
48
4. Простейшие аналитические модели популяционной динамики.
В экологии значение термина «популяция», первоначально обозна-
чавшего группу людей, в настоящее время расширено и обозначает любую
совокупность особей, которые могут скрещиваться между собой и произ-
водить жизнеспособное потомство.
Математические модели развития популяций рассматриваются при
допущении, что основным показателем является численность или плот-
ность
особей. Плотность популяции - это величина популяции, отнесенная
к единице пространства. Её обычно измеряют и выражают числом особей
или биомассой популяции на единицу площади или объема. Например, 300
деревьев на 1 га или 200 кг рыбы на 1 га поверхности водоема [4].
В дальнейшем рассматриваются простейшие модели, описывающие
изменения во времени только общей численности популяции. При по
-
строении этих моделей все особи, составляющие популяцию, считаются
совершенно идентичными, а величина численности принимается исчерпы-
вающей характеристикой популяции как динамической системы. Оказыва-
ется, что даже при таком сравнительно простом описании популяции мож-
но построить модели, хорошо отражающие ряд экспериментальных фак-
тов, касающихся роста или гибели популяций.
Основу решения подобных задач
составляют методы, основанные на
моделях динамики средних и методы исследования логистических моде-
лей.
4.1. Динамика средних [8]
Если в системе, состоящей из N однородных элементов, происходит
марковский случайный процесс, причем известен размеченный граф со-
стояний системы (известны интенсивности λ
ij
всех потоков изменения со-
стояний системы), то для средних численностей состояний можно соста-
вить дифференциальные уравнения, пользуясь следующим мнемониче-
ским правилом (мнемоника, мнемотехника – совокупность приемов,
имеющих целью облегчить запоминание возможно большего числа сведе-
ний, фактов; основана главным образом на законах ассоциации идей; ас-
социация – объединение, союз):
• производная средней численности
состояния равна сумме стольких
слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием;
• если стрелка направлена из состояния, то слагаемое имеет знак
«минус», если стрелка направлена в состояние, - то знак «плюс»;
• каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока со-
бытий, переводящего элемент
по данной стрелке, на среднюю чис-
ленность того состояния, из которого исходит стрелка.