Ващенко Г.В., Добронец Б.С. Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Надежность информационных систем 161

Они обусловлены целью эксперимента. Однако надо учитывать, что на

отклик (выходной параметр) оказывает влияние довольно большое число

других факторов, среди которых есть неуправляемые.

В процессе экспериментов исследуемые факторы варьируют, а остальные

поддерживают на постоянном уровне. Чтобы исключить влияние неуправля-

емых факторов, им задают среднее значение или рандомизируют, т. е. делают

случайными. Рандомизация усредняет по всем опытам действие неуправляе-

мых факторов.

Наиболее простой способ рандомизации – случайная последовательность

проведения всех опытов.

Значения (уровни) факторов удобно задавать в относительных (кодиро-

ванных величинах. Максимальный уровень фактора равен +1, минимальный

–1 и средний 0. В общем случае относительное, или кодированное, значение

фактора равно

x =

X − 0, 5(X

max

+ X

min

)

0, 5(X

max

− X

min

)

, (10.5)

где X

max

, X

min

— максимальное и минимальное абсолютные значение фак-

тора, т. е. пределы варьирования фактора в эксперименте; X — абсолютное

значение фактора.

Для качественных факторов (марка стали, вид термообработки, качество

покрытий и т. д.) строят условные порядковые шкалы, устанавливающие

соответствие уровней качественных показателей числам натурального ряда

— производят кодирование.

К исследуемым факторам предъявляют следующие требования:

управляемость – возможность установления и поддержания фактора на

выбранных уровнях;

независимость – возможность устанавливать фактор на выбранном уровне

вне зависимости от уровней других факторов;

совместимость – все комбинации факторов осуществимы и безопасны.

10.5. Планирование эксперимента

Выбор уровней факторов эксперимента

Планирование эксперимента в основном сводится к выбору числа уров-

ней факторов и определению значения (уровня) каждого фактора в опыте.

Выбранное число уровней в сочетании с числом факторов k определя-

ют число возможных опытов N , которое равно N = p

. Если каждый опыт

повторяется m раз, то число образцов соответственно равно mN. Число по-

162 Испытания на надежность

вторений m может быть выбрано по таблицам на основе задания допустимой

ошибки и доверительной вероятности.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уров-

ней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Для линейной модели достаточно варьирование факторов на двух уров-

нях. В этом случае имеем ПФЭ типа 2

Таблица 10.1.

номер опыта

Факторы

номер опыта

Факторы

1 + – 3 – +

2 + + 4 – –

Графически план такого эксперимента для двух факторов можно пред-

ставить в координатах кодированных значений факторов x

и x

Условия проведения опытов соответствуют вершинам квадрата. Для пер-

вого опыта x

= +1, x

= −1; второго x

= +1, x

= +1; третьего x

−1, x

= +1; четвертого x

= −1, x

= −1 (номера опытов назначены про-

извольно).

План эксперимента можно задавать таблицей, называемой матрицей пла-

на.

Матрица плана ПФЭ типа 2

представлена табл. 10.1.

Более исчерпывающая информация об эксперименте представляется мат-

рицей планирования эксперимента. Для ПФЭ типа 2

матрица планирования

представлена табл. 10.2 и включает матрицу плана эксперимента, значения

фиктивного фактора x

, эффект взаимодействия факторов x

(при необ-

ходимости его учета) и значения отклика.

Матрица плана трехфакторного эксперимента (в табл. 10.3. заключена

в пунктирную рамку) образуется от матрицы плана двухфакторного экспе-

римента, повторенного дважды: один раз – при нижнем уровне, а второй раз

– при верхнем уровне третьего фактора.

Таблица 10.2

№ опыта

Факторы Эффект взаимодействия Отклик

Повторы Среднее значение

1 + + - - y

, y

, ... ¯y

2 + + + + y

, y

, ... ¯y

3 + - + - y

, y

, ... ¯y

4 + - - + y

, y

, ... ¯y

Графически план полного факторного эксперимента типа 2

можно пред-

Надежность информационных систем 163

ставить вершинами куба, построенного в координатах кодированных значе-

ний факторов.

