Ващенко Г.В., Добронец Б.С. Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Надежность информационных систем 141

≈

t =

где N — общее число наблюдений. Тогда λ = 1/

Можно также воспользоваться графическим способом (рис. 9.2): нанести

экспериментальные точки в координатах t и —lg P (t) . Знак минус выбирают

потому, что P (t)<1 и, следовательно, lg P (t) — отрицательная величина.

Тогда, логарифмируя выражение для вероятности безотказной работы:

lg P (t) = −λt · lg e = −0, 4343λt, заключаем, что тангенс угла прямой, про-

веденной через экспериментальные точки, равен tg α = 0, 4343λ, откуда λ =

2, 3 · tg α.

При этом способе нет необходимости доводить до конца испытания всех

образцов.

Пример 9.3. Оценить вероятность P (t) отсутствия внезапных отказов

механизма в течение t = 10000 ч, если интенсивность отказов составляет

λ = 1/m

= 10

−8

1/ч.

Решение. Так как λt = 10

−8

·10

= 10

−4

< 0, 1, то пользуемся прибли-

женной зависимостью P (t) = 1 − λt = 1 − 10

−4

= 0, 9999.

Расчет точной зависимости P (t) = e

−λt

в пределах четырех знаков после

запятой дает точное совпадение.

9.4. Надежность в период постепенных отказов

Для постепенных (или износовых в широком смысле) отказов нужны

законы распределения времени безотказной работы, которые дают вначале

низкую плотность распределения, затем максимум и далее падение, связан-

ное с уменьшением числа работоспособных элементов.

В связи с многообразием причин и условий возникновения отказов в этот

период для описания надежности применяют несколько законов распределе-

ний, которые устанавливают путем аппроксимации результатов испытаний

или наблюдений в эксплуатации.

Нормальное распределение является наиболее удобным и широко приме-

няемым для практических расчетов.

Распределение подчиняется нормальному закону, если на изменение слу-

чайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные фак-

торы. Нормальному распределению подчиняется наработка до отказа многих

восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, размеры и ошибки из-

мерений деталей и т. д. Нормальным называют распределение вероятностей

142 Основные расчетные модели...

непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

f(t) =

√

2π

−(t−m

)

/2S

. (9.5)

Рис. 9.3. Нормальное распределение

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожи-

дание m

и среднее квадратическое отклонение S. Значения параметров m

и S оценивают по результатам испытаний по формулам

≈

t =

/N;

S ≈ s =

N − 1

−

где

t и s — оценки математического ожидания и среднего квадратичного

отклонения.

Сближение параметров и их оценок увеличивается с увеличением числа

испытаний.

Интегральная функция распределения F (t) =

−∞

f(t)dt, а вероятность

отказа и вероятность безотказной работы соответственно Q(t) = F (t), P (t) =

= 1 − F (t).

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц. Воизбежание

громоздкости применяют таблицы в которых m

= 0 и S

= 1. Для этого

распределения функция плотности вероятности

(x) =

√

2π

−

Надежность информационных систем 143

является нормированной и центрированной плотностью распределения. Функ-

ция плотности распределения записывается в относительных координатах с

началом на оси симметрии петли.

Для использования таблиц следует применять подстановку x = (t −

)/S. При этом х называется квантилью нормированного нормального

распределения и обозначается u

Сравнивая изделия с одинаковой средней наработкой до отказа и разным

средним квадратичным отклонением S, нужно подчеркнуть, что хотя при

больших S и имеются экземпляры с большой долговечностью, но чем меньше

S, тем много лучше изделия.

Логарифмическое нормальное распределение — несколько точнее, чем

нормальное, описывает наработку до отказа деталей, в частности по уста-

лости. Его применяют для описания наработки на отказ подшипников каче-

ния, электронных ламп и др. В логарифмическом нормальном распределении

логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Это

распределение удобно для случайных величин, представляющих собой про-

изведение значительного числа случайных исходных величин, подобно тому,

как нормальное распределение удобно для суммы случайных величин.

Рис. 9.4. Плотность вероятности логарифмического нормального распределения при

различных параметрах

Плотность распределения описывается зависимостью

f(t) =

√

2π

−

(ln t−µ)

, (9.6)

где µ и S — параметры, оцениваемые по результатам испытаний. Так, при

результатах испытаний N изделий до отказа

µ ≈ µ

∗

ln t

; S ≈ s =

N − 1

(ln t

− µ

∗

)

144 Основные расчетные модели...

где µ

∗

и s оценка параметров µ и S.

Вероятность безотказной работы можно определить по специальным таб-

лицам для нормального распределения в зависимости от значения квантили

= (ln t − µ)/S.

Математическое ожидание наработки до отказа

= e

µ+S

;

среднее квадратическое отклонение

2µ+S

− 1);

коэффициент вариации

= S

− 1.

При v

≤ 0, 3 полагают v

≈ S, при этом ошибка ≤ 1 %.

Распределение Вейбулла довольно универсально. Оно охватывает путем

варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятно-

стей. Наряду с логарифмическим нормальным распределением оно удовле-

творительно описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, на-

работку до отказа подшипников, электроники и др. Применяется для оценки

надежности по приработочным отказам.

Распределение характеризуется следующей функцией вероятности без-

отказной работы: P (t) = e

−h

, где h = t

Интенсивность отказов

λ(t) =

m−1

;

плотность распределения

f(t) =

m−1

Распределение Вейбулла также имеет два параметра: параметр формы

m > 0 и параметр масштаба t

> 0.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соот-

ветственно

= b

1/m

; S

= c

1/m

где b

и c

— коэффициенты, определяемые по соответствующей таблице.

Надежность информационных систем 145

Рис. 9.5. Основные характеристики Вейбулла: а — вероятность безотказной работы P (t);

б — интенсивность отказов λ(t) при разных параметрах t

и m

Возможность и универсальность распределения Вейбулла видны из сле-

дующих пояснений (Рис. 9.5):

При m < 1 функции λ(t) и f(t) от наработки до отказа убывающие.

При m = 1 функции распределение превращается в экспоненциальное

λ(t) = const и f(t) — убывающая функция.

При m > 1 функция f(t) — одновершинная функция λ(t) непрерывно

возрастающая с выпуклостью вниз.

При 1 < m < 2 с выпуклостью вверх, а при m > 2 — с выпуклостью

вниз.

При m = 2 функция λ(t) является линейной и распределение Вейбулла

превращается в так называемое распределение Рэлея.

При m = 3.3 распределение Вейбулла близко к нормальному.

Пример 9.4. Оценить вероятность безотказной работы P (t) роликпод-

шипников в течение t = 10

ч, если ресурс подшипников описывается распре-

делением Вейбулла с параметрами t

= 10

ч, m = 1, 5.

Решение. P (T ) = e − t

= e

−10

4∗1,5

/10

= 0, 905.

9.5. Совместное действие внезапных и постепенных

отказов

Вероятность безотказной работы изделия за период t, если до этого оно

проработало время T , по теореме умножения вероятностей равна

P (t) = P

(t) · P

(t),

146 Основные расчетные модели...

где P

= e

−λt

и P

(t) = P

(T +t)/P

(T ) — вероятности отсутствия внезапных

и соответственно постепенных отказов.

Рис. 9.6. Совместное действие внезапных и постепенных отказов

Для системы из последовательно соединенных элементов вероятность

безотказной работы за период t равна P(t) = e

−t

(T +t)

(T )

, где знаки

означают сумму и произведение. Для новых изделий T = 0 и P

(t) = 1.

На рис. 9.6 показаны кривые вероятности отсутствия внезапных отказов,

постепенных отказов и кривая вероятности безотказной работы при совмест-

ном действии внезапных и постепенных отказов. Вначале, когда интенсив-

ность постепенных отказов низка, кривая соответствует кривой PB, а потом

резко снижается.

В период постепенных отказов их интенсивность, как правило, много-

кратно выше, чем внезапных.

9.6. Надежность восстанавливаемых изделий

Рис. 9.7. Графики эксплуатации (а) и работы (б). У невосстанавливаемых изделий

рассматриваются первичные отказы, у восстанавливаемых — первичные и повторные

Все рассуждения и термины для невосстанавливаемых изделий распро-

страняются на первичные отказы восстанавливаемых изделий.

Для восстанавливаемых изделий показательны графики эксплуатации

рис. 9.7, а и работы рис. 9.7, б восстанавливаемых изделий. Первый показыва-

ет периоды работы; ремонта и профилактики (осмотров), второй — периоды

Надежность информационных систем 147

работы. С течением времени периоды работы между ремонтами становятся

короче, а периоды ремонта и профилактики возрастают.

У восстанавливаемых изделий свойства безотказности характеризуются

величиной ¯m(t) — средним числом отказов за время t

¯m(t) =

где N — число испытуемых изделий; n

— число отказов изделия за время t .

В статистической трактовке параметр потока отказов Λ(t) характеризует

среднее число отказов, ожидаемых в малом интервале времени:

Λ(t) =

∆ ¯m(t)

∆t

где ∆ ¯m(t) — приращение среднего числа отказов за время ∆(t), т. е. среднее

число отказов от момента t до момента t + ∆(t).

В вероятностной трактовке параметр потока отказов

Λ(t) =

d ¯m(t)

Как известно, при внезапных отказах изделия закон распределения на-

работки до отказа экспоненциальный с интенсивностью λ. Если изделие при

отказе заменяют новым (восстанавливаемое изделие), то образуется поток

отказов, параметр которого Λ(t) = Λ =const и равен интенсивности λ.

Поток внезапных отказов предполагают стационарным, т. е. среднее

число отказов в единицу времени постоянно, ординарным, при котором одно-

временно возникает не более одного отказа, и без последействия, что означа-

ет взаимную независимость появления отказов в разные (непересекающиеся)

промежутки времени.

Для стационарного, ординарного потока отказов ∆(t) = ∆ = 1/

T , где

T — средняя наработка между отказами.

Рис. 9.8. График частоты отказа объектов с последовательной заменой после отказа

148 Основные расчетные модели...

Самостоятельное рассмотрение постепенных отказов восстанавливаемых

изделий представляет интерес, потому что время восстановления после по-

степенных отказов обычно существенно больше, чем после внезапных. При

совместном воздействии внезапных и постепенных отказов параметры пото-

ков отказов складываются.

Поток постепенных (износовых) отказов становится стационарным при

наработке t, значительно большей среднего значения

T . Так, при нормальном

распределении наработки до отказа интенсивность возрастает монотонно, а

параметр потока отказов Λ(t) сначала возрастает, потом начинаются колеба-

ния, которые затухают на уровне 1/

T (рис. 9.8). Наблюдаемые максимумы

Λ(t) соответствуют средней наработке до отказа первого, второго, третьего и

т. д. поколений.

В сложных изделиях (системах) параметр потока отказов рассматри-

вается как сумма параметров потоков отказов. Составляющие потоки мож-

но рассматривать по узлам или по типам устройств, например механиче-

ским, гидравлическим, электрическим, электронным и другим, Λ(t) = Λ

(t)+

(t) + ... Соответственно средняя наработка между отказами изделия (в пе-

риод нормальной эксплуатации)

T = 1/Λ или 1/

+ 1/

+ ...

Вероятность безотказной работы от момента T до T + t подчиняется

экспоненциальному распределению

P (t) = e

−∆/t

Для системы из последовательно соединенных элементов

= e

−t

одним из основных показателей надежности восстанавливаемого изделия яв-

ляется коэффициент технического использования

η =

где

T — средние значения наработки, простоя, ремонта.

Надежность сложной аппаратуры.

Оценивать надежность сложной системы, так же как и надежность эле-

ментов, нецелесообразно, поскольку для различных частей системы значе-

ния опасностей отказов не одинаковы и не постоянны. Поэтому более удоб-

ным критерием оценки надежности сложной системы является вероятность

Надежность информационных систем 149

безотказной работы P

(t). Преимуществом вероятности безотказной работы

сложной системы перед другими критериями надежности является то, что ее

можно получить расчетным путем на этапе разработки и несложно оценить

в процессе ее испытания.

Связь надежности реальной аппаратуры с надежностью ее элементов

может иметь трудно предсказуемый характер. Поэтому обычно используется

элементарная математическая модель, согласно которой система считается

исправной, если исправны все ее составные элементы. Иными словами, при

выходе из строя одного узла, модуля или элемента нарушается работа всего

устройства.

Так как отказы отдельных элементов считаются независимыми событи-

ями, надежность может быть представлена произведением:

(t) = P

(t)P

(t) · ... · P

(t) =

i=1

(t), (9.7)

где n — число элементов в системе.

С учетом выражения (9.7) можно написать

(t) = exp







−

i=1

(t)dt







Если справедливо предположение, что опасность отказов всех элементов

есть величина постоянная (λ

= const), то

= exp(−Λ

t),

где Λ

i=1

- опасность отказа системы.

Таким образом, надежность системы зависит от надежности ее элемен-

тов и от их общего количества, поэтому, чем больше число элементов, тем

больше опасность отказа и ниже надежность системы.

Полный расчет надежности включает определение количества всех ком-

понентов аппаратуры, количества внешних выводов, монтажных соединений

и т. д. и поэтому представляет собой очень трудоемкую операцию. В свя-

зи с этим часто ограничиваются ориентировочным расчетом надежности в

зависимости от числа использованных элементов.

Если какая-то радиоэлектронная аппаратура имеет тысячу элементов,

то, считая опасность отказов всех элементов одинаковой и равной λ

= 4·10

−6

1/ч, получим Λ

= 4 · 10

−6

· 10

= 0, 04. Вероятность того, что такая аппа-

ратура проработает 100 часов, будет равна: P

(t) = e

−0,004·100

= e

−0,4

= 0, 67.

Среднее время безотказной работы T = 1/Λ

= 250. Если же сложность ап-

паратуры возрастет, и число элементов в ней увеличится до 10 000, то P

(t) =

150 Основные расчетные модели...

= e

−4

= 0, 0183; T = 25. Даже в простых счетно-решающих устройствах, ти-

па карманных и настольных калькуляторов, для выполнения всех функций

необходимо иметь 40–50 тыс. транзисторов. Если бы такая аппаратура созда-

валась из дискретных компонентов, то Λ

= 4 ·10

−6

·5 ·10

= 20 ·10

−2

= 0, 2;

T1/0, 2 = 5.

Конечно, работать с такими устройствами практически невозможно. Но

именно такое значение надежности и времени безотказной работы имели

электронные машины первого и второго поколений (на дискретных элемен-

тах).

Обеспечение достаточно длительной безотказной работы сложной аппа-

ратуры было достигнуто за счет увеличения надежности используемых в си-

стеме элементов и сокращения их числа. Наиболее надежными элементами

вычислительной техники являются интегральные микросхемы. Надежность

интегральных схем в сотни и тысячи раз превышает надежность аналогичной

аппаратуры, созданной из дискретных элементов: опасность отказов у ИС со-

ставляет 10

−6

−10

−9

1/ч. Столь высокая надежность интегральных микросхем

получается благодаря особой технологии их изготовления. Микросхема фор-

мируется на поверхности и в толще монокристалла кремния. Так как при

этом отсутствуют проволочные внутрисхемные соединения и паяные контак-

ты, надежность интегральных микросхем, образно говоря, приближается к

надежности сплошного металла.

Само появление интегральных схем было вызвано необходимостью со-

здания электронно-вычислительной аппаратуры с высокой надежностью. С

тем же количеством элементов, которое рассматривалось в предыдущем при-

мере, аппаратура на интегральных микросхемах будет иметь среднее время

безотказной работы T

= 20000 ч.

Другим эффективным средством повышения надежности аппаратуры

является резервирование, т. е. замена отказавших элементов заранее преду-

смотренными запасными блоками. Современные ЭВМ строят на основе блоч-

ного принципа. Основой аппаратуры является каркас, выполненный в виде

стойки или настольного прибора. В каркас вставляют блоки, т. е. крупные

конструктивные единицы, которые соединяют с каркасом с помощью штеп-

сельных разъемов. Как правило, блоки являются функционально закончен-

ными узлами. При отказе блок вынимается из каркаса и на его место уста-

навливается новый.

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры применения распределения Вейбулла при оценке

надежности компьютерного аппаратного обеспечения.

2. Оцените вероятность P (t) отсутствия внезапных отказов механизма