДАЧ. Составить уравнения касательной и нормали

к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой а.

у = X

—

х^^ а = 1. 2. у

—

х^-\-X-\-1^

а =

—1.

2/= х^ + ж, а = 1. 4. у = А/Х

—

2, а = 4.

Ъ.у = х'^ + \^, а = 1. 6. 2/= \/х2-9, а = -27.

2/ = —tx^, а = 9. 8. 2/ = 32V^-x, а = 16.

2 -

v^^

2 ж^ - 2ж 4- 2

9. ?/ = а: -x-l, а~1. 10.2/ = ^5 ' а = 2.

Ответы. 1.

а:

+ 2/-1 = 0, 2;-2/-1 = 0. 2. х +

= О, ж-у-2 = 0.

4ж -

- 2 = О,

+ 4у - 9 = 0. 4.

4^/

- 4 =

О, 4ж

т/

- 16 = 0.

7Х-22/-3 = О, 2ж+7?/-16 = 0. 6. 2а:+92/+54 = О, 9х-22/+243 = 0.

2а: - Зу - 33 = О, Зх + 2^/ - 17 = 0. 8. ?/ - 48 = О,

- 16 = 0.

9. х-2/-2 = 0,

+ у = 0. 10. 27/-1 = 0, ж - 2 = 0.

4.4.

Приближенные вычисления

с помощью дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислит^ь приближенно с помощью диф-

ференциала значение функции у = f{x) в точке х = а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ приращение Ах = х

—

а аргумента х мало

по абсолютной величине, то

f{x) = fia + Ax)^f{a) +

f'{a)Ax.

(1)

Выбираем точку а, ближайшую к х и такую, чтобы легко вы-

числялись значения /(а) и

f'[a).

Вычисляем Да: = х

— а^

f{a) и

f'{a).

Цо формуле (1) вычисляем f{x).

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ приближенно с помощью дифференциала

значение функции у = ух^ -Ь 5 в точке х = 1, 97.

104 Гл.

Дифференцирование

РЕШЕНИЕ.

Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения

/(а) и

/'(а),

— это точка а = 2.

Вычисляем:

Дж = х - а = 1,97 - 2 =

-0,03,

f{a) = f{2) = 3, f\x) = -j=^, Па)^у'{2) = \.

По формуле (1) имеем

/(1,97) «3+~(-0,03) = 2,98.

Ответ. /(1,97) «2,98.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить приблиэюенно с помощью дифферен-

циала значение функции у = f{x) в точке х

—

а.

y = ж^ ж =

2,001.

2. y = ^Дx^, ж = 0,1

у = V^, ж = 1,02. 4. 2/ = х^, х = 2,999.

2/ = ^,

= 1,03. 6. 2/ = уг,

= 3,996.

2/ = VI + sinx, х = 0,02. 8. у

—

у/2х + cosx, х = 0,01.

9. 2/= у 2х-sin—, х = 1,03. 10. у = л/4х -f 1, х = 1,97.

Ответы. 1. 32,08. 2. 0,96. 3. 1,03. 4. 26,073. 5. 1,01. 6.

1,999.

1,01. 8. 1,01. 9. 1,02. 10. 2,98.

4.5.

Логарифмическое дифференцирование

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции вида

у = uiixy^""^.. .Un(x)''"^^^i(;i(x). ..Wm{x),

4.5. Логарифмическое

дифференцирование

105

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Логарифм данной функции имеет вид

г/

= vi{x)liiui{x) -f ... + Vn{x)lnun{x) -{-lnwi{x) 4-... -\-ln.Wm{x).

Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

У \ ^1 / V Un J Wi Wn

Поэтому

Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем

ответ.

ПРИМЕР. Найти производную функции у = х^ ж^.

РЕШЕНИЕ.

Логарифм данной функции имеет вид

= 1п{х^'х^) = e'^lnx + Olnx.

Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

у XX

Поэтому

2/'=2/(е^1пж+—^

Подставляя в последнее равенство выражение для г/, получаем

ответ.

' —— /Y»6 or»'' I /эХ

Ответ, у' = х^ х^ I е^ 1пх +

Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных функций.

2/= (sina:)^. 2. 2/= х^З^.

106 Гл.

Дифференцирование

у = х^

"^.

4. г/=

(arctgx)"^.

7. y = x^ . 8.

y^x^^"".

9. ^-(sinSx)^^^^^^^

10. t/ =

a:2^3^

Ответы.

