Васильев К.К. Теория автоматического управления (следяшие системы)

Подождите немного. Документ загружается.

{}

)()( tXMtm = ,

{

}

))()()( tmtXMtD −= .

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характери-

зует разброс значений случайного процесса относительно среднего

значения m(t). Чем больше D(t) , тем больше вероятность появле-

ния очень больших положительных и отрицательных значений

процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадра-

тичное отклонение (СКО)

)()( tDt =

, имеющее ту же размер-

ность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение

дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя даль-

ность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а СКО

– в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности

относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются

очень важными ха-

рактеристиками, позволяющими судить о поведении случайного

процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необхо-

димо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в

один момент времени недостаточно. Для этого используют две слу-

чайные величины (X(t

), X(t

)), рассматриваемые совместно. Так же,

как и для случайных величин, вводится характеристика связи или

зависимости между X(t

)и X(t

). Для случайного процесса эта харак-

теристика зависит от двух моментов времени t

и t

и называется

корреляционной функцией:

{

}

))()()(()((),(

221121

tmtXtmtXMttR

−

= .

Стационарные случайные процессы

Многие процессы в системах управления протекают одно-

родно во времени. Их основные характеристики не изменяются.

Такие процессы называются

стационарными. Точное определение

можно дать следующим образом. Случайный процесс X(t) называ-

ется стационарным, если любые его вероятностные характеристи-

ки не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного

случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО

постоянны: m(t) = m , D(t) = D=

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит

от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности

tt −=

мо-

ментов времени:

{

}

R( ) M (X(t ) m) (X(t ) m)

=−⋅−−.

Корреляционная функция стационарного случайного процес-

са имеет следующие свойства:

=0)=R(

στ

; 2) )R(=)R(

−

; 3) 0)( =∞→

Часто корреляционные функции процессов в системах управ-

ления имеют вид, показанный на рис. 27.

Интервал времени

, на котором корреляционная функция,

т.е. величина связи между значениями случайного процесса,

уменьшается в М раз, называется

интервалом или временем кор-

реляции случайного процесса

. Обычно М=10 или М=е. Можно

сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по вре-

мени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет

судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический

спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование

Фурье от

корреляционной функции:

∫

∞

∞−

−

ττω

ωτ

deRG

)()( .

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

∫

∞

∞−

ωω

ωτ

deGR

)(

Энергетический спектр показывает распределение мощности

случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики

случайного процесса на выходе линейной системы при известных

Рис. 27

)

/е

характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что ли-

нейная система задана импульсной переходной характеристикой

()

. Тогда выходной сигнал в момент времени

t определяется ин-

тегралом Дюамеля:

() ( )( )

∫

∞

∞−

−=

11111

τττ

dtghtx ,

где

()

– процесс на входе системы. Для нахождения корреляцион-

ной функции

(

)

(

)

(

)

{

}

2121

, txtxMttR

запишем

() ()( )

∫

∞

∞−

−=

22222

ττ

dtgthtx и после перемножения найдем математи-

ческое ожидание

() ()()( )( ){}

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−−=

2122112121

ττττττ

ddtgtgMhhttR

Таким образом, связь между корреляционными функциями

входного и выходного случайных процессов устанавливается с по-

мощью следующего двойного интеграла:

() ()()( )

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−−=

2122112121

ττττττ

ddttRhhttR

Для стационарных процессов корреляционные функции зави-

сят только от разности аргументов

utt

−

(

)( )

vtt

−−

−

2211

поэтому

() ( )( ) ()

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

2121

ττττ

ddvRhhuR

Более простое соотношение можно найти для энергетических

спектров

)(

G и )(

G входного и выходного сигналов при из-

вестной передаточной функции

(

)

jW линейной системы. Дейст-

вительно, найдем преобразование Фурье от левой и правой частей

последнего равенства. Получим следующее выражение:

() ()() ()

12 12xg

GhhRedddu

ωττνττ

∞∞∞

−∞ −∞ −∞

−

∫∫∫

После замены переменной

(

)

212121

−−=

−

uttv или

−+= vu

тройной интеграл преобразуется в произведение

() () ( ) ()

1122

x g

GhedhedRvedv

wt wt

wt ttt

ҐҐҐ

- Ґ - Ґ - Ґ

жцжцж

чч

ззз

чч

ззз

чч

ззз

чч

ззз

ишиши

ттт

Поскольку преобразование Фурье от импульсной характеристики

дает передаточную функцию, находим окончательно связь между

энергетическими спектрами процессов на входе и на выходе ли-

нейной системы:

() ( )

(

)

(

)

)()(

ωωωωωω

ggx

GjWGjWjWG =−= .

Часто помехи в системах управления имеют очень широкий

спектр. В таких случаях их удобно представить в виде так называе-

мого белого шума – процесса с постоянным энергетическим спек-

тром: G(

ω) = N

. Корреляционная функция белого шума

)()(

NR = , где

(t) – импульсная дельта-функция. Это означает,

что даже очень близкие по времени значения белого шума не свя-

заны друг с другом.

