Трофимова Т.И. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

не превышают 2 % и связаны в основ-

ном с выделением в обмотках джоуле-

вой теплоты и появлением вихревых

токов, и применяя закон сохранения

энергии, можем записать, что мощнос-

ти тока в обеих обмотках трансформа-

тора практически одинаковы:

откуда, учитывая соотношение (129.3),

найдем

т. е. токи в обмотках обратно пропорци-

ональны числу витков в этих обмотках.

Если —- >

то имеем дело с повы-

шающим трансформатором, увели-

чивающим переменную ЭДС и понижа-

ющим ток (применяются, например,

для передачи электроэнергии на боль-

шие расстояния, так как в данном слу-

чае потери па джоулеву теплоту, про-

порциональные квадрату силы тока,

снижаются); если <1, то имеем

дело с понижающим трансформато-

ром, уменьшающим ЭДС и повышаю-

щим ток (применяются, например, при

электросварке, так как для нее требует-

ся большой ток при низком напряже-

нии).

Мы рассматривали трансформато-

ры, имеющие только две обмотки. Од-

нако трансформаторы, используемые в

радиоустройствах, имеют 4 — 5 обмоток,

обладающих разными рабочими напря-

жениями. Трансформатор, состоящий

из одной обмотки, называется авто-

трансформатором. В случае повыша-

ющего автотрансформатора ЭДС под-

водится к части обмотки, а вторичная

ЭДС снимается со всей обмотки. В по-

нижающем автотрансформаторе напря-

жение сети подается па всю обмотку, а

вторичная

ЭДС снимается с части об-

мотки.

§ 130. Энергия магнитного поля

Проводник, по которому протекает

электрический ток, создает в окружаю-

щем пространстве магнитное

поле,

при-

чем магнитное поле появляется и исче-

зает вместе с появлением и исчезнове-

нием тока.

Магнитное поле, подобно электри-

ческому, является носителем энергии.

Естественно предположить, что энер-

гия магнитного

поля

равна работе, ко-

торая затрачивается током на создание

этого

поля.

Рассмотрим контур индуктивнос-

тью L, по которому течет ток /. С дан-

ным контуром сцеплен магнитный по-

ток [см. (126.1)]

Ы, причем

при

из-

менении тока на d/ магнитный поток

изменяется на

6.Ф

Ldl.

Однако для

изменения магнитного потока на вели-

чину

с1Ф

(см. § 121) необходимо совер-

шить работу dA = /с1Ф —

LIdL

Тогда

работа по созданию магнитного пото-

ка будет

Следовательно, энергия магнитного

ноля, связанного с контуром,

(130.1)

Исследование свойств переменных

магнитных

полей,

в частности распро-

странения электромагнитных волн,

явилось доказательством того, что энер-

гия магнитного поля локализована в

пространстве. Это соответствует пред-

ставлениям теории поля.

231

Энергию магнитного поля можно

представить как функцию величин, ха-

рактеризующих это

иоле

в окружаю-

щем пространстве. Для этого рассмот-

рим

частный

случаи — однородное маг-

нитное поле внутри длинного солено-

ида. Подставив в формулу (130.1) вы-

ражение (126.2), получим

Т а б л и

а б

232

(130.2)

где V =

— объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однород-

но и сосредоточено внутри

пего,

поэто-

му энергия [см. (130.2)] заключена в

объеме соленоида и распределена в нем

с постоянной объемной плотностью

.(130.3)

Выражение (130.3) для объемной

плотности энергии магнитного поля

имеет вид, аналогичный формуле (95.8)

для объемной плотности энергии элек-

тростатического поля, с той разницей,

что электрические величины заменены

в нем магнитными. Формула (130.3)

выведена для однородного поля, но она

справедлива и для неоднородных по-

лей. Выражение (130.3) справедливо

только для сред, для которых зависи-

мость

Бот

IIлинейная,

т.е. оно относит-

ся только к пара- и диамагнетикам (см.

§ 132).

В табл. 6 представлена аналогия при

рассмотрении электрических и магнит-

ных нолей.

Контрольные вопросы

Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем кон-

туре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?

В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты

Фарадся.

Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый провод-

ник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?

Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.

Как направлен индукционный ток?

Всегда ли при изменении магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает

ЭДС индукции? индукционный ток?

Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в од-

нородном магнитном поле?

Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.

Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?

Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в

однородном магнитном поле. За счет чего се можно увеличить?

Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?

Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?

Когда ЭДС самоиндукции больше — при замыкании или размыкании цени постоянного

тока?

В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивно-

сти двух контуров? От чего они зависят?

чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите ЭДС ин-

дукции для обоих случаев.

чем заключается физический смысл времени релаксации т

-4? Докажите, что т имеет

размерность времени.

Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электроста-

тического и магнитного нолей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнит-

ного

поля?

233

• Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плот-

ность энергии магнитного поля?

• Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышаю-

щего трансформатора.

ЗАДАЧИ

15.1. Кольцо из алюминиевого провода (р

2С

пОм

• м) помещено в магнитное поле пер-

пендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм.

Определите скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0.33 Тл/с]

15.2. В однородном магнитном иоле, индукция которого

0,5

Тл, равномерно с частотой

300

мин"

вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу.

Площадь поперечного сечения катушки 100 см

. Ось вращения перпендикулярна осп ка-

тушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в

катушке. [31,4 В]

15.3. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, ди-

аметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный ци-

линдр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГп.

15.4.

Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предель-

ного значения, если источник тока замыкают па катушку сопротивлением 10 Ом

индук-

тивностью 0,4

Гп.

[0,16 с]

15.5. Два соленоида (индуктивность одного

= 0,ЗС Гп, другого

0,04

Гн)

одинако-

вой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определите взаимную

индуктивность соленоидов. [0,48 Гп]

15.6.

Автотрансформатор, понижающий напряжение с

{

= 5,5 кВ до

= 220 В, содер-

жит в первичной обмотке

= 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки

= 2 Ом.

Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R = 13 Ом. Пренебрегая

сопротивлением первичной обмотки, определите число витков во вторичной

обмотке

транс-

форматора.

[08]

Глава 16

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

§ 131. Магнитные моменты

электронов и атомов

Рассматривая действие магнитного

поля на проводники с током и на дви-

жущиеся заряды, мы не интересовались

процессами, происходящими в веще-

стве. Свойства среды учитывались фор-

мально с помощью магнитной прони-

цаемости

|i.

Для того чтобы разобрать-

ся в магнитных свойствах сред и их вли-

янии на магнитную индукцию, необ-

ходимо рассмотреть действие магнит-

ного поля на атомы и молекулы веще-

ства.

Опыт показывает, что все вещества,

помещенные в магнитное поле, намаг-

ничиваются. Рассмотрим причину это-

го явления с точки зрения строения ато-

мов и молекул, положив в основу гипо-

тезу Ампера (см. § 109), согласно кото-

рой в любом теле существуют микро-

234

скопические токи, обусловленные дви-

жением электронов в атомах и молеку-

лах.

Для качественного объяснения маг-

нитных явлений с достаточным при-

ближением можно считать, что элект-

рон движется в атоме по круговым ор-

битам. Электрон, движущийся по одной

из таких орбит, эквивалентен кругово-

му току, поэтому

он

обладает орби-

тальным магнитным моментом [см.

(109.2)]

ISn,

модуль которого

(131.1)

где /— ev — сила тока; v — частота вра-

щения электрона по орбите; S — пло-

щадь орбиты.

Если электрон движется по часовой

стрелке (рис. 189), то ток направлен

против часовой стрелки и вектор

(в соответствии с правилом правого

винта) направлен перпендикулярно

плоскости орбиты электрона, как ука-

зано на рисунке.

С другой стороны, движущийся

по

орбите электрон обладает механичес-

ким моментом импульса

модуль ко-

торого, согласно (19.1),

(131.2)

где v —

2ТКУГ,

-тсг

S. Вектор

(его на-

правление также определяется по пра-

вилу правого винта) называется орби-

тальным механическим моментом

электрона.

Издшс,

189 следует, что направления

противоположны, поэтому, учи-

тывая выражения (131.1) и (131.2), ПО-

ЛУЧИМ

где величина

называется гиромагнитным отноше-

нием орбитальных моментов (об-

щепринято писать со знаком «-», ука-

зывающим на то, что направления мо-

ментов противоположны). Это отно-

шение, определяемое универсальными

постоянными, одинаково для любой

орбиты, хотя для разных орбит значе-

ния

ин

различны. Формула (131.4)

выведена для круговой орбиты, но она

справедлива и для эллиптических ор-

бит.

Экспериментальное определение

гиромагнитного отношения проведено

в опытах Эйнштейна и де Гааза

(1915),

которые наблюдали поворот свободно

подвешенного на тончайшей кварцевой

нити железного стержня при его намаг-

ничивании во внешнем магнитном поле

(по обмотке соленоида пропускался пе-

ременный ток с частотой, равной час-

тоте крутильных колебаний стержня).

