Яковлев А.В. Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, для нормального периода эксплуатации системы интенсив-

ность отказов остается постоянной и справедлива показательная модель надежно-

сти, время безотказной работы имеет экспоненциальный закон распределения.

Параметр потока отказов (средняя частота отказов) )t(ω – плотность ве-

роятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определенная для

рассматриваемого момента времени.

Если система состоит из n элементов, находящихся в нормальной эксплуата-

ции и работающих в одинаковых условиях, и в ней за время

наблюдалось m от-

казов, то параметр потока отказов будет составлять:

⋅

=ω

При

const)t(

=λ

средняя частота отказов const)t()t( ==λω .

1.3.2 ПОКАЗАТЕЛИ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ.

Вероятность восстановления в заданное время – вероятность того, что время

восстановления не превысит заданного.

Время, затрачиваемое на обнаружение и устранение отказов, является слу-

чайной величиной, зависящей от ряда факторов: квалификации обслуживающего

персонала, качества применяемых в системе испытательных программ, полноты

контроля и сигнализации и т.п. Закон распределения времени обнаружения и уст-

ранения отказов приближается к экспоненциальному.

Среднее время восстановления

– это математическое ожидание времени

восстановления работоспособности, т.е. времени, затраченного на поиск и устра-

нение неисправностей. Если на отыскание и устранение m отказов было затраче-

но время

m11

t,...t,t

, то среднее время восстановления объекта можно определить

как:

∑

iâ

(1.10)

Пример 1.1. Интенсивность отказов элемента

at)t( =λ

(1/ч). Определить

плотность распределения наработки до отказа )t(f .

Решение

В соответствии с выражением (1.6)

)t(P)t()t(f ⋅=λ

С другой стороны

dt)t(

)t(P

∫

−λ

, где

dt)t(

∫

; следовательно,

)t(P

−

. Таким образом,

eat

)t(f

⋅

−

Пример 1.2. Какова вероятность безотказной работы объекта в течение сред-

ней наработки до отказа

)t(P

, если плотность распределения наработки до отказа

)t(f

λ−

Решение

Искомая характеристика находится по формуле (1.7):













−=

∫

dt)t(exp)t(P

, где

∫

∞

)(

dttPt

С другой стороны

)t(

)t(f

)t(P

−

===

(1.6); следовательно,

37,0ee)t(P

dt)t(

∫

−

−λ

1.3.3 ПОКАЗАТЕЛИ ДОЛГОВЕЧНОСТИ.

Долговечность системы характеризуется ее наработкой от начала эксплуата-

ции до наступления предельного состояния. Эта наработка называется техниче-

ским ресурсом. Ресурс для каждого объекта может быть величиной случайной.

Долговечность ИС и ее элементов может оцениваться следующими показателями.

Средний ресурс – математическое ожидание ресурса.

Гамма-процентный ресурс – время, в течение которого объект не достигает

предельного состояния с заданной вероятностью γ процентов.

Назначенный ресурс – установленная в нормативно-технической документа-

ции суммарная наработка, при достижении которой дальнейшее применение сис-

темы по назначению следует прекратить независимо от ее технического состоя-

ния.

1.3.4 ПОКАЗАТЕЛИ СОХРАНЯЕМОСТИ.

В режиме хранения и (или) транспортирования, так же как и в режиме ис-

пользования, могут возникать отказы, поэтому сохраняемость характеризуется

показателями, аналогичными показателям безотказности: вероятностью невоз-

никновения отказов в течение заданного времени хранения (транспортирования),

средним временем хранения до отказа, интенсивностью отказов и параметром по-

тока отказов при хранении. Однако основным в эксплуатации системы является

применение, непосредственное ее использование по назначению, поэтому особое

значение приобретает оценка влияния хранения и транспортирования на после-

дующее поведение объекта в рабочем режиме. Показатели сохраняемости харак-

теризуют величину срока сохраняемости – календарной продолжительности хра-

нения (транспортирования) объекта в заданных условиях, в течение и после кото-

рой сохраняются значения заданных характеристик в установленных пределах.

