Васильев К.К. Теория автоматического управления (следяшие системы)

Подождите немного. Документ загружается.

для реальных процессов не удается. Вторая проблема – слишком

высокая частота временного квантования, которая получается при

использовании теоремы Котельникова. Поэтому при проектирова-

нии систем управления обычно производят расчеты дополнитель-

ных погрешностей системы, вызванных временной дискретизацией.

Интервал квантования Т

кв

при этом выбирается исходя из заданной

величины погрешности за счет временного квантования.

* * *

Итак, в современных цифровых сиcтемах управления обычно

выбирается достаточно малый интервал амплитудного квантования.

При этом дополнительные погрешности системы, вызванные ам-

плитудной дискретизацией, оказываются малыми. Во многих слу-

чаях ими пренебрегают. Вместе с тем выбор интервала временно-

го квантования в соответствии с теоремой Котельникова часто при-

водит к неоправданному повышению

тактовой частоты вычисли-

тельной машины. Поэтому для анализа систем управления, рабо-

тающих в дискретном времени, применяют специальные методы

анализа, которые мы рассмотрим на следующих занятиях.

4.2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Как мы уже знаем, основные операции, которые выполняет

ЦВМ в контуре управления, связаны с реализацией цифровых

фильтров. На этой лекции вначале мы установим связь между уже

известными нам аналоговыми фильтрами и соответствующими

цифровыми фильтрами. Затем познакомимся с основными метода-

ми и алгоритмами цифровой фильтрации сигналов. Рассматривае-

мые методы важны не

только для систем управления. Они приме-

няются в самых различных системах обработки сигналов, напри-

мер, в системах цифровой связи.

Связь аналоговых и цифровых фильтров

Любой линейный аналоговый фильтр с передаточной функ-

цией H(p) описывается дифференциальным уравнением следующе-

го общего вида:

)(...

)(

)(...

)()(

tgb

tgd

btxa

txd

++=++

−

Предположим, что входные и выходные сигналы этого

фильтра наблюдаются в дискретные моменты времени t

= iT

кв .

При малых интервалах временного квантования Т

кв

можно при-

ближенно заменить производную первого порядка на отношение

разностей:

кв

квii

txtx

Ttxtx

∆

−

=−+

−

−−

−

)()(

)(

)()(

Соответственно вторая производная может быть приближенно за-

писана в виде

ТТ

xx x x

xx x

кв кв

ii i i

кв

ii i

кв

112

()()

−

=−−+=−+=

−

−−− −−

∆∆ ∆

Третья производная

xx x x x

xx x x

кв

ii i i i

кв

ii i i

кв

221

11 2 3

123

22 33

−

−−+−

−+−

−−−−− −−−−

∆∆ ∆

Продолжая этот процесс замены производных конечными разно-

стями, получим

dt Т

xcx cx cx

кв

ii i nin

(...)=++++

−− −−

112 2 1

Подставим теперь все выражения для производных в диффе-

ренциальное уравнение аналогового фильтра. Получим следующее

выражение для эквивалентного цифрового фильтра:

mimiininiii

gggxxdxx

−−−−−

++++=

......

1102211

Таким образом, мы нашли цифровой эквивалент аналогового

фильтра; все операции цифровой фильтрации могут выполняться

теперь на ЭВМ.

Пример 1. Пусть имеется апериодическое звено с переда-

точной функцией

)(

. Выходной сигнал этого звена

x(p) = H(p) g(p) или x(p) (1+pT) = kg(p). Во временной области

функционирование звена описывается соответствующим диффе-

ренциальным уравнением:

)()(

)(

tkgtx

tdx

=+ .

Найдем эквивалентный этому звену цифровой фильтр. Для

этого заменим

квii

Тxxdttdx /)(

/)(

1−

−

и тогда

kgixxx

iii

кв

=+−

−

)(

После элементарных преобразований получим:

Т T

кв

−

или

iii

gxx

011

−

где

+ TT

кв

ђ‰

Анализ общего выражения для цифрового фильтра показыва-

ет, что фильтр состоит из двух частей. Первая часть, соответст-

вующая случаю

0...

, записывается в виде

gixxxx

niniii 02211

...

−−−

Вычисление каждого следующего значения x

выходного

сигнала фильтра осуществляется с помощью взвешивания преды-

дущих выходных значений фильтра

iin

−

,... и одного входного

значения g

. Такой фильтр называется рекурсивным фильтром n-

го порядка

. Если же

==...

