Тикунов В.С. (ред.) Основы геоинформатики. В 2 книгах. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

тоды нечеткой классификации определяют вероятность принад-

лежности ОТЕ к каждому из классов, а не относят ОТЕ однознач-

но к одному классу.

По наличию обучающей выборки методы классификации под-

разделяются на методы классификации «с учителем» и «без учи-

теля».

По наличию априорной информации о статистических свой-

ствах классов методы классификации подразделяются на парамет-

рические и непараметрические. Целью параметрических методов

является отыскание неизвестных параметров известных функций

распределения ОТЕ в пределах каждого класса и вероятностей

появления этих классов. Непараметрические методы обычно делят

на иерархические и неиерархические, а последние на эвристи-

ческие и оптимизационные. Иерархические методы формируют

нужное количество классов путем последовательного объедине-

ния отдельных ОТЕ или разбиения единственного класса, содер-

жащего все ОТЕ. Эвристические процедуры основаны на интуи-

тивном представлении исследователя о конечной цели классифи-

кации. Оптимизационные алгоритмы производят разбиение таким

образом, чтобы обратить в максимум или минимум выбранный

функционал качества.

По способу подачи ОТЕ на вход анализа различают последова-

тельные и параллельные методы классификации. Последователь-

ные методы просматривают по очереди все ОТЕ один раз, начи-

ная с о, и заканчивая o

. Параллельные процедуры требуют пода-

чи на вход классификатора сразу всех ОТЕ.

Оценочные

типологические классификации.

Оценочные класси-

фикации используют для получения нескольких классов S

...,

, для которых можно сказать, лучше или хуже представители

одного класса представителей другого (а иногда и насколько луч-

ше или хуже). Всегда считается, что классы ОТЕ, полученные в

результате проведения оценочной классификации, упорядочены

специальным образом, т.е.

< S

<...

или > S

...

Под обозначением >

понимается, что любая ОТЕ /-го класса

лучше ОТЕу-го класса по комплексу показателей. Считается так-

же, что в пределах каждого класса ОТЕ приблизительно одинако-

во хороши или одинаково плохи (в разрезе проблемы, описывае-

мой показателями).

Обязательным этапом в оценочных классификациях является

переход к единственному признаку. Результирующий показатель

получают таким образом, чтобы классы ОТЕ с его минимальны-

ми значениями могли интерпретироваться как «плохие», а с мак-

симальными как «хорошие», или наоборот. Например, пусть в ка-

честве ОТЕ выступают земельные участки, а в качестве показате-

лей

—

тип почв, удаленность от водных ресурсов, близость к транс-

портной сети и т.д. Тогда целевым признаком может быть степень

целесообразности постройки жилого дома. В зависимости от зна-

чений целевого признака ОТЕ могут разбиваться на три класса:

«непригодные для строительства», «средние» и «наилучшие для

строительства».

Целью типологических классификаций является получение

устойчивых групп ОТЕ в Л/-мерном признаковом пространстве,

т. е.

возможных «типов» ОТЕ. В отличие от оценочных классифика-

ций показатели редко интерпретируются как «хорошие» или «пло-

хие», а результирующие классы могут содержать ОТЕ с «хороши-

ми» значениями по одному показателю и «плохими» по другому.

Примером типологической классификации может служить выяв-

ление закономерности сочетания тяжелых металлов (свинца, меди,

цинка, железа) в культурном лессовом слое городища средневе-

кового Самарканда по четырем этапам VII—VIII, IX—X, XI—

XIII и XX вв. н. э.

[А.

К. Евдокимова и др., 1988]. После проведения

типологической классификации географами всегда дается содер-

жательная интерпретация каждому классу-типу, т.е. выделяются

диапазоны изменения каждого показателя на ОТЕ этого класса.

Нечеткие классификации. Иногда в географических исследова-

ниях ставится более широкая (по сравнению с уже описанной ка-

нонической) задача нечеткой (размытой) классификации. Этот тип

классификации должен применяться, если границы классов име-

ют размытый, переходной характер. Например, в работе [А. И.Тро-

фимов, Н. М. Солодухо, 1986] отмечено, что «... исходя из прин-

ципа комплексности взаимодействия в пространстве частей раз-

личной природы, в принципе можно считать, что размытость гра-

ницы — это ее естественное состояние, тогда как границы ясной

и четкой линейной или полосной выраженности представляют

собой лишь частный случай проявления граничности геосистем».

По аналогии с обычными классификациями целью нечеткой

классификации является получение системы нечетких классов.

