Трофимова Т.И. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

физике считается, что время во всех

инерциальных системах отсчета течет

одинаково, т.е. t = t').

Эйнштейн показал, что в теории от-

носительности классические преобра-

зования Галилея, описывающие пере-

ход из одной инерциальной системы

отсчета к другой:

заменяются преобразованиями Лорен-

ца, удовлетворяющими постулатам

Эйнштейна (формулы представлены

для случая, когда К' движется относи-

тельно К со скоростью v

вдоль

оси

х).

Эти преобразования предложены

Лоренцем в 1904 г., еще до появления

теории относительности, как преобра-

зования, относительно которых уравне-

ния Максвелла (см. § 139) инвариантны.

Преобразования Лоренца имеют вид

(36.3)

Из сравнения приведенных уравне-

ний вытекает, что они симметричны и

отличаются лишь знаком при v. Это

очевидно, так как если скорость движе-

ния системы К' относительно системы

К равна v, то скорость движения К от-

носительно К' равна — v.

Из преобразований Лоренца вытека-

ет также, что при малых скоростях (по

сравнению со скоростью с), т.е. когда

<С

1, они переходят в классические пре-

образования Галилея (в этом заключает-

ся суть принципа соответствия), кото-

рые являются, следовательно, предель-

ным случаем преобразований Лоренца.

При v > с выражения (36.3) для

х,

t, x', t'

теряют физический смысл (становятся

мнимыми). Это находится, в свою оче-

редь, в соответствии с тем, что движение

со скоростью, большей скорости распро-

странения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следу-

ет очень важный вывод о том, что как

расстояние, так и промежуток времени

между двумя событиями меняются при

переходе от одной инерциальной сис-

темы отсчета к другой, в то время как в

рамках преобразований Галилея эти ве-

личины считались абсолютными, не из-

меняющимися при переходе от систе-

мы к системе.

Кроме того, как пространственные,

так и временные преобразования [см.

(36.3)] не являются независимыми, по-

скольку в закон преобразования коор-

динат входит время, а в закон преобра-

зования времени — пространственные

координаты, т.е. устанавливается вза-

имосвязь пространства и времени. Та-

ким образом, теория Эйнштейна опери-

рует не с трехмерным пространством, к

которому присоединяется понятие вре-

мени, а рассматривает неразрывно свя-

занные пространственные и временные

координаты, образующие четырехмер-

ное пространство-время.

§ 37. Следствия

из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в раз-

ных системах отсчета. Пусть в систе-

ме К в точках с координатами

моменты времени

происходят два

события. В системе К' им соответству-

ют координаты

х[

х'

и моменты вре-

мени

Если события в системе К

происходят в одной точке

{х

)

и яв-

ляются одновременными

то,

согласно преобразованиям Лоренца

(36.3),

т. е. эти события являются одновремен-

ными и пространственно совпадающи-

ми для любой инерциальиой системы

отсчета.

Если события в системе К простран -

ственно

разобщены

{х

но

одно-

временны

(ii

то в системе К', со-

гласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти со-

бытия, оставаясь пространственно ра-

зобщенными, оказываются и неодновре-

менными. Знак разности

—

опреде-

ляется знаком выражения

v{x

—

поэтому в различных точках системы от-

счета

К'

(при разных v) разность

—

будет различной по величине и может

отличаться по знаку. Следовательно, в

одних системах отсчета первое событие

может предшествовать второму, в то

время как в других системах отсчета,

наоборот, второе событие предшеству-

ет первому. Сказанное, однако, не отно-

сится к причинно-следственным собы-

тиям, так как можно показать, что по-

рядок следования причинно-следствен-

ных событий одинаков во всех инерци-

альных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных

системах отсчета. Пусть в некоторой

точке (с координатой х), покоящейся

относительно системы К, происходит

событие, длительность которого (раз-

ность показаний часов в конце и нача-

ле события) т =

—

где индексы 1 и

2 соответствуют началу и концу собы-

тия. Длительность этого же события в

системе К'

(37.1)

причем началу и концу события, соглас-

но (36.3), соответствуют

(37.2)

Подставляя (37.2) в (37.1), получим

или

(37.3)

Из соотношения (37.3) вытекает, что

т <

т',

т.е. длительность события, про-

исходящего в некоторой точке, наимень-

шая в той

инерциальной

системе отсче-

та, относительно которой эта точка

неподвижна. Этот результат может быть

еще истолкован следующим образом:

интервал времени т', отсчитанный по

часам в системе К', с точки зрения на-

блюдателя в системе К, продолжитель-

нее интервала т, отсчитанного по его

часам. Следовательно, часы, движущи-

еся относительно инерциальной систе-

мы отсчета, идут медленнее покоящих-

ся часов, т.е. ход часов замедляется в

системе отсчета, относительно которой

часы движутся.

