Трутко А.Ф. Методы расчета транзисторов

Подождите немного. Документ загружается.

Вторая составляющая плотности дырочного токя

определяется диффузией дырок. Если концентрация ды-

рок изменяется от точки к точке образца, то возникает

движение дырок в направлении убывания их концент-

рации. При этом чем больше градиент концентрации,

тем больше будет величина этого тока. Следовательно,

ipjwn

= --4Dpgradp, (1-52)

где коэффициент пропорциональности D

, см

/сек, есть

коэффициент диффузии дырок в полупроводнике л-типа.

Появление знака минус связано с тем, что ток течет

в направлении уменьшения градиента концентрации

дырок.

Мы пола1асм, чго концентрация дырок настолько

мала, что можно рассматривать дрейф и диффузию каж-

дой дырки независимо от всех остальных носителей за-

ряда.

Уравнение для плотности дырочного тока получаем

сложением обеих компонент:

/р =

1рв

+ hwb=HHP

— qDpgradp.

-53)

Проведя совершенно аналогичные рассуждения, по-

лучим выражение для плотности электронного тока

в полупроводнике:

in =

/ад*

<?£>«

grad n. (1 -54)

Плотность полного тока записывается как сумма

плотностей дырочного и электронного токов:

}=jp+in. (1-55)

Из соотношений (1-53) и (1-54) видно, что в общем

случае полный ток в полупроводнике может не подчи-

няться закону Ома.

1-10. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Уравнение непрерывности для электронов в полупро-

воднике /)-типа можно выразить следующим образом:

[

скорость изменения

) Г скорость

термической "1

концентрации 1лек- = генерации электронов

тронов J [ J

[

скорость рекомбинации] {дивергенция потока ]

электронов J [ элект роноя \'

Предположим, что пары электрон — дырка возникают со ско-

ростью g. Предположим также, что скорость рекомбинации про-

порциональна концентрации свободных дырок и электронов. По-

этому скорость рекомбинации запишем в виде тр. Результирующая

скорость образования электронов, таким образом, запишется как

(g—гпр),

где г — коэффициент пропорциональности, характеризую-

щий скорость рекомбинации.

В случае термодинамического равновесия

g = rn]. (1-56)

Рассмотрим относительно малые отклонения Ьр и Ьп от равно-

весных значений п

и р

для полупроводника р-типа:

р=р

6р;

(1-57)

п—Пр

Ьп.

(1-58)

В этом случае мы имеем:

скорость

термической

генерации

электронов

скорость

рекомбинации

электронов

($п) =g—rnp =

= т\ — гпр; (1-59)

-J-

(8п) = гп) - г (п

+ дп)(р

+ 8р); (1-60)

d о

—гт {Ьп)

= гщ — rnpp

— rppbn —

rripbp

+ rbpbn,

где г8р8п — величина второго порядка малости;

-^(bn)=~rn

bp — rp

bn. (1-61)

Так как мы рассматриваем полупроводник р-типа, то

~>n

мы можем пренебречь первым членом правой части выражения

(1-61):

-^-(вй)=-'7>р8л. (1-62)

Это уравнение показывает соотношение между скоростью изме-

нения концентрации избыточных электронов и самой концентрацией

избыточных электронов. Знак минус показывает, что процесс идет

в сторону восстановления термодинамического равновесия, т. е.

Ьп—*-0.

Следует отметить также, что мы пользуемся здесь понятием

средней скорости изменения неравновесной концентрации электронов

—гт (о/г), которая является разностью между средней скоростью тер-

мической генерации, являющейся величиной постоянной, и средней

скоростью рекомбинации, зависящей от концентрации дырок р. Каж-

дый единичный акт рекомбинации избыточного электрона с дыркой

определяется временем жизни этого электрона в данном материале.

Среднее время жизни электронов, определяющее скорость убывания

их концентрации вследствие рекомбинации

объеме полупроводни-

ка, может быть получено

из

уравнения (1-62). Это время

про-

порционально \jrpp.