Средний срок сохраняемости – математическое ожидание срока сохраняемо-

сти.

Гамма-процентный срок сохраняемости – срок сохраняемости, который бу-

дет достигнут объектом с заданной вероятностью γ процентов.

1.4 КОМПЛЕКСНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Обычно комплексные показатели надежности используются для совместной

оценки свойств безотказности и ремонтопригодности восстанавливаемых объек-

тов.

Коэффициент готовности – вероятность того, что восстанавливаемый объ-

ект окажется работоспособным в произвольный момент времени его использова-

ния по назначению:

ÂP

(1.11)

где

– суммарное время нахождения объекта в работоспособном состоянии;

– суммарное время восстановления объекта.

Формула (1.11) широко применяется в инженерной практике. Степень ее

приближения к истинному значению К

тем больше, чем больше интервал време-

ни, на котором определяется t

. Поток отказов и восстановлений при этом стано-

вится установившимся и К

приобретает стационарный характер.

Коэффициент готовности, как правило, учитывает свойства аппаратурной

безотказности и восстанавливаемости. Если под отказом понимать не только от-

каз аппаратуры, но любой отказ системы в выполнении заданных функций (в том

числе вызванный дефектами программного обеспечения, снижением достоверно-

сти и т.п.), тогда К

может выполнять роль комплексного показателя надежности

ИС, учитывающего и другие свойства системы. Поэтому при использовании ко-

эффициента готовности необходимо указывать, какие свойства объекта он

учитывает.

Коэффициент оперативной готовности – вероятность того, что объект, на-

ходясь в режиме ожидания, окажется работоспособным в произвольный момент

времени и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение задан-

ного времени:

),(

ÃÎÃ

⋅=

(1.12)

где P(t

) - вероятность безотказной работы на интервале заданного времени.

Коэффициент вынужденного простоя – вероятность того, что объект ока-

жется неработоспособным в произвольный момент времени в промежутках между

плановыми ремонтами:

.11

ÂP

ÃÂ

ÊK

−=−=

(1.13)

Коэффициент сохранения эффективности – это отношение показателя эф-

фективности реального с точки зрения надежности объекта к показателю эффек-

тивности того же объекта при условии его идеальной надежности:

ÝÔÔ

(1.14)

В качестве показателя эффективности может быть принята вероятность без-

отказной работы ЭВМ (в этом случае

ÎÃÝÔÔ

ÊÊ

) или пропускная способность

системы массового обслуживания.

Достоверность функционирования информационной системы – это свойство

производить безошибочно преобразование, хранение и передачу информации.

Показатель достоверности – либо вероятность искажения, либо потери ин-

формации в одном знаке. Примерами количественной оценки достоверности мо-

гут служить следующие:

• вероятность ошибки при передаче данных по линиям связи составляет 10

-3

- 10

-5

на один знак;

• вероятность ошибки при хранении информации на машинном носителе

составляет 2⋅10

-6

;

• вероятность ошибки в выходных данных АСУ специального назначения

не должна превышать 10

-10

- 10

-12

на один знак.

Отличительными чертами сложных систем (АСУ, ИС, ВС) являются: много-

канальность, т.е. наличие нескольких каналов, каждый из которых выполняет оп-

ределенную функцию, частную по отношению к общей задаче системы; много-

связность, т.е. большое количество функциональных связей между элементами

системы; наличие вспомогательных и дублирующих устройств.

В связи с перечисленными особенностями сложная система может находить-

ся в нескольких работоспособных состояниях, так как выход из строя некоторых

ее элементов не вызывает полного отказа системы, т.е. прекращения ею заданных

функций, но ухудшает в той или иной степени качество функционирования. Сле-

довательно, отказ элемента переводит систему из состояния с полной работоспо-

собностью в состояние с частичной работоспособностью.

Информационную систему можно характеризовать функциональной и эф-

фективной надежностью.

Функциональная надежность Р

– вероятность того, что система будет удов-

летворительно выполнять свои функции в течение заданного времени. Функцио-

нальная надежность отличается от определения надежности, данного во введении,

тем, что учитывает наличие в системе дополнительных схем контроля.