Под нечетким классом 5} (для множества ОТЕ О) будем пони-

мать N-мерный вектор

где р

{

р е [0,1] — вероятность принадлежности /-й ОТЕу-му клас-

су, /е{1,...,ЛГ}.

Под системой нечетких классов будем понимать множество S

со следующими свойствами:

1) S = {S

| / е 1,..., К}, т.е. S состоит из

ЯГ

нечетких классов;

2) ^ р

{

р =

V/ е {1,N}, т.е. сумма вероятностей появления /-й

У=1

ОТЕ в каждом из классов равна единице.

Чтобы по результатам нечеткой классификации определить, к

какому же классу принадлежит /-я ОТЕ (т.е. свести нечеткую клас-

сификацию к частной задаче обычной классификации), необхо-

димо найти

у = max {p^ltel.^K},

а при получении нескольких j

— включить рандомизацию.

Результат нечеткой классификации иногда удобно представ-

лять в виде матрицы:

Далее, если это не будет оговорено особо, будем рассматри-

вать только более простой случай классификации географических

данных.

Использование географического пространства при классифика-

циях. Формирование классов при проведении географических клас-

сификаций происходит в общем случае на основе и географиче-

ского, и атрибутивного признакового пространств. Однако исходя

из степени использования географического пространства возможны

следующие варианты (либо их комбинации, за исключением пер-

вого):

— географическое пространство при классификации не исполь-

зуется;

— географическое пространство используется перед проведе-

нием классификации при формировании признаков атрибутив-

ного пространства (соответствующие примеры были приведены

при обсуждении представления атрибутивного пространства в виде

таблицы ОТЕ-признак);

— географическое пространство используется при визуализа-

ции хода и результатов классификации (т.е. ход и результаты ана-

лиза картографируются);

— географическое пространство представлено матрицей бли-

зостей вида ОТЕ-ОТЕ, которая используется алгоритмом класси-

фикации вместе с матрицей, представляющей атрибутивное при-

знаковое пространство.

Обозначим, как это было и ранее, матрицы ОТЕ-признак и

ОТЕ-ОТЕ для атрибутивного признакового пространства симво-

лами X и А соответственно, матрицу ОТЕ-ОТЕ географического

пространства символом G.

Примером географических классификаций является группиро-

вание регионов (ОТЕ) по силе связей (наиболее часто экономи-

ческих). Целью такой классификации является получение групп,

связи между ОТЕ которых максимальны. Географические расстоя-

ния здесь задаются отдельной таблицей и являются одним из ви-

дов связей, поскольку могут отражать, например, стоимость пе-

ремещения товара из одной ОТЕ в другую.

Еще один вид классификации с использованием матриц сразу

двух пространств (причем матрица вида ОТЕ-ОТЕ, представля-

ющая географическое пространство, бинарная) — районирова-

ние. Под районированием понимается деление территории на мно-

жество непересекающихся целостных районов, представляющих

собой компактные сгущения ОТЕ как в географическом, так и в

признаковом пространстве [В. И. Блануца, 1993, с. 3]. В классиче-

ском географическом понимании — это разделение территории

по принципу их различия, непохожести. Матрица географических

расстояний G в данном классе методов представлена таблицей

смежности. В терминах районирования синонимом класса с огра-

ничением на его географическую нерасчлененность является по-

нятие района. Будем обозначать систему районов и район соответ-

ственно символами S и S

имея в виду, что

Voy

Si Эо„

S, : g(o

)

где j, t б {1,..., N

/};

—

географическое расстояние типа смежности.

В основе постановки задачи районирования лежит необходимость

территориального управления ОТЕ. Ограничением районирования,

помимо географической нерасчлененности классов, являются так-

же географическая целостность получаемых классов-районов, а

возможно, и учет прежней административно-территориальной сетки

(например, экономических районов, федеральных округов).

Обучающая выборка. При проведении географических клас-

сификаций очень важно максимально использовать при анализе

априорную информацию о классах, которые необходимо сфор-

мировать. Такой информацией в первую очередь является так на-

зываемая обучающая выборка. Под обучающей выборкой будем

понимать двойку объектов (0\tA, где О' = — мно-

жество реальных или условных ОТЕ, заданных в географическом

и (или) признаковом пространствах, для которого известен

(t>i,...,

— вектор принадлежности ОТЕ множества О' к

некоторым классам S

...

>\ N' — объем обучающей выборки.

Обладание обучающей выборкой в большинстве случаев облег-

чает проведение географических классификаций и повышает их

качество. