Яковлев А.В. Надежность информационных систем

31

Интенсивность отказов

95

11

==

Р

t

λ 1/ч.

Вероятность безотказной работы в течение 10 часов:

9,0)10,0(

95

10

≈==

−

eeP

t

λ

.

3 ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В ОТКАЗОУСТОЙЧИ-

ВЫХ ИС

3.1 ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При проектировании отказоустойчивых систем стремятся не только к дости-

жению необходимой их надежности, но и к достижению этой надежности при

минимальных затратах, т.е. к нахождению оптимального решения.

В отказоустойчивых ЭВМ и ВС существует ряд параметров

{}

n

xxxx ,...,,

21

=

, от

которых зависит надежность системы. Сюда относятся количество резервных

элементов, устройств или подсистем, параметры систем контроля и диагностики,

характеристики программного обеспечения и др. Часть из этих параметров явля-

ются целочисленными (например, количество резервных элементов).

Рассмотрим задачи оптимизации, связанные с определением числа резервных

элементов системы с учетом ограничивающих факторов (затрат). Под затратами

будем понимать массу, габариты, стоимость, потребление энергии или другие ха-

рактеристики системы. Подобные задачи могут быть двух видов.

Задачи оптимального резервирования первого вида состоят в определении

требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих максимум значе-

ния показателя надежности системы при величине затрат, не превышающей за-

данную:

max

)(

→

∈

xП

Gx

,

где G - ограничения в виде множества допустимых значений, налагаемые на

параметры

x

.

Задачи второго вида состоят в определении требуемого количества резерв-

ных элементов, обеспечивающих заданное значение показателя надежности сис-

темы при минимальных затратах:

HxП

x

∈

→

)(

min,)(ϕ

где H - ограничение, налагаемое на показатель надежности

)(

xП

.

Задачи оптимального резервирования встречаются в системах с резерви-

рованием на уровне процессоров, устройств или других подсистем. Для их реше-

32

ния используют методы неопределенных множителей Лагранжа, градиентный,

прямого перебора и динамического программирования.

3.2 ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗЕРВОВ МЕТОДОМ НЕ-

ОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Данный метод дает приближенное решение задачи, так как он оперирует

действительными числами, в то время как количество резервных элементов (под-

систем) выражается как целое число. Округление результатов до целых чисел вы-

зывает сдвиг экстремума в пространстве параметров, вследствие чего возникает

погрешность решения.

Пусть ВС состоит из

n

подсистем (процессоры, ОЗУ, внешние устройства

и др.) и каждая подсистема имеет

i

m

резервов. Вероятность безотказной работы

−

i

й подсистемы

(

)

ni

,1

=

обозначим через

i

P . Тогда вероятность безотказной рабо-

ты ВС выразится как

()

(4.1) .11

1

i

m

i

n

i

PP

П

−−=

=

Чтобы упростить выражение (4.1), допустим, что

11

→−=

ii

qP

, где

i

q

- ве-

роятность отказа i-й подсистемы. Тогда вероятность отказа системы:

(4.2) ,)(

1

∑

=

n

i

m

i

qmQ

где

{}

n

mmmm ,...,,

21

=

- вектор состава системы.

Масса, габариты или стоимость системы выражается в виде простой ли-

нейной зависимости:

()

(4.3) ,

1

∑

=

==

n

i

ii

mcmCC

где

i

c

- масса, габариты или стоимость i-й подсистемы.

При первой постановке задачи необходимо определить значения

i

m

, обес-

печивающие

)(min mQ

при условии, что

зад

CmC

≤

)(

, где

зад

C

- заданное значение

массы, габаритов или стоимости системы. В этом случае функция Лагранжа

)(mF

имеет следующий вид:

(4.4) )),(()()( mCCmQmF

зад

−+=ε

где

ε

- неопределенный множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции

)(mF

выражаются системой

уравнений:











=

∂

(4.6) ).(

(4.5) ;0

)(

mCC

m

mF

зад

i

33

Совместное решение уравнений (4.5) и (4.6) позволяет определить n оп-

тимальных значений

i

m , которые могут получиться нецелочисленными. Поэтому

необходимо производить округления этих значений до ближайших целых чисел.

После этого часть целочисленных значений сразу же исключается, поскольку для

них не выполняются накладываемые ограничения.

Функцию Лагранжа перепишем в виде:

)()(

11

∑∑

==

−+=

n

i

iiзад

n

i

m

i

mcCqmF

i

ε

.

Подставив

)(mF

в уравнение (4.5), получим:

,0ln

)(

=−=

∂

ii

m

i

cqq

m

mF

i

ε

откуда

(4.7) ,

ln

i

q

a

q

c

m

ε

==

где

i

q

c

a

ln

= .

