Втюрин В.А. Автоматизированные системы управления технологическими процессами

Подождите немного. Документ загружается.

Практическая работа № 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕГРЕССИИ

(АППРОКСИМАЦИИ) СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Цель работы

─ определить функции регрессии

(аппроксимации) и оценить значение непрерывной выходной

переменной по значениям входных переменных.

Регрессия

─ зависимость среднего значения какой-либо величины от

некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто

функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой

переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при

регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в

зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом

значении х = x

наблюдается n

, значений y

, ...,y

величины у, то зависимость

средних арифметических от x

и является регрессией в статистическом

понимании этого термина.

( ... )

i in

y y

(10.1)

Обработка данных в графическом окне Matlab

В позиции

Tools

графического окна имеется две команды для обработки

данных графиков прямо в графическом окне:

•

Basic Fiting

─ основные виды аппроксимации (регрессии);

•

Data Statistics

─ статистические параметры данных.

Команда

Basic Fiting

открывает окно, дающее доступ к ряду видов

аппроксимации и регрессии: сплайновой, эрмитовой и полиномиальной со

степенями от 1 (линейная аппроксимация) до 10. В том числе со степенью 2

(квадратичная аппроксимация) и 3 (кубическая аппроксимация).

Команда

Data Statistics

открывает окно с результатами простейшей

статистической обработкой данных. Данные для получения регрессии можно

взять из работы № 7 или получить другим путем.

Методический пример полиномиальной регрессии

Пусть некая зависимость y(x) задана векторами координат ее точек (точки

получены в соответствии с формулой (10.1)):

>> X=[45 55 65 75 85 95 105 115];

>> Y=[38.6 39.9 41.2 42.5 43.8 45.1 46.4 47.7];

>> plot(X,Y,'o');

Рис. 10.1 показывает пример выполнения регрессии (аппроксимации).

Рис. 10.1. График регрессии (аппроксимации)

Чтобы выбрать вид регрессии, необходимо исполнить команду

Tools ►

Basic Fitting

и получить окно регрессии (на рис.10.2 справа).

Рис. 10.2. Пример обработки табличных данных в графическом окне

В этом окне птичкой отмечены три вида полиномиальной регрессии

(линейная, квадратичная, кубическая).

Установка птички у параметра Show equations выводит в графическом

окне записи уравнений регрессии.

По команде Tools Statistics выводится окно с рядом статистических

параметров для данных, представленных векторами X и Y. Отметив птичкой

тот или иной параметр в этом окне (оно показано на рис. 10.3. справа окна

графики), можно видеть соответствующие построения на графике, например

вертикалей с минимальным, средним, срединным и максимальным значением

y и горизонталей с минимальным, средним, срединным и максимальным

значением x.

Оценка погрешности регрессии (аппроксимации)

Из рис. 10.2. можно видеть идеальное совпадение линий регрессии для

всех трех случаев.

Но есть средства обработки данных из графического окна, которые

позволяют строить столбиковый или линейчатый график погрешностей в

узловых точках и наносить на эти графики норму погрешности и чем она

меньше, тем точнее аппроксимация

Рис. 10.3. Пример получения статистических данных о графике

Рис. 10.4. Пример вывода данных обработки со столбцовым графиком погрешности

Для вывода графика погрешности надо установить птичку в окне Show

equations, а потом Plot residuals и в меню ниже этой опции выбрать тип

графика ─ см. рис. 10.4.

Рис.10.5. Пример обработки данных с выводом графиков погрешностей в отдельном окне

На рис. 10. 5. приведены данные по полиномиальной аппроксимации

степени 1, 2, 3 и 7. Последний случай предельный, поскольку максимальная

степень полинома должна быть на 1 меньше числа точек (их 8). Рис. 10. 5

демонстрирует построение графика погрешности отрезками линий. Кроме

того, опцией Separate figure (Разделить фигуры) задано построение графика

погрешности в отдельном окне ─ оно расположено под графиком узловых

точек и функций аппроксимации.

Таким образом, интерфейс графического окна позволяет выполнить

эффективную обработку данных наиболее распространенными способами.

Расширенные возможности окна приближения кривых

На рис. 10.5 окно приближения кривых Basic Fitting представлено в

упрощенном виде. В левом нижнем углу есть кнопка с жирной стрелкой →,

которая указывает на возможность расширения окна до двух и даже трех

панелей. На рис. 10. 6 показано расширенное до трех панелей окно Basic Fitting.

Первая панель для задания приближения и вывода данных о погрешности

уже была описана. Вторая панель Numerical Results (Численные результаты)

содержит список приближений, в котором можно задать выбранное

приближение, кубическое, если задана позиция списка cubic. После выбора

типа приближения для него выводятся выражения для приближения,

значения коэффициентов и значение нормы.