При исследовании вынужденных

крутильных колебаний стержня опре-

делялось гиромагнитное отношение,

которое оказалось равным — . Таким

образом, знак носителей, обусловлива-

ющих молекулярные токи, совпадал со

знаком заряда электрона, а гиромагнит-

ное отношение оказалось в два раза

большим, чем введенная ранее величи-

на д [см. (131.4)]. Для объяснения это-

го результата, имевшего большое зна-

чение для дальнейшего развития физи-

ки, было предположено, а впоследствии

(131.4)

В. И. де Гааз (1878- 1960) - нидерландский

физик.

235

доказано, что кроме орбитальных мо-

ментов [см. (131.1) и (131.2)] электрон

обладает собственным механическим

моментом импульса

L,,,

называемым

спином.

Считалось, что спин обусловлен вра-

щением электрона вокруг своей оси, что

привело к целому ряду противоречий.

В настоящее время установлено, что

спин является неотъемлемым свой-

ством электрона, подобно его заряду и

массе. Спину электрона

соответству-

ет собственный (спиновый) магнит-

ный момент

пропорциональный

и направленный в противоположную

сторону:

(131.5)

Величина

называется гиромагнит-

ным отношением спиновых момен-

тов.

Проекция собственного магнитного

момента на направление вектора

мо-

жет принимать только одно из следую-

щих двух значений:

— магнетон Бора, являющийся еди-

ницей магнитного момента электрона.

В общем случае магнитный момент

электрона складывается из орбитально-

го и спинового магнитных моментов.

Магнитный момент атома, следователь-

но, складывается из магнитных момен-

тов входящих в его состав электронов

и магнитного момента ядра (обуслов-

лен магнитными моментами входящих

в ядро протонов и нейтронов). Однако

магнитные моменты ядер в тысячи раз

меньше магнитных моментов электро-

нов, поэтому ими пренебрегают. Таким

образом, общий магнитный момент ато-

ма (молекулы)

р.

равен векторной сум-

мс магнитных моментов (орбитальных

и спиновых), входящих в атом (моле-

кулу) электронов:

(131.6)

Еще раз обратим внимание на то, что

при рассмотрении магнитных момен-

тов электронов и атомов мы пользова-

лись классической теорией, не учиты-

вая ограничений, накладываемых па

движение электронов законами кванто-

вой механики. Однако это не противо-

речит полученным результатам, так как

для дальнейшего объяснения намагни-

чивания веществ существенно лишь то,

что атомы обладают магнитными мо-

ментами.

§ 132. Диа- и парамагнетизм

Всякое вещество является магнети-

ком, т.е. оно способно под действием

магнитного поля приобретать магнит-

ный момент (намагничиваться). Для

понимания механизма этого явления

необходимо рассмотреть действие маг-

нитного поля на движущиеся в атоме

электроны.

Ради простоты предположим, что

электрон в атоме движется по кру-

говой орбите. Если орбита электрона

ориентирована относительно вектора

произвольным образом, составляя с

Рис. 190

236

ним угол

(рис. 190), то можно дока-

зать, что она приходит в такое движе-

ние вокруг

В,

при котором вектор маг-

нитного момента

сохраняя постоян-

ным угол а, вращается вокруг вектора

с некоторой угловой скоростью. Такое

движение в механике называется пре-

цессией. Прецессию вокруг вертикаль-

ной оси, проходящей через точку опо-

ры, совершает, например, диск волчка

при замедлении движения.

Таким образом, электронные орби-

ты атома под действием внешнего маг-

нитного поля совершают прецессион-

ное движение, которое эквивалентно

круговому току. Так как этот микроток

индуцирован внешним магнитным по-

лем, то, согласно правилу Ленца, у ато-

ма появляется составляющая магнит-

ного поля, направленная противопо-

ложно внешнему полю. Наведенные

составляющие магнитных полей ато-

мов (молекул) складываются и образу-

ют собственное магнитное поле веще-

ства, ослабляющее внешнее магнитное

поле. Этот эффект получил название

диамагнитного эффекта, а вещества,

намагничивающиеся во внешнем маг-

нитном поле против направления поля,

называются диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного

поля диамагнетик немагнитен, посколь-

ку в данном случае магнитные момен-

ты электронов взаимно компенсируют-

ся, и суммарный магнитный момент

атома [он равен векторной сумме маг-

нитных моментов (орбитальных и спи-

новых) составляющих атом электро-

нов] равен пулю. К диамагнетикам от-

носятся многие металлы (например, Bi,

Ag, Аи, Си), большинство органических

соединений, смолы, углерод и т.д.

Так как диамагнитный эффект обус-

ловлен действием внешнего магнитно-

го поля на электроны атомов вещества,

то диамагнетизм свойствен всем веще-

ствам. Однако наряду с диамагнетика-

ми существуют и парамагнетики — ве-

щества, намагничивающиеся во внеш-

нем магнитном поле по направлению

поля.

У парамагнитных веществ при от-

сутствии внешнего магнитного поля

магнитные моменты электронов не

компенсируют друг друга, и атомы (мо-

лекулы) парамагнетиков всегда облада-

ют магнитным моментом. Однако вслед-

ствие теплового движения молекул их

магнитные моменты ориентированы

беспорядочно, поэтому парамагнитные

вещества магнитными свойствами не

обладают. При внесении парамагнети-

ка во внешнее магнитное поле устанав-

ливается преимущественная ориента-

ция магнитных моментов атомов по

полю (полной ориентации препятству-

ет тепловое движение атомов). Таким

образом, парамагнетик намагничивает-

ся, создавая собственное магнитное

иоле, совпадающее по направлению с

внешним полем и усиливающее его.

Этот эффект называется парамаг-

нитным.

При ослаблении внешнего магнит-

ного поля до нуля ориентация магнит-

ных моментов вследствие теплового

движения нарушается и парамагнетик

размагничивается. К парамагнетикам

относятся редкоземельные элементы,

Pt, A1 и т.д. Диамагнитный эффект на-

блюдается и в парамагнетиках, но он

значительно слабее парамагнитного и

поэтому остается незаметным.

Из рассмотрения явления парамаг-

нетизма следует, что его объяснение

совпадает с объяснением ориентацион-

ной (диполыюй) поляризации диэлек-

триков с полярными молекулами (см.

§ 87), только электрический момент

атомов в случае поляризации надо за-

менить магнитным моментом атомов в

случае намагничивания.

237

Подводя итог качественному рас-

смотрению диа- и парамагнетизма, еще

раз отметим, что атомы всех веществ

являются носителями диамагнитных

свойств.

Если магнитный момент атомов ве-

лик, то парамагнитные свойства преоб-

ладают над диамагнитными и вещество

является парамагнетиком; если магнит-

ный момент атомов мал, то преоблада-

ют диамагнитные свойства и вещество

является диамагнетиком.

§ 133. Намагниченность.

Магнитное поле в веществе

Подобно тому, как для количествен-

ного описания поляризации диэлектри-

ков вводилась поляризованность (см.

§ 88), для количественного описания

намагничивания магнетиков вводят

векторную величину — намагничен-

ность,

определяемую

магнитным мо-

ментом единицы объема магнетика:

где — магнитный момент маг-

нетика, представляющий собой вектор-

ную сумму магнитных моментов от-

дельных молекул [см. (131.6)].

Рассматривая характеристики маг-

нитного поля (см. § 109), мы вводили

вектор магнитной индукции

В,

харак-

теризующий результирующее магнит-

ное поле, создаваемое всеми макро- и

микротоками, и вектор напряженнос-

ти Н, характеризующий магнитное поле

макротоков. Следовательно, магнитное

поле в веществе складывается из двух

полей: внешнего поля, создаваемого

током, и поля, создаваемого намагни-

ченным веществом. Тогда можем запи-

сать, что вектор магнитной индукции

результирующего магнитного поля в

магнетике равен векторной сумме маг-

нитных индукций внешнего поля

{)

(создаваемого намагничивающим то-

ком в вакууме) и поля микротоков

В'

(создаваемого молекулярными токами):

(133.1)

где

Для описания поля, создаваемого

молекулярными токами, рассмотрим

магнетик в виде кругового цилиндра

сечения S

длины /, внесенного в од-

нородное внешнее магнитное поле с

индукцией Д. Возникающее в магнети-

ке магнитное поле молекулярных токов

будет направлено противоположно

внешнему полю для диамагнетиков и

совпадать с ним по направлению для

парамагнетиков. Плоскости всех моле-

кулярных токов расположатся перпен-

дикулярно вектору

так как векторы

их магнитных моментов

аитипа-

раллельны вектору

Д,

(для диамагне-

тиков) и параллельны

{)

(для парамаг-

нетиков).

Если рассмотреть любое сечение

цилиндра, перпендикулярное его оси,

то во внутренних участках сечения маг-

нетика молекулярные токи соседних

атомов направлены навстречу друг дру-

гу и взаимно компенсируются (рис.

