Янчуковская Е.В., Ушакова Н.И. Математическое моделирование химических реакторов

31

 обратные задачи - выбор формы адекватного математического описания и

определение его параметров; алгоритм прямой задачи при этом использу-

ется в качестве модуля;

 анализ ХTП – прямые задачи на адекватных моделях, исследование влия-

ния технологических параметров на процессы в реакторе;

 оптимизационные задачи – определение технологических параметров,

соответствующих максимальной эффективности процесса, выбор конст-

рукции аппарата; алгоритм анализа ХTП при этом используется в качест-

ве модуля.

Рис. 10. Пуск реактора идеального перемешивания

Динамический

режим

0

CB

C,C

A

C

1

t

Стац.

режим1

ОС

Т

0t

Т

В

А

С

время

пуск

2

t

К

t

32

Рис. 11. Изменение режима работы реактора идеального перемешивания

Таким образом, основная область использования моделей – компьютер-

ный анализ и оптимизация динамических режимов работы реактора.

Прямая задача решения формулируется следующим образом: в адиабати-

ческом (или политропическим) реакторе идеального перемешивания проводит-

ся гомогенная химическая реакция (рис. 9).

Заданы:

ГУ – граничные условия

i

вх

C

,

вх

V

,

вх

T

,

НУ – начальные условия

i

вых

C

1

,

1вых

V

,

1вых

T

при

0t

,

Динамический

режим

V

Стац.

режим1

1

V

B

A

C

B

A

0t

2

к

t

переключение

Стац.

режим2

2

V

0t

2

к

t

1

V

2

V

33

0

j

k

,

j

E

(

j

=1, 2) – результат кинетического анализа,

j

P

K

,

j

P

НΔ

– соответственно константы равновесия и тепловые эффекты (ре-

зультат термодинамического анализа),

Vr

– объем реактора.

Требуется получить модельные зависимости

 

вых

i

Т,V,С

от времени пе-

реходного процесса (рис. 9 и 10).

Математическая модель реактора в динамическом режиме представлена

системой дифференциальных уравнений (1.1) и (1.5) или (1.3) и (1.7). Решение

этих уравнений – функции

Т,V,С

i

от независимого аргумента

t

. В компью-

терном анализе химических реакторов часто используется метод Эйлера.

Пример 7. В лабораторном реакторе идеального перемешивания проводится

гомогенная реакция:

СВА 

21

выхвх

ТТТ 

выхвх

VVV 

Для описания динамического режима используется дифференциальное урав-

нение (1.3). Результаты кинетического анализа

A

Ckr 

11

B

Ckr 

22

1

rR

A



21

rrR

B



2

rR

C



Решение. Математическое описание реактора:

 

AA

A

вх

A

CkCC

τdt

dC



1

 

BAB

B

вх

B

CkCkCC

τdt

dC



21

1

(1.36)

 

BC

C

вх

C

CkCC

τdt

dC



2

1

ГУ:

A

вх

С

,

В

вх

С

,

С

вх

С

V

Vr

τ 

НУ:

1

A

С

,

1

В

С

,

1

С

при

0

1

t

Алгоритм решения системы дифференциальных уравнений (1.36):

1. Задание ГУ:

A

вх

С

,

В

вх

С

,

С

вх

С

,

V

,

T

,

Vr

34

2. Задание НУ:

1

A

С

,

1

В

С

,

1

С

,

1

t

3. Задание

0

j

k

,

j

E

,

j

=1, 2

4. Расчет

V

Vr

τ 

5. Расчет



















TR

E

expkk

j

jj

0

, (

j

=1, 2)

6. Выбор шага численного интегрирования

tΔ

, задание малой величины

ε

7. Численное интегрирование системы (1.36), циклические вычисления

tΔtt

ii



1

i

A

Ckr 

11

i

B

Ckr 

22

 

















1

rCC

τ

tΔCC

i

A

А

вх

i

A

i

A

 

















21

1

rrCC

τ

tΔCC

i

В

вх

i

В

i

В

Если

ε

C

CC

i

C

i

C

i

C





1

, то выход из цикла

Результаты решения:

 зависимость

A

С

,

В

С

,

С

от времени переходного процесса

 время переходного режима

1



iк

tt

 параметры установившегося режима

V

,

T

,

1



i

A

К

A

СС

,

1



i

B

К

B

СС

,

1



i

C

К

C

СС

Задавая соответствующие ГУ и НУ, с помощью данного алгоритма можно рас-

считать режим пуска, переключения и остановки лабораторного реактора идеально-

го перемешивания.

35

2. РЕАКТОР ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ

2.1. Составление математического описания

Исследуется химическая реакция в аппарате идеального вытеснения

(РИВ):

Рис. 12. Аппарат идеального вытеснения

Полное математическое описание (детерминированная математическая

модель) процесса будет представлено покомпонентным материальным балан-

сом и тепловым балансом элементарной ячейки с объемом

dV

для малого про-

межутка времени

dt

, так как параметры потока меняются по длине аппарата и

во времени.

Материальный баланс элементарной ячейки

реактора идеального вытеснения

моль

dVобъемев

iвещества

Накопление

реакции

вiколичества

Изменение

ячейкиэлиз

iвещества

Расход

ячейкуэлв

iвещества

Приход

,

..























































dtm

i



– приход вещества с потоком,

dtCSudtСVdtm

iiвхi



,

 

dtdmm

ii



– расход вещества с потоком,

    

dtСVdСVdtdmm

iвхiвхii



,

dtrdV

i



– изменение вещества в химической реакции,

i

dM

– накопление вещества,

dVdCdM

ii



,

 

dVdCdtrdVdtdmmdtm

iiiii



,

0V

dV

S

L

VrV 

вхвх

Т,V

выхв ых

Т,V

i

вх

i

вх

m,С

i

вых

i

вых

m,С

0z

V

,

T

dz

ii

dmm 

Lz 

ii

m,C

36

где

i

r

– скорость изменения концентрации вещества

i

в результате химическо-

го превращения, моль/(м

3

·с),

iiвхi

CSuСVm 

– мольный поток вещества

i

, моль/с,

u

– линейная скорость потока, м/с.

Преобразуя, поделим все члены уравнения на

 

dtdV 

. Конечный вид

уравнения материального баланса реактора идеального вытеснения для вещест-

ва

i

в размерности моль/(м

3

·с) имеет вид:

i

ii

r

dV

dm

dt

dC



(2.1)

Решением этого уравнения будет являться функция

 

t,VfC

вхi



.

В случае стационарного режима работы реактора













 0

dt

dC

i

:

i

r

dV

dm



(2.2)

Решение его – функция

 

вхi

VfC 

.

При

VVV

выхвх



(мономолекулярная реакция)

выхвх

ТТТ 

:

 

dz

dC

u

zSd

CSud

dV

dm

iii









1

r

dz

dC

u

dt

dC

ii



(2.3)

Решение этого уравнения – функция

 

t,zfC

i



.

В случае стационарного режима работы реактора













 0

dt

dC

i

:

u

r

dz

dC

i

1



или

1

r

τd

dC

i



, (2.4)

где

u

dz

τd 

,

V

Vr

u

τ 

1

при

constV,u 

по длине реактора.

Решение уравнения (2.4) – функции

 

zfC

i



или

 

τfC

i



.

37

Тепловой баланс элементарной ячейки реактора идеального вытеснения





























потокавыходного

жаниеТеплосодер

потокавходного

жаниеТеплосодер

Дж,

dVобъемев

тепла

Накопление

стенкучерез

осТеплоперен

реакциив

сявыделяющее

,Тепло











































 

dtТТСρV

НУРвх



– теплосодержание входного потока

   

 

dtTСρVdТТСρV

РвхНУРвх



– теплосодержание выходного

потока (аналогично

 

dtdmm

ii



в материальном балансе)

 

dtdVrHΔ

m

j

P





1

– тепло химического превращения

 

dtdzLTTK

SF



– теплоперенос через стенку

 

dVTCρd

P



– накопление тепла (аналогично

dVdC

i



в материаль-

ном балансе),

где

 

TСρ

Р



, Дж/м

3

– аналог концентрации

i

С

, моль/м

3

 

TСρV

Рвх



, Дж/с – аналог мольного потока

i

m

, моль/с

m,j 1

– количество стадий реакции

P

HΔ

– энтальпия химического превращения (тепловой эффект стадии с

обратным знаком), Дж/моль

F

K

– коэффициент теплопередачи через стенку, Дж/(м

2

·с·К)

dzL 

– поверхность теплообмена, м

2

S

T

– температура хладоагента, К

Тепловой баланс элементарной ячейки:

     

 

 dtTСρVdТТСρVdtТТСρV

РвхНУРвхНУРвх

 

   

dVTCρddtdzLTTKdtdVrHΔ

PSF

m

j

jPj





1

Преобразуя, поделим все члены уравнения на

 

dtdV 

. Конечный вид

уравнения теплового баланса реактора идеального вытеснения в размерности

Дж/(м

3

·с):

38

 

S

L

TTKrHΔ

dV

TСρVd

dt

TCρd

SF

m

j

jPj

Рвх

P











1

(2.5)

Уравнение для адиабатического реактора упрощается за счет того, что:

 

0

S

L

TTK

SF

Практически это возможно при

0

F

K

(футеровка, теплоизоляция) или

S

TT 

(специально организованный температурный режим у внешней поверх-

ности реактора).

Параметры потока

вх

V

,

ρ

,

Р

С

,

T

,

i

C

, согласно уравнению (2.5), меняются

по длине реактора идеального вытеснения и во времени.

В практических расчетах можно пользоваться упрощенной формой урав-

нения теплового баланса адиабатического реактора:

 







m

j

PPвхР

rHΔ

dV

dT

CρV

dt

dT

Сρ

1

 

Р

m

j

P

вх

Сρ

rHΔ

dV

dT

V

dt

dT







1

(2.6)

Решением этого уравнения является функция

 

t,VfТ

вх



.

Стационарный режим работы













 0

dt

dT

:

 

вхР

m

j

P

VСρ

rHΔ

dt

dT









1

(2.7)

Его решением является функция

 

вх

VfТ 

.

При использовании в качестве независимой переменной линейной коор-

динаты















dz

u

dV

V

z

вх

уравнение (2.6) преобразуется к виду:

 

Р

m

j

P

Сρ

rHΔ

dz

dT

u

dt

dT







1

(2.8)

Решением этого уравнения является функция

 

t,zfТ 

.

39

Стационарный режим работы













 0

dt

dT

:

 

uСρ

rHΔ

dz

dT

Р

m

j

P









1

(2.9)

Его решением является

 

zfТ 

.

2.2. Решение математического описания

Прямая задача решения формулируется следующим образом: по задан-

ным параметрам входных тепловых и материальных потоков и конструкции ре-

актора определить профили требуемых параметров потока по длине реактора

(чаще всего профили температуры и концентраций) и параметры выходного по-

тока. На практике возможны такие же характерные ситуации, как и для реакто-

ра идеального перемешивания.

2.2.1. Стационарный режим работы

Для решения прямой задачи стационарного режима работы реактора иде-

ального вытеснения применяется метод Эйлера.

Пример 8. В лабораторном реакторе идеального вытеснения в стационарном

режиме проводится газофазная гомогенная химическая реакция:

BА

k



1

2

k

выхвх

ТТТ 

вхвых

VVV 

Решение. Математическое описание реактора:

Скорости стадий реакции:

A

Ckr 

11

B

P

B

C

K

k

Ckr 

1

22

Скорость реакции:















P

B

A

K

C

CkrrR

121

Скорость реакции по компонентам:

40

RR

A



RR

B



Уравнения покомпонентного материального баланса (2.4):

A

R

udz

dC



1

B

R

udz

dC



1

(2.10)

Алгоритм решения методом Эйлера

Исходные данные:

Параметры входного потока

A

вх

С

,

В

вх

С

,

VV

вх



,

ТТ

вх



Параметры аппарата

Vr

,

L

,

S

НУ:

0

z

,

A

вхA

СC 

0

,

B

вхB

СC 

0

Результаты термодинамического анализа

 

TK

P

Результаты кинетического анализа

 

Tk

1

Расчетный блок

1.

TR

E

ekk







0

1

,

S

V

u 

2. Выбор количества шагов

n

численного интегрирования

3. Определение

n

L

zΔ 

4. Численное интегрирование системы (2.10), численные вычисления по

0i

,

n

:

zΔiz

i



















P

i

B

i

A

K

C

CkR

1

















u

R

zΔCC

A

i

A

i

A

1

















u

R

zΔCC

B

i

B

i

B

1

Результаты решения прямой задачи

Профиль

A

С

,

В

С

по длине реактора

Параметры выходного потока

n

A

вых

CС 

,

n

B

вых

CС 

Янчуковская Е.В., Ушакова Н.И. Математическое моделирование химических реакторов

Подождите немного. Документ загружается.