Подставив последнее выражение

(1-62), получим:

и далее

1Ш

dt v

Ир

—

Яр

— п

*п

1«

(1-63)

Член

Пр1%п

выражения (1-63) равен количеству электронов,

генерируемых

единице объема

единицу времени,

зависит толь-

ко

от

равновесного значения концентрации

тогда

как

член

п\х

, равный количеству электронов, рекомбинирующих

единице

объема

единицу времени, зависит

от

мгновенного значения кон-

центрации

п.

Время жизни элеюронов связано

другим важным физиче-

ским параметром полупроводника

—

диффузионной длиной соотно-

шением

V'UJn.

Аналогично время жизни дырок связано

диффузионной длиной

дырок соотношением

Zjp

= V

Up'Zp.

Диффузионная длина — расстояние,

па

котором

однородном

полупроводнике при одномерной диффузии

отсутствие электриче-

ского

магнитного полей избыточная концентрация электронов

уменьшается вследствие рекомбинации

в е

раз.

Чтобы получить выражение для дивергенции потока электронов,

рассмотрим малый объем полупроводника dx dy dz

центром

точке

у, 2.

Плотность потока электронов вдоль оси

через грань dy dz

с абсциссой X — ~2~ равна

лч

,„ \

дф

п(х,

у, г) dx

Ф„х(х,

у,

г) —

-^ g

- С'

)

Полный поток электронов через грань

dy dz

внутрь объема

dx dy

выразится как

дФ„

Ф„*-

dx \

-•-c^jdydz.

(1-65)

Поток электронов из объема

dx dy dz

через грань

dy dz с

коор-

dx ,

динатои

Х-\-—2~

будет выражаться точно так же,

за

исключением

знака перед вторым членом, который изменится

на

плюс вследст-

вие того, что приращение абсциссы dx/2 положительно.

Результирующий поток электронов внутрь объема через обе гра-

ни dy dz будет равен

f дФ

пх

dx\ Г дФ

пх

dx\

»*

-яг-

т)

(*»*

+ ~дх~-~т)

дФ~

= ^dxdydz. (1-66)

Проведя аналогичные выкладки для граней dx dy и dx dz, по-

лучим результирующий поток электронов внутрь объема dx dy dz:

[дФ

пх

дф

пу

дф„

] _,

—

dx di/dz = div Ф

dx d# dz =

= — ^

dxdydz.

('-67)

На практике удобнее пользоваться понятием тока вместо по-

тока:

jn=—qQ)n, (1-68)

где Уп—плотность тока.

Тогда уравнение (1-67) напишется как

div Ф„ dx, dydz — — — div /

dx dt/ dz. (1-69)

Теперь можно написать полное выражение для скорости изме-

нения концентрации электронов в элементе объема dx dy dz, прирав-

няв ее сумме скоростей термической генерации, рекомбинации и ре-

зультирующего потока через поверхность внутрь объема. Общий

множитель dx dy dz может быть опущен. Кроме того, говоря о ге-

нерации в объеме, мы имели в виду только термическую генерацию.

В самом же деле может иметь место генерация под воздействием

электромагнитных или корпускулярных излучений или других внеш-

них факторов. Поэтому для общности рассуждений введем член

, который будет учитывать скорость изменения концентрации

электронов в результате этих процессов.

Тогда полное уравнение непрерывности для электро-

нов запишется как

4-=V

div/

(Ь70)

Аналогично для дырок

4Н-^-г

""'+«'-

<'-

Обычно при рассмотрении прохождения тока через

полупроводниковые диоды и транзисторы полагают

g'n

= g'

2-1

ГЛАВА ВТОРАЯ

РАСЧЕТ р-п ПЕРЕХОДОВ

Ее

„

ч—'—>Г

IX!

2-1.

СТРУКТУРЫ р-п ПЕРЕХОДОВ

Основным элементом полупроводниковых приборов

является электронно-дырочный переход, обычно назы-

ваемый р-п переходом. Такой переход представляет со-

бой переходную область в полупроводнике между двумя

частями, одна из которых

обладает проводимостью

р-типа, а другая п-типа.

