Вольдек А.И. Электрические машины

Подождите немного. Документ загружается.

Гл. 14] Схема замещения и ее параметры

271

допущению, что во время цикла перемагничивания ц, L и Л) по-

стоянны. Влияние насыщения сердечника при этом можно учесть,

принимая в расчет при разных режимах работы трансформатора,

при разных амплитудах потока сердечника, значения р,, L и М

для данного режима работы. В соответствии с изложенным будем

полагать, что р,, L и М постоянны.

Рассмотрим индуктивности и индуктивные сопротивления обмо-

ток, обусловленные магнитным потоком сердечника Ф

, все силовые

линии которого полностью замыкаются по замкнутому сердечнику

и поэтому сцепляются со всеми витками первичной и вторичной

обмоток (рис. 14-1).

Пусть поток Ф

создается током пер-

вичной обмотки i

когда ток вторичной

обмотки t

= 0. Величины Ф

и г\ могут

быть известны, например, из данных рас-

чета магнитной цепи или из опыта. Тогда

собственная индуктивность первичной об-

мотки от потока в сердечнике

-cl

t4'i®

(14-1)

Величину L

можно выразить также

через магнитное сопротивление сердечника

(14-2)

Рис. 14-1. Магнитные по-

токи трансформатора прн

одностороннем намагничи-

вании (i

= 0)

где t

, S

и соответственно означают длину, площадь сечения и

магнитную проницаемость k-ro участка магнитной цепи. При этом

Ф,=£- =

М.с

(14-3)

и после подстановки этого значения Ф

в выражение (14-1) получим

L^wMR^. (14-4)

Отметим, что величина R^ также может быть определена по

данным расчета магнитной цепи или из данных опыта по соотноше-

нию (14-3).

Аналогично индуктивность вторичной обмотки от потока сер-

дечника

= wl/R^, (14-5)

а взаимная индуктивность первичной и вторичной обмоток от

потока сердечника

= (14-6)

А|1

Картина магнитного поля, замыкающегося целиком по сердеч-

нику, одинакова независимо от того, какой из обмоток это полз

создается. Поэтому и магнитное сопротивление потоку Ф

одина-

ково для поля обеих обмоток и в равенства (14-4), (14-5) и (14-6)

входит одинаковая величина Вследствие этого также

= = (14-7)

Кроме потока Ф

, ток первичной обмотки t'i создает также поток

в1

(рис. 14-1), силовые линии которого замыкаются частично по

воздуху или через трансформаторное масло. Потокосцеплениям

ЧГ

в1

и Y

b12

этого потока с первичной и вторичной обмотками соот-

ветствует собственная индуктивность первичной обмотки

i-sl

—

^Bl/'l

и взаимная индуктивность двух обмоток

Мв18 =*=

Точно так же при питании вторичной обмотки током «

соз-

дается Поток Ф

в2

, замыкающийся частично по воздуху. Потоко-

сцеплениям и Y

B31

этого потока с вторичной и первичной обмот-

ками соответствует собственная Индуктивность вторичной обмотки

= ^rtfi2

и взаимная индуктивность двух обмоток

Мв21

= Y

I/'2.

При этом

Мшп

= М

я21

= М

Поля потоков Ф

в1

и Ф

в8

имеют гораздо более сложный характер,

чем поле потока Ф

. Отдельные магнитные линии этих потоков

сцепляются с неполными и разными количествами витков первичной

и вторичной обмоток. Поэтому в отличие от L

[см. соотношения

(14-7)1

(14-8)

Полные собственные индуктивности первичной и вторичной

обмоток

^-и

^ci + Ь

—

+ (14-9)

и полная взаимная индуктивность

М = М

+ М

. (14-10)

Первые слагаемые равенств (14-9) и (14-10) значительно больше

вторых, так как потоки через воздух относительно малы.

Понятие об электромагнитном рассеянии. Полнота электро-

магнитной связи двух индуктивно связанных цепей характери-

зуется коэффициентом связи этих цепей

(14-11)

Как известно из курса теоретических основ электротехники,

в реальных, условиях всегда с < 1.

Если бы в трансформаторе отсутствовали потоки Ф

в1

и Ф

вг

замыкающиеся по воздуху, то L

= L

, L

= L

, M = M

, и

в этом случае в соответствии с равенствами (14-4), (14-5), .(14-6) и

(14-11)

VLa.Lt»

Таким образом, неполнота электромагнитной связи в транс-

форматоре, выражаемая неравенством с < 1, обусловлена нали-

чием потоков Ф

в1

и Ф

в2

или, точнее, неодинаковым их сцеплением

с обеими обмотками. Условие с = 1 было бы достигнуто только

в том случае, если бы .удалось полностью совместить первичную

и вторичную обмотки, что* фактически невозможно.