Эффективная надежность Р

– среднее значение (математическое ожида-

ние) величины, характеризующей объем и полезность выполняемых системой

функций в течение заданного времени по сравнению с ее предельными возможно-

стями. Введение понятия эффективной надежности обусловлено тем, что отдель-

ными показателями надежности не удается оценить функционирование сложной

системы. Сложная система кроме надежности каждого блока и всей системы ха-

рактеризуется еще относительной важностью потери тех или иных качеств. По-

этому под Р

понимается некоторая количественная мера, оценивающая качество

выполнения системой своих функций. В ряде случаев выполнение конкретной ча-

стной задачи с некоторой эффективностью требует работоспособности лишь час-

ти аппаратуры. С другой стороны, даже при полной работоспособности всех бло-

ков системы нельзя говорить о выполнении некоторой задачи как о достоверном

событии. Основная идея определения эффективной надежности заключается в

том, что учитывают не только внутренние свойства системы, но и качество ее

функционирования и выполнения задачи.

1.5 ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

Сложные системы состоят из более простых объектов (элементов). В зависи-

мости от характера влияния надежности элементов на надежность системы в це-

лом различают два типа соединений элементов – основное (последовательное) и

параллельное. Под последовательным соединением, с точки зрения надежности,

понимают такое, при котором отказ любого элемента приводит к отказу системы

в целом. Под параллельным соединением понимают такое, при котором отказ

системы наступает только при отказе всех ее элементов (отказ не наступает, если

работоспособен хотя бы один элемент).

1.5.1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ.

Пусть система состоит из n элементов, каждый из которых имеет определен-

ные характеристики надежности P

(t), Q

(t), λ

(t),

(средняя наработка до отказа).

Если аналогичные показатели надежности системы обозначить соответственно

через P(t), Q(t),

(t)

то можно получить следующие расчетные зависимо-

сти:

Из определения последовательного соединения элементов

следует,

что

вероятность безотказной работы:

() () () () ()

tPtPtPtPtP

∏

=⋅⋅⋅= K

(1.15)

Вероятность отказа системы равна

∏∏

−−=−=−=

tQtPtPtQ

)]

(1[1)(1)(1)(

(1.16)

3. Интенсивность отказов системы найдем из соотношения:

,)()(

)]([

)(

∫

∑

∫

−

∏

dtt

etPetP

λλ

откуда

).()(

∑

=λλ

(1.17)

В случае постоянной интенсивности отказов [λ(t)=λ=const]:

,)()(

etPetP













−

∑

===

∏

откуда

∑

λλ

(1.18)

Если разложить функцию P(t) в ряд и учесть только два первых члена

разложения, получим:

.11

)(

1)(

∑

−

⋅−=−≈+−≈=

tetP λλ

(1.19)

4. Средняя наработка системы до отказа (λ=const):

)(

∫∫

∑

∞∞

−

∑

dtedttPt

(1.20)

1.5.2 ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ.

1. Из определения параллельного соединения элементов вероятность отказа

системы равна:

.)()()()()(

∏

=⋅⋅⋅=

tQtQtQtQtQ

(1.21)

2. Вероятность безотказной работы системы:

()

.)(1)](1[1)(1

ttPtQtP λ−≈−−=−=

∏∏

(1.22)

Допустим, что все элементы одинаковы, находятся в одинаковых условиях

эксплуатации и λ

(t)=λ

=const. Тогда:

;

)1(1

)1(

)(

])1[(

)(

;)1(1)(

;)1()(

∑

−

−−

⋅⋅−

′

−

===

−−=

−=

een

etP

etQ

λλ

(1.23)

Эти выражения позволяют сделать вывод о том, что при параллельном со-

единении элементов надежность системы выше, чем надежность составляющих ее

элементов.

Пример 1.3. Система состоит из n параллельно соединенных равнонадежных

подсистем, вероятность безотказной работы каждой из которых

9.0)(

−

etP

Определить потребную кратность резервирования, чтобы вероятность безот-

казной работы системы была не ниже P

=0,99.