Для определения множителя Лагранжа

ε

, подставим

i

m

из выражения

(4.7) в уравнение (4.6):

;lnln)ln1(ln

)ln(ln

ln

111

1111

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

+=+=

=+====

n

i

ii

n

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

n

i

iiзад

aaaaa

aa

q

a

qa

q

a

cmcC

εε

ε

εε

следовательно,

Подставляя последнее выражение в (4.7), окончательно получим:

(4.8) .ln

ln

1













+

−

=

∑

=

i

n

i

n

i

iiзад

i

a

aaC

q

m

.

ln

1

∑

=

−

=

n

i

n

i

iiзад

a

aaC

ε

34

При второй постановке задачи (найти оптимальное число

i

m для

обеспечения минимальных затрат при заданном уровне надежности) функция

Лагранжа примет вид:

(4.9) )),(()()( mQQmCmF

зад

−+=ε

где

зад

Q

- заданное значение вероятности отказа. Перепишем функцию с уче-

том (4.2) и (4.3):

(4.10) ).()(

11

∑∑

==

−+=

n

i

m

iзад

n

i

ii

i

qQmcmF

ε

Для обеспечения экстремума

)(mF необходимы условия:











=

=−=

∂

∑

=

n

i

m

iзад

i

m

ii

i

qQ

qqc

m

mF

1

(4.12) .

(4.11) ;0ln

)(

ε

Из уравнения(4.11) находим

i

m :

(4.13) ,

ln

i

q

a

q

c

m

εε

==

где

.

ln

i

q

c

a =

Находим множитель Лагранжа, подставив

i

m

из (4.13) в (4.12):

,

1

111

∑∑∑

===

n

i

n

i

n

i

m

iзад

a

qQ

i

εε

откуда

.

1

зад

n

i

Q

a

∑

=

ε

В окончательном виде выражение для определения оптимального резерва

i-й подсистемы имеет вид:

(4.14) .ln

ln

1

ln

lnln

ln

lnln

ln

1













⋅

⋅=













−

=

−

==

∑

=

n

i

задi

ii

зад

n

i

a

Qa

qq

Q

a

q

a

q

a

m

ε

Выражения (4.8) и (4.14) являются приближенными из-за необходимости ок-

ругления результата. Ошибка получается особенно большой при малых

i

m

. Кроме

35

того аналитический метод позволяет получать решения в явном виде только при

простейших моделях надежности.

Пример 4.1. Имеется система, состоящая из четырех подсистем (n=4). Под-

системы характеризуются стоимостями

i

C и вероятностями отказа за заданное

время

i

q :

i

1 2 3 4

c

i

1,2 2,3 3,4 4,5

q

i

0,2 0,3 0,25 0,15

Требуется построить систему, т.е. оптимальный вектор состава системы

{}

4321

mmmmm

=

, обладающую вероятностью безотказной работы 99,0

≥

P при мини-

мальной стоимости.

Решение

1. Первоначальное состояние системы, когда нет резервов, описывается век-

тором состояния

{}

1111

=

m

; при этом:

,9,015,025,03,02,0

;4,115,44,33,22,1

4

1

4

1

=+++==

∑

=

i

m

i

ii

i

qQ

mcC

т.е. Р = 0,1.

2. По формуле (4.14) определяем оптимальное количество элементов каждой

подсистемы:

29,4

481,7

01,0746,0

ln

609,1

1

ln

1

4

1

=













−

⋅−

−=

=













⋅

=

∑

=

i

зад

a

Qa

q

m ,

где

746,0

2,0ln

2,1

ln

1

−===

q

c

a

;

96,4

481,7

01,091,1

ln

204,1

1

2

=













−

⋅−

−

=m , где ;91,1

ln

2

−==

q

c

a

13,4

481,7

01,0453,2

ln

386,1

1

3

=













−

⋅−

−

=m

, где

;453,2

ln

3

−==

q

c

a

03,3

481,7

01,0372,2

ln

897,1

1

4

=













−

⋅−

−

=m , где

.372,2

ln

4

−==

q

c

a

36

Округляя результаты до ближайших целых значений, получим приближен-

ный оптимальный состав системы:

{}

.4543=m Таким образом, схема системы

имеет вид, приведенный на рис. 4.1.

1

2

3

3 4

4

Рис. 4.1. Оптимальная схема системы.

