Ващенко Г.В., Добронец Б.С. Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Надежность информационных систем 171

собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных вели-

чин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х

имеет распределение, близкое к нормальному, распределение среднего как

суммы, близкой к нормальному, формулы для вычислений нижней и верхней

доверительных границ можно представить в виде

= P

∗

+ u

= P ∗ +u

∗

(1 − P

∗

)

, (10.13)

= P

∗

− u

= P ∗ −u

∗

(1 − P

∗

)

, (10.14)

где u

— квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной

доверительной вероятности α.

Приближение нормальным распределением используют, если выполня-

ются два условия: nP

∗

> 10 и n(1 − P

∗

) > 10.

Пример 10.4. Оценить P

, P

, если n = 100, m = 20, α = 0,95.

Решение. Вычисляем P

∗

= 0, 8 , nP

∗

= 80 > 10; n(1 − P

∗

) = 20 > 10 .

Следовательно, нормальное распределение можно использовать. При α =

0, 95 по таблице для нормального распределения u

= −1, 64. Отсюда u

−0, 0656. Поэтому P

= 0,734, P

= 0, 866. Поэтому P

= 0,734, P

= 0, 866.

Определим требуемый объем выборки, если требуемая вероятность без-

отказной работы равна P

∗

. Заданы доверительный интервал d = P

− P

и односторонняя доверительная вероятность α. Предполагаем применимость

нормального распределения.

Из формул (10.5) и (10.6) следует, что d = −u

∗

(1−P

∗

)

, отсюда

n =

4 · u

∗

(1 − P

∗

)

. (10.15)

Пример 10.5. Оценить n, если P

∗

= 0 , 8 P

= 0 , 866, P

= 0, 73, d =

= P

− P

= 0, 132 при α = 0, 95.

Решение. Подставляя в формулу (10.15) значения, получим

n =

4 · 1, 64

· 0, 8(1 − 0, 8)

0, 132

≈ 100.

Доверительные испытания для восстанавливаемых изделий

Рассмотрим изделия с заменой или восстановлением элементов после от-

каза. В этом случае часто предполагают распределение наработки на отказ

экспоненциальным. Средний ресурс T оценивается средней наработкой на

отказ испытанных изделий (оценка снизу):

T = t

/m, (10.16)

172 Испытания на надежность

где t

— суммарное время испытаний n изделий; m — общее число

отказов, возникших в процессе испытаний. Величина 2t

/T имеет распреде-

ление χ-квадрат (хи-квадрат) со степенями свободы 2m либо 2m + 1 в за-

висимости от того, прекращаются испытания после наступления очередного

отказа или после истечения времени испытаний.

χ-квадрат распределение. Пусть X

, ..., X

— независимые случайные ве-

личины. То есть X

, ..., X

— нормальные, подчиняющиеся нормальному за-

кону независимые случайные величины с математическим ожиданием a = 0

и дисперсией σ = 1. Совокупность (X

, ..., X

) можно понимать как выбор-

ку объема n из генеральной совокупности, в которой признак X распреде-

лен по N(x : a, σ) (по нормальному закону). Рассмотрим функцию выборки

i=1

−a)

. Распределение этой величины называется χ-квадрат рас-

пределением с n степенями свободы.

Плотность этого распределения

f(x) =







0 при x ≤ 0,

n/2

Γ(n/2)

· e

−x/2

· x

(n/2)−1

при x > 0,

(10.17)

где

Γ(x) =

∞

x−1

−t

— гамма-функция; в частности Γ(n + 1) = n!. То есть χ

определяется одним

параметром — числом степеней свободы n.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно прибли-

жается к нормальному.

Если испытания восстанавливаемых изделий прекращают до окончания

времени испытаний, то вероятностные соотношения для величины 2t

/T имеют

вид

Вер

α;2(m+1)

≥

= α;

Вер

1−α;2(m+1)

≤

= α; (10.18)

откуда

(1+β) /2;2(m+1)

; (10.19)

(1−β)/2;2m

. (10.20)

Доверительную вероятность χ-квадрат распределения с 2m степенями

свободы, соответствующую наиболее употребительным значениям доверитель-

Надежность информационных систем 173

ной вероятности, находят по таблицам, приводимым в соответствующих спра-

вочниках и учебниках.