, /In sin

cos

\ ^ , / ^

In arctg

\2л/х

X/ L

x'^jarctgx

/ In tg

\ ^ , (\w.x 1 , ^\

5-2/'

^-^- . 6. г/'-^ -^ +

^=+cosxln2

smxcosx/

\2^ж ух )

y'-j/2--

f-sinxln2

+ ly 8. y' = у (^ + ^"l .

cos"^ a:

ж у

у' = y

einsinSxctgSa:.

10. у' = у (

2^ 1п21пж

2"^--f InS

j .

4.6.

Производная функции,

заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Найти производную функции, заданной

параметрически.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ зависимость

у от а:

задана посредством

параметра

•fit),

ТО

зависимость

у' от х

задается посредством параметра

формулами

= fit),

у'

Ж (1)

Вычисляем

f'{t) и

g'{t)^

подставляем

формулу

(1) и

записываем

ответ.

4.6. Производная функции, заданной параметрически 107

ПРИМЕР. Найти производную у'^, если

РЕШЕНИЕ. Вычисляем:

dx I [^ t

1 +

dt t

vTT^V vTTt2y vTTt^'

-f vT+72)

dy ^ t t

^/ГТ~^

V -^

^ ; ^ x/t^TT

dt vTTF

+ ViTt2 t2 t

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получаем

X = ln(t + \/l+t2),

Ответ. <( l-ft^

Условия ЗАДАЧ. Найти производные функций, заданных пара-

метрически.

x =

t'^

+ l/t^ Г

= \/^2 - 2t,

у =

sin(tV3-{-St). '^' \ у=

^/гп:.

^' ^ y =

Vt^TT.

' I y = tgt.

, Г x-ln(l-t2), g Г a; = lntgt,

[ у = arcsin t. ' \ y =

l/smt.

j X = cos^ t, J

= t

I у =

sin^

t. ' \ у = 1

sint,

cost.

X =

\/1-^2,

у = arcsint.

108 Гл.

Дифференцирование

Ответы.

•

2/'

-t"

cos

(fiZ +

3t).

• 1

J/'

V^~^tl{Z

^{t - If).

(

Ь(<2

1),

-2\/l

t/cos^

ln(l

t^),

r x =

lntgf,

j/'

-v/l-f2(2f).

"• \

y'^-cos^

t/sint.

j X

cos^t,

= t

—

sint^

I y' =

-tgt.

^- \

y'=ctg(t/2).

--bsin^

^^J x = Vr^^

y' =

-ttgt/Vl~^- I

2/'

-1Л

4.7.

Касательная

нормаль

кривой,

заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной

нор-

мали

кривой

fit),

у = g{t)

в т^очке А, соответст,вующей значению параметра

t =

tQ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция у{х)

точке

имеет конечную

производную, то уравнение касательной имеет вид

у{а)-\~у'{а){х-а),

(1)

Если

у'(а)

ос,

то

уравнение касательной имеет

вид

х = а.

Если

у'(а) ф

О,

то

уравнение нормали имеет

вид

Если

у'{а)

—

О,

то

уравнение нормали имеет вид

а.

J^.l. Касателънал и нормаль к кривой, заданной параметрически 109

Вычисляем координаты точки А:

[ а =

/(^о),

Находим производную г/' в точке касания при t

—

to:

Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1)

и нормали (2) и записываем ответ.

ПРИМЕР. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

X = 2е\

У = е~*

в точке А, соответствующей значению параметра t = 0.

РЕШЕНИЕ.

Вычисляем координаты точки А: а

2, у {а) = 1.

Находим производную у' в точке А\

ПО) = 2е\^^ = 2, д'{0) ^ -е'^^^ ^ -1 ^ у'{0) - fi|| - -^^

Поскольку /'(0) 7^

и /'(0) 7^ 00, то можно воспользоваться уравне-

ниями (1) и (2).

Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1):

у = 1 - i (х - 2),

И нормали (2):

у = 1-f 2(а;-2).

Ответ. Уравнение касательной: x-i-2y

—

= 0. Уравнение нормали:

2х-у-3 = 0.

Условия ЗАДАЧ. Составить уравнения касательной и нормали

к графикам функций, заданным параметрически.

( x =

t-smt,

^ ( x = 2t + t'^,

^' \y =

l-cost,

to = 7r/2. • \y = 2t-t'^, to = l.