В третьей панели Find Y=f(X) для выбранного приближения кривой можно

найти Y по заданным значениям X. Соответствующие точки Y(X) помечаются

на графике жирными ромбами ─ см. рис. 10.7. Пример для задания вектора X

= 40:10:120.

Рис.10.6.

Окно

Basic Fitting с тремя панелями

Рис. 10.7.

Результаты приближения с указанием заданных точек графика кубического

приближения и выводом данных о погрешности

Содержание отчета

1. Построить линию регрессии.

2. Получить основной вид регрессии и ее статистические параметры.

3. Оценить погрешность регрессии.

4. Рассмотреть расширенные возможности приближения кривых.

Контрольные вопросы

1. Что такое регрессия?

2. Как определяются уравнения регрессии?

3. Как определяется оценка погрешности регрессии?

4. Чем определяется максимальная степень полинома?

Приложения

Приложение 1

Плотность перегретого пара, кг/м

t °С Р,

МПа

170 180 190 200 210 220 230 240 250 260

0,392

1,973

1,925

1,878

1,835

1,793

1,754

1,7:17

1,682

1,647

1,615

0,412

2,074

2,024

1,974

1,929

1,885

l,844 1,804 1,767

1,731

1,697

0,431

2,177

2,123

2,071

2,023

1,977

1,933

1,892 1,852

1,815

1,779

0,450

2,279

2,222

2,168

2,117

2,069

2,023

1,979 1,938

1,898

1,861

0,470

2,382

2,321

2,265

2,211

2,161

2,113

2,067 2,024

1,982

1,943

0,490

2,485

2,421

2,362

2,306

2,253

2,203

2,155 2,110

2,066

2,025

0,539

2,744

2,673

2,606

2,544

2,484

2,428

2,375 2,325

2,277

2,231

0,588

3,007

2,926

2,852

2,783

2,717

2,655

2,597 2,541

2,488

2,438

0,637

3,271

3,182

3,100

3,022

2,951

2,883

2,820 2,759

2,701

2,646

0,686

3,537

3,440

3,349

3,266

3,187

3,113

3,044 2,978

2,914

2,855

0,735

3,807

3,700

3,601

3,510

3,425

3,344

3,268 3,196

3,128

3,064

0,784

4,078

3,962

3,855

3,756

3,663

3,575

3,493 3,415

3,343

3,274

Приложение 2

Динамическая вязкость пара µ•10-

Па•с

Давление, МПа

Температура,

°С

0,098 0,49 0,98 1,96

160 1,46 1,44 16,95 16,97

170 1,50 1,48 15,85 16,87

180 1,54 1,52 1,51 14,95

190 1,58 1,56 1,54 14,10

200 1,63 1,61 1,60 13,40

210 1,66 1,65 1,63 12,75

220 1,71 1,70 1,67 1,68

230 1,75 1,73 1,70 1,67

240 1,79 1,78 1,77 1,75

250 1,82 1,81 1,80 1,78

260 1,86 1,85 1,84 1,83

270 1,90 1,90 1,89 1,88

Приложение 3

Модуль т и коэффициент расхода для стандартной диафрагмы

D = 50 мм D =100 мм D = 200 мм D = 300 мм

α та а та а та а та

0,05 0,6126 0,03063 0,6090 0,03045 0,6041 0,03021 0,6008 0,03004

0,10 0,6162 0,06162 0,6118 0,06118 0,6069 0,06069 0,6034 0,06034

0,15 0,6219 0,09328 0,6169 0,09253 0,6117 0,09176 0,6084 0,09126

0,20 0,6293 0,1259 0,6238 0,1248 0,6183 0,123 0,6150 0,1230

0,25 0,6385 0,1596 0,6325 0,1581 0,6267 0,1567 0,6238 0,1560

0,30 0,6492 0,1948 0,6428 0,1928 0,6368 0,1910 0,6340 0,1902

0,35 0,6517 0,2316 0,6550 0,2292 0,6488 0,2271 0,36459 0,2261

0,40 0,6764 0,2706 0,6695 0,2678 0,6631 0,2652 0,6600 0,2640

0,45 0,6938 0,3122 0,6863 0,3088 0,6798 0,3059 0,6764 0,3044

0,50 0,7134 0,3567 0,7056 0,3528 0,6987 0,3493 0,6950 0,3475

0,55 0,7355 0,4045 0,7272 0,4000 0,7201 0,3960 0,7160 0,3938

0,60 0,7608 0,4565 0,7521 0,4513 0,7445 0,4467 0,7398 0,4439

0,65 0,7909 0,5141 0,7815 0,5080 0,7733 0,5026 0,7679 0,4992