На основании относительности по-

нятий «неподвижная» и «движущаяся»

системы соотношения для

тит'

обра-

тимы. Из (37.3) следует, что замедле-

ние хода часов становится заметным

лишь при скоростях, близких к скорос-

ти распространения света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивис-

тского эффекта замедления хода часов

в свое время возникла проблема «пара-

докса часов» (иногда рассматривается

как «парадокс близнецов»), вызвавшая

многочисленные дискуссии. Предста-

вим себе, что осуществляется космиче-

ский полет к звезде, находящейся на рас-

стоянии 500 световых лет (расстояние,

на которое свет от звезды до Земли до-

ходит за 500 лет), со скоростью, близ-

кой к скорости света

(-у/1

— (З

= 0,001).

По земным часам полет до звезды и об-

ратно продлится 1000 лет, в то время

как для системы корабля и космонавта

в нем такое же путешествие займет все-

го 1 год. Таким образом, космонавт воз-

вратится на Землю в раз более

молодым, чем его брат-близнец, остав-

шийся на Земле.

Это явление, получившее название

парадокса

близнецов,

в действитель-

ности парадокса не содержит. Дело в

том, что принцип относительности ут-

верждает равноправность не всяких

систем отсчета, а только

инерциальных.

Неправильность рассуждения состоит

в том, что системы отсчета, связанные

с близнецами, не эквивалентны: земная

система

инерциальна,

а корабельная —

неинерциальна, поэтому к ним принцип

относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления

хода часов является

совершенно

реаль-

ным и получил экспериментальное под-

тверждение при изучении нестабиль-

ных, самопроизвольно распадающихся

элементарных частиц в опытах с

тт-ме-

зонами. Среднее время жизни покоя-

щихся тс-мезонов (по часам, движущим-

ся вместе с ними) т

2,2 • 10

с. Сле-

довательно,

тт-мезоны,

образующиеся в

верхних слоях атмосферы (на высоте

«30

км) и движущиеся со скоростью,

близкой к скорости с, должны были бы

проходить расстояния ст

6,6 м, т.е.

не могли бы достигать земной поверх-

ности, что противоречит действительно-

сти. Объясняется это релятивистским

эффектом замедления хода времени:

для земного наблюдателя срок жизни

, а путь этих час-

3. Длина тел в разных системах от-

счета. Рассмотрим стержень, располо-

женный вдоль оси х' и покоящийся от-

носительно системы К'. Длина стерж-

ня в системе К' будет

х'

—

х[,

где

х[

х'

— не изменяющиеся со временем t'

координаты начала и конца стержня, а

индекс 0 показывает, что в системе от-

счета К' стержень покоится. Определим

длину этого стержня в системе К, от-

носительно которой он движется со

скоростью v. Для этого необходимо из-

мерить координаты его концов

^и^в

системе

в один и тот же момент вре-

мени t. Их разность

—

и опре-

делит длину стержня в системе К. Ис-

пользуя преобразования Лоренца

(36.3), получим

т.е.

(37.4)

Таким образом, длина стержня, из-

меренная в системе, относительно ко-

торой он движется, оказывается мень-

ше длины, измеренной в системе, отно-

сительно которой стержень покоится.

