Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник
Подождите немного. Документ загружается.
70 Гл. 2. Линейная алгебра
Ответ.
'S'AI,2=3 = {X: x=:Ciei +
C2e2
7^0},гдее1={1,1,0}ие2 =
{1,0,1};
5лз=1 - {х : X = Сзез / 0}, где ез =
{0,1,1}.
Условия ЗАДАЧ. Найти собственные значения и собственные
векторы операт,оров А : Х^ ь-> Хз, заданных в некот^ором базисе
мат^рицами.
5.
4.
10.
4
1
0
2
0
0
2
3
-1
2
1
3
4
0
0
-2
1
0
1
3
-1
0
5
0
1 0
2 0
2 4
2
2
-1
М
'
ч
-1
-1
3
-1
-1
2
\
•
;
1
-1
2
Глава
3
ПРЕДЕЛЫ
При изучении темы ПРЕДЕЛЫ
вы
познакомитесь
на
примерах
с понятиями предела последовательности, предела
и
непрерывности
функции
в
точке, научитесь вычислять различные пределы, исполь-
зуя теоремы
о
пределах, эквивалентные бесконечно малые
и
специ-
альные приемы.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ
вы
можете решить неравен-
ства, выполнить численные расчеты
и
проверить правильность полу-
ченных вами результатов.
3.1.
Понятие предела последовательности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением предела последо-
вательности, доказать,
что
lim
а-п
= а.
п—>оо
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
По
определению число
а
называется пределом числовой после-
до в ательносппи
{ttn},
если
Уб:
>
О
3N{£) : п > N{e) =>
\ап
-
а\
< е.
Это означает,
что
We
> О
неравенство
|ап
—
а| < е
имеет решение
п
> N{€).
2.
Найдем,
при
каких
п
справедливо неравенство
\ап
-
а\
< €,
т.е.
решим
это
неравенство относительно
п.
3.
Если решение имеет
вид п > N{e), то а —
предел числовой
последовательности
{an}-
72
Гл.
3. Пределы
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ решение неравенства la^
—
а| < s нельзя пред-
ставить в виде п > N{e), то число а не является пределом последова-
тельности {an}-
ПРИМЕР. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что
2п^
lim
п—Уоо
п^
= 2.
РЕШЕНИЕ.
1.
По определению число 2 называется пределом числовой после-
довательности
Г
2п^ ]
In3-2J'
если
2n3
Ve >
О
3N{€) : п > N{e)
2.
Найдем, при каких п справедливо неравенство
2п^
< €.
пЗ-2
-2
<е,
т.е.
решим это неравенство относительно п.
3.
Неравенство имеет решение n>N{e) = ^4/б: + 2. Следователь-
но,
2 — предел числовой последовательности < -^—- >.
[
п*^
- 2
J
Ответ, п > У^/е -f 2.
Условия ЗАДАЧ. Пользуясь определением предела последователь-
ности, доказать, что limn_).oo
сьп
=
сь.
1.
an =
3.
а„ =
2п-2
7.
an =
9. an =
3n-l'
3n + 2
2n+l'
5n + 2
n + 1 '
3-n3
1 + пЗ'
3 + 8n2
2
"=3-
3
a = 5.
a= -1.
4n-2
ttn =
4. ttr, =
dn =
CLn
=
1 + 4n2'
a = 2. 10. an =
2n + 3'
5n-f-2
3n+l'
4п2-Ы
п2 + 2
6n-2
2n+l'
3n
n-hl'
a = 2.
5
"=3-
a = 4.
a = 3.
a = 3.
3.2. Вычисление
limn-^oo[Pk{n)/Qm{n)]
73
Зе + 4 ^ 8-3£ ^ 1-2£
Ответы. 1. п > — . 2. п > —-—. 3. п > —: .
9е 2€ ie
1-35 , 3-е ^ 7-2б ^ 3/4-5
96 е V £
5-5 ^ /1-5 _ 3-5
8. п>——. 9. n>W——. 10. п> .
25 V 45 5
3.2. Вычисление
limn-^oolPk{^)/Qm{^)]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел
у Рк{п)
где
Рк{п)
—
акП^ + ак-\п^~^ + ... + сцп + ао,
Qm(n) = Ь^п^ -f
6^_in^-^
+ ... + 6in + 6о.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Здесь Рк{п) — многочлен степени к (бесконечно
большая последовательность порядка п^) и Qmip) — многочлен сте-
пени т (бесконечно большая последовательность порядка п^).
1.
Вынесем в числителе множитель п^^ получим Pfc(n) = п^р{п)^
где р{п) = ak + ak-i/n + ... + ао/п^.
2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим
Qm{4^)=^4^^Q{i^)^
где q{n) = bm-\- bm-i/n + ... -f bo/n"^.
3.
Имеем
Pk{n) n^pjn)
lim - , , = lim 7-T-.
n-)-oo Qm\4^J n->oo n^q(n)
4.