191). Некомпенсированными будут

лишь молекулярные токи, выходящие

на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхно-

сти цилиндра, подобен току в соленой-

Рис. 191

238

де и создает внутри пего поле, магнит-

ную индукцию

В'

которого

можно

вы-

числить, учитывая формулу

(119.2)

для

N = 1 (соленоид из одного витка):

(133.2)

где

— сила молекулярного тока;

—

длина рассматриваемого цилиндра;

ц.

= 1 — магнитная проницаемость.

С другой стороны, ток, прихо-

дящийся на единицу длины цилиндра,

или его линейная плотность, поэтому

магнитный момент этого тока

I'lS

l'V

= =

, где V — объем магнетика.

Если

— магнитный момент маг-

нетика объемом V, то намагниченность

магнетика

(133.3)

Сопоставляя (133.2) и (133.3), полу-

чим,

что

или в векторной форме

Подставив выражения для

{)

В'

(133.1), получим

(133.4)

или

(133.5)

Как показывает опыт, в

носильных

полях намагниченность пропорцио-

нальна напряженности поля, вызываю-

щего намагничивание, т.е.

хД

(133.6)

где

—

безразмерная величина, называ-

емая магнитной восприимчивостью

вещества. Для диамагнетиков

отри-

цательна (поле молекулярных токов

противоположно внешнему), для пара-

магнетиков — положительна (поле моле-

кулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выра-

жение (133.4) можно записать в виде

(133.7)

откуда

Безразмерная величина

(133.8)

представляет собой магнитную прони-

цаемость вещества. Подставив (133.8)

в (133.7), придем к соотношению

(109.3)

[io|i#,

которое ранее посту-

лировалось.

Так как абсолютное значение маг-

нитной восприимчивости для

диа-

парамагнетиков очень мало (порядка

10~

—10~°),

то для них

незначитель-

но отличается от единицы. Это просто

понять, так как магнитное поле моле-

кулярных токов значительно слабее

намагничивающего поля. Таким обра-

зом, для диамагнетиков

< 0 и

< 1,

для парамагнетиков

> 1.

Закон полного тока для магнит-

ного поля в веществе (теорема о цир-

куляции вектора В) является обобще-

нием закона (118.1):

где

соответственно алгебраиче-

ские суммы макротоков (токов прово-

димости) и микротоков (молекулярных

токов), охватываемых произвольным

замкнутым контуром

Следовательно, циркуляция векто-

ра магнитной индукции

по произ-

239

вольному замкнутому контуру равна

алгебраической сумме токов проводи-

мости и молекулярных токов, охваты-

ваемых

этим

контуром, умноженной на

магнитную постоянную.

Таким образом, вектор

/Охарактери-

зует результирующее поле, созданное

как макроскопическими токами в про-

водниках (токами проводимости), так

и микроскопическими токами в магне-

тиках, поэтому линии вектора магнит-

ной индукции

не имеют источников

и являются замкнутыми.

Из теории известно, что циркуляция

намагниченности J

по

произвольному

замкнутому контуру L равна алгебраи-

ческой сумме молекулярных токов, ох-

ватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для маг-

нитного ноля в веществе можно запи-

сать также в виде

где 7, подчеркнем это еще раз, есть ал-

гебраическая сумма токов проводимо-

сти.

Выражение, стоящее в скобках в

(133.9), согласно (133.5), есть не что

иное, как введенный ранее вектор 77

напряженности магнитного поля. Итак,

циркуляция вектора

77по

произвольно-

му замкнутому контуру L равна алгеб-

раической сумме токов проводимости,

охватываемых этим контуром:

(133.10)

Выражение (133.10) представляет

собой теорему о циркуляции векто-

ра Н.

§ 134. Условия на границе

раздела двух магнетиков

Установим связь для векторов

Н на границе раздела двух однородных

магнетиков (магнитные проницаемос-

ти

)

при отсутствии на границе

тока проводимости.

Построим вблизи границы раздела

магнетиков 1

2 прямой цилиндр нич-

тожно малой высоты, одно основание

которого находится в первом магнети-

ке, другое — во втором (рис. 192). Ос-

нования A S настолько малы, что в пре-

делах каждого из них вектор

одина-

ков. Согласно теореме Гаусса (120.3),

(нормали

пп

основаниям цилиндра

направлены противоположно). Поэтому

(134.1)

Заменив, согласно

\у

(

рН,

проек-

ции вектора

проекциями вектора

Н,

умноженными на

{)

\1,

получим

Вблизи границы раздела двух магне-

тиков 1 и 2 построим небольшой замк-

нутый прямоугольный контур ABCDA

длиной

ориентировав его так, как по-

казано на рис. 193. Согласно теореме

(133.10) о циркуляции вектора 77,

(токов проводимости на границе разде-

ла нет), откуда

240