Если стержень покоится в системе К,

то, определяя его длину в системе К',

опять-таки придем к выражению (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что

линейный размер тела, движущегося

относительно инерциальной системы

отсчета, уменьшается в направлении

движения в

sjl

—

раз, т.е. так назы-

ваемое лоренцево сокращение длины

тем больше, чем больше скорость дви-

жения. Из второго и третьего уравне-

ний преобразований Лоренца (36.3)

следует, что

т.е. поперечные размеры тела не зави-

сят от скорости его движения и одина-

ковы во всех инерциалъных системах от-

счета. Таким образом, линейные разме-

ры тела наибольшие в той инерциаль-

ной системе отсчета, относительно

которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения

скоростей. Рассмотрим движение ма-

териальной точки в системе К', в свою

очередь движущейся относительно си-

стемы К со скоростью v. Определим ско-

рость этой же точки в системе К. Если

в системе К движение точки в каждый

момент времени t определяется коорди-

натами х, у, z, а в системе К' в момент

времени t' — координатами х', у', z', то

представляют собой соответственно

проекции на оси х, у,

х',

у', z' вектора

скорости рассматриваемой точки отно-

сительно систем К и К'. Согласно пре-

образованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преоб-

разования,

получаем

релятивистский

закон сложения скоростей специаль-

ной теории относительности:

Если материальная точка движется

параллельно оси х, то скорость и отно-

сительно системы К совпадает с

скорость

и'

относительно К' — с

и'

Тог-

да закон сложения скоростей примет

вид

Легко убедиться в том, что если ско-

рости v, и' и и малы но сравнению со

скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6)

переходят в закон сложения скоростей

в классической механике [см. (34.4)].

Таким образом, законы релятивистской

механики в предельном случае для ма-

лых скоростей (по сравнению со скоро-

стью распространения света в вакууме)

переходят в законы классической фи-

зики, которая, следовательно, является

частным случаем механики Эйнштей-

на для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения

скоростей подчиняется второму посту-

лату Эйнштейна (см. § 35). Действи-

тельно, если и' = с, то формула (37.6)

примет вид и= = с (аналогич-

но можно показать, что при и = с ско-

рость и' также равна с). Этот результат

свидетельствует о том, что релятивист-

ский закон сложения скоростей нахо-

дится в согласии с постулатами Эйнш-

тейна.

Докажем также, что если складывае-

мые скорости сколь угодно близки к ско-

рости с, то их результирующая скорость

всегда меньше или равна с. В качестве

примера рассмотрим предельный случай

= v= с. После подстановки в форму-

лу (37.6) получим и — с. Таким образом,

при сложении любых скоростей резуль-

тат не может превысить скорости света с

в вакууме. Скорость света в вакууме

есть предельная скорость, которую не-

возможно превысить. Скорость света в

какой-либо среде, равная — (п — абсо-

лютныи показатель преломления сре-

ды), предельной величиной не является

(подробнее см. § 189).

§ 38. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и след-

ствия из них приводят к выводу об от-

носительности длин и промежутков

времени, значение которых в различ-

ных системах отсчета разное. В то же

время относительный характер длин и

промежутков времени в теории Эйнш-

тейна означает относительность отдель-

ных компонентов какой-то реальной

физической величины, не зависящей от

системы отсчета, т. е. являющейся инва-

риантной по отношению к преобразо-

ваниям

координат.

В четырехмерном пространстве Эйн-

штейна, в котором каждое событие ха-

рактеризуется четырьмя координатами

{х,у, z,t), такой физической величиной

является интервал между двумя собы-

тиями:

^12=

(38.1)

—

расстояние между точками трех-

мерного пространства, в которых эти

события произошли. Введя обозначение

—

t\,

получим

Покажем, что интервал между дву-

мя событиями одинаков во всех инер-

циальных системах отсчета. Обозначив

выражение (38.1) можно

записать в виде

Интервал между теми же события-

ми в системе К' равен

(38.2)

Согласно преобразованиям Лоренца

(36.3),

Обобщая полученные результаты,

можно сделать вывод, что интервал,

определяя пространственно-времен-

ные соотношения между событиями,

является инвариантом при переходе от

одной инерциальной системы отсчета

к другой. Инвариантность интервала

означает, что, несмотря на относи-

тельность длин и промежутков време-

ни, течение событий носит объектив-

ный характер и не зависит от системы

отсчета.

Теория относительности, таким об-

разом, сформулировала новое пред-

ставление о пространстве и времени.

Пространственно-временные отноше-

ния являются не абсолютными величи-

нами, как утверждалось в механике

Галилея — Ньютона, а относительными.

Следовательно, представления об абсо-

лютном пространстве и времени явля-

ются несостоятельными. Кроме того,

инвариантность интервала между дву-

мя событиями свидетельствует о том,

что пространство и время органически

связаны между собой и образуют еди-

ную форму существования материи —

«пространство — время». Пространство

и время не существуют вне материи и

независимо от нее.

Дальнейшее развитие теории отно-

сительности {общая теория относи-

тельности, или теория тяготения)

показало, что свойства пространства-

времени в данной области определяют-

ся действующими в ней полями тяго-

тения. При переходе к космическим

масштабам геометрия пространства-

времени не является евклидовой (т.е.

не зависящей от размеров области

«пространство — время»), а изменяется

от одной области к другой в зависимо-

сти от концентрации масс в этих облас-

тях и их движения.

§ 39. Основной закон

релятивистской динамики

материальной точки

Из принципа относительности Эйн-

штейна (см. § 35), утверждающего ин-

вариантность всех законов природы

при переходе от одной инерциальной

системы отсчета к другой, следует ус-

ловие инвариантности уравнений фи-

зических законов относительно преоб-

разований Лоренца. Основной закон

динамики Ньютона оказывает-

ся также инвариантным по отношению

к преобразованиям Лоренца, если в нем

справа стоит производная по времени

от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской

динамики материальной точки имеет

вид

(39.1)

или

где

(39.2)

(39.3)

— релятивистский импульс матери-

альной точки (га — масса материальной

точки).

Отметим, что уравнение (39.2)

внешне совпадает с основным уравне-

нием ньютоновской механики (6.7).

Однако физический смысл его другой:

справа стоит производная по времени

от релятивистского импульса, опреде-

ляемого формулой (39.3). Таким обра-

зом, уравнение (39.1) инвариантно по

отношению к преобразованиям Лорен-

ца и, следовательно, удовлетворяет

принципу относительности Эйнштей-

на. Следует учитывать, что ни импульс,

ни сила не являются инвариантными

величинами. Более того, в общем слу-

чае ускорение не совпадает по направ-

лению с силой.

Анализ формул (39.3) и (39.1) пока-

зывает, что при скоростях, значитель-

но меньших скорости с, уравнение

(39.1) переходит в основной закон [см.

(6.5)] классической механики. Следова-

тельно, условием применимости зако-

нов классической (ньютоновской) ме-

ханики является условие Зако-

ны классической механики получают-

ся как следствие теории относительнос-

ти для предельного случая (Ф°Р~

мально переход осуществляется при

). Таким образом, классическая

механика — это механика макротел,

движущихся с малыми скоростями (по

сравнению со скоростью света в вакуу-

ме).

§ 40. Энергия

в релятивистской механике

Найдем кинетическую энергию ре-

лятивистской частицы. Элементарная

работа силы F на малом перемещении

равна [учли

основной закон релятивистской дина-

мики (39.2)]. Тогда

(этот результат можно проверить диф-

ференцированием).

Приращение кинетической энергии

материальной точки на элементарном

перемещении равно элементарной ра-

боте на том же перемещении (см. § 12):

dT=dA. Тогда

Интегрируя это выражение, получим

Поскольку кинетическая энергия

при v — 0 должна обращаться в нуль, то

постоянная интегрирования

Следовательно, кинетическая энергия

релятивистской частицы

(40.1)

Выражение (40.1) при скоростях

переходит в классическое:

(40.2)

правомерно пре-

небречь слагаемыми второго порядка

малости).

Полная энергия свободной частицы,

т.е. частицы, на которую не действуют

силы,

(40.3)

Отметим, что в полную энергию Е не

входит потенциальная энергия тела во

внешнем силовом поле. Полная энер-

гия частицы в разных системах отсчета

различна.

В случае покоящейся частицы (v = 0)

из формулы (40.3) найдем, что

тс

(40.4)

Величина, определяемая выражени-

ем (40.4), называется энергией покоя.

Значения т и

не зависят от выбора

инерциалыюй системы отсчета. В энер-

гию покоя, как и в полную энергию

(40.3), не входит энергия тела во внеш-

нем силовом поле. В классической ме-

ханике энергия покоя

не учитывает-

ся, считая, что при v = 0 энергия поко-

ящегося тела равна нулю.

Как энергия Е, так и импульс р реля-

тивистской частицы имеют различные

значения в разных системах отсчета. Но

существует величина Е

—

= inv,

являющаяся инвариантной (имеющей

одно

то же значение в разных систе-

мах отсчета):

[учли формулы (39.3), (40.3) и (40.4)].

