Трофимова Т.И. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

Если заряды и токи распределены в

пространстве непрерывно, то обе фор-

мы уравнений Максвелла — интеграль-

ная и дифференциальная — эквивален-

тны. Однако если имеются поверхнос-

ти разрыва — поверхности, на которых

свойства среды или полей меняются

скачкообразно, то интегральная форма

уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифферен-

циальной форме предполагают, что все

величины в пространстве и времени

изменяются непрерывно. Чтобы дос-

тичь математической эквивалентности

обеих форм уравнений Максвелла, диф-

ференциальную форму дополняют гра-

ничными условиями, которым должно

удовлетворять электромагнитное поле

на границе раздела двух сред. Интег-

ральная форма уравнений Максвелла

содержит эти условия. Они были рас-

смотрены раньше (см. § 90, 134):

(первое и последнее уравнения отвеча-

ют случаям, когда па границе раздела

нет ни свободных зарядов, ни токов

проводимости).

Уравнения Максвелла — наиболее

общие уравнения для электрических и

магнитных полей в покоящихся средах.

Они играют в учении об электромагне-

тизме такую же роль, как законы Нью-

тона в механике. Из уравнений Макс-

велла следует, что переменное магнит-

ное поле всегда связано с порождаемым

им электрическим полем, а переменное

электрическое поле всегда связано с по-

рождаемым им магнитным, т.е. элект-

рическое и магнитное поля неразрыв-

но связаны друг с другом — они обра-

зуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобще-

нием основных законов электрических

и магнитных явлений, не только смог-

ла объяснить уже известные экспери-

ментальные факты, что также являет-

ся важным ее следствием, но и предска-

зала новые явления. Одним из важных

выводов этой теории явилось существо-

вание магнитного поля токов смещения

(см. § 138), что позволило Максвеллу

предсказать существование электро-

магнитных волн — переменного элек-

тромагнитного ноля, распространяю-

щегося в пространстве с конечной ско-

ростью.

В дальнейшем было доказано, что

скорость распространения свободного

электромагнитного поля (не связанно-

го с зарядами и токами) в вакууме рав-

на скорости света с = 3 * 10

м/с. Этот

вывод и теоретическое исследование

свойств электромагнитных волн приве-

ли Максвелла к созданию электромаг-

нитной теории света, согласно которой

свет представляет собой также электро-

магнитные волны. Электромагнитные

волны на опыте были получены немец-

ким физиком

Г.Герцем

(1857—1894),

доказавшим, что законы их возбужде-

ния и распространения полностью опи-

сываются уравнениями Максвелла. Та-

ким образом, теория Максвелла была

экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю приме-

ним только принцип относительности

Эйнштейна, так как факт распростране-

ния

электромагнитных

волн в вакууме

во всех системах отсчета с одинаковой

скоростью с не совместим с

принципом

относительности Галилея.

Согласно принципу относитель-

ности Эйнштейна, механические, оп-

тические и электромагнитные явления

во всех

инерциальпых

системах отсче-

251

та протекают одинаково, т. е. описыва-

ются одинаковыми уравнениями. Урав-

нения Максвелла инвариантны относи-

тельно преобразований Лоренца: их вид

не меняется при переходе от одной

инерциальной системы отсчета к дру-

гой, хотя величины Е, В, D, H в них пре-

образуются по определенным прави-

лам.

Из принципа относительности выте-

кает, что отдельное рассмотрение элек-

трического и магнитного полей имеет

относительный смысл. Так, если элек-

трическое поле создается системой не-

подвижных зарядов, то эти заряды, яв-

ляясь неподвижными относительно

одной инерциальной системы отсчета,

движутся относительно другой и, сле-

довательно, будут порождать не толь-

ко электрическое, но и магнитное поле.

Аналогично, неподвижный относитель-

но одной инерциальной системы отсче-

та проводник с постоянным током, воз-

буждая в каждой точке пространства

постоянное магнитное поле, движется

относительно других инерциальных

систем, и создаваемое им переменное

магнитное поле возбуждает вихревое

электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла,

ее экспериментальное подтверждение,

а также принцип относительности Эй-

нштейна приводят к единой теории

электрических, магнитных и оптиче-

ских явлений, базирующейся на пред-

ставлении об электромагнитном поле.

Контрольные вопросы

Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отли-

чается от электростатического поля?

Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?

Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?

Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.

Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора

напряженности магнитного поля.

Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной

форме и объясните их физический смысл.

Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособлен-

но друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах.

Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?

Какие основные выводы можно сделать па основе теории Максвелла?

ЧАСТЬ 4

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Глава 18

МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 140. Гармонические колебания

и их характеристики

Колебаниями называются движе-

ния или процессы, которые характери-

зуются определенной повторяемостью

во времени. Колебательные процессы

широко распространены в природе и

технике, например качание маятника

часов, переменный электрический ток

и т.д. При колебательном движении

маятника изменяется координата его

центра масс, в случае переменного

тока колеблются напряжение и ток в

цепи.

Физическая природа колебаний мо-

жет быть разной, поэтому различают

колебания механические, электромаг-

нитные и др. Однако различные коле-

бательные процессы описываются оди-

наковыми характеристиками и одина-

ковыми уравнениями. Отсюда следует

целесообразность единого подхода к

изучению колебаний различной физи-

ческой природы. Например, единый под-

ход к изучению механических и элект-

ромагнитных колебаний применялся

английским физиком Д.У.Рэлеем

(1842-1919), А.Г.Столетовым, рус-

ским инженером-экспериментатором

П.Н.Лебедевым (1866-1912). Боль-

шой вклад в развитие теории колебаний

внесли Л. И. Мандельштам (1879 —

1944) и его ученики.

Колебания называются свободны-

ми (или собственными), если они со-

вершаются за счет первоначально сооб-

щенной энергии при последующем от-

сутствии внешних воздействий на ко-

лебательную систему (систему, совер-

шающую колебания).

Простейшим типом колебаний яв-

ляются гармонические колебания —

колебания, при которых колеблющая-

ся величина изменяется со временем по

закону синуса (косинуса). Рассмотре-

ние гармонических колебаний важно по

двум причинам: 1) колебания, встреча-

ющиеся в природе и технике, часто

близки к гармоническим; 2) различные

периодические процессы (процессы,

повторяющиеся через равные проме-

жутки времени) можно представить как

наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины s

описываются уравнением типа

(140.1)

где А — максимальное значение колеб-

лющейся величины, называемое ампли-

тудой колебания;

— круговая (цик-

лическая) частота.

253

Периодически изменяющийся аргу-

мент косинуса называется

фазой колебания. Она определяет сме-

щение колеблющейся величины от по-

ложения равновесия в данный момент

времени t. Величина

в уравнении гар-

монических колебаний называется на-

чальной фазой. Она определяет смеще-

ние колеблющейся величины от поло-

жения равновесия в начальный момент

времени (t = 0).

Значение начальной фазы определя-

ется выбором начала отсчета времени.

Так как косинус изменяется в пределах

от +1 до —1, то s может принимать зна-

чения от +А до — А.

Определенные состояния системы,

совершающей гармонические колеба-

ния, повторяются через промежуток

времени Т, называемый периодом ко-

лебания, за который фаза колебания

получает приращение

2тт,

т. е.

откуда

(140.2)

Величина, обратная периоду колеба-

ний,

(140.3)

т.е. число полных колебаний, совер-

шаемых в единицу времени, называет-

ся частотой колебаний. Сравнивая

(140.2) и (140.3), получим

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц —

частота периодического процесса, при

которой за 1 с совершается один цикл

процесса.

Запишем первую и вторую произ-

водные по времени от гармонически

колеблющейся величины s:

Рис. 200

т.е. имеем гармонические колебания с

той же циклической частотой. Амплиту-

ды величин (140.4) и (140.5) соответ-

ственно равны

AAJ

AU'Q.

Фаза величи-

ны (140.4) отличается от фазы величи-

ны

(140.1)

на , а фаза величины

(140.5)

отличается от фазы величины (140.1) на

тт. Следовательно, в моменты времени,

когда

приобретает наибольшие

значения; когда s достигает максималь-

ного отрицательного значения, то

имеет наибольшее положительное зна-

чение (рис. 200; начальная фаза

= 0).

Из выражения (140.5) следует диф-

ференциальное уравнение гармони-

ческих колебаний

254

(140.6)

Решением этого уравнения является

выражение (140.1).

