Угринович Н., Босова Л., Михайлова Н. Практикум по информатике и информационным технологиям

Подождите немного. Документ загружается.

Глава

Дизъюнкция

— это логическая операция, которая каждым

двум

простым высказываниям ставит в соответствие составное

высказывание,

являющееся ложным

тогда

и только

тогда,

ког-

да оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя

бы одно из

двух

образующих его высказываний истинно.

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция

объединения

множеству

то есть множеству, получившемуся в

результате

сложения множеств А и Б, соответствует множест-

во,

состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству

А, либо множеству Б.

Таблица

истинности

Диаграмма

Эйлера—Венна

AwB

Логическая

операция

ИНВЕРСИЯ

(отрицание):

• в естественном языке соответствует словам

неверно,

что...

частице не; __

• обозначение А;

• в языках программирования обозначение Not.

Отрицание — это логическая операция, которая каждому

простому высказыванию ставит в соответствие составное вы-

сказывание,

заключающееся в том, что исходное высказывание

отрицается.

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует

операция

дополнения

до

универсального

множества,

то есть

множеству, получившемуся_в

результате

отрицания множества

А, соответствует множество А, дополняющее его до универсаль-

ного множества.

Таблица

истинности

Диаграмма

Эйлера—Венна

Пример

3.5. Получить таблицы истинности операций логи-

чекого умножения, логического сложения и отрицания с испо-

льзованием электронных таблиц

StarOffice

Calc.

Основы

логики и логические основы компьютера

Электронные таблицы StarCalc обладают встроенными логи-

ческими

функциями. Функция логического умножения ЩЛог-

Знач1;ЛогЗнач2;...) дает значение TRUE (1), только тогда, ког-

да все логические аргументы имеют значение TRUE (1).

Функция

логического сложения ИЛИ(ЛогЗнач1;ЛогЗ-

нач2;...) дает значение TRUE (1), тогда, когда хотя бы один ло-

гический аргумент имеет значение TRUE (1).

Функция

логического отрицания НЕ(ЛогЗнач) дает значе-

ние

TRUE (1), когда логический аргумент имеет значение FAL-

SE (0) и, наоборот, значение FALSE (0), когда логический

аргу-

мент имеет значение TRUE (1).

Получение

таблиц

истинности

операций

логического

Я1

умножения,

логического

сложения и

отрицания

использованием

электронных

таблиц

Star Off ice Calc

1 Запустить интегрированное приложение командой [Програм-

мы-StarOffice].

2 В появившемся окне приложения StarOffice запустить элект-

ронные

таблицы StarCalc командой [Файл-Создать-Документ

электронной

таблицы].

3 На листе JIucml создать таблицы истинности. Создать заго-

ловки

и ввести в столбцы А и Б, Е и F, I значения логических

аргументов, а в столбцы С, G, J соответствующие логические

функции.

4 Для ввода логических функций воспользоваться командой

[Вставка-Функция].

На появившейся диалоговой панели Ав-

топилот

функции в раскрывающемся списке

Категории

вы-

брать

Логические,

а в окне Функция — функцию.

Функции

{Структура]

Категория

Промежуточный

итог

JFALSE

j Логические

Функция

ЕСЛИ

ИСТИНА

ЛОЖЬ

НЕ

Устанавливает значение ИСТИНА, если один из аргументов

соответствует значению ИСТИНА.

Лоонеское

значение

(необходимо)

Логическое

значение

логическое значение

2,.,.

от

1 до 30 проверяемых

условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, woo ЛОЖЬ.

Д0ГИЧ€М»Ц0О ^НвЧСНМв

* /х 1 Е2

Логическое значение

2 >» | р2

Логическое

значение

"HJ

Ло1ическо9 зиочсшио

J Д 11

Формула Результат

{FALSE

Г Матрица

Справка

Глава

В окнах

Логическое

значение

1 и так

далее можно видеть

выбирать местонахождение аргументов функции.

окне Фор-

мула

можно видеть текущее состояние заданной функции,

а в

окне

Результат

—

текущее состояние

ее

значения.

После

ввода аргументов функций

и их

формул

на

листе

поя-

вятся

таблицы истинности трех базовых логических функций.

Файл Правка

§ц;

Вставка Формат £ервис Данные Окно Справке

'^J^р1е//Л;|ЛИои

документыЛод sdc

JJ Ф Ф Щ (J$

.».[*п-

е?

ffiS

о?

гУ

ВТ

•

Яист1/3~

URL:

3 as =

] с I

Конъюнкция

(•|>lf\|

FALSE

TRUE

Тист1 /лйстЗ

Стандарт"

V i

«*

Дизъюнкция

100%

FALSE

TRUE

f'CTAH

t* Л

н!»|

Отрицание

[

•"•• ""•

TRUE

FALSE

Cywia'-

Д?