Пример 10.6. Испытано 3 изделия, каждое в течение 600 ч. В процес-

се испытаний получено 4 отказа. После отказов работоспособность изделий

восстанавливали. Требуется оценить нижнюю границу средней наработки на

отказ с односторонней доверительной вероятностью α = 0,8.

Решение. t

= nt = 3 · 600 = 1800 ч.

Воспользовавшись таблицей, при α = 0,8 имеем χ

1−α;2(m+1)

= 13, 4. Под-

ставляя t

и последнее значение в формулу (10.11), получаем T

= 269 ч.

Форсирование режима испытаний. Сокращение числа образцов

Сокращение объема испытаний за счет форсирования режима

Обычно ресурс машины зависит от уровня напряжений, температуры и

других факторов. Если характер этой зависимости изучен, то длительность

испытаний можно сократить с времени t до времени t

за счет форсирования

режима испытаний t

= t/K

, где K

— коэффициент ускорения, а

- средние наработки до отказа в нормальном и форсированном режимах.

На практике длительность испытаний сокращают до 10 раз. Недостаток

метода – пониженная точность в связи с необходимостью пользоваться для

пересчета на реальные режимы работы детерминированными зависимостями

лимитирующего параметрами от наработки и в связи с опасностью перехода

на другие критерии отказа.

Сокращение числа образцов за счет оценки надежности по отсутствию

или малому числу отказов

Для подтверждения одной и той же нижней границы P

вероятность

безотказной работы с доверительной вероятностью α требуется испытать;

тем меньше изделий, чем выше значение частости сохранения работоспособ-

ности P

∗

= 1 − m/n. Частость P

∗

, в свою очередь, растет с уменьшением

числа отказов m. Следовательно, получая оценку по малому числу или от-

сутствию отказов, можно несколько сократить число изделий, потребное для

подтверждения заданного значенияP

. Следует отметить, что при этом риск

не подтвердить заданное значение P

, так называемый риск изготовителя,

естественно возрастает.

Несмотря на большой риск забраковать свою продукцию, изготовители

изделий часто планируют испытания с числом отказов, равным нулю, пони-

жая риск введением необходимых запасов в конструкцию и связанным с ними

повышением надежности изделия.

Из формулы (10.12) следует, что для подтверждения значения P

с до-

верительной вероятностью α необходимо испытать

174 Испытания на надежность

n =

lg(1 − α)

lg P

(10.21)

изделий при условии, что отказов при испытании не возникает.

Пример 10.7. Определить число n изделий, необходимое для испыта-

ний при m=0 (число отказов), если задано P

= 0, 9; 0, 95; 0, 99 c α = 0, 9.

Решение. Делая вычисления по формуле (10.21), соответственно имеем

n = 22; 45; 229.

Сокращение числа образцов за счет увеличения длительности

испытаний

При испытаниях изделий, подверженных внезапным отказам (например,

радиоэлектронная аппаратура), а также восстанавливаемых изделий резуль-

таты в большинстве случаев пересчитывают на заданное время в предположе-

нии справедливости экспоненциального распределения отказов по времени. В

этом случае объем испытаний nt остается практически постоянным, а число

испытываемых образцов становится обратно пропорциональным времени ис-

пытаний.

Выход из строя большинства машин вызывается различными процесса-

ми старения. Поэтому экспоненциальный закон для описания распределения

ресурса их узлов не применим, а справедлив нормальный, логарифмический

нормальный или закон Вейбулла. При таких законах за счет увеличения дли-

тельности испытаний можно сократить объем испытаний. Поэтому, если в

качестве показателя надежности рассматривается вероятность безотказной

работы, что характерно для невосстанавливаемых изделий, то с увеличением

длительности испытаний число испытываемых образцов сокращается более

резко, чем в первом случае. В этих случаях назначенный ресурс t и парамет-

ры распределения наработки до отказа связаны выражением:

при нормальном законе

t =

t + u

;

при логарифмически нормальном законе

lg t = lg

t + u

lg t

;

при законе Вейбулла

P = e

−(t/t

)

где

t, lg

t — средние значения ресурса и его логарифма; S

, S

lg t

— средние

квадратические отклонения ресурса и его логарифма; u

— квантиль нор-

мального распределения, соответствующая вероятности безотказной работы

P ; t

, M — параметры положения и формы.