Гармонические колебания изобра-

жаются графически методом враща-

ющегося вектора амплитуды, или

методом векторных диаграмм. Для

этого из произвольной точки О, выб-

ранной на оси х, под углом

ip,

равным

начальной фазе колебания, откладыва-

ется вектор

А,

модуль которого равен

амплитуде А рассматриваемого колеба-

ния (рис. 201). Если этот вектор приве-

сти во вращение с угловой скоростью

равной циклической частоте колеба-

ний, то проекция конца вектора будет

перемещаться по оси

и принимать зна-

чения от —А до

А, а колеблющаяся ве-

личина будет изменяться со временем

по закону Таким об-

разом, гармоническое колебание мож-

но представить проекцией на некото-

рую произвольно выбранную ось векто-

ра амплитуды

А,

отложенного из про-

извольной точки оси под углом

ц>,

рав-

ным начальной фазе, и вращающегося

с угловой скоростью

вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой

метод, который отличается от метода

вращающегося вектора амплитуды лишь

по форме. В этом методе колеблющую-

ся величину представляют комплекс-

ным числом. Согласно формуле Эйле-

ра, для комплексных чисел

(140.7)

где — мнимая единица. Поэто-

му уравнение гармонического колеба-

ния (140.1) можно записать в комплек-

сной форме:

(140.8)

Вещественная часть выражения

(140.8)

Рис.201

представляет собой гармоническое ко-

лебание. Обозначение Re вещественной

части условимся опускать и (140.8) бу-

дем записывать в виде

В теории колебаний принимается,

что колеблющаяся величина s равна

вещественной части комплексного вы-

ражения, стоящего в этом равенстве

справа.

§ 141. Механические

гармонические колебания

Пусть материальная точка соверша-

ет прямолинейные гармонические ко-

лебания вдоль оси координат х около

положения равновесия, принятого за

начало координат.

Тогда зависимость координаты х от

времени t задается уравнением, анало-

гичным уравнению (140.1), где s = х:

(141.1)

Согласно выражениям (140.4) и

(140.5), скорость

ииускорение

о,колеб-

лющейся точки соответственно равны

(141.2)

255

Сила F= та, действующая на колеб-

лющуюся материальную точку мас-

сой

т, с учетом (141.1) и

(141.2)

равна

Следовательно, сила пропорцио-

нальна смещению материальной точки

из положения равновесия и направле-

на в противоположную сторону (к по-

ложению равновесия).

Кинетическая энергия материаль-

ной точки, совершающей прямолиней-

ные гармонические колебания, равна

или

Потенциальная энергия матери-

альной точки, совершающей гармони-

ческие колебания под действием упру-

гой силы F, равна

(141.5)

Рис. 202

Из формул (141.4) и (141.6) следу-

ет, что

Ти

П изменяются с частотой

2ш

т. е. с частотой, которая в два раза пре-

вышает частоту гармонического коле-

бания.

На

рис. 202 представлены графи-

ки зависимости х,

от времени. Так

как (sin

a) = (cos

а)

-, то из формул

(141.3), (141.5) и (141.7) следует, что

или

(141.6)

Сложив (141.3) и (141.5), получим

формулу для полной энергии:

(141.7)

Полная энергия остается постоян-

ной, так как при гармонических коле-

баниях справедлив закон сохранения

механической энергии, поскольку упру-

гая сила консервативна.

§ 142. Гармонический

осциллятор. Пружинный,

физический и математический

маятники

Гармоническим осциллятором на-

зывается система, совершающая коле-

бания, описываемые уравнением вида

(140.6):

(142.1)

Колебания гармонического осцил-

лятора являются важным примером

периодического движения и служат

256

точной или приближенной моделью во

многих задачах классической и кванто-

вой физики. Примерами гармоническо-

го осциллятора являются пружинный,

физический и математический маятни-

ки, колебательный контур (для токов и

напряжений

столь

малых, что элемен-

ты контура можно было бы считать

линейными; см. § 146).

Пружинный маятник — это груз

массой т, подвешенный на абсолютно

упругой

пружине

и совершающий гар-

монические колебания под действием

упругой силы F —

—кх,

где к — жест-

кость пружины. Уравнение движения

маятника в отсутствие сил трения

Из выражений (142.1) и (140.1) сле-

дует, что пружинный маятник соверша-

ет гармонические колебания по закону

х =

cos(uj

Ф)

с циклической час-

тотой

и периодом

(142.2)

(142.3)

Формула (142.3) справедлива для

упругих колебаний в пределах, в кото-

рых выполняется закон Гука [см.