Матрица планирования для трехфакторного эксперимента, функция от-

клика которого соответствует полиному второго порядка, представлена в таб-

лице 10.2.

Свойства планов факторного эксперимента

Основные свойства планов полного факторного эксперимента типа 2

следующие.

Симметричность плана относительно центра эксперимента (начала

координат кодированных переменных) выражается равенством нулю сумм

кодированных значенийi−го (i= 1,2,. . . ,k) по всем опытам.Т. е.

u=1

= 0.

Таблица 10.3.

Ортогональность плана предполагает равенство нулю суммы попар-

но переменных факторов x

и x

, т. е. i-го и j-го факторов в u-ом опыте

u=1

= 0, где i 6= j; i, j = 0, 1, 2, ..., k.

Ротатабельность — точность предсказания значений выходного пара-

метра одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента.

Для линейной модели число коэффициентов, подлежащих определению,

равно числу факторов k плюс единица (свободный член). Если учесть, что

число опытов ПФЭ равно 2

, то очевидна большая избыточность опытов.

В этом случае пользуются дробным факторным экспериментом (ДФЭ), эф-

фективность которого увеличивается с ростом числа факторов k. Основа по-

строения ДФЭ – замена в матрице планирования наиболее слабого эффекта

164 Испытания на надежность

взаимодействия (произведения факторов) новым фактором. Какой их эф-

фектов взаимодействия наиболее слабый, т. е. менее всего влияет на величи-

ну выходного параметра, решает экспериментатор на основании физических

представлений об исследуемом объекте. Например, планируя ДФЭ для трех

факторов, используют матрицу планирования двухфакторного эксперимен-

та, где эффект взаимодействия x

, x

заменяют фактором x

(табл. 10.4.).

Однако в ДФЭ оценки коэффициентов функции отклика на будут раздельны-

ми. Из табл. 10.4 видно, что столбцы для x

и x

одинаковы, следовательно,

оценка коэффициента β

, обозначаемая через b

, смешана с коэффициентами

, т. е. b

→ β

+ β

Аналогично находим смешение для оценок b

и b

: b

→ β

+ β

; b

→

+ β

Таблица 10.4

№ опыта

Матрица плана ДФЭ Эффекты взаимодействия

1 + - - - - +

2 + + + + + +

3 - + - - + -

4 - - + + - -

Смешение оценок не отразится на результатах, если проверка адекват-

ности подтвердит правомерность выбора линейной модели, и, следовательно,

возможность пренебрежения эффектами взаимодействия.

В силу ортогональности матриц планирования эксперимента формулы

для определения оценок b

, b

и b

неизвестных коэффициентовβ

, β

функ-

ции отклика (полинома первого порядка) предельно просты:

u=1

¯y

; b

u=1

¯y

; b

u=1

¯y

где x

, x

— величина i-го и j-го факторов (i 6= j; i, j = 1, 2, ..., k) в u-ом

опыте.

Среднее значение отклика ¯y

в u-ом опыте определяется по формуле

¯y

q=1

, (10.6)

где m – число повторов опыта, y

- текущее значение в u-ом опыте при q-ом

повторе.

Квадратичные модели. Если функция отклика описывается полиномом

второго порядка, необходимо увеличить число уровней фактора до трех. Пол-

Надежность информационных систем 165

ный факторный эксперимент на трех уровнях предусматривает проведение

N = 3

опытов (k – число факторов), что намного более чем число неизвест-

ных коэффициентов модели. Существенное сокращение числа опытов полу-

чают в композиционных планах, ядром которых являются планы линейных

моделей. К плану ПФЭ типа 2

добавляют опыты в центре эксперимента (ну-

левые точки) и на расстоянии α от центра (“звездные точки”). Таким образом,

по оси координат каждого фактора получают пять значений (уровней): −α,

−1, 0, +1, +α.