Решение:

.)](1[1)(

ñèñò

tPtP

−−=

При параллельном соединении элементов

99.0)](1[1

≥−−

откуда

99.01.01

≥−

или

1.001.0

≥

откуда

01.0log

1.0

≥

т.е.

1.0

01.0ln

≥≥

Пример 1.4. Вычислительное устройство состоит из рабочего блока, блока,

находящегося в нагруженном резерве и автоматического переключающего уст-

ройства (ПУ). Интенсивность отказов каждого блока λ=10

-2

1/ч. Отказы ПУ могут

быть двух видов: а) отказы, приводящие к нарушению работы всего вычислитель-

ного устройства, с интенсивностью λ

=10

-4

1/ч; б) отказы, приводящие к невоз-

можности подключения резервного блока, с интенсивностью λ

= 10

-2

1/ч. Требу-

ется определить вероятность безотказной работы устройства в течение наработки

t=2 ч.

Решение

1.Составим логическую схему работоспособности устройства:

2. На основании логической схемы составим уравнение для определения

вероятности безотказной работы всей системы, учитывая, что схема имеет сме-

шанное соединение элементов

λ−

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

{

}

()

[]

()

[]

{}()()

[]

()( )

[]

2121

)(

11111111

111111)(

2121

tttttt

eeeeeeetP

λλλλ

λλλλλλλλ

λλ

+−−=

=+−−=++−+−−−=

=−⋅−−=−⋅−−=

+−

−

−−

−

т.е

.999,0]4)102(101[)1021(),0(

224

=⋅⋅⋅−⋅⋅−=

−−−

Резервный блок

Рабочий блок

=−×−−=

⋅+−

⋅−

]}1[]1[1{)(

)(

eeetP

λλ

=⋅++−×⋅+−−⋅⋅−=

])(11[]11[1{)1(

ttt

λλλλ

=⋅+⋅⋅−⋅⋅−=

])(1[)1(

ttt

λλλλ

].)(1[)1(

⋅+⋅−⋅⋅−λλλλ

Вероятность безотказной работы вычислительного устройства в течение

наработки (0, 2) ч равна:

Выводы

1. Показатели надежности сложного объекта типа АСУ или ИС имеют харак-

тер системы показателей. Чем большее число показателей надежности системы

определяется при анализе ее надежности, тем более подробным становится этот

анализ. Вместе с тем перечень используемых показателей надежности должен

быть не просто максимально полным, но и целесообразным, т.е. отвечающим за-

даче объективной характеристике требуемых свойств объекта.

2. В системе показателей надежности необходимо выделять основные и

вспомогательные. Для объектов, сложных по своей структуре, многофункцио-

нальных по решаемым задачам, используемых в различных рабочих режимах, к

основным показателям надежности относятся комплексные показатели надежно-

сти.

3. Количественные значения показателей надежности следует задавать с уче-

том двух противоречивых требований: с одной стороны показатель надежности

должен быть не ниже уровня, обеспечивающего требуемую эффективность, с дру-

гой стороны, он не должен превышать уровня, который может быть обеспечен

возможностями производства.

Задача проектирования системы заключается в том, чтобы выбором принци-

пиальной схемы, алгоритма и средств обеспечения надежности выполнить эти два

противоречивых требования. Для этого необходим всесторонний анализ возмож-

ных вариантов решения поставленной задачи с привлечением моделирования и

численных методов расчета.

4. Дальнейшее совершенствование показателей надежности современных

сложных систем продолжает оставаться актуальной задачей. Важнейшими на-

правлениями совершенствования являются внедрения показателей надежности,

учитывающих индивидуальную надежность конкретных объектов; показателей

надежности, учитывающих влияние надежности на эффективность, влияние про-

граммного обеспечения, человеческого фактора, живучести и достоверности.

2 ОСНОВЫ РАСЧЕ ТОВ НАДЕЖНОСТИ

2.1 ОБЛАСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАСЧЕТОВ НАДЕЖНОСТИ

Расчеты надежности имеют своей целью получение количественных значе-

ний показателей надежности исследуемого объекта. Эти расчеты стали обязатель-

ным элементом на всех этапах разработки, создания и использования технических

систем.