(21.3)],

т.е. когда масса пружины мала по срав-

нению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинно-

го маятника, согласно

(141.5)

и (142.2),

2. Физический маятник — это твер-

дое тело, совершающее под действием

силы тяжести колебания вокруг не-

подвижной

горизонтальной

оси, прохо-

9 Курс физики

Рис.

203

дящей через точку О, не совпадающую

с центром масс Стела (рис. 203).

Если маятник отклонен из положе-

ния равновесия на некоторый угол а, то

в соответствии с уравнением динами-

ки вращательного движения твердого

тела

(18.3)

в отсутствие сил трения вра-

щающий момент М можно записать в

виде

где

— момент инерции маятника

от-

носительно оси, проходящей через точ-

ку подвеса

О;

— расстояние между ней

и центром масс маятника.

Вращающий момент стремится вер-

нуть маятник в положение равновесия

и в этом отношении аналогичен упру-

гой силе. Поэтому так же, как смеще-

нию и упругой силе, моменту

Мм

уг-

ловому смещению а приписывают про-

тивоположные знаки. При малых коле-

баниях маятника (малых отклонениях

маятника из положения равновесия)

sina

а. Тогда уравнение

(142.4)

мож-

но записать в виде

Принимая

(142.5)

257

получим уравнение

Момент инерции математического

маятника

идентичное с (142.1), решение которо-

го [см. (140.1)] известно:

I. (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что

при малых колебаниях физический ма-

ятник совершает гармонические коле-

бания с циклической частотой

[см.

(142.5)] и периодом

где L = —- — приведенная длина фи-

зического

маятника.

Точка

на продолжении прямой

ОС, отстоящая от точки О подвеса ма-

ятника на расстоянии приведенной дли-

ны L, называется центром качаний фи-

зического маятника (см. рис. 203). При-

меняя теорему Штейнера

(16.1),

получим

т.е. 00' всегда больше ОС. Точка под-

веса О маятника и центр качаний О'

обладают свойством взаимозаменяе-

мости: если точку подвеса перенести в

центр качаний, то прежняя точка О под-

веса станет новым центром качаний, и

период колебаний физического маят-

ника не изменится.

3. Математический маятник —

это идеализированная система, состоя-

щая из материальной точки массой т,

подвешенной на нерастяжимой невесо-

мой нити, и колеблющаяся под действи-

ем силы тяжести.

Хорошим приближением математи-

ческого маятника является небольшой

тяжелый шарик, подвешенный на тон-

кой

длинной

нити.

(142.8)

где / — длина маятника.

Так как математический маятник

можно представить как частный случай

физического маятника, предположив,

что вся его масса сосредоточена в одной

точке — центре масс, то, подставив вы-

ражение (142.8) в формулу (142.7), по-

лучим выражение для периода малых

колебаний математического маятника

(142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9),

видим, что если приведенная длина L

физического маятника равна длине /

математического маятника, то периоды

колебаний этих маятников одинаковы.

Следовательно, приведенная длина

физического маятника — это длина

такого математического маятника, пе-

риод колебаний которого совпадает с

периодом колебаний данного физичес-

кого маятника.

§ 143. Свободные

гармонические колебания

в колебательном контуре

Среди различных физических явле-

ний особое место занимают электро-

магнитные колебания, при которых

электрические величины (заряды, токи)

периодически изменяются и которые

сопровождаются взаимными превраще-

ниями электрического и магнитного

полей.

Для возбуждения и поддержа-

ния электромагнитных колебаний ис-

пользуется колебательный контур —

цепь, состоящая из включенных после-

довательно катушки индуктивностью L,

258

конденсатора емкостью С

резистора

сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные ста-

дии колебательного процесса в идеали-

зированном контуре, сопротивление

которого пренебрежимо мало (R

0).

Для возбуждения в контуре колебаний

конденсатор предварительно заряжают,

сообщая его обкладкам заряды ± Q. Тог-

да в начальный момент времени t = 0

(рис. 204, а) между обкладками конден-

сатора возникнет электрическое поле,

энергия которого [см. (95.4)]. Если

замкнуть конденсатор на катушку ин-

дуктивности, он начнет разряжаться, и

в контуре потечет возрастающий со вре-

менем ток /. В результате энергия элек-

трического поля будет уменьшаться, а

энергия магнитного поля катушки (она

LQ\

равна ——) — возрастать.