Согласно формуле (40.5), получим

— р

= т

, откуда связь между

энергией и импульсом

или

(40.6)

Из выражений (40.3), (40.1) и (40.4)

следует, что полная энергия системы

(40.7)

т.е. складывается из ее кинетической

энергии и энергии покоя. Подставив

(40.7) в (40.6), получим

(40.8)

откуда следует, что при выра-

жение (40.8) переходит в ньютоновское

а при приобрета-

ет вид

Согласно формуле (40.4), масса тела

и его энергия покоя связаны соотноше-

нием

тс

Это означает, что вся-

кое изменение массы тела Am сопро-

вождается изменением энергии покоя

АЕ

и эти изменения пропорциональ-

ны друг другу, т. е.

Д£

Am.

(40.9)

Выражение (40.9) носит название

закона взаимосвязи массы и энергии

покоя.

Чтобы охарактеризовать прочность

связи и устойчивость системы каких-

либо частиц (например, атомного ядра

как системы из протонов и нейтронов),

вводят понятие энергии связи. Энергия

связи системы равна работе, которую

необходимо затратить, чтобы разло-

жить эту систему на составные части

(например, атомное ядро — на протоны

и нейтроны). Энергия связи системы

(40.10)

где

— масса

г-й

частицы в свобод-

ном состоянии; М— масса системы.

Закон взаимосвязи массы и энергии

покоя (иногда говорят просто энергии)

подтвержден экспериментами о выде-

лении энергии при протекании ядерных

реакций. Он широко используется для

расчета энергетических эффектов при

ядерных реакциях и превращениях эле-

ментарных частиц.

Выводы специальной теории относи-

тельности, как, впрочем, и любые круп-

ные открытия, потребовали пересмотра

многих установившихся и ставших при-

вычными представлений. Так, длина тел

и длительность событий не являются аб-

солютными величинами, а носят отно-

сительный характер, масса и энергия

покоя оказались связанными друг с дру-

гом, хотя они и являются качественно

различными свойствами материи.

Основной вывод теории относитель-

ности сводится к тому, что простран-

ство и время органически взаимосвяза-

ны и образуют единую форму суще-

ствования материи «пространство —

время». Только поэтому пространст-

венно-временной интервал между дву-

мя событиями является абсолютным,

в то время как пространственные и

временные промежутки между этими

событиями относительны. Следова-

тельно, вытекающие из преобразований

Лоренца следствия являются выраже-

нием объективно существующих про-

странственно-временных соотношений

движущейся материи.

Контрольные вопросы

В чем физическая сущность механического принципа относительности?

В чем заключается правило сложения скоростей в классической механике?

Каковы причины возникновения специальной теории относительности?

В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности?

Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? скорость света?

Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца. При каких условиях они пе-

реходят в преобразования Галилея?

Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Ло-

ренца?

Одновременны ли события в системе К', если в системе К они происходят в одной точке

и одновременны? в системе К события разобщены, но одновременны? Обоснуйте ответ.

Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и

длительности событий в разных системах отсчета? Обоснуйте ответ.

При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела

составит 25 %?

В чем состоит «парадокс близнецов» и как его разрешить?

В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он

находится в согласии с постулатами Эйнштейна?

Как определяется интервал между событиями? Докажите, что он является инвариан-

том при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики? Чем он отличается от ос-

новного закона ньютоновской механики?

В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? При каком условии

релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу?

Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая

сущность? Приведите примеры его экспериментального подтверждения.

ЗАДАЧИ

7.1. Определите собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относитель-

но которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с

измерительными приборами) его скорость v — 0,8 с, длина I = 1 м и угол между ним и на-

7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5 % от времени жизни по непод-

правлением движения

вижным часам. Определите

7.3. Тело массой 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе К', движущейся отно-

сительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определите: 1) скорость тела относительно

системы К; 2) сто массу в этой системе. [1) 277 Мм/с; 2) 5,2 кг]

7.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина по отношению к

преобразованиям координат, определите расстояние, которое пролетел

-к-мезон

с момента

рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета At = 5 мкс, а собствен-

ное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) Д

= 2,2 мкс.

[1,35 км ]

7.5. Определите скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее

ньютоновский импульс в пять раз. [0,98 c]

7.6. Определите скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую раз-

ность потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]

7.7. Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого