Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2 ч.

Подождите немного. Документ загружается.

Закон розподілу ймовірностей можна унаочнити графічно.

Для цього візьмемо систему координат р

О х

, відклавши на осі абс-

цис можливі значення випадкової величини х

, а на осі ординат —

імовірності р

цих можливих значень. Точки з координатами (х

; р

) пос-

лідовно сполучимо відрізками прямої. Утворену при цьому фігуру на-

зивають імовірнісним многокутником.

Приклад 5. За заданим у табличній формі законом розподі-

лу дискретної випадкової величини Х:

Х = х

–2,5 1 3,5 5 6,5 8

Р(Х = х

) = р

0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 0,1

побудувати ймовірнісний многокутник.

Розв’язання. Імовірнісний многокутник зображено на рис. 20

–

2,5 1 3,5 5 6,5 8

O х

0,3

Рис. 20

Сума ординат імовірнісного многокутника завжди дорівнює одиниці.

2. Функція розподілу ймовірностей

(інтегральна функція) та її властивості

Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі,

яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових вели-

чин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величи-

ни F(х), так звану інтегральну функцію.

Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової

події

Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей:

F(x) = P(X < x) (62)

Цю функцію можна тлумачити так: унаслідок експерименту ви-

падкова величина може набути значення, меншого за х .

Наприклад, F(5) = P(X < 5) означає, що в результаті експеримен-

ту випадкова величина Х (дискретна чи неперервна) може набути

значення, яке міститься ліворуч

від х = 5, що ілюструє рис. 21.

–

3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

FPX

(5) = ( < 5)

Рис. 21

Розглянемо властивості F(x):

.1)(0 ≤

≤

Ця властивість випливає з означення функції розподілу.

)(xF

є неспадною функцією, а саме

)()(

xFxF ≥

, якщо

xx >

Доведення. Позначимо відповідно А, В, С події (Х < x

), (Х < x

)

()

xXx ≤

≤

. Випадкові події В і С є несумісними (А

С = ∅)

(рис. 22).

CxXx

= ( )

≤≤

= ( < )

BXx

= ( < )

ххХ

Рис. 22

Тоді подію А можна записати так:

А = В

С (А = В + С).

За формулою додавання для несумісних випадкових подій (6) маємо:

Р(А) = Р(В

С) = Р(В) + Р(С)

або

Р(Х < x

) = Р(Х < x

) + P(x

≤ Х ≤ х

). (63)

Звідси на підставі означення інтегральної функції F(x), дістаємо

F(x

) = F(x

) + P(x

≤ Х ≤ х

)

або

.0)()()(

2112

≥

≤

−

xXxPxFxF

(64)

Отже,

).()(0)()(

1212

xFxFxFxF ≥→≥

−

Із другої властивості F(x) випливають наведені далі висновки:

1. Імовірність того, що випадкова величина Х набуде можливого

значення

];[ βα∈= xX

, дорівнює приросту інтегральної функції F(x)

на цьому проміжку:

).()()(

−

FFXP

(65)

2. Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність то-

го, що вона набуде конкретного можливого значення, завжди дорів-

нює нулю:

.0)(

xXP

І справді, поклавши в (65)

∆

, дістанемо

)()()(

1 ііі

хFxxFxxXxP

−

∆

Коли

,0→∆x маємо:

(

)

)()()(

іі

xFxxFxxXxP

−

∆

→∆→∆

lіmlіm . (66)

Оскільки при

0→∆x Х = х

, то

,0)()()(

−

ііі

xFxFхХР

що й потрібно було довести.

Отже, для неперервної випадкової величини Х справджуються

такі рівності:

).()()()(

≤

=β<<

XPXPXPXP

(67)

3. Якщо

]

[

∞∞−∈ ;X , виконуються два подані далі співвідношення.

.0)()()()(

∞

−

∞

−

→

∞−→−∞→

XPFxXPxF

lіmlіm

Оскільки подія Х < –

∞ полягає в тому, що випадкова величина

набуває значення, яке міститься ліворуч від – ∞. А така подія є не-

можливою (∅).

.1)()()()(

∞

→

∞→∞→

XPFxXPxF

lіmlіm

Подія Х <

∞

полягає в тому, що випадкова величина Х набуває

числового значення, яке міститься ліворуч від + ∞. Ця подія є віро-

гідною (Ώ), оскільки будь-яке число X = x <

∞

Із цих двох співвідношень випливає висновок: якщо можливі

значення випадкової величини Х належать обмеженому проміжку

[а; b], то

;0)( axxF

≤

для

.1)( bхxF >

для (68)

Приклад 6. Закон розподілу дискретної випадкової величи-

ни Х задано таблицею:

Х = х

– 4 – 1 2 6 9 13

Р(Х = х

) = р

0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2

Побудувати F(x) та її графік.

Розв’язання. Згідно з властивостями F(x), дістаємо наведені далі

співвідношення.

1) F(– 4) = P(X < – 4) = 0;

2) F(–1) = P(X < –1) = P(X = – 4) = 0,1;

3) F(2) = P(X < 2) = P(X = – 4) + P(X = –1) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

4) F(6) = P(X < 6) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) = 0,1 + 0,2 +

+ 0,1 = 0,4;

5) F(9) = P(X < 9) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 6) =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,7;

F(12) = P(X < 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9) =

= 0,1 + 0,2 +0,1 + 0,3 + 0,1 = 0,8;

7) F(x)|

x >13

= P(X > 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9) +

+ P(X = 13) = 0,1 + 0,2 +0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,2 = 1.

Компактно F(x) можна записати в такій формі:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤<−

−≤<−

−≤

=<=

.12,1

;129,8,0

;96,7,0

;62,4,0

;21,3,0

;14,1,0

;4,0

)()(

xXPxF

Графік функції F(x) зображено на рис. 23.

()

0,1

Рис. 23

Приклад 7. Маємо три ящики. У першому містяться 6 стан-

дартних і 4 браковані однотипні деталі, у другому — 8 стан-

дартних і 2 браковані деталі, а в третьому — 5 стандартних і

5 бракованих. Із кожного ящика навмання беруть по одній

деталі. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискрет-

ної випадкової величини Х — появи числа стандартних де-

талей серед трьох навмання взятих; визначити F(x) та побу-

дувати графік цієї функції.

Розв’язання. Серед трьох навмання взятих деталей число стандарт-

них може бути 0; 1; 2; 3.

У табличній формі закон розподілу дискретної випадкової величини

має вигляд:

Х = х

0 1 2 3

Р(Х = х

) = р

Обчислимо ймовірності р

, р

. Із цією метою позначимо А

с1

і А

б1

випадкову подію, що полягає відповідно в появі стандартної деталі з

першого ящика і появі бракованої деталі з першого ящика. Тоді випадко-

ві події А

с2

, А

б2

, А

с3

, А

б3

означають появу відповідно стандартної та бра-

кованої деталей із другого і третього ящиків. Імовірності цих подій такі:

)(;

)(

;

)(;

)(

;

)(;

)(

бc

AРAР

APAP

Оскільки випадкові події А

с1

, А

с2

, А

с3

, А

б1

, А

б2

, А

б3

є незалежними,

маємо:

;04,0

1000

)()()(

3211

====

ббб

АРАРАPP

;26,0

1000

260

1000

4016060

)()()()()()()()()(

32132132

=+=

=++=

cбббcбббc

АРАРАРАРАРАРАРАРАPP

;46,0

1000

460

1000

16060240

)()()()()()()()()(

3213213213

=++=

ccбcбcбcc

АРАРАРАРАРАРАРАРАРР

.24,0

1000

240

)()()(

3214

====

ccc

АРАРАРР

Перевіримо виконання умови нормування:

.124,046,026,004,0

4321

=+++=+++=

∑

pрррР

Умова нормування виконується. Отже, закон розподілу ймовірнос-

тей побудовано правильно. Запишемо його в табличній формі:

0 1 2 3

0,04 0,26 0,46 0,24

Інтегральна функція має вигляд:

() ( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

=<=

.3,1

;32,76,0

;21,30,0

;10,04,0

;0,0

xXPxF

Графік функції F(x) зображено на рис. 24.

0 1 2 3 4

()

0,1

Рис. 24

Приклад 8. Закон розподілу неперервної випадкової вели-

чини Х задано функцією розподілу ймовірностей

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<−

−≤

.4,1

;43,

)3(

;3,0

Побудувати графік функції F(х) і обчислити Р(–1 < X < 2).

Розв’язання. F(x) графічно зображено на рис. 25.