Явление неполной электромагнитной связи называется элек-

тромагнитным рассеянием.

Наряду С соотношением (14-11) целесообразно ввести в рас-

смотрение коэффициент электромагнитного

рассеяния

(14-12)

Чем меньше с и чем больше а, тем больше рассеяние.

Ввиду того что явление рассеяния обусловлено неодинако-

востью или неполнотой сцепления потоков Ф

в1

и Ф

в2

, проходящих

по воздуху, с обеими обмотками, эти потоки называют часто также

потоками рассеяния, однако это название до некоторой степени

условно, так как потоки Ф

в1

и Ф

в2

обусловливают также явление

взаимной индукции, поскольку М„ ф 0. Kai^ будет выяснено

ниже, степень неполноты электромагнитной связи, или величина

электромагнитного рассеяния, оказывает большое влияние на многие

технические показатели и характеристики трансформаторов и

вращающихся электрических машин.

В трансформаторах с ферромагнитным сердечником потоки

Ф„1 и Ф

в2

относительно малы.

Поэтому электромагнитная связь в трансформаторах весьма

высока, а рассеяние мало.

В силовых трансформаторах, например, с = 0,998 -г- 0,9995 и

соответственно а = 0,001 0,004.

Вследствие этого значение о, определяемое по формуле

(14-12), представляет собой разность весьма близких величин и

вычисление а по этой формуле связано с весьма большими по-

грешностями, так как L

, [„иМв практических устройствах

не могут быть рассчитаны или определены из опыта с достаточ-

ной степенью точности. Поэтому возникает необходимость в не-

посредственном определении параметров, характеризующих элек-

тромагнитное рассеяние.

§ 14-2. Уравнения напряжения трансформатора

Рабочий процесс трансформатора можно исследовать на основе

уравнений напряжения его обмоток.

Емкостные токи между элементами обмоток (витки и ка-

тушки) и между обмотками и сердечником трансформатора в обыч-

ных условиях работы трансформаторов

(/ < 1000 -f- 5000 гц) весьма малы, и ими

можно пренебречь. В трансформаторах без

ферромагнитного сердечника L

, L

и М

постоянны. В соответствии с изложенным

в § 14-1 можно принять, что эти величины

постоянны также для любого рассматри-

ваемого режима работы трансформатора

со стальным сердечником. Пренебрежем

сначала магнитными потерями в сердеч-

нике. Тогда для однофазного двухобмо-

точного трансформатора (рис. 14-2) действительны следующие

уравнения напряжения в дифференциальной форме:

Рис. 14-2. Схема одно-

фазного двухобмоточного

трансформатора

(14-13)

Здесь «j, щ, i

— мгновенные значения напряжения и тока

первичной и вторичной обмоток; г

, L

, /^22 — активные сопро-

тивления и собственные индуктивности обмоток; М — взаимная

индуктивность обмоток.

На схеме рис. 14-2 указаны положительные направления и

и t, причем стрелка и направлена от точки с высшим потенциалом

к точке с низшим потенциалом.

При составлении уравнений (14-13) первичная обмотка рассмат-

ривается как приемник, а вторичная — как источник электрической

энергии, и сами эти уравнения истолковываются следующим обра-

зом.

Первичное напряжение и

является приложенным, расходуется

на падение напряжения и уравновешивание э. д. с. первичной

обмотки

и состоит поэтому из двух составляющих: r

i^ и — е

что и выра-

жается первым уравнением (14-13). Вторичное напряжение и

воз-

никает вследствие индуктирования-во вторичной обмотке э. д. с.

что соответствует второму уравнению (14-13). В уравнениях (14-13)

считается, что Л1 > 0 и положительные токи и t

создают в сер-

дечнике потоки одинакового направления.

Отметим, что в правой части второго уравнения (14-13) можно

было бы изменить знаки на обратные. Тогда и

следовало бы трак-

товать как напряжение, приложенное к вторичной обмотке

со стороны вторичной сети. Некоторые, в особенности ино-

странные, авторы применяют также и эту последнюю форму

записи.

Обычно силовые трансформаторы, а также ряд видов специаль-

ных трансформаторов работают с синусоидально изменяющимися

токами и напряжениями. В этом случае вместо дифференциальных

Уравнений (14-13) удобнее пользоваться комплексными уравнениями

Для действующих значений токов и напряжений. Для получения

этих уравнений в уравнения (14-13) следует подставить

и поэтому

—

Т g/g.

Uj,

= V2

= V? и

= V2

= У 2

и после дифференцирования сократить уравнения на множитель

Y2e

. Тогда будем иметь

= rJt + jx

i i + jx

; (14 14)

— и

= rJi + jXiJ

+ ]X

i i,

где

= (oL

; x

= <oZ.

