Винокуров В.Н. Лекции по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

ДИНАМИКА

Динамика изучает движение точки (или системы точек) в зависимости от причин

вызывающих это движение или изменяющих его. Такими причинами являются си-

лы. Подразделяется на динамику материальной точки и динамику системы матери-

альных точек.

Материальной точкой называется материальный объект, размерами которого в

данной задаче можно пренебречь, считать геометрической точкой с

определённой

массой. Например, при изучении траектории движения искусственного спутника во-

круг Земли размером спутника можно пренебречь и рассматривать его как матери-

альную точку. Если же нас интересует еще и ориентация спутника (например, его

антенна должна быть всегда направлена в сторону Земли) то необходимо будет

учесть еще размеры и форму и тогда

считать спутник материальной точкой уже

нельзя.

Глава 12. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

12.1. Аксиомы динамики. Изучение динамики точки базируется на законах

Ньютона, опубликованные им в 1686 г.

В этих законах содержатся утвержде-

ния полученные обобщением многове-

ковых наблюдений над движением и

взаимодействием материальных тел. В

современном изложении теоретической

механики законы Ньютона кладутся

основу, являются аксиомами.

Аксиома 1

(1-ый закон Ньютона, ак-

сиома инерции). Материальная точка,

изолированная от действия других то-

чек, или же находящаяся под действием

уравновешенной системы сил, сохраняет состояние прямолинейного равномерного

движения, в частности, покоя.

Изучая движение данной точки относитель-

но различных систем отсчёта, движущихся ус-

коренно друг относительно друга (рис. 12.1),

легко прийти к заключению,

что данная аксио-

ма не может выполняться в любых системах

отсчёта.

Системы отсчёта, в которых справедлива

данная аксиома, называются инерциальными.

Таким образом, первый закон Ньютона посту-

лирует возможность существования тел и свя-

занных с ними систем отсчёта, движущихся без

ускорения. Любую из таких систем отсчёта

можно условно принять за неподвижную.

Рис. 12.2

Рис. 12.1

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

Аксиома 2 (2-ой закон Ньютона). Ускорение точки пропорционально действую-

щей силе и совпадает с ней по направлению (рис. 12.2):

⋅

Здесь

m – масса точки. Масса точки характеризует её инерционные свойства.

Так как ускорение равно второй производной по времени от радиус-вектора

точки, то последнее уравнение можно записать в виде

откуда видно, что с позиции математики второй закон Ньютона представляет диф-

ференциальное уравнение. Уместно привести высказывание И.Ньютона по этому

поводу, цитируемое здесь в вольном переводе: «Законы природы выражаются диф-

ференциальными уравнениями».

Аксиома 3

(3-ий закон Ньютона). Две точки взаимодей-

ствуют с силами направленными вдоль прямой соединяю-

щей точки, равными по модулю и противоположными по

направлению (рис. 12.3).

Аксиома 4

(аксиома независимости действия сил). Пусть

на точку массой

m по отдельности действуют силы

F ,

…,

F заставляя точку совершать движения согласно уравнениям

Fam

Fam =

, …,

Fam =

соответственно. Пусть, теперь, эта же точка движется под

действием суммы сил

∑

с ускорением

, вычисляемым из уравнения

∑

Fam

. Согласно данной аксиоме

∑

. Т. е. ускорение, сообщаемое точке

несколькими силами равно сумме ускорений от действия каждой силы по отдельно-

сти.

12.2. Задачи динамики точки. Итак, движение материальной точки массы

под действием сил

F ,

F ,…,

F подчиняется уравнению

∑

=⋅

Fam

. (12.1)

Какие задачи могут ставиться в динамике точки? Их две. Первая задача называ-

ется прямой. В ней задаются масса точки

m и кинематические уравнения движения

)(

, )(

y , )(

z . Необходимо вычислить силу, действующую на точку (или одну из

сил при заданных остальных).

Решение такой задачи проводится в следующей последовательности. Вычисля-

ются проекции ускорения точки

, ya

, za

и тогда, согласно второму

закону Ньютона,

amF ⋅=

amF

⋅

amF

⋅

. При необходимости можно в

дальнейшем вычислить модуль силы

(

)

5,0

222

zyx

FFFF ++= и направляющие коси-

нусы

FFFOx

=)^cos( , FFFOy

=)^cos( , FFFOz

=)^cos( . Таким образом,

Рис. 12.3.