При этом:

. 4,43

;99,0989,01

;011,015,025,03,02,0

4

1

3454

3

4

3

5

2

4

1

едmcC

QP

qqqqQ

i

ii

==

≈=−=

=+++=

∑

=

∑

Пример 4.2. Система состоит из двух блоков, соединенных последова-

тельно. Интенсивности отказов этих блоков равны

ч

1

104

3

1

−

⋅=λ ,

ч

1

102

3

2

−

⋅=λ ; массы блоков

кгс

2

1

=

,

кгс

3

2

=

. Требуется определить опти-

мальный состав блоков системы при ее резервировании с учетом того, что масса

системы не должна превышать 8 кг и вероятность ее отказа в течение наработки 1

ч должна быть минимальной.

Решение

Используем формулу (4.8), причем перепишем ее в виде:

.)ln(

)ln(

ln

1

2

1

2

1













−+

−−

=

∑

=

i

iiзад

i

a

aaC

q

m

37

.719,0)ln( ;845,0

;351,0)728,0(483,0)ln( ;483,0

002,0ln

3

ln

;368,0)017,1(362,0)ln( ;362,0

004,0ln

2

ln

2

1

2

1

22

2

11

1

=−−=

=−−=−−===

∑∑

==

i

aaa

aa

q

c

a

aa

q

c

a

.27,1728,0

845,0

719,08

215,6

1

;69,1017,1

845,0

719,08

521,5

1

2

1

=













−

=













−

=

m

Таким образом,

2

1

≈

m

,

1

2

≈

m

(рис. 4.2). При этом 73122 =⋅+⋅=

∑

C кг,

336

2

1

1021021016

−−−

=

⋅≈⋅+⋅==

∑

i

m

i

qQ

.

1 2

1р

Рис. 4.2. Оптимальный состав блоков

системы.

3.3 ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕ-

СКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В отличие от аналитического решения задачи оптимального резервирования,

существующие численные методы позволяют найти точное решение и примени-

мы для весьма сложных моделей надежности.

Простейшим численным методом является метод прямого перебора, когда

сравниваются между собой все возможные варианты структуры и выбирается тот

из них, который лучше всего отвечает заданным требованиям. Однако число кон-

курирующих вариантов N получается очень большим, что резко ограничивает

практическое применение этого метода. Например, если система состоит из n

подсистем, каждая из которых имеет m-кратное резервирование, то

i

n

i

mN

П

1=

= , где

i

m

- максимально возможное число параллельных подсистем i-го типа. При

10=n и

10

=

i

m

получим

10

=

N

, что практически исключает возможность пе-

ребора.

Метод динамического программирования является модификацией метода

прямого перебора. В этом методе для сокращения числа вариантов при переборе

38

вводится понятие доминирующая последовательность - подмножество вариантов,

перспективных с точки зрения поиска оптимального варианта.

Рассмотрим график вариантов технических решений в координатах «стои-

мость - вероятность отказа» (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Графическая

иллюстрация доминирующей

последовательности.

Q

С

Из всех вариантов заданной (или меньшей) стоимости С интерес представ-

ляют только варианты, обладающие минимальной вероятностью отказа

Q

. Из

всех вариантов при заданной (или меньшей) вероятности отказа

Q интересны

только варианты, отличающиеся минимальной стоимостью. Отсюда следует, что

из всего множества вариантов интерес представляют только те, которые находят-

ся снизу и слева на рисунке. Мощность (количество элементов) доминирующей

последовательности обычно намного меньше мощности множества всех вариан-

тов. Поэтому остается лишь выбрать оптимальное решение из вариантов, входя-

щих в доминирующую последовательность.

Применительно к задаче оптимального резервирования будем считать, что

один состав системы, представляющий собой некоторую комбинацию располо-

жения резервных элементов, доминирует над другим, если для одного и того же

уровня надежности обеспечение этого состава связано с наименьшими затратами.

Все неоптимальные решения, не входящие в состав доминирующей последова-

тельности в силу того, что они обладают большей величиной затрат при той же

надежности или меньшей надежностью при тех же затратах, чем члены домини-

рующей последовательности, исключаются из рассмотрения.

Пример 4.3. Рассмотрим порядок расчета оптимального состава системы

применительно к условиям примера 4.2.

Решение

Примем, что максимальное количество резервных элементов к блокам 1 и 2

равно двум. Для построения доминирующей последовательности составим табли-

цу:

39

Число K

1

резервных блоков к блоку 1

0 1 2

1 2 2 4 3 6

4

⋅

10

-3

16

⋅

10

-6

64

⋅

10

-9

0 4 3 7 5 8 7 9 9

Число K

2

⋅

10

-3

6

⋅

10

-3

2

⋅

10

-3

2

⋅

10

-3

резервных 1 5 6 10 8 11 10 12 12

блоков

4

⋅

10

-6

4

⋅

10

-3

20

⋅

10

-6

4

⋅

10

-6

к блоку 2 2 6 9 13 11 14 13 15 15

8

⋅

10

-9

4

⋅

10

-3

16

⋅

10

-6

72

⋅

10

-9

В клетках 7-15 записываем значения вероятностей отказов и затрат для по-

следовательного соединения блоков 1 и 2 с различным числом резервных блоков.