; x

= coM (14-15)

представляют собой полные собственные и взаимные индуктивные

сопротивления обмоток.

При симметричной нагрузке трехфазных трансформаторов элек-

тромагнитные процессы протекают во всех фазах одинаково и соот-

ветствующие электромагнитные величины в каждой фазе также-оди-

наковы и лишь сдвинуты по фазе на 120°. Некоторая несимметрия

магнитной цепи трехстержневого трансформатора, а также появле-

ние в ряде случаев (см. § 13-1) третьих гармоник потока обычно не

оказывают заметного влияния на работу трансформатора под

нагрузкой. К тому же эти явления при необходимости можно учесть

отдельно. По этим причинам уравнения (14-14) с большой точность^

применимы также для фазных величин трехфазного трансформатор»

при симметричной его нагрузке. Система уравнений (14-14)-не учи*

тывает лишь потерь в стали сердечника трансформатора. Учет эти<

потерь будет рассмотрен отдельно.

Для трехфазного трансформатора в соответствии со сказанным

выше Ui, U

, и /

представляют собой фазные значения напря-

жений и токов.

Уравнения (14-13) и (14-14) полностью определяют процессы

происходящие в трансформаторе при указанных выше допущениях

и позволяют решать задачи, связанные с работой трансформатора

Например,, если определить из первого уравнения (14-14) /

и под

ставить его значение во второе уравнение (14-14), то получим зави

сирость вторичного напряжения (У

от тока нагрузки 1%:

- (,,+J

Первый член правой части выражения (14-16) определяет вели-

чину 0

= О

о при холостом ходе, т. е. при 1

*= 0:

а второй член — падение напряжения на вторичных зажимах npij

нагрузке.

Из уравнения (14-16) можно найти также величину вторичного

тока короткого замыкания /

= Д

> когда вторичная обмотка замк-

нута накоротко и О

= 0:

(14-18)

Однако на практике расчеты по формулам, получаемым непо-

средственно из уравнений (14-13) и (14-14), и в частности по фор-

мулам (14-16) и (14-18), не могут быть выполнены с необходимой

точностью. Причина этого заключается в том, что входящий в

(14-16) и (14-18) множитель

J О'*!»)

(ri

+ lx

)(r*-\- Ы

представляет собой разность двух весьма близких величин. В этом

можно убедиться, если пренебречь весьма малыми по сравнению

с х

и х

величинами г

и г

. Тогда вместо приведенной выше формы

этого множителя получим

т. е. величину коэффициента рассеяния согласно равенству (14-12).

Но как уже указывалось выше, определение ст по расчетным или

опытным значениям М, L

и L

связано с большой погрешностью.

Таким образом, если положить г

= г

= 0, то вместо (14-16)

и (14-18) получим соответственно

Оt = -

- jox

= O

- jax

;

Из этих соотношений вйдно, что такие важные с эксплуа-

тационной точки зрения величины, как падение напряжения

и ток короткого замыкании, определяются небольшой долей а

полного индуктивного сопротивления дг

, обусловленной элек-

тромагнитным рассеянием. Это же можно сказать и о ряде дру-

гих величий, характеризующих эксплуатационные свойства

трансформаторов и вращающихся электрических машин. По-

этому определение величин, характеризующих электромагнитное

рассеяние, составляет важную задачу теории электрических

машин.

Кроме указанных соображений о точности результатов, расчеты

на основе уравнений (14-13) и (14-14) неудобны также в связи с тем,

что ввиду неравенства чисел витков (w

) параметры r

Ьи- L

, М, Х

, х

, а также напряжения и

щ, U

и токи

'1. hi h< h сильно различаются по величине.

В связи с изложенным теорию электрических машин в отно-

шении рассматриваемых вопросов целесообразно развить в сле-

дующих тесно связанных друг с другом направлениях:

1. Индуктивно связанные обмотки приводятся путем-соответ-

ствующих пересчетов к одинаковому числу витков, Е результате

чего порядки напряжений, токов и параметров этих обмоток

становятся соответственно одинаковыми.

2. Из полных собственных индуктивностей L

, L

и индук-

тивных сопротивлений самоиндукции и х

выделяются со-

ставляющие — индуктивности рассеяния S

и индуктивные

сопротивления рассеяния и х

, обусловленные явлением элек-

тромагнитного рассеяния, причем это выделение производится

с таким расчетом, что остающиеся части полных индуктивйостей

— S

) и индуктивных сопротивлений (л:

— x

— х

) соответствуют индуктивно связанным цепям с полной

связью (с = 1).

3. Разрабатываются непосредственные методы расчета малых

параметров — индуктивностей и индуктивных сопротивлений

рассеяния — независимо от расчета полных индуктивностей и

индуктивных сопротивлений, чем достигается необходимая точ-

ность в определении этих малых параметров.