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

решение прямой задачи сводится к дифференцированию известных функций и

принципиальных трудностей не вызывает.

Вторая задача динамики точки называется

обратной, еще она называется основ-

ной, потому что именно эта задача встречается в инженерной практике и её решение

представляет значительные математические трудности. В этой задаче задаются мас-

са точки

m , проекции силы

),,,,,,( tzyxzyxF

, ),,,,,,( tzyxzyxF

),,,,,,( tzyxzyxF

, начальные значения координат точки

x ,

y ,

z , начальные

значения скорости точки

и начальное значение времени

t (обычно при-

нимается

=t ). Необходимо найти кинематические уравнения движения )(

)(

, )(

Для решения этой задачи необходимо составить дифференциальные уравнения

движения точки согласно второму закону Ньютона в проекциях на оси координат

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=⋅

),,,,,,(

tzyxzyxFzm

tzyxzyxFym

tzyxzyxFxm

&&&&

(12.2)

и проинтегрировать их. В результате интегрирования найдём

).,,,,,,(

),,,,,,,(

654321

CCCCCCtzz

CCCCCCtyy

CCCCCCtxx

(12.3)

Постоянные интегрирования

C , …,

C вычисляются по начальным условиям. Для

этого необходимо от функций (12.3) вычислить призводные по времени

),,,,,,(

),,,,,,,(

654321

CCCCCCtzz

CCCCCCtyy

CCCCCCtxx

(12.4)

и записать, далее, соотношения (12.3) и (12.4) в начальном положении точки, заме-

няя переменные

, y , z ,

их начальными значениями

t . Из полученных уравнений постоянные интегрирования выразятся через на-

чальные условия.

Пример 1 (на обратную задачу). В плоскости Oxy движется точка

массы 1=m кг под дей-

ствием силы притяжения направленной к неподвижному центру O (рис. 12.4). Модуль силы про-

порционален расстоянию от точки до неподвижного центра: OMcF ⋅= , мН400=c . В началь-

ный момент времени 0

t точка имела координаты 5,0

x м, 0

y , проекции вектора скоро-

сти 0

, 2

м/с.

Найти уравнения движения точки )(tx , )(ty и траекторию.

Решение. Обратные задачи динамики точки решаются в следующей последовательности.

1) Нужно показать точку в произвольном положении и охарактеризовать (описать) это

положение координатами и скоростью. Т. е. считаем, что в произвольном положении координаты

точки имеют некоторые значения x, y, и проекции скорости равны соответственно x

, y

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

2) Показать все действующие на точку силы. В данном примере действует лишь одна сила F

направленная к началу координат O .

3) Следующим шагом нужно записать дифференциальное

уравнение движения токи в векторном виде, а затем спроециро-

вать на оси координат. В векторной форме в данной задаче

дифференциальное уравнение запишется как Frm =

. Из век-

торного выражения силы rcF ⋅−= следует xcF

⋅

−

ycF

⋅−=

. Тогда в проекциях на декартовы оси координат

дифференциальные уравнения запишутся в виде совокупности

двух уравнений

cyym

cxxm

−=

4) Далее нужно проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений. В дан-

ном примере каждое из уравнений независимо от другого и, кроме того, имеют одинаковый вид.

Следовательно, общий вид решений этих уравнений одинаков. Различными будут лишь значения

произвольных постоянных интегрирования.

Дифференциальное уравнение

cxxm

−

есть линейное однородное дифференциальное урав-

нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем его в каноническом виде

=+ xx

, где 20== mc

-1

. Из теории дифференциальных уравнений известно его реше-

ние:

tCtCtx

sincos)(

+= . Для координаты y решение аналогично: tCtCty

sincos)(

= .

Вычислим производные по времени от координат:

tCtCx

cossin

−=

tCtCy

cossin

+−=

. Для вычисления произвольных постоянных интегрирования

C ,

C перепишем уравнения для

, x

, y

в начальный момент времени 0

=t :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

5,0

Отсюда

5,0

=C , 0

== CC , 1,0

=C . Тогда уравнения движения точки ttx 20cos5,0)(

м,

tty 20sin1,0)( = м.