С учетом заданных ограничений получаем три члена доминирующей последова-

тельности - клетки 7, 8, 10.

Просматривая полученную доминирующую последовательность, находим

требуемый вектор состава системы, удовлетворяющий условию

8

≤

C

кг и мини-

муму вероятности отказа. Этот вектор состава находится в клетке 8 -

3

102)(

−

⋅=

tQ

и 7=

∑

C кг, при этом K

1

=1 и K

2

=0, т.е. получаем оптимальную схе-

му системы, приведенную на рис. 4.2.

Пример 4.4. Требуется составить оптимальную схему передающего устрой-

ства, состоящего из трех последовательно соединенных блоков, которая может

быть получена путем введения нагруженного резерва к каждому блоку при усло-

вии, что вероятность отказа устройства за наработку

),0(

i

t

должна составлять

2

103)(

−

⋅≤

i

tQ

при минимальных затратах. Исходные данные:

1,0)(

1

=

i

tQ

,

;3

1

=

C

02,0)(

2

=

i

tQ

,

;2

2

=

C

01,0)(

3

=

i

tQ

,

1

3

=

C

.

Решение

Примем максимальное число резервных блоков равным двум. Вначале рас-

смотрим композицию блоков 1 и 2 и построим для них доминирующую последо-

вательность:

Число K

1

резервных блоков к блоку 1

0 1 2

1 3 2 6 3 9

0,1 10

-2

10

-3

0 4 2 7 5 8 8 9 11

Число K

2

⋅

10

-2

1,2

⋅

10

-1

3

⋅

10

-2

2,1

⋅

10

-2

резервных 1 5 4 10 7 11 10 12 13

блоков

4

⋅

10

-4

10

-1

10

-2

1,4

⋅

10

-3

к блоку 2 2 6 6 13 9 14 12 15 15

8

⋅

10

-6

10

-1

10

-2

10

-3

40

С учетом заданных ограничений получаем четыре члена доминирующей

последовательности - клетки 8, 11, 12 и 15.

Далее строится таблица, в которую заносятся значения полученной домини-

рующей последовательности (клетки 1, 2, 3, 4) и значения

)(

3

KQ и )(

3

KC , полу-

ченные для блока 3:

Числа K

1

и K

2

резервных блоков, подключаемых к

блокам 1 и2

K

1

=1 K

1

=1 K

1

=2 K

1

=2

K

2

=0 K

2

=1 K

2

=1 K

2

=2

1 C

12

=8 2 C

12

=10 3 13 4 15

Q

12

=3

⋅

10

-2

10

-2

1,4

⋅

10

-3

10

-3

0 5 1 8 9 9 11 10 14 11 16

Число K

3

10

-2

4

⋅

10

-2

2

⋅

10

-2

1,14

⋅

10

-2

1,1

⋅

10

-2

резервных 1 6 2 12 10 13 12 14 15 15 17

блоков 10

-4

3

⋅

10

-2

10

-2

1,5

⋅

10

-3

1,1

⋅

10

-3

к блоку 3 2 7 3 16 11 17 13 18 16 19 18

10

-6

3

⋅

10

-2

10

-2

1,4

⋅

10

-3

10

-3

Просматривая клетки 8-19, находим требуемый вектор состава системы,

удовлетворяющий условиям

2

103)(

−

⋅≤

i

tQ

и минимуму затрат. Этот вектор нахо-

дится в клетке 12 -

2

103)(

−

⋅=

i

tQ

и 10=

∑

C , при этом K

1

=1, K

2

=0, K

3

=1. Таким

образом, оптимальная схема передающего устройства имеет вид, приведенный на

рис. 4.4.

1

1р

2 3

3р

Рис. 4.4. Оптимальная схема пе

р

едающего

у

ст

р

ойства.

4 КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА ИС

4.1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Под контролем ИС понимают процессы, обеспечивающие обнаружение

ошибок в их функционировании, вызванных отказами аппаратуры, ошибками в

программах или другими причинами.

В сочетании с мерами по резервированию контроль является одним из самых

эффективных средств повышения надежности и достоверности обработки инфор-

мации.

Ошибки, возникающие в процессе функционирования цифровых систем,

можно рассматривать как композицию следующих потоков ошибок: проектиро-

Яковлев А.В. Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.