Воздействие помех на системы управления

Рассмотрим воздействие помехи n(t) на замкнутую линей-

ную систему управления (рис. 28). Будем предполагать, что нам из-

вестен энергетический спектр G

(ω) помехи.

Найдем дисперсию ошибки, возникающей при действии по-

мехи n(t). Для этого вначале определим энергетический спектр на

выходе системы

() () ()

вых n

GWpG

= , где W(p) = H(p) / (1+H(p)) –

передаточная функция замкнутой системы управления. После этого

с помощью обратного преобразования Фурье можно найти корре-

ляционную функцию помехи на выходе системы:

() ( )

вых вых

Ged

ωτ

ωω

∞

−∞

∫

Рис. 28

g(t)

n(t)

H(p)

X(t)

Наконец, учитывая, что дисперсия

(0)

вых вых

= , получаем оконча-

тельное выражение для дисперсии ошибки системы управления:

() .

вых

ωω

∞

−∞

∫

Пример. Пусть на входе системы, содержащей один интегра-

тор, например, в системе управления приводом, действует широко-

полосная помеха с энергетическим спектром G

(ω) = N

. Переда-

точная функция системы с одним интегратором

()= . Опреде-

лим дисперсию ошибки, вызванной действием помехи. Для этого

вначале запишем выражение для передаточной функции замкнутой

системы

)(1

)(

и найдем квадрат ее модуля:

.)(

Энергетический спектр помехи на выходе рас-

сматриваемой системы

() () () .

вых n

GWpG N

ωω

==⋅

Таким образом, дисперсия ошибки САУ, вызванной действием

помехи, находится по формуле:

вых

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

Описание траекторий движения объектов

с помощью случайных процессов

Входные сигналы САУ часто могут быть представлены с по-

мощью типовых детерминированных воздействий. Например, дви-

жение объекта с известной постоянной скоростью определяется

уравнением

(

)

gt g vt=+. Однако изменение входных сигналов во

времени не всегда может быть задано с помощью известных детер-

минированных функций. Во многих случаях для более реалистич-

ного описания, например, траектории движения самолета или ко-

рабля, необходимо использовать случайные процессы. При этом

известная детерминированная составляющая входного сигнала мо-

жет рассматриваться как математическое ожидание

()

tm случайного

процесса:

()

(

)

(

)

tgtmtg

где

()

– стационарный случайный процесс с нулевым математи-

ческим ожиданием и корреляционной функцией

(

)

R .

Таким образом, второе слагаемое

(

)

описывает неизвест-

ный нам до эксперимента входной сигнал САУ в виде реализаций

случайного процесса. Корреляционная функция этого случайного

процесса позволяет задать дисперсию

(

)

τσ

и «среднюю

скорость» изменения входного сигнала, связанную с интервалом

корреляции процесса

()

. На практике приближенные значения

()

tm и

()

R можно получить экспериментально, если в распоряже-

нии разработчика системы имеется большое число N записей

()

N,...,2,1k,tg

)k(

, реальных входных сигналов. Математическое

ожидание в этом случае оценивается средним арифметическим

() ()

∑

)k(*

tm ,

а для оценки корреляционной функции используется следующая

формула:

() () ( )

∑

)k()k(

tgtg

ττ

Процесс

()

можно считать стационарным, если результаты рас-

четов по этой формуле мало зависят от выбора начала отсчета вре-

мени t.

Пусть входной сигнал САУ задан в виде суммы

() () ()

tgtmtg

+= . Для нахождения динамических ошибок, возни-

кающих в линейной системе управления, можно воспользоваться

принципом суперпозиции. Величина установившейся динамиче-

ской ошибки за счет детерминированной составляющей изменения

входного сигнала находится по известной формуле:

(

)

pplim

уст

→

где

() () ()

pmpHp

= ;

()

pH1

– передаточная функция по

ошибке;

()

pm – изображение

(

)

tm по Лапласу.

Случайная составляющая характеризуется величиной дис-

персии динамической ошибки:

(

)

τσ

εε

Для нахождения корреляционной функции

(

)

случайной состав-

ляющей динамической ошибки вначале находят энергетический

спектр

()

G процесса

(

)

как преобразование Фурье

()

R . После

этого легко находятся энергетический спектр

(

)

(

)

(

)

ωωω

εε

GjHG =

и корреляционная функция динамической ошибки

() ()

ωω

ωτ

εε

deG

∫

∞

∞−

= .

Суммарное воздействие детерминированного

()

tm и случай-

ного

()

входного сигнала

(

)

может быть оценено средним квад-

ратом динамической ошибки

(

)

(

)()

{

}

уст

txtgM

σε

+=− .

Пример 1. Предположим, что на САУ (рис. 28) с одним инте-

гратором (

()

p/kpH

) поступает входной сигнал

() ()

tgvttg

+= , где

()

– случайный процесс с корреляционной функцией

()

στ

−

= . Определим в отсутствие помех (

()

0tn ≡ ) средний

квадрат динамической ошибки такой системы управления.