Длина “плеча” α и число опытов в центре плана зависят от требований,

предъявляемых к плану. Требование ортогональности приводит к ортого-

нальным центральным композиционным планам (ОКЦП); требование ротата-

бельности – к ротатабальным центральным композиционным планам (РКЦП).

В случае, когда по чисто техническим причинам значения фактора не могут

выходить за пределы заданной области эксперимента, т. е. |α| ≤ 1, применя-

ют композиционные планы типа b

, в которых α равно единице.

Рис. 10.2. План двухфакторного эксперимента для нелинейной модели

Для ортогонального композиционного плана число опытов в центре рав-

но единице, а величину плеча α выбирают в зависимости от числа факторов

k. Так, при k равном 2, 3, 4, 5, значения плеча соответственно выбирают 1;

1.215; 1.414; 1.547.

Для двух факторов план ОЦКП эксперимента представлен матрицей в

таблице 7.5 и графически на рис. 5.4., где вершины квадрата в координатах

кодированных значений x

и x

обозначают опыты плана ПФЭ типа 2

или

ядро плана, к которому добавлена нулевая точка (центр плана) и четыре

“звездных”, расположенных на середине сторон квадрата. Номера опытов на

рис. 10.2 соответствуют номерам строк табл. 10.5. Для трех факторов план

ОЦКП эксперимента, составленный аналогично двухфакторному, приведен

в табл. 10.6. геометрически план может быть представлен кубом, вершины,

которого соответствуют опытам ПФЭ типа 2

, к которым добавляют шесть

“звездных” точек, расположенных на расстоянии α от середины ребер куба,

166 Испытания на надежность

и одну нулевую точку в центре куба.

Оценки β

, β

(i = 1, 2, ..., k; i 6= j) неизвестных коэффициентов

функции отклика (полинома второго порядка β

, β

определяют по

следующим зависимостям:

u=1

¯y

− θ

u=1

; b

u=1

¯y

u=1

)

;

u=1

−θ)¯y

u=1

−θ)

; b

u=1

¯y

u=1

(10.7)

где θ =

u=1

при любом i = 1, 2, ..., k.

Таблица 10.5

Номер Факторы

Прим.

опыта x

1 + –

2 + + Ядро

3 – + плана

4 – –

5 0 –

6 + 0 «Звезд.

7 0 + точки»

8 – 0

9 0 0 Нулевая

точка

Таблица 10.6

Номер Факторы

Прим.

опыта x

1 + – –

2 + + –

3 – + –

4 – – – Ядро

5 + – + плана

6 + + +

7 – + +

8 – – +

9 -1.215 0 0

10 +1.215 0 0

11 0 -1.215 0 «Звезд.

12 0 +1.215 0 точки»

13 0 0 -1.215

14 0 0 1.215

15 0 0 0 Нулевая

точка

В экстремальных опытах поиск оптимума поочередным варьированием

переменных требует проведения очень большого количества опытов. Поэтому

целесообразно применять метод крутого восхождения, который заключается

в следующем. Для некоторой начальной точки поверхности отклика ставят

интерполяционный эксперимент. Число опытов невелико и достаточно для

описания небольшого участка поверхности отклика полиномом первого по-

рядка. Вектор-градиент этого полинома (функции отклика) определяет на-

правление наиболее короткого (крутого) пути к экстремуму. Составляющие

градиент являются частными производными функции отклика по факторам.

Движение по поверхности отклика в направлении градиента начинают

Надежность информационных систем 167

от начальной точки. Шаг движения или изменения значений фактора при

переходе к следующему опыту устанавливают в зависимости от степени вли-

яния фактора на отклик. Значение отклика, называемого в экстремальных

экспериментах критерием оптимизации или целевой функцией, изменяется от

опыта к опыту. Совпадение или незначительное отличие результатов двух со-

седних опытов означает достижение области, близкой к стационарной. В этой

области ставят заключительный интерполяционный эксперимент с высокой

концентрацией опытов.