[логические'»'!

ЕСЛИ

14:

Пснмческое

значение 1;

значение 2;..,

3o»»paiwer

значение

ИСТИНА,

stun tee аргументы

соответствуют

7 Переименовать лист JIucml

Логические

операции

сохра-

нить

файле

log.sdc.

Файл

log.sdc хранится

каталоге

\practicum\logica\

RQM

Логическая операция

ИМПЛИКАЦИЯ

(логическое следова-

ние):

•

естественном языке соответствует обороту

если ..., то ...;

• обозначение

=> .

Импликация

— это

логическая операция, ставящая

соот-

ветствие каждым двум простым высказываниям составное

вы-

сказывание,

являющееся ложным тогда

только тогда, когда

условие (первое высказывание) истинно,

следствие (второе

высказывание) ложно.

А =>Б

Логическая операция

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ

(равнозначность):

•

естественном языке соответствует оборотам речи

тогда и

только тогда; в том и только в том случае;

• обозначения

<=>,

~ .

Основы

логики

и логические основы компьютера

Эквиваленция

— это

логическая операция, ставящая

соот-

ветствие каждым

двум

простым высказываниям составное

вы-

сказывание, являющееся истинным

тогда

только

тогда,

когда

оба исходных высказывания одновременно истинны

или

одно-

временно ложны.

Таблица истинности эквиваленции:

<^>в

Логические операции имеют

приоритет:

дейст-

вия

скобках, инверсия,

&, v, =>, о.

Пример

3.6.

Определите истинность составного высказывания:

(А&В)&(С VJD), состоящего

из

простых высказываний:

{Принтер

—

устройство вывода информации},

{Процессор

—

устройство хранения информации},

{Монитор

—

устройство вывода информации},

{Клавиатура

—

устройство обработки информации}.

Сначала

на

основании знания устройства компьютера

уста-

навливаем истинность простых высказываний:

А = 1, В = О,

С=

1, D = 0.

Определим теперь истинность составного высказывания,

ис-

пользуя таблицы истинности логических операций:

(1&0)&(1V0) =

(0&l)&(lv0)

= 0.

Составное высказывание ложно.

Проверим правильность полученного результата

использо-

ванием

NumLock Calculator.

Определение истинности составного логического

высказывания с использованием NumLock Calculator

1 Запустить программу NumLock Calculator.

2 Установить удобный

вид

калькулятора командой

[Вид

каль-

кулятора-У ниверсальный].

3 Ввести составное логическое

вы-

ражение, подставив

него значе-

ния

простых логических выра-

жений.

NumLock

Calculator

potTAnd

NotO)

And

Ог

p«g

P«*

Нажав кнопку « =

»,

получим значение

(0)

составного логиче-

ского выражения, которое совпадает

со

значением, вычис-

ленным алгебраически.

Глава

Пример 3.7.

Даны

три

числа

различных системах счисле-

ния:

А = 20

, В= 11

1б

, С = 30

Переведите

А, Б и С в

двоич-

ную систему счисления

выполните поразрядно логические

операции

(AvB)&C.

Ответ дайте

десятичной системе счисле-

ния.

щ\ Арифметические и логические операции

-стя

использованием Wise Calculator

Запустить программу

Wise

Calculator.

Ввести команду [Tools-Multi-Base Calculator].

Ввести значение логического аргумента

А в

текстовое поле

Dec

аргумента

Б в

текстовое поле

Hex и с

помощью группы

переключателей

Operation

выбрать оператор логического сло-

жения

A or Б.

Multi

Base

Calculator

DEC J20

BIN

J10100

QCT J24

HEXJ14

HDECJ17

•IBIM

J10001

1 ОСТ |21

i::

•?

DEC

|21

BIN

(10101

ОСТ

|25

HEKJ15

окне

Bin

столбца

Result

появится

результат

(10101) пораз-

рядного логического сложения чисел

А = 20

, В = 11

1б

5 Ввести значение промежуточного результата

текстовое поле

Bin

аргумента

С в

текстовое поле

Oct и с

помощью группы

переключателей

Operation

выбрать оператор логического

ум-

ножения

А and Б.

окне

Bin

столбца

Result

появится

результат

(10000) пораз-

рядного логического умножения чисел

AvB =

10101

С = 30

окне

Dec (16)

результат

десятичной системе счисления.

Пример 3.8.

Какие

из

высказываний

А, Б, С

должны быть

истинны

какие ложны, чтобы было ложно логическое выра-

жение

((AvB)&B)=>C.

Импликация

ложна

на

единственном наборе логических

значений

(1, 0).