, то

xgg g

iii mim

=+ ++

−−

ββ β

011

... .

В этом случае для фильтрации используется только текущее

и предыдущие значения входного сигнала, взвешиваемые с ко-

эффициентами

ββ

,...

. Такой фильтр называется нерекурсивным,

или

фильтром скользящего окна.

Математическое описание цифровых систем

Пусть процесс с дискретным временем g

поступает на

вход цифрового фильтра. На выходе будет уже другой процесс x

Как можно описать характеристики процесса g

, и как они изменят-

ся после прохождения через цифровой фильтр?

Для процессов с непрерывным временем подобная проблема

решается на основе преобразования Лапласа или преобразования

Фурье. Действительно, если известен спектр непрерывного входно-

го процесса

dtetgjg

∫

∞

∞−

−

)()(

, то спектр выходного сигнала

G(j

ω) = H(jω) g(jω) , где H(jω) – передаточная функция фильтра.

Для процессов с дискретным временем существуют точно

такие же по смыслу соотношения. Для них вводится дискретное

преобразование Фурье:

vTj

egjg

−

∞

∑

)(

или

{

}

.)( giФjg

Отметим следующие два важных свойства дискретного пре-

образования Фурье:

1) линейность

{}

{

}

{

}

vibФgiaФbviagiФ

;

{}{}

Tmj

imi

egФgФ

−

Применение этих свойств позволяет легко находить спектр

процесса на выходе цифрового фильтра.

Пример 2. Пусть цифровой фильтр описывается следующим

выражением:

iii

gxdxxi

−− 2211

. Преобразуем по Фурье левую и

правую часть этого выражения:

)()()()(

ωβωαωαω

ωω

jgjxejxejx

TjTj

++=

−−

Тогда

)()()(

jgj

, где

TjTj

ωω

αα

)(

−−

–

передаточная функция цифрового фильтра.

Так же, как и в системах с непрерывным временем,

Hj()

называется амплитудно-частотной характеристикой цифрового

фильтра, а Arg H(j

ω) – фазочастотной характеристикой. Если H(jω)

– передаточная функция замкнутой цифровой системы управления,

то полюсы р

(нули знаменателя)

pTкв pTкв

()=

−−

αα1

долж-

ны лежать в левой полуплоскости комплексного переменного.

Вместе с тем, появляется очевидное неудобство использова-

ния дискретного преобразования Фурье: передаточные функции

содержат экспоненты в знаменателе и числителе. Поэтому было

предложено в дискретном преобразовании Фурье ввести новую пе-

ременную

кв

= . Тогда дискретное преобразование Фурье

gj ge

jiTкв

()ω

−

∞

∑

превращается в так называемое Z–преобразование:

gz gz

()=

−

∞

∑

. Обычно записывают

{

}

gz Zg

()

Z – преобразование имеет ряд свойств, аналогичных дис-

кретному преобразованию Фурье. Отметим линейность Z – преоб-

разования и

{}{}

Zgi m Zgiz

−=

−

Пример 3. Рассмотрим цифровой фильтр, описываемый

уравнением:

1102211 −−−

iiiii

ggxxx

. Применим Z–

преобразование к правой и левой части. Тогда

)()()()()(

zgzzgzxzzxzzx

−−−

+++=

ββαα

, т.е.

)()()( zgz

, где

)(

−−

αα

. Для нахождения амплитудно-частотной харак-

теристики фильтра можно подставить

и найти

)()(

ezHwH

== .

Таким образом, с помощью Z–преобразования легко полу-

чить передаточную функцию любого линейного цифрового фильт-

ра.

Устойчивость систем управления принято проверять с помо-

щью анализа передаточной функции H(z). Если

ze e

jTкв pTкв

, то

в том случае, когда корень p = a + jb находится в левой полуплоско-

сти комплексного переменного, т.е. когда

система устойчива, то

ze e e

aj Tкв aTкв jTкв

⋅

+()ββ

, и если a < 0 , то z < 1.

Таким образом, условие устойчивости мож-

но сформулировать следующим образом.

Цифровая система управления или цифро-

вой фильтр устойчив, если все корни знаме-

нателя передаточной функции H(

z) находится внутри единичного

круга на плоскости комплексного переменного (рис. 49).

* * *

Полученные результаты позволяют реализовать процесс

фильтрации в виде программы для специализированной или уни-

версальной ЭВМ. Как мы видели, существует приближенный спо-

соб построения цифрового фильтра, основанный на аналоговом

прототипе. Точный способ заключается в подборе подходящих ко-

эффициентов

ααβββ

101

,..., , , ,...,

цифрового фильтра. Более под-

робные сведения о цифровой фильтрации можно найти в книгах

[16–18].

Рис. 49

4.3. ДЕЙСТВИЕ ПОМЕХ НА ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим особенности анализа цифровых систем управления,

находящихся под воздействием помех. Вначале приведем основные

формулы, позволяющие определить дисперсию ошибки сопровож-

дения, обусловленную действием помех. Затем кратко проанализи-

руем методы построения оптимальных линейных дискретных сис-

тем, которые в настоящее время широко используются при проек-

тировании и анализе цифровых систем управления.

Дисперсия ошибки в цифровых системах управления

Цифровую систему управления с учетом действия помех

можно представить в виде рис. 50.

На вход системы действует сумма

управляющего воздействия ggt

() и

помех Ni = N(ti). В результате действия

помехи в выходном сигнале x

содер-

жится случайная составляющая, которую

можно охарактеризовать величиной

дисперсии

. При этом цифровая система управления описывает-

ся разностным уравнением:

mimiininii

zzzxxx

−−−−

++=

.........

11011

Поскольку система управления линейна, то можно отдельно

рассматривать прохождение сигналов и помех через эту систему.

Таким образом, достаточно найти дисперсию процесса, описывае-

мого следующим уравнением общего вида:

mimiininii

NNNxxx

−−−−

++=

......

11011

Помехой в системе управления обычно служат независимые

отсчеты N

гауссовских случайных величин с нулевым средним и

дисперсией

. В общем случае дисперсия результирующего

процесса

находится с помощью известных методов теории веро-

ятностей. Действительно, разностное уравнение представляет собой

закон преобразования случайных величин

{

}

N в случайные вели-

чины

{}

. Поэтому любые вероятностные характеристики

{

}

выражаются через известные характеристики помех.

САУ

Рис. 50

Пример.

Система первого порядка.

Пусть система управления описывается простейшим разно-

стным уравнением вида

iii

Nxx

011

−

Найдем дисперсию ошибки на выходе такой системы. Для

этого возведем левую и правую части в квадрат и найдем матема-

тическое ожидание. После возведения в квадрат получаем

0101

iiii

NNixxx

ββαα

++=

−−

Теперь находим математическое ожидание левой и правой

частей:

nxx

σβσασ

+= .

Таким образом, дисперсия ошибки за счет действия помех

−

. Заметим, что

, т.к. в противном случае система

управления будет неустойчивой.

Оптимальные цифровые системы

Описания динамики движения объектов в цифровых сис-

темах

В непрерывных системах для описания динамики движения

объекта или входного сигнала системы управления используется

следующее стохастическое дифференциальное уравнение:

)()(

)(

ttag

tdg

, где

)(

– белый шум. В этом случае траектория

движения объекта представляет собой одну из множества реализа-

ций случайного процесса g(t) .

В цифровых системах дифференциальному уравнению пер-

вого порядка будет соответствовать разностное уравнение

iii

−1

, где

– постоянный коэффициент;

– гауссовские не-

зависимые случайные величины с дисперсией

. Определим веро-

ятностные характеристики возможных траекторий объекта в дис-

кретном времени. Так же, как и в рассмотренном примере, возведем

левую и правую части уравнения движения объекта в квадрат и

найдем математическое ожидание. Получим

σνσσ

или

−

. Эта величина дисперсии

определяет динамический

диапазон возможных отклонений траектории от среднего значения.

Другим параметром, описывающим движение объекта, явля-

ется характеристика скорости изменения траектории. В рассмат-

риваемом случае мерой этой скорости может быть коэффициент

корреляции двух соседних значений g(t

i–1

) =g

i–1

и g(ti) = g

траекто-

рии. Для его нахождения умножим левую и правую части уравне-

ния на g

i–1

и найдем их средние значения:

{}

{

}

{}

11 −−−

iiiii

gMgMggM

ξν

. Поскольку

{

}

−

, то коэффици-

ент корреляции

{}

−

ggM

. Таким образом, параметр

ν<1

ока-

зывается равным значению коэффициента корреляции двух сосед-

них значений траектории.

Нормированная корреляционная функция последовательно-

сти

{}

описывается при этом простым выражением

)(

Допустим, что с помощью приведенного уравнения мы хо-

тим описать траекторию движения объекта, значительно изменяю-

щегося за 100 тактовых интервалов. Это означает, что

100

(100) 0,5=ν =R . В этом случае можно выбрать

100

0,5 0,993ν= ≅ .