Вначале найдем установившуюся ошибку за счет детермини-

рованного слагаемого

()

vttm

входного воздействия. Для системы

с астатизмом первого порядка

k/v

уст

. Энергетический спектр

()

G случайной составляющей

(

)

входного воздействия нахо-

дится как преобразование Фурье корреляционной функции:

() ()

GRed

ωτ

ωττ

∞

−

−∞

∫

Заметим, что

/1= является интервалом корреляции случайного

процесса

()

на уровне e

1 . С другой стороны, параметр a равен

ширине энергетического спектра случайного процесса

(

)

на

уровне 0.5, т.е.

()

(

)

5.00G/aG

После нахождения энергетического спектра случайной со-

ставляющей динамической ошибки

() ( ) ()

()

()()

jH1

GjHG

ωωω

εε

находим дисперсию динамической ошибки

() ()

===

∫

∞

∞−

ωω

εεε

Средний квадрат динамической ошибки с учетом детерминирован-

ной и случайной составляющих определяется как сумма

уст

+=+

σε

Из полученного выражения следует, что при заданных параметрах

входного сигнала уменьшение динамической ошибки

достигается при увеличении коэффициента k усиления звена САУ.

Оптимизация параметров системы управления

Динамические ошибки при описании входного сигнала де-

терминированными функциями

(

)

pg в установившемся режиме оп-

ределяются по формуле:

(

)

(

)

pgpH

уст

lim

→

где

()

pH1

;

()

pH - передаточная функция разомкнутой САУ.

При описании входного сигнала реализациями случайного процесса

()

динамические ошибки характеризуются величиной дисперсии

() ()

ωωω

εε

dGjH

∫

∞

∞−

= ,

где

()

G - энергетический спектр входного сигнала

()

. При на-

личии детерминированных

(

)

tm и случайных

(

)

составляющих

входного сигнала

() ()

(

)

tgtmtg

величину динамических ошибок

целесообразно оценивать средним квадратом суммарной ошибки

уст

σε

+ .

Кроме динамических, в САУ имеются ошибки, вызванные

действием помех

()

tn . Влияние помех можно характеризовать

дисперсией

вых

выходного сигнала САУ

() ()

ωωω

dGjW

вых

∫

∞

∞−

= ,

где

()

- передаточная функция по помехе;

()

G - энергетиче-

ский спектр помехи. Как правило, помехи в САУ могут быть пред-

ставлены белым шумом с постоянным на всех частотах энергетиче-

ским спектром

()

NG =

. Кроме того, помехи часто действуют на

вход системы и тогда передаточная функция по помехе

()

сов-

падает с передаточной функцией

()

(

)

()

jH1

замкнутой САУ.

Во всех современных САУ присутствуют как динамические

ошибки, так и ошибки за счет действия помех. Для характеристики

качества системы управления при наличии динамических и случай-

ных ошибок используют средний квадрат суммарной ошибки:

вых

уст

σσεε

++= ,

который зависит от параметров

aaa a

= ( , ,..., )

системы. Парамет-

ры

a обычно выбираются таким образом, чтобы обеспечить усло-

вие минимума квадрата суммарной ошибки

min

. В этом случае

говорят об оптимизации параметров системы управления по крите-

рию минимума квадрата суммарной ошибки.

Пример 2. Рассмотрим систему привода антенны или рулей

летательного аппарата (см. п. 1.1), находящуюся под воздействием

помех (рис. 29).

Рис. 29

В такой системе угол поворота

х(t) вала двигателя должен

повторять заданную траекторию движения – входной сигнал g(t).

g(t)

n(t)

u(t)

x(t)

Помеха n(t) в данном случае описывает погрешности измерения

х(t).

Упрощенная эквивалентная схема такой системы представ-

лена на рис. 30, где

ppT

()

, k=к

дв

– коэффициент пере-

дачи системы; Т – постоянная времени двигателя.

Рис. 30

Предположим, что заданная траектория движения описыва-

ется линейной функцией g(t)=Vt. Тогда установившиеся динамиче-

ские ошибки системы с одним интегратором определяются по фор-

муле

уст

Vk= / . Чем выше коэффициент усиления k , тем меньше

величина динамической ошибки в установившемся режиме.

Будем аппроксимировать помеху белым шумом со спек-

тральной плотностью G

(ω)=N

. Тогда G

вых

(ω)=

()

ω1

после преобразований находим:

. Из этой формулы следу-

ет, что для уменьшения влияния помех необходимо снижать коэф-

фициент усиления k, т.е. повышать инерционность системы управ-

ления.

Квадрат суммарной ошибки определяется следующим выра-

жением:

22 2

c уст вых

VNk

εε σ

=+=+

. На основе этой формулы можно

построить график зависимости

εε

СС

= () (рис. 31).

n(t)

g(t) x(t)

H(p)

Рис. 31

–