Для определения траектории движения точки необходимо из двух последних уравнений ис-

ключить время. В данном случае это проще сделать так. Первое уравнение преобразуем к виду

20cos

5,0

= , второе – к виду t

20sin

1,0

= . Теперь эти уравнения возведем в квадрат и почленно

сложим. В итоге приходим к следующему уравнению траектории:

1,05,0

Ответ:

м 20cos5,0)( ttx = , м 20sin1,0)( tty

, 1

1,05,0

Не всегда проецирование векторного уравнения

∑

Fam на декартовы оси ко-

ординат является самым удачным решением. В частности, если траектория движе-

ния точки известна, например окружность, то уравнение (1) рациональнее записы-

вать в проекциях на оси естественной системы координат (касательную

, нормаль

n и бинормаль b):

Рис. 12.4

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∑

kbb

knn

Fma

ττ

(12.5)

Здесь

a – касательное ускорение,

ρυ

a – нормальное ускорение, 0

a .

Пример 2. Материальная точка

массы m скользит по гладкой неподвижной цилиндриче-

ской поверхности радиуса

(рис. 12.5). В начальном момент времени точка находилась в поло-

жении

M и имела скорость равную нулю.

Найти силу давления точки на поверхность в её крайне

нижнем положении.

Решение. Покажем точку в произвольном положении

и охарактеризуем это положение углом

(рис. 1.5).

Покажем все силы, действующие на точку в этом про-

извольном положении: сила тяжести

m , нормальная ре-

акция опорной поверхности

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

Ngmam += .

Так как в данной задаче траектория движения точки из-

вестна, то проецировать векторное уравнение будем на ка-

сательную и нормаль к траектории:

⎩

⎨

⎧

+−=

.sin

,cos

Nmgma

mgma

Далее необходимо касательное и нормальное ускорения выразить через производные от коор-

динаты

, определяющей положение точки: Ra

&&&

, Ra

ϕρυ

== . Тогда дифференци-

альные уравнения можно будет переписать в виде

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−=

)7.12(.sin

)6.12(,cos

NmgRm

ϕϕ

Обсудим дальнейшую последовательность решения. В задаче необходимо найти силу давления

точки (обозначим её

). Но сила давления по модулю равна нормальной реакции N , которую, в

свою очередь, сможем вычислить из уравнения (12.7), если будет известна зависимость )(

. На

поиске этой зависимости и сосредоточим внимание.

Выполним в левой части уравнения (12.6) следующее преобразование:

===

. После этого уравнение (12.6) запишем в виде

ϕϕϕϕ

d cos=

. Получе-

но уравнение с разделёнными переменными

. Интегрируем его:

cos Cd

d +=

∫∫

ϕϕϕϕ

⇒

sin

. Записав последнее соотношение в начальном положении,

00 С

= , находим

значение произвольной постоянной интегрирования

С . Тогда

ϕϕ

sin

Рис 12.5.

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

Подставив найденную зависимость )(

в уравнение (12.7), находим нормальную реакцию

sin3mgN = , mgN 3

Ответ: сила давления точки в крайне нижнем положении mgP 3

и не зависит от радиуса

12.3. Динамика относительного движения точки. Теперь нам известно, что для

того, чтобы изучить движение материальной точки относительно инерциальной сис-

темы отсчёта

Oxy

(рис. 12.6), условно

считающейся неподвижной, необходи-

мо составить дифференциальное урав-

нение движения точки в форме второго

закона Ньютона

m =

⋅

и проинтег-

рировать его. Но, часто встречаются за-

дачи, в которых необходимо изучить

движение точки относительно неинер-

циальной системы отсчёта

1111

zyxO ,

движущейся относительно неподвиж-

ной системы отсчёта

Oxy

известным

образом. Для этого нужно вывести

дифференциальное уравнение, в кото-

ром искомой функцией был бы радиус-вектор

точки относительно подвижной

системы отсчета

1111

zyxO . Для вывода такого уравнения воспользуемся кинематиче-

ской теоремой Кориолиса, согласно которой абсолютное ускорение точки равно

векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

ker

aaaa ++= . Тогда, второй закон Ньютона можно переписать в виде

Faaam

ker

)(

или,

)()(

ker

amamFam

⋅

−

⋅

−

Обозначим

eе

amФ

⋅

−

amФ ⋅

−

. (12.8)

Ф и

Ф называются соответственно переносной и кориолисовой силами инер-

ции и формулы (12.8) служат их определением. Тогда дифференциальное уравнение

движения точки относительно подвижной системы отсчета запишется в виде

ФФF

m ++=

. (12.9)

Полученное уравнение называется

динамической теоремой Кориолиса.

Напомним, что волна над оператором производной означает локальную произ-

водную, учитывающую изменение вектора лишь относительно подвижных осей.

Таким образом, уравнение (12.9) есть дифференциальное уравнение, описываю-

щее движение материальной точки относительно подвижной системы отсчёта. Чи-

тается: для относительного движения масса точки, умноженная на вектор ускоре-

ния равна действующей на точку силе плюс

переносная и кориолисова силы инерции.

Рис. 12.6.

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

Таким образом, переносной и кориолисовой силами инерции вводится в дифферен-

циальное уравнение поправка на неинерциальность системы отсчета.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) Если подвижные оси перемещаются поступательно, равномерно и прямоли-

нейно, то

kе

ФФ и дифференциальное уравнение относительного движения

(12.9) будет иметь такой же вид, как и дифференциальное уравнение движения по

отношению к неподвижным осям. Следовательно, такая система отсчета также бу-

дет инерциальной

Из полученного результата следует, что никаким механическим эксперимен-

том нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает

поступательное, равномерное и прямолинейное движение. В этом состоит открытый

еще Галилеем

принцип относительности классической механики.

2) Если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее

const=

, 0

== dtd

ρυ

, а, следовательно, и 0)(2

×−

−

rekk

mamФ

. Тогда

равенство (12.7) принимает вид

∑

еk

ФF (12.10)

Уравнение (12.10) представляет собой уравнение относительного равновесия (по-

коя) точки. Из него следует, что уравнения относительного равновесия составляют-

ся также, как и уравнения равновесия в неподвижных осях, если при этом к дейст-

вующим на точку силам взаимодействия с другими телами добавить переносную

силу инерции.

12.4. Равновесие и движение материальной точки относительно Земли. Сис-

тема отсчёта связанная с Землёй, вследствие её движения, не является инерциаль-

ной. Необходимо оценить «степень неинерциальности» такой системы отсчёта. Не-

обходимо рассмотреть, как сказывается движение Земли на равновесии точки и её

движении вблизи земной поверхности.

Земля обращается вокруг Солнца по близкой к круговой орбите радиусом около

150 млн км совершая

один оборот за 365 суток и вращается вокруг собственной оси

с практически постоянной угловой скоростью, совершая один оборот в сутки.

Из кинематики известно, что, в общем случае, переносное ускорение

осврOe

aaaa

Ускорение

a центра Земли от её движения по орбите вокруг Солнца составляет

см109,5

−

⋅

. Влияние сил инерции от такого ускорения может оказаться заметным

лишь для весьма долговременных движений точки и в технических задачах этим

влиянием пренебрегают, не внося при этом заметных погрешностей.

Вращательное ускорение

вр

a , так как угловая скорость

су-

точного вращения Земли практически постоянна. Тогда осестремительное ускоре-

ние

)(

××=

ос

а есть не что иное как нормальное ускорение

a точки на по-

верхности Земли. Его модуль

ϕω

cos

Ra =

, где

– широта местности. Учитывая,

что угловая скорость суточного вращения Земли

-15

с103,7)606024(2

−

⋅=⋅⋅=

πω

, а

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

радиус Земли км6370=

R , находим максимальное значение переносного нормаль-

ного ускорения точки (находящейся на экваторе)

222

см103,3)(

−

⋅==

Змах

Rа

С суточным вращением Земли связано понятие о силе тяжести.

Рассмотрим равновесие точки на земной по-

верхности (рис. 12.7). На точку действуют силы:

сила гравитационного притяжения

, направ-

ленная к центру Земли; реакция

поверхности

Земли; переносная сила инерции

, направ-

ленная от оси суточного вращения. Равнодейст-

вующая сил

Ф называется силой тяжести

. В повседневной практике человек учитыва-

ет именно эту силу. Введение понятия силы тя-

жести избавляет от необходимости всякий раз

учитывать переносную силу инерции и допол-

нительных поправок на вращение Земли вво-

дить не нужно. Уравнения равновесия точки со-

ставляются как в инерциальной системе отсчёта.