Надежность информационных систем 175

Из этих выражений следуют формулы пересчета вероятностных оценок

времени испытаний t

на заданный ресурс t для названных трех законов:

t − t

+ u

; (10.22)

lg t − lg t

lg t

+ u

; (10.23)

ln P = (t/t

)

ln P

, (10.24)

где v = S

t — коэффициент вариации ресурса; P

, u

— вероятность безот-

казной работы в течение времени испытаний и соответствующая ей квантиль.

Испытав изделие в течение времени t

> t и оценив значение нижней

границы вероятности безотказной работы в течение времени испытаний, эту

оценку по формулам (10.22)–(10.24) пересчитывают время t.

Пример 10.8. Требуется оценить по результатам испытаний изделия

в течение времени t

= 3t при n = 16, m = 0 значение P

за время t при

α = 0, 8, если известно, что отказы изделия по времни распределены лога-

рифмически нормально с S

lg t

= 0, 3.

Решение. По формуле (10.13) получаем P

= 0, 725 на время t

, что со-

ответствует u

= −0, 6. Вычисляя по формуле (10.23), получаем u

= −2, 19

что соответствует P = 0, 985.

Для подтверждения указанного значения P

при m=0, α = 0, 8 следо-

вало бы испытать в течение времени t согласно (10.21) 106 изделий. Таким

образом, за счет увеличения времени испытаний число испытанных образцов

сокращено в 21 раз, а объем испытаний – в 7 раз.

Описанный метод оценки надежности может дать погрешность оценки

нижней границы вероятности безотказной работы до 10 %. Погрешность воз-

никает из-за невозможности точного описания одним законом распределения

разнотипных отказов.

10.6. Контрольные испытания

При планировании испытаний назначается число испытываемых образ-

цов n, время испытаний для каждого из них t и допустимое число отказов

m. Исходными данными для назначения этих параметров являются: риск

поставщика (изготовителя) α

∗

и риск потребителя β

∗

, приемочное и брако-

вочное значения контролируемого показателя.

176 Испытания на надежность

Риск поставщика — это вероятность того, что хорошая партия, изделия

которой имеют уровень надежности, равный или лучше заданного, бракуется

по результатам выборки.

Риск заказчика — это вероятность того, что плохая партия, изделия ко-

торой имеют уровень надежности хуже заданного, принимаются по резуль-

татам испытаний.

Значения α

∗

и β

∗

назначают из ряда чисел 0,05; 0,1; 0,2, в частности,

правомерно назначить α

∗

= β

∗

Невосстанавливаемые изделия

Браковочный уровень вероятности безотказной работы P

(t), как пра-

вило, принимают равным значению P

(t), заданному в технических услови-

ях. Приемочное значение вероятности безотказной работы P

(t) принимают

большим P

(t). Если время испытаний и режим работы приняты равными

заданным, то число испытываемых образцов и допустимое число отказов m

при одноступенчатом методе контроля вычисляют по формулам:

i=0

i!(n − i)!

(1−P

(t))

(t)

n−i

= 1 − α

∗

;

i=0

i!(n − i)!

(1−P

(t))

(t)

n−i

= β

∗

подобным формулам (10.10) и (10.11).

Восстанавливаемые изделия. Контроль средней наработки на

отказ.

Браковочный уровень средней наработки на отказ T

, как правило, при-

нимают равным значению T

, заданному в технических условиях. Приемоч-

ное значение T

рекомендуется принимать в 1,5–15 раз превышающим T

Чтобы избежать неопределенности при выборе T

, при отсутствии специаль-

ных требований, можно принимать T

= 2T

Одним из наиболее удобных с точки зрения экономичности и простоты

планов контроля средней наработки на отказ является следующий: α∗ =

β∗ = 0, 2; T

= 4T

; T

= T

. В этом случае при испытании двух изделий

результаты будут положительными, и их прекращают, если в течение времени

у каждого изделия не возникло отказов. Если возник один отказ, изделие

восстанавливают и испытания каждого изделия продолжают до получения

наработки, равной 2T

. Если в дополнительное время отказов не возникло,

то результаты испытаний положительные. Если суммарное время отказов

равно двум или больше 2T

, то результаты испытаний отрицательные.

Подобная методика испытаний на надежности находит применение для

узлов технологического оборудования (узлов станков с ЧПУ, промышленных

Надежность информационных систем 177

роботов, автоматизированных складов и т. д.). Для сокращения длительно-

сти испытаний применяют прогнозирование ресурса по результатам замеров

скорости изменения, определяющих работоспособность.

Суть методики в следующем. Накопленный опыт по эксплуатации техно-

логического оборудования позволяет выявить совокупность первичных отка-

зов и на его основе разработать к примеру, такой способ оценки надежности:

1. Установить узлы, подлежащие испытаниям.

2. По вышеописанной методике оценить необходимую суммарную дли-

тельность T

неускоренных испытаний и установить план испытаний.

3. На испытания поставить n однотипных узлов. Чтобы свести к мини-

муму погрешность оценки средней наработки на отказ, связанную для ме-

ханических, электромеханических и гидравлических узлов с возможным от-

клонением реального закона распределения наработки на отказ от экспонен-

циального, назначить n = T

, т. е. в нашем случае n = 2. На ЧПУ эту

рекомендацию не распространяют, так как для него экспоненциальный закон

достаточно подтвержден и принимают n = 1, . . . , 10.

4. Составить перечень первичных возможных отказов узла.

5. По видам внезапных отказов спрогнозировать работоспособность и

среднюю наработку на отказ с помощью расчетов или испытаний.

6. По постепенным отказам спланировать длительность t

ускоренных

испытаний каждого испытуемого экземпляра. В качестве основного спосо-

ба ускорения испытаний рекомендуется прогнозирование ресурса по замерам

изменения параметров в течение малого времени.

7. Длительность испытаний t

назначить такую, чтобы можно было спро-

гнозировать наработку испытуемого экземпляра узла с относительной по-

грешностью не выше 0,05–0,1.

8. Замерить у деталей и узлов начальные значения x

определяющих па-

раметров и уточнить из опыта эксплуатации их предельно допустимые x

pri

значения. Затем провести испытания в течение времени t

, после их оконча-

ния разбрать узел и замерить значения x

тех же параметров.

9. Испытания провести по управляющей тест-программе в наиболее тя-

желом из возможных в эксплуатации режимов.

10. Спрогнозировать в предположении линейного изменения определяю-

щего параметра ресурс t

по каждому i-му отказу:

− x

Hii

− x

11. Спрогнозировать число отказов испытуемых экземпляров. Считать,

что узел отказал или откажет при эксплуатации в течение времени T

/n, ес-

ли: а) расчетом или испытаниями по соответствующим видам отказов уста-

178 Испытания на надежность

новлено, что ресурс меньше T

или работоспособность не обеспечена; б) рас-

четом или испытаниями по соответствующим видам отказов получена сред-

няя наработка на отказ меньшая T

; в) при испытаниях имел место отказ; г)

прогнозированием ресурса установлено, что по какому-либо отказу t

< T

/n.

12. Разделить возникшие при испытаниях и спрогнозированные расче-

том первичные отказы на две группы: 1) определяющие периодичность тех-

нических обслуживаний и ремонтов, т. е. такие, предотвращение которых

проведением регламентированных работ возможно и целесообразно; 2) опре-

деляющие среднюю наработку на отказ, т. е. те, предотвращение которых

проведением таких работ либо невозможно, либо нецелесообразно.

Контроль среднего времени восстановления

Браковочный уровень среднего времени восстановления T

Hβ

принима-

ют равным значению T

, заданному в технических условиях. Приемочное

значение времени восстановления T

βα

принимают меньшим T

Bβ

. В частном

случае можно принять T

βα

= 0, 5T

Bβ

. Контроль удобно вести одноступенча-

тым методом.

По формуле

βα

Bβ

1−α;2m

β;2m

где χ

β;2m

, χ

1−α;2m

— квантили уровней β∗ и 1 −α∗ распределения χ-квадрат

со 2m степенями свободы, находят необходимое число отказов m. Затем по

формуле

max

Bβ

1−α;2m

вычисляют суммарное время восстановления t

max

, необходимое для прове-

дения контроля. Значения планов контроля, полученные расчетом по этим

формулам:

α∗ β∗ T

Bα

Bβ

m t

max

Bβ

0,05 0,05

0,5

20 13,2

0,1 0,1 14 9,47

0,2 0,2 6 3,92

Результаты испытаний считают положительными, если суммарное вре-

мя восстановления t

max

оказалось достаточным для усреднения отказов. При

совмещении испытаний с контрольными, предназначенными для контроля

средней наработки на отказ, удобно необходимую величину получать искус-

ственным внесением в конструкцию наиболее типичных неисправностей.

Пример 10.9. Требуется назначить план испытаний для контроля сред-

него времени восстановления не более T

= 2.

Надежность информационных систем 179

Решение. Задаемся α∗ = β∗ = 0, 2. Принимаем T

Bβ

= T

, T

Bα

0, 5T

Bβ

. Из таблицы следует m = 6; t

max

Bβ

= 3, 92, откуда t

max

= 3, 92,

Bβ

= 3, 92 · 2 = 7, 84.

Следовательно, если суммарное время восстановления 7,84 ч оказалось

достаточным для устранения 6 отказов, то результаты испытаний считаются

положительными.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под научным планированием эксперимента?

2. Перечислите известные вам виды экспериментов

3. В чем состоит цель эксперимента?

4. Какие математические модели используются для описания объекта

исследования?

5. Как определяют число факторов эксперимента?

6. Какими свойствами должны обладать планы факторных эксперимен-

тов?

7. За счет чего можно сократить объем испытаний?

8. В чем заключаются особенности испытаний для восстанавливаемых и

невосстанавливаемых изделий?

9. В чем суть форсирования испытаний?

10. За счет чего можно уменьшить число образцов испытаний?

11. Как осуществляется контроль средней наработки на отказ изделия?

12. Рассмотрите приведенные в главе примеры и решите предложенные

в них задачи с другими исходными данными.

Глава 11

Методы повышения надежности

11.1. Резервирование

Классификация методов резервирования

Известно, что количественная величина надежности является индиви-

дуальным свойством любого ТУ, заложенным в него при проектировании и

изготовлении. При эксплуатации в силу воздействия процессов износа и ста-

рения надежность уменьшается. В процессе технического обслуживания про-

водятся плановые профилактические работы и замена элементов систем при

отказах. При замене отказавших элементов на новые происходит повышение

надежности систем, в которые эти элементы входят. Однако появление от-

казов в межпрофилактический период нежелательно. Поэтому еще при про-

ектировании применяются меры по созданию надежных систем. Это связано

с выбором конструкции, используемых материалов и деталей и технологий

изготовления. Но наиболее действенным и одним из основных методов повы-

шения надежности является резервирование.

Принцип резервирования заключается во введение в техническую систе-

му дополнительных (резервных) элементов, являющихся избыточными по от-

ношению к минимальной функциональной (МФС) или основной структуре

этой системы.

Совокупность основного элемента и резервирующих его элементов назы-

вается резервированной системой.

Основной характеристикой резервирования является его кратность, т. е.

отношение числа резервирующих элементов к числу резервируемых (основ-

ных). Кратность резервирования M определяется соотношением:

M =

N − h

где N — общее число элементов системы; h — число основных элементов.

Способы резервирования представлены на рис. 11.1.

180