4. От электрических цепей с индуктивной связью делается

переход к схемам замещения с электрической связью цепей, что

приводит к упрощению расчетов и большей наглядности теории.

5. Индуктивности и индуктивные сопротивления рассеяния

вводятся в явном виде в расчетные соотношения и схемы заме-

щения, что позволяет с необходимой точностью рассчитывать

величины, зависящие от электромагнитного рассеяния.

Эти вопросы применительно к трансформаторам рассматриваются

йиже.

§ 14-3. Схемы замещения двухобмоточного трансформатора

Приведение вторичной обмотки к первичной. Первичные и вто-

ричные токи, напряжения и другие величины имеют одинаковый

порядок, если у первичной и вторичной обмоток Число витке® оди-

наково. Рассмотрим поэтому вместо реального трансформатора

эквивалентный ему так называемый приведенный трансформатор,

первичные и вторичные обмотки которого имеют одинаковое число

витков.

Представим себе, что реальная вторичная обмотка трансформа-

тора с числом витков ш, заменена воображаемой, или приведенной,

Гл. 14] Схема замещения и ее параметры

279

обмоткой С ЧИСЛОМ ВИТКОВ w\ —

Wx-

При этом число витков вторич-

ной обмотки изменится в

(14-20)

раз. Величина k называется коэффициентом приведе-

ния или трансформации.

В результате такой замены, или приведения, э. д. с. Е'

и напря-

жение U

приведенной обмотки также изменяются в k раз по срав-

нению с величинами Е

и U

реальной вторичной обмотки:

/&£•„; О'.

= kU

(14-21)

Чтобы мощности приведенной и реальной обмоток при всех

режимах работы были равны, необходимо соблюдать равенство

О j/J = U 2^2»

где — приведенный вторичный ток. Отсюда с учетом второго

равенства (14-21) следует, что

(14-22)

Намагничивающие силы приведенной и реальной обмоток на

основании выражений (14-20) и (14-22) равны:

/ja* = /,№,. (14-23)

Для того чтобы электромагнитные процессы в реальном и при-

веденном трансформаторах протекали одинаково, приведенная и

реальная вторичные обмотки должны создавать одинаковые магнит-

ные поля. Для этого, кроме соблюдения условия (14-23), необхо-

димо, чтобы приведенная вторичная обмотка имела те же геометри-

ческие размеры и конфигурацию и была расположена в окне сер-

дечника трансформатора так же, как и реальная вторичная обмотка

(см. например, рис. 12-2, 12-26). Поэтому суммарное сечение всех

витков приведенной обмотки должно быть таким же, Как и у реальной

обмотки, а сечение каждого витка приведенной обмотки должно

уменьшиться в k раз. Но поскольку приведенная обмотка имеет

в k раз больше витков, то в итоге активное сопротивление приве-

денной обмотки в k

раз больше, чем реальной:

Та k

Tп (14-24)

280

Трансформаторы [Разд. //

Так как при одинаковых геометрических размерах и одинаковом

расположении катушек их индуктивности и индуктивные сопротив-

ления пропорциональны квадратам чисел витков, то между индук-

тивными сопротивлениями приведенной обмотки х'

и реальной х

существует такое же соотношение:

(14-25)

Очевидно, что потери в приведенной и реальной обмотках оди-

наковы:

Одинаковы также относительные падения напряжения BQ вто-

ричных обмотках приведенного и реального трансформатЬра:

щ , ш

' k

1=5

• щ ш

' k u

Таким образом, все энергетические и электромагнитные соот-

ношения в приведенном и реальном трансформаторах одинаковы,

что и позволяет производить указанное приведение.

Схема замещения без учета магнитных потерь. В соответствии

с изложенным сделаем в уравнениях напряжения трансформатора

(14-14) подстановки:

= иЖ (14-26)

что в математическом отношении соответствует переходу от исходных

реальных переменных U

, /

к новым (приведенным) переменным

, /,. Умножив при этом второе из уравнений (14-14) на k, получим

Ох

= г

+ /дгц/i + jkxji; \

При переходе к электрической связи двух цепей в соответствую-

щей схеме замещения должна появиться общая для обеих цепей

ветвь, которая обтекается суммой токов обеих цепей Д + К- Соот-

ветственно этому в уравнениях напряжений этих цепей должны

появиться одинаковые члены с множителями (Д + Из урав-

нений (14-27) видно, что для получения в них таких членов нужно

прибавить к первому из этих уравнений и вычесть из него член

jkx

Ii и прибавить ко второму и вычесть из него член При

этом получим

Uг = 'Л +1 (*и - kx

) I

+jkx

(I, + /у; \

khji+J(k*x

-kx

) 1;+jkx

+fy.j V