0,70 0,8270 0,5769 0,8169 0,5718 0,8079 0,5655 0,80I9 0,56l4

Приложение 4

Удельный объем пара v

Температура t °C

р,

кПа

170 180 190 200 210 220 230 240 250 260

196

1,0085 1,0326

1,0570

1,0800

1,104

1,128

1,152 1,175

1,199

1,222

245

0,8038 0,8233

0,8427

0,8620

0,8812

0,9004

0,9194

0,9384

0,9574

0,9763

294

0,6674 0,6838 0,7002

0,7164

0,7325

0,7486

0,7646

0,7805

0,7964

0,8123

343

0,5704 0,5817 0,5988

0,6128

0,6268

0,6407

0,6545

0,6683

0,6820

0,6956

392

0,4967 0,5094

0,5219

0,5343

0,5466

0,5588

0,5710

0,5831

0,5952

0,6072

441

0,4490 0,4514

0,4626

0,4738

0,4849

0,4959

0,5067

0,5176

0,5283

0,5570

490

0,3942 0,4046

0,4148

0,4250

0,4350

0,4450

0,4548

0,4646

0,4744

0,4841

539

0,3569 0,3665

0,3759

0,3852

0,3944

0,4036

0,4126

0,4216

0,4305

0,4394

588

0,3258 0,3347 0,3434

0,3521

0,3606

0,3690

0,3774

0,3857

0,3939

0,4021

637

0,2994 0,3078

0,3160

0,3240

0,3320

0,3398

0,3476

0,3553

0,3629

0,3705

686

0,2768 0,2847

0,2924

0,2999

0,3074

0,3147

0,322 0,3292

0,3363

0,3434

735

0,2572 0,2646

0,2719

0,2791

0,2861

0,2930

0,2998

0,3066

0,3133

0,3200

784

0,2411 0,2471

0,2540

0,2608

0,2675

0,2740

0,2805

0,2869

0,2932

0,2995

Приложение 5

Градуировочные характеристики термоэлектрических термометров

Температура, ° С

Градуировка

0 20 40 50 60 80 100 200 300

ХК 0 1,31 2,66 3,35 4,05 5,48 6,95 14,66 22,91

ХА 0 0,80 1,61 2,02 2,43 3,26 4,10 8,13 12,21

ПП-1 0 0,112 0,234 0,299 0,364 0,50 0,643 1,436 2,314

Приложение 6

Градуировочные характеристики термометров сопротивления

Температура, ° С

Градуировка

- 50 0 20 40 50 60 80 100

50П 39,99 50,0 53,96 57,90 59,85 61,81 65,69 69,56

гр. 21 36,80 46,0 49,64 53,26 55,06 56,86 60,43 63,99

гр. 22, 100П 80,00 100,0 107,91 115,78 119,70 123,60 131,37 139,18

50М 39,24 50,0 54,28 58,56 60,70 62,84 67,12 71,40

гр. 23 41,71 53,0 57,52 62,03 64,29 66,55 71,06 75,58

гр. 24,100М 78,70 100,0 108,52 117,04 121,3 125,56 134,08 142,62

Приложение 7

Градуировочные таблицы основных промышленных термопар при температуре

холодных спаев 0º С

Градуировка

ТПП ТХА ТХК

Температура

Т, Сº

термо-

ЭДС,

мВ

поправочный

коэффи-

циент

термо-

ЭДС,

мВ

поправочный

коэффи-

циент

термо-

ЭДС,

мВ

поправочный

коэффи-

циент

0 0 0 0

1,0 1,0 1,0

100 0,640 4,10 6,95

0,82 1,0 0,9

200 1,421 8,13 14,66

0,72 1,0 0,83

300 2,311 12,21 22,91

0,69 0,98 0,81

400 3,244 16,40 31,49

0,66 0,98 0,83

500 4,211 20,65 40,16

0,63 1,0 0,79

600 5,214 24,91 49,02

0,62 0,96 0,78

700 6,251 29,15 57,77

0,60 1,0 0,80

800 7,323 33,32 66,42

0,59 1,0 0,80

900 8,429 37,37 -

0,56 1,0 -

1000 9,569 41,32 -

0,55 1,07 -

1100 10,745 45,16 -

0,53 1,11 -

1200 11,954 48,87 -

0,51 1,16 -

1300 13,158 52,43 -

Приложение 8

Градуировочные таблицы проволочных терморезисторов платиновых

Температура Т, Сº ТСП 50П ТСП 100П

0 50 100

50 59,855 119,71

100 69,745 139,1

150 79,11 158,22

200 88,515 177,03

250 97,775 195,55

300 106,89 213,78

350 115,855 231,71

400 124,68 249,36

450 133,355 267,71

500 141,88 283,76

550 150,255 300,51

600 158,48 333,10

700 174,465 348,93

750 182,235 364,47

800 189,86 379,72

850 197,335 394,67

900 204,665 409,33

950 211,85 423,70

1000 218,89 437,78