Значит, ((AvB)&B)=l.

Конъюнкция

истинна

на

единственном наборе логических

значений

(1, 1).

Значит, (AvB)=l

и Б=1.

Основы

логики и логические основы компьютера 95

Дизъюнкция

истинна

при

наборах логических значений

(О,

и (1, 1).

Следовательно, существуют

два

набора логических значе-

ний,

удовлетворяющих условию задачи:

(А = 0,В = 1,С = 0)и

(А

= 1, В = 1, С = 0).

Задания

для

самостоятельного

выполнения

3.7. Выделите

составных высказываниях простые. Обозначьте

каж-

дое

их них

буквой; запишите

помощью логических операций

каждое составное высказывание.

1) Число

376

четное

трехзначное.

2) Неверно,

что

Солнце движется вокруг Земли.

3) Если сумма цифр числа делится

на 3, то

число делится

на 3.

4) Число

делится

на 3

тогда

только тогда, когда сумма цифр

числа

делится

на 3.

3.8. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основ-

ные

логические союзы (связки),

помощью которых

естественном

языке

строятся сложные высказывания. Заполните правую колон-

ку таблицы соответствующими названиями логических операций.

естественном языке

...

и ...

...

или ...

Неверно,

что ...

...

в том и

только

в том

случае

...

... если

..., то ...

... тогда

только тогда, когда

...

не ...

логике

3.9. Найдите значения логических выражений:

(lvl)v(lvO);

6)((lv0)vl)vl;

в) (Ovl)v(lvO);

г) (0&1)&1;

д) 1&(1&1)&1;

е) ((lv0)&(l&l))&(0vl);

ж)

((l&0)v(l&0))vl;

з) ((l&l)v0)&(0vl);

и)

((0&0)v0)&(lvl).

3.10. Даны

два

простых высказывания:

= {2-2 = 4}, В = {2- 2 = 5}.

Какие

из

составных высказываний истинны:

а)

А; б) Б;

в)А&В;

r)AvB;

96Глава

д)А=>В;

3.11. Даны простые высказывания:

{5>3},

В = {2=3} и С =

{4<2}.

Определите истинность составных высказываний:

а)

(AvB)&C

(A&C)v(B&C);

б) (A&£)vC

<=>

(AvC)&(A&B)).

3.12.

Даны простые высказывания:

{Принтер

—

устройство ввода информации},

{Процессор

—

устройство обработки информации},

{Монитор

—

устройство хранения информации},

{Клавиатура

—

устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:

(A&B)&(CvD);

б)

(А&В)=>(В&С);

в)

(AvB)<^(C&D);

г)АоВ.

3.13. Дано составное высказывание

не

(не

А и

В),

где А и В —

простые

вы-

сказывания.

каком

случае

данное высказывание

будет

ложным?

3.14.

Выполните поразрядное логическое сложение двоичных чисел:

а)

100 и 110; б) 1010 и 1000; в)

101010

111111.

3.15. Даны

два

числа

. Переведите числа

двоичную систему

выполните операции арифметического сложения

умножения,

также операции поразрядного логического сложения

умножения.

Проверьте правильность полученных результатов

помощью каль-

кулятора

Wise Calculator.

3.16. Проверьте правильность выполнения заданий

3.6-3.9

помощью

калькулятора

NumLock

Calculator.

3.3.

Логические

выражения

таблицы

истинности

Таблицу,

показывающую,

какие

значения

принимает

со-

ставное

высказывание

при всех сочетаниях (наборах)

значений

входящих

него простых

высказываний,

называют таблицей

истинности составного

высказывания.

Составные

высказывания

алгебре

логики

записываются

помощью

логических

выражений.

Для

любого логического

вы-

ражения

достаточно

просто

построить

таблицу

истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) подсчитать количество

переменных

п в

логическом выра-

жении;

определить число

строк

таблице,

которое

равно

т = 2

;

подсчитать количество логических

операций

логиче-

ском

выражении

определить количество столбцов

таблице,

Основы

логики

логические

основы

компьютера

которое равно количеству переменных плюс количество опера-

ций;

4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с после-

довательностью выполнения логических операций с

учетом

скобок

и приоритетов;

5) заполнить стобцы входных переменных наборами значе-

ний;

6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам,

выполняя

логические операции в соответствии с установленной

п.4 последовательностью.

Наборы

входных переменных, во избежание ошибок, реко-

мендуется перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам

заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю едини-

цами;

б) разделить колонку значений второй переменной на четы-

ре части и заполнить каждую четверть чередующимися группа-

ми

нулей и единиц, начиная с группы нулей;

в) продолжать деление колонок значений последующих пе-

ременных на 8, 16 и так далее частей и заполнение их группа-

ми

нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц

не

будут

состоять из одного символа.

Пример

3.9. Для формулы

A&(BvB&C)

построить таблицу

истинности

алгебраически и с использованием электронных

таблиц.

Количество логических переменных 3, следовательно, коли-

чество строк в таблице истинности должно быть 2

= 8.

Количество логических операций в формуле 5, следователь-

но

количество столбцов в таблице истинности должно быть

3 + 5 = 8.

в&с

Bv(B&C)

A&(BvB&C)

Глава

Построение таблицы истинности логического выражения

использованием электронных таблиц StarOffice Calc

Запустить интегрированное приложение командой [Програм-

мы-StarOffice].

появившемся окне приложения

StarOffice

запустить элект-

ронные

таблицы Calc командой [Файл-Создать-Документ

электронной

таблицы].

Создать заголовки

ввести

столбцы

А,

Б и

значения логи-

ческих аргументов,

а в

столбцы

E, F,

соответствую-

щие

логические функции.

Для

ввода логических функций

воспользоваться командой [Вставка-Функция].

После ввода аргументов

формул

на

листе появится таблица

истинности

логического выражения.

QBE

"ft*

""''

M::|

£Rjfte7//cpMo«

131

*•'&

\-&

•.ii»

..A.:'.

•>i

•

] •".

'•I

•

•3

•

•10

—-—-——

ЯБ2Э

жумемтыЛод

d.«

В)

С I

Клиент

"'"

URL:

* *

TRUE

FALSE

TRUE

TRUE:

FALSE:

FALSE

ет2/ЛистЗ/.

Ii]tog1.sdc

rminiTiriiiimimTimi

ШШШШШШШ

рейс

Данньк

]

,*•".

•. -1

{

•:.B

TRUE

FALSE

TRUE

FALSE

TRUE

FALSE;

TRUE:

FALSER

••пня

*"-d|**[iS!fi

F-

•

В и

Не

TRUE

FALSE

TRUE

FALSE

• --

шшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшт

9ia*-*m\-i

ftom"ip..f»jib".@4

j H

'*» i

-ц»

или (Не

В и

Не С)

и (В или (Не

В и

Не С))

TRUE

FALSE

TRUE

FALSE

TRUE

TRUE:

•

?... "I

UTAH

r r.""-

'V.

. ..

.:.CVMM0-O

FALSE

TRUE

FALSE

TRUE

•'

j*M3:4i'

5 Переименовать лист JIucml

Таблицу

истинности

сохра-

нить

файле

log.sdc.

CD-ROM

Файл

log.sdc

хранится

каталоге

\practicum\logica\

Задания

для

самостоятельного

выполнения

3.17. Построить таблицы истинности

для

следующих формул:

a)Av(BvB_=>C);

б)А&(Б&Б=>С);

в) Av(BvB)ScAv(B

С).

3.18. Выбрать составное высказывание, имеющее

ту

же

таблицу истинно-

сти,

что

не

(не

не(Б

С)).

А и В

или С

А; 3)

А и

(Б или С);

(А

или Б)

(А

или

С);

или (не

или

не

С).

Основы

логики

логические

основы

компьютера

3.19. Докажите

помощью таблиц истинности равносильность следую-

щих логических выражений:

а)

(А

=> B)&(AvB);

б)

(А

<=>

B)&(A&B)v(A&B).

3.4.

Логические

функции

Логической

функцией

называют функцию

F(X

, ..., Х

аргументы которой

, ..., Х

(логические переменные)

сама функция (логическая переменная) принимают значения О

или

Таблицу, показывающую, какие значения принимает логиче-

ская

функция

при

всех

сочетаниях значений

ее

аргументов, назы-

вают таблицей истинности логической функции. Таблица истинно-

сти логической функции

аргументов содержит

строк,

столбцов значений аргументов

и 1

столбец значений функции.

Логические функции

могут

быть заданы табличным спосо-

бом

или

аналитически

— в

виде соответствующих формул.

Существуют

различных логических функций

от

двух

пе-

ременных.

Таблица

3.1

Логические

функции двух переменных

Аргу-

менты

Логические

функции

Если логическая функция представлена

помощью базовых

логических функций (дизъюнкции, конъюнкции

инверсии),

то такая форма представления называется

нормальной.

Пример

3.10. По

имеющимся таблицам истинности вырази-

те через базовые логические функции (конъюнкцию, дизъюнк-

цию

отрицание) следующие функции:

а)

(X, У);

б)

У).

Из

таблицы истинности видно,

что F

(X, Y) =

(X,Y)

(отри-

цание

дизъюнкции).

Из

таблицы истинности видно,

что F

(X, Y) =

(X,Y)

(от-

рицание

конъюнкции).