В зависимости от ха-

рактера 'изменения кон-

центрации примесей пере-

ход может быть ступенча-

тым (резким), когда кон-

центрации примесей рав-

номерно распределены в

обеих областях, приле-

гающих к границе пере-

хода, или плавным, когда

концентрации примесей

АЕ

щи

ЛЕ

U-

Рис.

2-1. Энергетическая диаграм-

ма р-п перехода.

изменяются по некоторому закону. Ступенчатые перехо-

ды получают обычно методом вплавления, а плавные—ме-

тодом вытягивания из расплава или диффузии. Энергети-

ческая диаграмма р-п перехода представлена на рис. 2-1.

В р-п переходе, диаграмма которого представлена на

рис.

2-1, концентрация примесей в р-области превышает

концентрацию примесей в п-области.

Часто вместо энергетических диаграмм р-п перехода

применяются потенциальные диаграммы. В этом случае

в соответствии с выраже-

нием £=—<7Ф энергетиче-

ская диаграмма на рис. 2-1

будет преобразована в по-

тенциальную диаграмму

на рис. 2-2.

Переходы, в которых

концентрация примесей

одной из областей значи-

тельно превосходит кон-

центрацию их в другой,

принято называть р+-п

или п+-р переходами.

полупроводник" Полупроводник

п-типа

р-типа

;9v

Рис.

2-2. Потенциальная диа-

грамма р-п перехода.

Другим типом переходов, имеющим большое практи-

ческое значение для получения омических контактов,

является переход между двумя частями полупроводника

с одинаковым типом проводимости, но сильно различаю-

щимися концентрациями

ПолупроШнин

-типа

Ее

Полупроводник

n-muna

TJ.

Ее

Рис.

2-3. Энергетическая диаграм-

ма п

-п перехода.

доноров или акцепторов.

Такие переходы называ-

ются п+-п или р+-р пере-

ходами. Энергетическая

диаграмма п+-п перехода

представлена на рис. 2-3.

Диаграммы на рис. 2-1

и 2-2 определяют р-п пе-

реход 'в условиях термо-

динамического равновесия

в отсутствие внешнего

смещения. При приложе-

нии напряжения равновесие нарушится и уровень Фер-

ми не будет уже общим для обеих частей перехода. В со-

ответствии с этим диаграммы изменятся. Энергетическая

диаграмма р-п перехода с приложенным в обратном

направлении внешним напряжением представлена па

рис.

2-4. Энергетическая диаграмма р-п перехода с при-

ложенным в прямом направлении напряжением пред-

ставлена на рис. 2-5. Высота барьера в р-п переходе

в отсутствие смещения равна разности работ выхода и

Ее

EF„\~

*»Ч^'У!

-K}U

U !

АЕ

_J_E

-FP

й Ч

Рис.

2-4. Энергетическая

диаграмма р-п перехода при

обратном смещении.

Рис.

2-5. Энергетическая диаграм-

ма р-п перехода при прямом сме-

щении.

зависит

от

концентрации примесей

в р-

Она может быть найдена

пз

выражения

и «-областях.

ХР

Хп

•

kTln-^-

Рп

При наличии внешнего смещения

эта

высота увели-

чивается

или

уменьшается

на

величину

ql]>

—

на_

Рис.

2-6. Графики распределения концентрации при^

еси

поля

и п0

тенциала в типичных р-п переходах,

—

ступенчатый

р-п

переход; б

—

ступенчатый вплавной

г+

переход (рез>

кий);

в—модель линейного перехода; г— диффузионный

Р~

переход; одна

примесь распределена

по

диффузионному закону,

друга*

постоянна;

диффузионный

р-п

переход;

обе

примеси распределены

по

диффузионному

за-

кону.

пряжение смещения. Графики распределения концент-

рации примесей

для

нескольких типичных Р~

переходов

изображены

на

рис.

2-6.

2-2.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ

ПОТЕНЦИАЛА,

ШИРИНА

р-п

ПЕРЕХОДА

В переходной области р-п перехода условие нейтраль-

ности полупроводника

не

выполняется.

этой области

существует поле, созданное контактной разностью

по-

тенциалов

приложенным

переходу внешним напря-

жением. Под влиянием поля подвижные носители заря-

да— электроны

дырки уходят

из

переходной области

и заряд неподвижных ионизированных атомов

отличие

от других областей полупроводника оказывается

не-

скомпенсированным зарядом подвижных носителей.

Распределение потенциала

переходной области

определяется уравнением Пуассона, которое

для

одно-

мерного случая может быть записано согласно (1-27)

в следующем виде:

&—к-

-'>

Если пренебрегать вкладом

объемный ларяц

от

подвижных

носителей

считать примеси полностью ионизированными,

то

р=/7(ЛГд-ЛГ

(2-2)

а границы области объемного заряда

Xi и х

могут быть определе-

ны

из

условий

£(*.)=-з£(*|)

(2-3)

(**>

-И"

(

Кроме условий

(2-3) и

(2-4),

качестве граничных условий

к уравнению

(2-1)

можно взять значения потенциалов

на

границах.

Так

как

потенциал определяется

точностью

до

произвольной кон-

станты,

то

можно принять q>(xi)=0; при этом

на

границе /з-области

он будет равен разности потенциалов

ср

приложенного внешнего

напряжения:

Ф(я.)=0;

(2-5)

<p(x

)=-(<p

-t/)*<0.

(2-6)

Выберем

за

начало отсчета координаты

плоскость инверсии

знака заряда, Проинтегрировав

раза уравнение (2-1), после

под-

* Принято считать

U>0,

при условии

что

внешнее напряжение

имеет полярность, соответствующую подключению плюса питания

к р-области.

становки

него (2-2) получим

<р

С,

—

Е dx.

(2-8)

После использования граничных условий (2-3)

— (2-G)

получим

соотношения:

(Яд

ЛГ.)

= (

(N,

JV.)

= -

С,

~-;

(2-9)

д:

~-=^\ (N

-N

)dx =

-^[(

'~N

)dx;

(2-10)

х.

»(*i)

-(f.-^)=-j£rf»;

(2-П)

—

J£rfx=—

(f,

— U)

+ \ Edx.

(2-12)

Рассмотрим сначала ступенчатый переход (рис. 2-6,а):

при х<0;

при х>0.

(2-13)

Подставив (2-13) последовательно

(2-9) — (2-12), получим:

—N

=NtX

(2-14)

т.

е.

толщина области объемного заряда

п-

р-часгях перехода

обратно пропорциональна соответствующей концентрации:

(2-15)

— ЛГ

(х

—

х,)

£„«кс[

1 —

~j-j при х<0;

— ЛГ

(Х

—

х)

[

1 —

— J при х>0;

клке

- £-

ЛГ

х,

= ^

ЛГ

;

(2-16)

х,

(?„

=»

ЛГ

—

x,)rfx

ЛГ

(*,

х)

tfx

ЛГдХ,

x| 1 #

-2-г—= ^-(/V.

iV,)^-x

;

отсюда и из (2-14)

--yV

>-[

W,/V

й=х

-х,

|^(^-^)^дг^-]

;

(2-18)

Л/

(х

—

х,)

при х

2"о

_ I

ее

;г(<Р«-^)

ЛГ.(х

-х)* при х>0.

(2-19)

Для практики наиболее важным является частный случай рез-

ко несимметричного ступенчатого перехода, когда Л^

»Л^

или yV

5>iV

. Это П+-/7 или р+-га переходы, которые впредь называются про-

сто резкими переходами.

Положив для определенности JV

>JV

из

выражений (2-14)—

(2-19) легко получить Xi=0,

т. е.

область объемного заряда прак-

тически расположена

более высокоомной части перехода

[|g- (

Тж

;

(2-20)

Б =

„

^[-~у

(2-21)

где согласно (2-16) и (2-11)

= _(

,_t/) + (f.-U)(l—J-)'.