Так как R

0, то, согласно закону

сохранения энергии, полная энергия

Рис.

204

так как она на нагревание не расходу-

ется. Поэтому в момент t = —, когда

конденсатор полностью разрядится,

энергия электрического поля обраща-

ется в нуль, а энергия магнитного поля

(а следовательно, и ток) достигает наи-

большего значения (рис. 204, б). С это-

го момента ток в контуре будет убывать,

следовательно, начнет ослабевать маг-

нитное поле катушки, и в ней будет ин-

дуцироваться ток, который течет (со-

гласно правилу Ленца) в том же направ-

лении, что и ток разрядки конденсато-

ра. Конденсатор начнет перезаряжать-

ся, возникнет электрическое поле, стре-

мящееся ослабить ток, который в кон-

це концов обратится в нуль, а заряд на

обкладках конденсатора достигнет мак-

симума (рис. 204, в). Далее те же про-

цессы начнут протекать в обратном на-

правлении (рис. 204,

г)

система к мо-

менту времени t — Г придет в первона-

чальное состояние (см. рис. 204,

а).

Пос-

ле этого начнется повторение рассмот-

ренного цикла разрядки и зарядки кон-

денсатора.

Если бы потерь энергии не было, то

в контуре совершались бы периодичес-

кие незатухающие колебания, т. е. пери-

одически изменялись (колебались) бы

заряд Q на обкладках конденсатора,

напряжение U на конденсаторе и сила

тока /, текущего через катушку индук-

тивности. Следовательно, в контуре

возникают электромагнитные колеба-

ния, причем колебания сопровождают-

ся превращениями

энергий

электричес-

кого и магнитного полей.

Электромагнитные колебания в ко-

лебательном контуре можно сопоста-

вить с механическим колебаниями ма-

ятника (рис. 204), сопровождающими-

259

ся взаимными превращениями потен-

циальной и кинетической энергий ма-

ятника. В данном случае энергия

элек-

трического поля конденсатора

(-77)

аналогична потенциальной энергии ма-

ятника, энергия магнитного поля ка-

тушки (

—-—)

—

кинетической

энергии,

сила тока в контуре — скорости движе-

ния маятника. Индуктивность L игра-

ет роль массы т, а сопротивление кон-

тура — роль силы трения, действующей

на маятник.

Согласно закону Ома, для контура,

содержащего катушку индуктивнос-

тью L, конденсатор емкостью Си рези-

стор сопротивлением R,

где IR — напряжение на резисторе;

= — — напряжение на конденсато-

ре;

—

—L—

ЭДС самоиндукции,

возникающая в катушке при протека-

нии в ней переменного тока

(^,

—

е/щн-

ственная

ЭДС в контуре).

Следовательно,

(143.1)

Разделив (143.1) на L

подставив

—

Q, получим

дифференци-

алыюе уравнение колебаний заряда Q

в контуре:

В данном колебательном контуре

внешние ЭДС отсутствуют, поэтому

рассматриваемые колебания представ-

ляют собой свободные колебания (см.

§ 140). Если сопротивление R — 0, то

свободные электромагнитные колеба-

ния в контуре являются гармонически-

ми. Тогда из (143.2) получим диффе-

ренциальное уравнение свободных гар-

монических колебаний заряда в контуре:

Из выражений (142.1) и (140.1) вы-

текает, что заряд Q совершает гармони-

ческие колебания по закону

где

— амплитуда колебаний заряда

конденсатора с циклической частотой

называемой собственной часто-

той контура, т. е.

периодом

(143.4)

(143.5)

Формула (143.5) впервые была по-

лучена У.Томсоном и называется фор-

мулой Томсона. Сила тока в колеба-

тельном контуре [см. (140.4)]

где

—

амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

где

ния.

(143.7)

амплитуда напряже-

Из выражений (143.3) и (143.6) вы-

текает, что колебания тока / опережа-

ют по фазе колебания заряда Q на —,

т.е., когда ток достигает максимально-

го значения, заряд (а также и напряже-

ние [см. (143.7)] обращается в нуль, и

наоборот.

260