Направление силы

m определяет направление вертикали в данном пункте зем-

ной поверхности (таким будет направление неподвижной относительно Земли нити,

на которой подвешен какой-нибудь груз; натяжение нити при этом равно

), а

плоскость, перпендикулярная силе

m , является горизонтальной плоскостью. Так

как

Зе

RmФ

max

)(

= , где

очень мало, то сила

m и численно, и по направлению

мало отличается от силы гравитации

Если же рассматривается не равновесие, а движение точки вблизи земной по-

верхности, то необходимо учесть ещё действие кориолисовой силы инерции

)(2

mФ

×−= . Модуль кориолисова ускорения зависит не только от модуля от-

носительной скорости точки, но и от взаимных направлений вектора

суточного

вращения Земли и вектора

относительной скорости точки. При относительной

скорости

см20часкм72

⊥

см1092,2

−

⋅=

a , т.е. незначительно. По-

этому в большинстве инженерных расчетов при изучении движения тел систему от-

счета, связанную с Землей, можно действительно считать инерциальной (неподвиж-

ной), пренебрегая при этом кориолисовой силой инерции.

Проявление кориолисовой силы инерции будет тем заметнее, чем больше отно-

сительная скорость и масса тела (снаряды, баллистические ракеты) или (и) время

движения (течения рек, воздушные и морские течения).

Рассмотрим, в чем качественно сказывается влияние вращения Земли на движение тел по зем-

ной поверхности. При движении точки по меридиану в северном полушарии с севера на юг корио-

лисово ускорение

а направлено на восток, а

- на запад. При движении с юга на север

бу-

дет направлена на восток. В обоих случаях, как видим, точка вследствие вращения Земли отклоня-

ется вправо от направления ее движения.

Рис. 12.7

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

Если точка движется по параллели на восток, то ускорение

а будет направлено вдоль радиуса

параллели, а сила

Φ - в противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы вы-

зовет незначительное изменение веса тела, а горизонтальная составляющая, направленная к югу,

вызовет отклонение точки вправо от направления ее движения. Аналогичный результат получится

при движении по параллели на запад.

Отсюда заключаем, что в северном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по

любому направлению

, будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления дви-

жения. В южном полушарии отклонение будет происходить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, что реки, текущие в северном полушарии, подмывают

правый берег (закон Бэра). В этом же причина отклонений ветров постоянного направления (пас-

саты) и морских течений, а также воздушных масс в

циклоне и антициклоне, где вместо движения

к центру циклона (область повышенного давления) возникает циркуляционное движение воздуха

вокруг центра циклона (антициклона).

В.Н. Винокуров. Конспект лекций 2 по теоретической механике для машиностроительных специальностей

Глава 13. ГЕОМЕТРИЯ МАСС

Для обоснования необходимости данной главы рассмотрим следующий пример, решение кото-

рого на качественном уровне всем нам хорошо понятно исходя из повседневного опыта.

К горизонтальному валу, перпендикулярно ему, прикреплены два стержня одинаковой длины,

на концах которых размещены два одинаковых гру-

за массой

m (рис. 13.1). Данную механическую

систему необходимо раскрутить из состояния покоя

до некоторой угловой скорости

. Массы вала и

соединительных стержней пренебрежимо малы по

сравнению с массами грузов.

Спрашивается, в каком случае достичь цели

«легче», когда длина

соединительных стержней

мала (рис. 13.1а) или же напротив, когда эта длина

значительна (рис. 13.1б)?

Думается, что подавляющее большинство чита-

телей дадут правильный ответ, что в случае

)а

«легче и быстрее» можно достичь поставленной за-

дачи, система «менее инерционна», чем в случае

)б . Точный количественный расчёт показывает, что при увеличении длины l в n раз, затраченная

работа увеличится в

n раз.

Даже на этом примере видно, что в динамике механической системы порой имеют значение не

только массы материальных точек, но и их взаимное расположение, или же их расположение от-

носительно какого – либо центра, или какой – либо оси.

В главе геометрия масс вводятся и изучаются физические величины, характеризующие распре-

деление материальных

точек в пространстве, без которых невозможно дальнейшее изучение ди-

намики.

13.1. Центр масс механической системы. Понятие центра масс механической

системы вводилось в статике. Здесь лишь ещё раз воспроизведём результаты.

Пусть механическая система состоит из

материальных точек, массы которых

равны

m , (

,...,2,1= ), а их положение определено радиус-векторами

kkkk

zkyjxir ++= .

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, по-

ложение которой определяется радиус-вектором

∑

, (13.1)

где

∑

– масса всей системы.

Проецируя выражение (13.1) на оси декартовой системы координат, получим

формулы для вычисления координат центра масс

)

Рис. 13.1