()

Р X

(–1 < < 2)

(2)

(–1)

–

1 < < 2

Рис. 25

Використовуючи (65), обчислимо

)3(

)1()2()21(

==−=

−

=−−=<<−

−== xx

FFXP

Приклад 9. Функція розподілу ймовірностей має такий ви-

гляд:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<−+

−≤

.5,1

;52,

;2,0

xbax

Знайти значення сталих а і b і накреслити графік F(x). Обчи-

слити P(1 < X < 4).

Розв’язання. Згідно з властивостями F(x) (68) маємо:

==→

⎩

⎨

⎧

=+−

Коли

== ba

функція розподілу ймовірностей набирає вигляду

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<−

−≤

.5,1

;52,

;2,0

Графік F(x) зображено на рис. 26.

–

2 0 1 4 5

()

Р X

(1 < < 4)

(4)

(1)

1 < < 4

Рис. 26

Обчислюємо ймовірність події 1 < X < 4:

)1()4()41( =−=−=<< FFXP

3. Щільність імовірностей

(диференціальна функція)

f (x) і її властивості

Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовір-

ностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку

позначають f (x).

Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х

називається перша похідна від інтегральної функції F(x):

)(

)()(

)(

xdF

xFxxF

′

∆

−∆+

→∆

lіm (69)

звідки

.)()( dxxfxdF =

Оскільки

,)()()()()( dxxfxdFxFxxFxxXxP

≈

−

∆

+<<

то добуток f (x) dx — ймовірність того, що випадкова величина Х міс-

титиметься у проміжку [х, х + dx], де

xdx

∆

Геометрично на графіку щільності ймовірності f (x) dx відповідає

площа прямокутника з основою dx і висотою f (x) (рис. 27а).

f x

()

f x

()

x + dx x

P x < X < x + dx

()

Рис. 27а

Властивості f (x)

1. 0)( ≥xf . Ця властивість випливає з означення щільності ймо-

вірності як першої похідної від F(x) за умови, що F(x) є неспадною

функцією.

2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:

.1)( =α

∫

∞

∞−

xxf

(70)

Доведення.

.1)()(|)()()( =−∞−∞===

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

FFxFxdFdxxf

Якщо неперервна випадкова величина Х визначена лише на про-

міжку [a; b], то умова нормування має такий вигляд:

.1)( =

∫

dxxf

(71)

3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в ін-

тервалі

];[ β

обчислюється за формулою

.)()(

∫

=β<<α dxxfXP

(72)

Доведення. За властивістю функції розподілу ймовірностей (67)

).()()(

−

FFXP

Залежність (72) можна подати так:

).()(|)()()()( α−β====β<<α

∫∫

FFxFxdFdxxfXP

4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової ве-

личини має вигляд

.)()(

∫

∞−

dxxfxF

(73)

Доведення.

)()()(|)()()( xFFxFxFxdFdxxf

=−∞−===

∫∫

∞−∞−

∞−

Якщо можливі значення неперервної випадкової величини нале-

жать лише інтервалу [а; b], то

.)()(

∫

dxxfxF

(74)

Приклад 1. Закон розподілу неперервної випадкової вели-

чини Х такий:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<−

−≤

.3,1

;31,

)1(

;1,0

Знайти f (x) і побудувати графіки функцій f (x), F(х). Обчислити

Р(0 < X < 2), скориставшись (65) і (72).

Розв’язання.

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<−+

−≤

′

.3,0

;31,)1(

;1,0

)()(

xFxf

Графіки функцій F(x), f (x) зображено відповідно на рис. 27б і 28.

()

–

1 0 2 3

Р X

(0 < < 2)

(2)

(0)

–

1 0 2 3

()

Р X

(0 < < 2)

(3, 3 4)

Рис. 27б Рис. 28

Імовірність події 0 < X < 2 обчислимо за (65):

)0()2()20( ==−=−=<< FFXP

;

далі згідно із (72) маємо

)1(

)()20(

==−=

=+=+==<<

∫∫∫

dxxdxxdxxfXP

Приклад 2. Закон неперервної випадкової величини Х зада-

но у вигляді:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

π>

π≤<

≤

.,0

;0,sin

;0,0

Знайти F(x) і побудувати графіки функцій f (x), F(x). Обчислити

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2 ч. - Ч. І. Теорія ймовірностей

Подождите немного. Документ загружается.