Получаем:
если к > m^ то lim --—7—г = oo;
^-^°^ Qm{n)
Pk(n)
если к < m^ то lim ——т-т- = 0;
n-^oo Qm{n)
если к =
гПу
то по теореме о пределе частного
РА:(П) ^ р(п) ^ limn->oop(n) ^
ак_
^-^°° Qrn{n) п^оо g(n) limn-^00 q{ri) bm '
74 Гл.
3.
Пределы
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел
^.^ (2п + 1)^-(п + 1)^
п-^оо П?
-{-
П -\- 1
РЕШЕНИЕ. Здесь (2п + 1)^ - (п + 1)^
=?
Зп^ + 2п — многочлен вто-
рой степени (бесконечно большая последовательность порядка п^) и
п^
-\-
п
-{-
1 — многочлен второй степени (бесконечно большая после-
довательность порядка и?).
1.
Вынесем в числителе множитель гг^, получим
(2n-f 1)^-(гг + 1)2 = п2 (З-Ь-
2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим
.2 I _ , 1 2
3.
Имеем
^. (2п + 1)2-(п4-1)2 ,. п2(3 + 2/гг)
lim -^^ г^^ ^ — = lim
п^ + п + 1 п-^сх) 71^(1 + 1/гг 4-l/n^)
4.
Сокраш;ая n^ и используя теорему о пределе частного, получаем
j.^
(2п + 1)^ - (п + 1)^ ^ limn^oo(3 + 2/n) ^ g
Ответ, lim г^^ -— — = 3.
п->оо 71^ -f П 4- 1
Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.
1 и^ (5-п)^ + (5 + п)^ (4-п)3-(2-п)3
• n^oo(5-n)2-(5 + n)2- • „^oo(l-n)2-(2 + n)4'
(3 - n)3 - (2 - n)3 (2-n)2-(l + n)2
(3 + n)2-(2 + n)2 (n + 2)3-(n + 2)2
^- „^}^ (2 + n)2 - (1 - n)2
•
n-^ (n - 2)3 - (n + 2)3'
3.3. Вычисление
Итпп-^оо
[/(^)/р(^)]
75
^ ^. (14-3n)3 - 27пЗ ^ ^. (3-2гг)2
7.
lim -^^7 -^—--^. 8. lim ^ ^
п->оо (1 + 4п)2 + 2п2 ' ' п-^оо (п - 3)2 - (П + 3)^
*
(2 + п)2 (п + 2)^-(п + 5)2
^- ,^™о(^ + 2)2-(п + 1)3- '^- п^"^ (З-п)з
Ответы. 1. -00. 2.0. 3.0. 4. -1. 5.1/3. 6. - оо. 7.9. 8. -2/9.
9. - 1. 10. 1.
3-3.
Вычисление Ит^г-^оо [f{^)/9{^)]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел
у fin)
lim -т—,
п->оо ^(тг)
где f{n) — бесконечно большая последовательность порядка п" и
д{п) — бесконечно большая последовательность порядка п^
(a,/3GR).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
Вынесем в числителе множитель п^
^
получим /(п) = п"(^(п),
где Ишп-чоо ^(п) = а, а ^^ 0.
2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим д{п) = п^'ф(п)^
где Ишп-^оо Ф{п) =
Ь,
Ьф 0.
3.
Имеем
/(п) пХп)
lim —-г- = lim .
п-)-оо ^(п) п->оо п^гр[п)
4.
Получаем:
л/
\
если а > /3, то lim . . = оо;
если а < /3, то lim —г-г = 0;
п->оо ^(п)
если о; = /?, то по теореме о пределе частного
п/\
lim (/?(n)
lim Zil^ = n->oo^^ ^ ^ a
n->oo ^(n) lim V^(n) 6
76 Гл.З. Пределы
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел
lim
--——»,
"->о° (n + i/n) Vn^ - 1
РЕШЕНИЕ. Числитель n %^ + \/32n^^ 4-1 — бесконечно большая
последовательность порядка n^ и знаменатель (п + ^/п) \/n^
—
1 —
бесконечно большая последовательность порядка п?.
1.
Вынесем в числителе множитель п^, получим
2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим
(п+
t/57)
V;^^=
п^
(l + ;^) уь1Т.
3.
Имеем
пУН+^32п10 + 1 _ п^(1/п'/б + 2 yi + l/n^o)
"^ (П + t/^) V^^S-ZT " пД^ „2(1 +
1/пЗ/4)
yi-l/nS •
4.
Сокращая п? и используя теоремы о пределах, окончательно
получаем
пУИ+У32п10 + 1 _
1/п5/б
+ 2 yi + 1/ni» ^
п^ (п + t/H) V^^3-ri; •" n^ (1 +
1/пЗ/4)
yi-1/пЗ ~
^ liin„_^(l/nV6 ^ 2 yi +
1/п^»)
^ ^
lim„^oo(l +
1/пЗ/4)
yi-1/пЗ
ЗАМЕЧАНИЕ. В данном случае было использовано свойство корня,
в силу которого lim„_>oo У1 + 1/п^° = 1 и lim„_+oo У1
—
l/n^ = 1.
Ответ, lim , ^ ,, = 2.
n-voo („ 4- i/n) Vn3 -1
3.4. Вычисление lim„_).oo [w(n)^^"^]
77
Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.
1.
lim -Z— =. 2. lim
r^-^oo
(тг
+
x/n)\/7
- n -f
п2 "->°° Vn^
-f
3
+
\/nM-2
^
,.
\/2n3
+
3
-
гЛГГб
, \.
\Л52ТЗ
+
ЗпЗ
3.
lim о, : . 4. lim
"-^oo \/ггЗ
+
2
-
\/n
-
1
*
' ^^^
Vn^'^
+
2n
+
1
-
:
^
,.
V3n
+
2
-
Vl25n3
+ n ^ ,. nVn-
V27n6
+
n^
5.
lim r-= . 6. lim
-—-—===-.
n->oo
X/n-\-n^
n-^oo (77,+
yn)v4
+ n2
^
,.
VrrT2-4A^2T2
^ ^.
Vn^
+
3
+
\ЛГ^
7.
lim . , : q, 8. lim ., ,
П-УСХ) Vn^
+
1
-
Vn2
-1 ^-^^
Vn^
H-
2
-
Vn
- 2
^
,.
10n3-V';?T2
_ ,.
^/^ГТ2
-
VSn^
+ 3
9.
lim —. . 10. lim
Д ,
.
n-^00
^4n^
_|_
3
_ ^ n-^00 yn
4-
5
+ n
Ответы. 1. л/2. 2.0. 3. +oo. 4.3. 5.5. 6. -3. 7.
-1.
8. +00. 9. 5. 10. -2.
3.4, Вычисление lim^_>oo
['^(^)^
]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел последовательностей
lim
[и{пУ^''\
П—>СХ)
где lim^_^oo'^(^)
=
1
^
lim^_).oo'^(^)
=
оо.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы исполь-
зовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:
a{ri)v{n)
ИтКп)''<"^]=
lim f(l +
Q(n))i/«("))'
где
а{п) = и{п)
—
1 —
бесконечно малая последовательность
при
п
-^
оо. Так как а{п)
-^
О
при
п
-> оо,
то
lim(l
+
a(n))^/^(")=e.
п—>-оо
2.
Если limn->oo «п
= ^ (^п >
О,
а > 0) и
limn->oo
Ьп
=
6,
то
lim ttn^'^
= а^.
78
Гл.
3.
Пределы
Следовательно, если существует предел
lim a{n)v{n)
= lim
{и{п)
—
l)v{n),
n—>оо
то окончательно имеем
lim
[и{п)
v(n)]
_
glimn_>cx)(ii(n)-l)i)(n)
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ
предел
lim
l-2n
4n^
+ 4n - 1
n->oo у 4n^ 4-
2n
-h
3
РЕШЕНИЕ.
1.
При
n
•Ч'
oo выражение под знаком предела представляет собой
степень, основание которой стремится
к
единице:
п->оо
уАп^ +
2гг
+ 3
а показатель
— к
минус бесконечности:
lim (1
—
2n)
=
—ОС.
п->оо
Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать
второй замечательный предел:
1-2п
-(1
+
4п^
+
4п
- 1
4п2
+
2п
+ 3
2гг-4
4п2
+
2п
+ 3
1-2п
2п-4
4гг2
+
2п
+ 3
Так
как
при
п
—>
оо,
то
2гг-4
4п2
+
2n
+ 3
4n2
+
2n
+ 3
2n-4
->0
(2n-4)(l-2n)
4п2
+
2n
+ 3
lim
l-f
2n-4
oo
V
4n2
+
2n
+ 3
4n2
+
2n
+ 3
2n-4
= e.
2.
Так как
3.5. Понятие предела функции 79
п-^оо 4гг2 + 2n + 3
то окончательно имеем
1-2
п^оо
V
4n2-h2n + 3
,. /4п2 +
4п-1\'~^"
_,
Ответ, lim -—г— = е \
п->сх) V4n2 + 2n + 3/
Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.
1.
,i„,-2±iV. ,. „„^2-+^^""
-^oo\n
—1/
п-)-ооу2гг + 3
п-)'СХ) у2п^' -\- 1
2 I I о\ ""'^'^ / I тЧ "+3
5.
lim ^г . 6. lim ,
п-)-оо уп"^ -\- П — 1 J п^оо \П + 5
^ ^. / Зп2-2гг V^' о V /2гг2 + п + 5\'"^
7.
lim -тг-^—7. Z . 8. lim —-z
n^oo \3п2 -2n + 5y n-^cx) \2n2 + n + ly
/ Ч , o\ n—n^ / ,
1
\ Зn^ + l
9. lim -T^ . 10. lim '
n->oo
V
TT'^ — 2 / n->oo
V
n — 1
Ответы. 1. e^ 2. Ve. 3. e. 4. e. 5. e'^. 6. e^. 7. 1. 8. e^
9. e"^. 10. +00.
3.5.
Понятие предела функции
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением предела функции
в точке^ доказать^ что
lim f{x) = А.