При анализе надежности системы основную трудность представляет составле-

ние структурной схемы расчета и аналитических (расчетных) формул. Если они

имеются (например, взяты из справочника), то расчет не представляет затрудне-

ний и получает преимущества перед другими способами исследования надежно-

сти.

Существующие в настоящее время расчетные формулы получены при боль-

шом числе ограничений (допущений). Наиболее часто такими ограничениями яв-

ляются:

• обязательность экспоненциального распределения времени до отказа

объекта и времени восстановления его работоспособности;

• исследуемые процессы – марковские, исследуемые потоки событий –

простейшие;

• при расчетах учитываются только средние значения показателей надежно-

сти.

На этапе эскизного проектирования расчет надежности производится с це-

лью прогнозирования ожидаемых показателей надежности.

На этапе технического проектирования результаты расчетов надежности

используются для обоснования выбора технических средств, входящих в систему,

а также для выбора способов резервирования, контроля и диагностики, обоснова-

ния структуры системы, требований к надежности комплектующих элементов и

программному обеспечению.

На этапе испытаний системы расчеты надежности проводятся с целью оп-

ределения соответствия показателей надежности испытуемой системы заданным

требованиям.

На этапе эксплуатации системы расчеты надежности используются для вы-

бора и обоснования состава и объема запасных изделий взамен отказавших, а

также для обоснованного планирования профилактического обслуживания.

2.2 ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ

СОБЫТИЙ

В работах по исследованию и обеспечению надежности большое место зани-

мают статистические методы исследований и вероятностные оценки надежности.

Это обусловлено тем, что события и величины, используемые в теории надежно-

сти, носят, как правило, случайный характер. Отказы объектов вызываются боль-

шим числом причин, связь между которыми установить не возможно, поэтому от-

казы изделий принадлежат к категории случайных событий. Время до возникно-

вения отказа может принимать различные значения в пределах некоторой области

возможных значений и принадлежит к категории случайных величин.

Случайное событие – это событие, которое может появиться или не появить-

ся в результате данного опыта.

Вероятность случайного события – это количественная характеристика слу-

чайного события. Она представляет собой теоретическую частоту событий, около

которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события

при повторении опыта в данных условиях.

Частота случайного события – статистическая вероятность события – от-

ношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.

Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории

надежности, являются:

• событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t объект

непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого

события обозначается P(t);

• событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t изде-

лие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события

обозначается Q(t);

• событие, заключающееся в том, что работоспособная к моменту времени t

система перейдет за время

t∆

из состояния работоспособности (состояние

1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события

)()()(

tPtPttP

∆⋅=∆+

→

(2.1)

Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последователь-

ности, образуют поток случайных событий.

Ординарный поток событий - поток, при котором вероятность попадания

двух событий на один и тот же малый участок времени

t∆ пренебрежительно ма-

ла (в один и тот же момент времени может произойти только одно событие).

Поток без последействия - поток, при котором будущее развитие процесса

появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом.

Стационарный поток - поток, параметры которого не зависят от времени,

т.е. плотность потока событий (среднее число событий в единицу времени) явля-

ется постоянной.

Поток, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия

последействия, называется простейшим потоком или стационарным пуассонов-

ским потоком.

Нестационарный пуассоновский поток - это поток, обладающий свойством

ординарности и отсутствием последействия, но не обладающий свойством ста-

ционарности.

Простейший поток находит широкое применение в теории надежности ввиду

следующих факторов:

• имеется предельная теорема, согласно которой сумма большого числа не-

зависимых потоков с любыми законами распределения приближается к

простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков;

• практика исследования потоков отказов, потоков восстановлений и других

потоков, имеющих место при исследовании надежности, подтверждает

обоснованность предположений о широкой распространенности простей-

ших потоков.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может прини-

мать то или иное значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть

либо дискретной (число отказов за время t, число отказавших изделий при испы-

таниях заданного количества образцов и т.п.), либо непрерывной (время работы

объекты до отказа, время восстановления работоспособности). Исчерпывающее