Васильев К.К. Теория автоматического управления (следяшие системы)

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 36

После этого с помощью уравнения Винера найдем переда-

точную функцию H

(jω) и выделим ее реализуемую часть H

(jω).

Общая передаточная функция оптимальной реализуемой системы

запишется в виде: W(j

ω)=H

(jω) H

(jω).

Каким же образом превратить

z(t) в белый шум с помощью

фильтра? Нам известен энергетический спектр G

(ω)=G

(ω)+G

(ω).

Необходимо, чтобы

()

GHj N

ωω

, где N

- спектральная плот-

ность белого шума

, например, N

=1. Запишем это выражение

по-другому. Представим энергетический спектр G

(ω) в виде про-

изведения

() ( )( )

Gjj

ψωψ ω

=−

, а

()

111

()( )

ωω

=−

. Тогда

требуется, чтобы

()( )

(

)

(

)

1jjHjHj

ωψ ω ω ω

−

−=.

Для этого необходимо выбрать фильтр с передаточной функ-

цией

()

()1Hj j

ψω

. Такой фильтр превращает входное воздейст-

вие в белый шум и называется

обеляющим. Заметим, что введение

обеляющего фильтра не приводит к потере оптимальности систе-

мы. Действительно, всегда можно восстановить входной сигнал с

помощью фильтра с передаточной функцией

(

)

. Вместе с тем,

преобразование

()

zt в белый шум

(

)

zt позволяет построить опти-

мальную реализуемую систему. Для этого из уравнения Н.Винера

найдем передаточную функцию

(

)

оптимальной нереализуе-

мой системы, выделим реализуемую часть и в результате получим

оптимальный реализуемый фильтр Винера. Наиболее просто это

осуществляется, если помеха n(t) является белым шумом со спек-

тральной плотностью N

Тогда передаточная функция оптимального реализуемого

фильтра записывается в виде

()

ψω

=−1

. Для по-

строения такого фильтра достаточно представить энергетический

спектр G

(ω)=G

(ω)+N

в виде произведения двух комплексно-

) H

)

(t) x(t)

g(t)

n(t)

z(t)

сопряженных сомножителей

Gjj

() ( )( )

−

и воспользо-

ваться записанной формулой для передаточной функции оптималь-

ной реализуемой системы управления.

Пример 2. Пусть

στ

e)(R

−

= ,

N)(G,

ga2

)(G =

Разложим

GGG

zgn

() () ()ωω

на комплексно-сопряженные множи-

тели:

222

22 22

2(12)

()

ag a q

GNN

σω

=+= =

12 12aqj aqj

aj aj

ωω

++ +−

+−

Таким образом,

()

aqj

. Найдем теперь переда-

точную функцию оптимального реализуемого фильтра:

()1 1 ,

()

12 12(12 1)(1 )

aj q

aqj q q jT

ψω

ωω

=− =− =

++ + ++ +

где

. Импульсная характеристика такого фильтра оп-

ределяется с помощью обратного преобразования Фурье:

q21a

1q21

aq2

)(h

+−

, 0≥

Точно так же, как и раньше, может быть найдена минимально

достижимая дисперсия ошибки реализуемой системы:

1q21

aqN2

)0(hN

Заметим, что найденная дисперсия ошибки

больше, чем

дисперсия ошибки

q21

mino

нереализуемой системы управле-

ния (см. пример 1).

Таким образом, подход Винера хотя и с дополнительными

усложнениями, но все-таки дает возможность построения физиче-

ски реализуемой системы управления и определения ее точностных

характеристик для стационарных входных воздействий и бесконеч-

ного времени наблюдения.

Фильтр Калмана для стационарных процессов

Полученное в последнем примере решение задачи синтеза

оптимальной реализуемой системы дает возможность определить

импульсную переходную характеристику

(

)

или передаточную

функцию

()

. Вместе с тем, существует еще одна форма пред-

ставления оптимальной системы с помощью дифференциального

уравнения. На это обстоятельство в 1959 г. обратил внимание

Р. Калман. Помимо простоты реализации оптимальных САУ для

определенного, но достаточно широкого класса входных сигналов,

метод Р. Калмана позволяет произвести синтез оптимальных мно-

гомерных нестационарных САУ.

Рассмотрим вначале

возможности описания оптимальной

системы, с помощью дифференциального уравнения. Как было ус-

тановлено, передаточная функция оптимальной реализуемой сис-

темы управления записывается в виде:

() ,

12(12 1)(1 )

qq jT

++++

где

При этом выходной сигнал

() ()()

xp W pzp

или

() ()

12(12 1)(1 )

xp zp

qq pT

++++

После несложных преобразований:

() () ()

12(12 1)

xp pTxp zp

+++

() 1 2 /

() ()

12(12 1)

dx t q T

xt zt

dt T

+++

() 2

() ( () ())

(1 2 1)

dx t aq

ax t z t x t

+= −

получим следующее дифференциальное уравнение, описывающее

оптимальную систему:

()

() ( () ())

dx t

ax t VN z t x t

−

=− + −

где

12 1

Такую систему можно представить с

помощью структурной схемы на рис.37, где K=VN

-1

Рис. 37

Эта структурная схема и является решением Калмана рассматри-

ваемой задачи. Оказывается, процедуру оптимального управления

можно представить в виде системы с обратной связью. Очень важ-

но, что структура не изменяется и остается оптимальной, если из-

меняются параметры сигналов и помех, а также на этапе переход-

ного процесса. В этих случаях

оптимальная система (рис. 37) ста-

новится системой с переменными параметрами k=k(t) и

).(

aa =

Р. Калман обратил также внимание, что часть системы

управления полностью определяется видом входного сигнала. Дей-

ствительно, если спектр входного воздействия

()ω

, то та-

кое воздействие может быть сформировано из белого шума

ξ(t) с

помощью фильтра, описываемого дифференциальным уравнением

dg t

ag t a t

()

() ()+=ξ

Найдем величину

N энергетического спектра белого шума

()

, обеспечивающего формирование сигнала

(

)

gt с заданным

спектром

()

222

Ga a

ωσω

=+. После преобразования по Лап-

ласу дифференциальное уравнение запишется в виде

()p

– энергетический спектр. При этом передаточная

функция соответствующего фильтра

()=

или

()

. Таким образом, спектр сигнала

()

gt на выходе

фильтра

GNHj

() ( )ωω

, т.е. для полного соответствия

g(t)

n(t)

x(t)

z(t)

∫

спектру входного воздействия достаточно выбрать

=σNa ag

или

С другой стороны, рассмотренное дифференциальное урав-

нение можно представить как уравнение, описывающее систему с

обратной связью, показанную на рис. 38.

Рис. 38

Сравним структурные схемы оптимальной САУ (рис. 37) и

полученной системы (рис.38), формирующей входной сигнал g(t) .

Анализ структурных схем и связанных с ними дифференциальных

уравнений показывает полное соответствие формирующего фильт-

ра и значительной части структуры оптимальной САУ.

* * *

Таким образом, Р.Калман предложил другое представление

для решения задачи построения оптимальной системы управления,

данной Н.Винером. Но это представление решения в виде замкну-

той системы, близкой по виду к формирующему фильтру, имело

далеко идущие последствия. Было установлено, что структура сис-

темы управления не изменяется и при управлении одновременно

несколькими

параметрами, а также при нестационарных воздейст-

виях. Эта структура сохраняется и остается оптимальной для ши-

рокого класса возможных входных сигналов и помех.

3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Вначале подытожим основные результаты, полученные при

решении задачи синтеза одномерной оптимальной реализуемой

системы управления.

ξ()t

g(t)

∫

Пусть входное воздействие g(t) представляется реализацией

случайного процесса с энергетическим спектром

()ω

и в

сумме z(t)=g(t)+n(t) с белым шумом (помехой) n(t) поступает на

систему управления. В соответствии с методом Винера оптималь-

ная реализуемая система имеет передаточную функцию

qq jT

()

()()

ψω

=− =

++++

12 12 11

где

, x(jω)=W

(jω)Z(jω).

Р.Калман предложил другое представление того же решения

в виде дифференциального уравнения

dx t

ax t VN z t x t

()

() (() ())=− + −

−

При этом входное воздействие g(t) удобно представить в виде

выходного сигнала фильтра (рис.38), описываемого дифференци-

альным уравнением

()

() ()

dg t

ag t t

=− +

Фильтр, с помощью которого моделируется входное воздей-

ствие g(t), обычно называют

формирующим фильтром. Само же

входное воздействие g(t) при этом является состоянием форми-

рующей системы.

Было установлено, что при описании входных сигналов в ви-

де состояния некоторой системы всегда получается решение в виде

точно такой же по виду системы с обратной связью. При этом

структура САУ сохраняется для любого интервала времени, в том

числе

и во время переходного процесса, при изменении коэффици-

ентов

во времени, а также в случае, когда x(t) является век-

тором, т.е. при одновременном управлении по нескольким пара-

метрам. И во всех этих случаях структура системы управления ока-

зывается оптимальной в смысле минимума дисперсии ошибки

{}

() () ())tMxtgt=−

В этом разделе вначале рассматриваются математические мо-

дели входных многомерных нестационарных воздействий. После

этого обсуждается структура оптимальной многомерной системы,

которая называется фильтром Калмана.

Описание входных воздействий

Пусть нам необходимо осуществлять управление одновре-

менно n выходными сигналами системы

xt xt

( ),..., ( ). При этом мы

хотим получить наименьшие отличия этих сигналов от заданных

функций – входных воздействий

()

...

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

. Будем описывать

входные воздействия с помощью системы линейных дифференци-

альных уравнений состояния:

dg t

Atgt Vt t

()

() () () ()=+ξ

где A(t) – (n

× n) – матрица:

at at

nnn

11 1

21 2

() ... ()

... ... ...

() ... ()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

; ξ

()

...

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

– век-

торный белый шум с энергетическим спектром каждой компоненты

NtNt N t

ξξ ξ

(), (),..., () соответственно.

V(t) - (n

× m)-матрица V(t)=

vt vt

nnn

11 1

21 2

() ... ()

... ... ...

() ... ()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Уравнение состояния для трех независимых пара-

метров.

Предположим, что необходимо обеспечить измерение траек-

тории по 3 координатам, не связанным друг с другом. Эти коорди-

наты описываются случайными процессами, соответствующими

дифференциальным уравнениям:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−=

).t()t(g)t(a

)t(dg

),t()t(g)t(a

)t(dg

),t()t(g)t(a

)t(dg

333

222

111

Введем вектор

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

, матрицу

()

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

белый шум

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

. Тогда одновекторное уравнение состояния

dg t

At gt t

()

() () ()=+ξ

в точности описывает все заданные входные воз-

действия Для проверки достаточно раскрыть в этом уравнении мат-

ричные и векторные обозначения.

Пример 2. Входное воздействие с дробно-рациональным

энергетическим спектром.

Пусть g(t) описывается дифференциальным уравнением ви-

да:

dgt

dg t

agt t

() () ()

() ()+++=ξ

Найдем энергетический спектр такого воздействия. Для этого

вначале выполним преобразование Лапласа

pgpapgpapgpagp p

() () () () ()+++=ξ

и запишем передаточную функ-

цию формирующего фильтра

papapa

()=

+++

Энергетический спектр входного воздействия находится по форму-

ле

() ( )

GHjN

ωω

= . При выборе различных коэффици-

ентов

aaa

123

,, могут быть получены энергетические спектры разно-

образной формы. Но рассматриваемое уравнение имеет третий по-

рядок. Преобразуем его в одно векторное уравнение. Введем вспо-

могательные переменные:

dgt

dg t

()

(),

()

()==

. Тогда исходное

уравнение перепишется в форме:

dg t

ag t ag t agt t

dg t

12 21 3

()

() () () ()

()

=− − − +

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

Введем теперь вектор

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

и тогда

aaa

gt t=

−−−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

123

100

010

() ()ξ

, где

()

aaa

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

−−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

100

010

123

. Таким

образом дифференциальное уравнение третьего порядка удается

преобразовать к стандартной векторной форме. Очевидно, что точ-

но так же к векторному уравнению первого порядка можно преоб-

разовать дифференциальное уравнение произвольного порядка.

Пример 3. Полиномиальное воздействие.

Пусть

() 2gt g Vt at=++ . Такой входной сигнал получается

как решение следующего дифференциального уравнения

0= .

Заметим, что этот результат можно рассматривать как частный слу-

чай предыдущего примера, полагая

aaa

123

≡

. Тогда

,,()2,,,

dg dg

aatV

tVtat

dt dt

==+ =++

– начальные

условия.

Введем вспомогательные переменные

dgt

dg t

()

(),

()

()==

Тогда уравнения состояния запишутся в виде:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

),t(g

)t(dg

),t(g

)t(dg

или в стандартной форме:

Ag t t=+() ()ξ

где

A =

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

000

100

010

ξ()t =

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение со-

стояния

At gt t=+() () ()ξ

описывает широкий класс реальных слу-

чайных процессов.

Пусть теперь

gt() передается по каналу связи и вместе с по-

мехой поступает на вход системы управления:

Zt Ctgt nt() () () ()=+, где

()

...

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

, C(t)=

ct ct

mmn

11 1

21 2

() ... ()

( ) ... ( )

... ... ...

( ) ... ( )

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

;

nt()=

()

...

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

– помеха в виде векторного белого шума со спектраль-

ными плотностями каждой компоненты

01 02 0

( ), ( ),..., ( )

NtNt N t со-

ответственно.

Рассмотренная векторная модель позволяет дать математиче-

ское описание различных ситуаций, возникающих при формирова-

нии входных сигналов проектируемых САУ.

Пример 4. Предположим, что один и тот же входной сигнал

g(t) передается по двум независимым каналам связи. При этом на

выходе первого канала наблюдается смесь

(

)()()

(

)

11 1

zt ctgt nt

сигнала

()

gt с помехой

(

)

nt, а на выходе второго канала наблюда-

ется процесс

() ()

(

)

(

)

22 2

zt ctgt nt=+. Для того, чтобы представить

такие наблюдения в стандартной векторной форме, введем векторы

() () ()

()

() () ()

(

)

12 1 2

zt z t z t nt n t n t== и матрицу

()

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

. В этом случае одно векторное уравнение

() () ()

(

)

zt ctgt nt=+

или

(

)

()

(

)

()

11 1

22 2

zt ct nt

⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠

описыва-

ет двухканальную систему наблюдений скалярного процесса

(

)

gt.

Пример 5. Пусть входной сигнал

(

)

gt имеет сложный энер-

гетический спектр и описывается дифференциальным уравнением

третьего порядка (см. пример 2). В этом случае уравнение состоя-