Особенности оценки надежности объектов по результатам

испытаний

В настоящее время не существует расчетных моделей для любых объек-

тов и по всем критериям надежности. Поэтому надежность многих объектов

оценивают по результатам испытаний, которые называют определительны-

ми. Определительные испытания стремятся приблизить к стадии разработки

изделия. Если объект производится серийно, то кроме определительных ис-

пытаний проводят также испытания на надежность. Они предназначены

для контроля соответствия серийной продукции требованиям по надежности,

приведенным в технических условиях и учитывающим результаты определи-

тельных испытаний.

Экспериментальные методы оценки надежности требуют испытаний зна-

чительного числа образцов, длительного времени и затрат. Это не позволяет

проводить надлежащие испытания по надежности объектов, выпускаемых

малыми сериями, а для объектов, выпускаемых крупносерийно, задержива-

ет получение достоверной информации о надежности до стадии, когда уже

изготовлена технологическая оснастка и внесение изменений очень дорого.

Поэтому при оценках и контроле надежности машин актуально использова-

ние возможных способов сокращения объема испытаний.

Объем испытаний, необходимый для подтверждения заданных показате-

лей надежности, сокращают путем:

• форсирования режимов;

• оценки надежности по малому числу или отсутствию отказов;

• сокращения числа образцов за счет увеличения длительности испыта-

ний;

• использования разносторонней информации о надежности отдельных

частей исследуемого объекта.

Объем испытаний можно сократить также научным планированием экс-

пе6римента, а также повышением точности измерений.

Для невосстанавливаемых изделий по результатам испытаний оценивают

и контролируют, как правило, вероятность безотказной работы, а для восста-

168 Испытания на надежность

навливаемых – среднюю наработку на отказ и среднее время восстановления

работоспособного состояния.

Определительные испытания

Во многих случаях испытания на надежность необходимо проводить до

разрушения, поэтому испытывают не все изделия (генеральную совокупность),

а небольшую их часть, называемую выборкой. В этом случае вероятность

безотказной работы (надежность изделия), средняя наработка на отказ и

среднее время восстановления могут отличаться от соответствующих стати-

стических оценок вследствие ограниченности и случайного состава выборки.

Чтобы учесть это возможное отличие, вводится понятие доверительной веро-

ятности.

Доверительной вероятностью (достоверностью) называют вероятность

того, что истинное значение оцениваемого параметра или числовой характе-

ристики лежит в заданном интервале, называемом доверительным.

Доверительный интервал для вероятности P ограничен и нижней P

верхней P

доверительными границами:

Вер(P

≤ P ≤ P

) = β, (10.8)

где символ Вер обозначает вероятность события, а β показывает значение

двусторонней доверительной вероятности, т. е. вероятности попадания в ин-

тервал, ограниченный с двух сторон. Аналогично, доверительный интервал

для средней наработки на отказ ограничен T

и T

, а для среднего времени

восстановления границами T

и T

На практике основной интерес представляет односторонняя вероятность:

события состоящего в том, что числовая характеристика не меньше нижней

или выше верхней границы. Первое условие, в частности, относится к вероят-

ности безотказной работы и средней наработке на отказ, второе — к средне-

му времени восстановления. Например, для вероятности безотказной работы

условие примет вид

Вер(P

≤ P ) = α, (10.9)

здесь α — односторонняя доверительная вероятность нахождения рассматри-

ваемой числовой характеристики в интервале, ограниченном с одной сторо-

ны. Вероятность α на стадии испытаний опытных образцов обычно принима-

ют равной 0,7 – 0,8, на стадии передачи разработки в серийное производство

— 0,9 – 0,95. Нижние значения характерны для случая мелкосерийного про-

изводства и высокой стоимости испытаний.

Если необходимо ввести двусторонние доверительные границы, то пола-

гают, что вероятности выхода на верхнюю и нижнюю границы одинаковы, и

Надежность информационных систем 169

выражают α через заданное значение β. Так как (1 − α) + (1 −α) = (1 −β),

то α = (1 + β)/2.

Доверительные испытания для невосстанавливаемых изделий

Для таких изделий наиболее распространен случай, когда объем выбор-

ки меньше 10 % генеральной совокупности. В этом случае для оценки нижней

и верхней P

границ вероятности безотказной работы используют бино-

миальное распределение.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое фор-

мулой Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых

событие A может появиться либо не появиться. Вероятность наступления со-

бытия во всех испытаниях постоянна и равна p (вероятность непоявления

q = 1 − p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величина X число

появлений события в этих испытаниях. Очевидно, что событие в n испыта-

ниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, . . . либо

n раз. Таким образом, возможные значения таковы: x

= 0, x

= 1, x

2, ..., x

n+1

= n, что описывается, известной из комбинаторики формулой Бер-

нулли

(k) = C

n−k

где k =0, 1, 2, . . . , n. Правую часть этого равенства можно рассматривать

как общий член разложения бинома Ньютона:

(p + q)

= C

+ C

n−1

q + ... + C

n−k

+ ... + C

Таким образом, первый член разложения p

определяет вероятность на-

ступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях;

второй член np

n−1

qопределяет вероятность наступления события n − 1 раз;

. . . ; последний член q

определяет вероятность того, что событие не появится

ни разу.

При испытаниях n изделий доверительную вероятность 1 −α выхода на

каждую из границ принимают равной вероятности появления в одном случае

не более m отказов:

i=0

i!(n − i)!

· (1 − P

)

n−1

= 1 − α; (10.10)

i=0

i!(n − i)!

· (1 − P

)

n−1

= 1 − α, (10.11)

где P

, P

— соответственно нижняя и верхняя границы вероятности безот-

казной работы.

170 Испытания на надежность

Пример 10.2. Оценить P

при доверительной вероятности α = 0, 9,

если испытано три изделия и отказало одно m = 1.

Решение. Используем формулу

1 · 2 · 3

1 · 1 · 2 · 3

1 · 2 · 3

1 · 1 · 2 · 3

(1 − P

= 1 − 0, 9.

Разрешая уравнение относительноP

, получаем P

= 0, 2.

В случае безотказных испытаний из формулы (10.10) при m = 0 сле-

дует, что P

связан с доверительной вероятностью и числом испытанных

изделий выражением

i6=0

i!(n − i)!

· (1 − P

)

n−1

= P

= 1 − α.

Отсюда

√

1 − α. (10.12)

Пример 10.3. n = 10; α = 0, 7; m = 0. Найти P

Решение. P

√

1 − 0, 7 = 0, 887.

При больших n и m формулами (10.10) и (10.11) пользоваться неудобно в

этом случае прибегают к приближенным вычислениям, заменяя биномиаль-

ное распределение нормальным с использованием следующих рассуждений.

Испытания n изделий рассматривают как испытания n выборок по одному

изделию. Результаты испытаний каждого изделия могут иметь два исхода:

= 0 — отказ и x

= 1 — изделие не отказало. По определению среднее

значение случайной величины равно сумме произведений всех возможных

значений случайной величины (в данном случае 0 и 1) на частоты этих яв-

лений. Поэтому

x =

i=1

= 0 ·

+ 1 ·

n = m

n − m

= P

∗

где P

∗

— частость сохранения работоспособности. При больших n частость

стремится к вероятности . Среднее квадратическое отклонение S

случайной

величины x при испытаниях одного изделия составляет

− x)

(0 − P

∗

)

(1 − P

∗

)

(

n − m

) =

∗

(1 − P

∗

)

а по результатам испытаний n изделий оно в

√

n раз меньше, чем S

∗

(1 − P

∗

)/n. Предполагая в силу справедливости центральной предель-

ной теоремы, согласно которой: если случайная величина Х представляет