Оптимальная цифровая линейная система управления

Пусть на вход линейной системы управления действует сум-

ма

+ n

управляющего сигнала g

, который описы-

вается уравнением

iii

vgg

−1

и помехи n

в виде независимых

отсчетов мешающего процесса с дисперсией

Состояние цифровой линейной системы управления

связа-

но с входным сигналом следующим разностным уравнением

iiiii

zxx

−1

Основной задачей системы является минимизация дисперсии

ошибки

iii

gx −=

управления. Рассмотрим возможности построе-

ния оптимальной системы, для которой дисперсия ошибки мини-

мальна. Для минимизации дисперсии имеется возможность выбора

коэффициентов

системы управления.

Итак, необходимо найти

{

}

}.){(min)(min

iii

gxMM −=

Подставим

в формулу для ошибки известные соотношения:

.n)1(g)1((

n)g)(1(xg)ng(x

iiii1ii1iii

iii1i1iiiiii1iii

βεβεαβνα

+−++−+

−

−++=

−−

−−−

Величины g

i–1

имеют большие значения. Если необходимо

минимизировать ошибки, то нужно положить

−=()

. Тогда

εαε β

iii i iii

n=+−+

−1

1() или

iiiiiii

−

() ()11

В этой формуле отражены три составляющие ошибки систе-

мы управления. Первое слагаемое учитывает ошибку

iii

−−−

−

111

на предыдущем шаге работы системы. Второе слагаемое – дина-

мическая ошибка за счет изменения траектории движения. Третье

слагаемое

– ошибка, вызванная действием помех на систему

управления. Поскольку все слагаемые являются независимыми, то

дисперсия будет равна сумме дисперсий ошибок всех трех слагае-

мых:

iiii in

=− +− +

−

νβ β σβσ

22 22

11() ()

где

{}

=ε

{}

σε

= M

{

}

Продифференцируем D

по β

и приравняем производную к

нулю. Легко подсчитать, что минимальное значение P

= D

min

дисперсии ошибки достигается при

)P)(1/(P)(

эi

nэi

−−

σσβ

, где

эi

σν

−

. После подстановки оптимального значения

уравнение системы получаем следующий алгоритм функциониро-

вания оптимальной цифровой системы управления:

)(

эii

iэii

xZPxx −+=

)

1/(

эi

эii

PPP

−iэi

PVP

где

1−

iэi

В этом уравнении величина

эi

x является экстраполированной

на один шаг траекторией объекта или прогнозом значения траекто-

рии. Действительно, на предыдущем шаге состояние системы было

1−i

x . Динамика изменения траектории описывается уравнением

iii

−

νξ

. Лучшее, что мы можем сделать с точки зрения про-

гноза траектории движения g

– предсказать, что сигнал g

будет

иметь величину

эi

1−i

Таким образом, в найденной системе управления вначале

формируется прогноз

эi

траектории движения. Затем определяется

рассогласование

i эi

− между сделанным прогнозом и очередным

сигналом управления

, искаженном помехами. После этого оче-

редное состояние системы

формируется как сумма прогноза x

эi

и взвешенного рассогласования.

Весовым коэффициентом

р /

служит отношение диспер-

сии ошибки системы управления

и дисперсии помех, дейст-

вующих на систему управления.

Структурная схема рас-

смотренной оптимальной цифро-

вой системы управления может

быть представлена в виде рис.51.

* * *

Рассмотренные вопросы действия помех на цифровые систе-

мы управления позволяют решить две важные задачи. Во–первых,

для любой заданной линейной системы управления можно дать

оценку ее эффективности, т.е. оценить дисперсию ошибки за счет

действия помех. Вторая важная задача – построение оптимальной

цифровой системы управления, учитывающей как динамику дви-

жения объекта

, так и величину помехи, действующей на систему

управления.

4.4. МНОГОМЕРНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим два вопроса, связанные с современными метода-

ми построения систем управления. Вначале проанализируем мно-

гомерный дискретный фильтр Калмана, который применяется при

управлении системами по нескольким параметрам одновременно.

Затем кратко рассмотрим адаптивные системы, которые предназна-

чены для работы в условиях изменяющихся внешних воздействий.

Многомерный цифровой фильтр Калмана

Модели входных сигналов

В предыдущем разделе была рассмотрена модель движения

объекта в виде скалярного разностного уравнения

gvg

−ξ

. При

Задержка

на такт

–

эi

i−1

Рис. 51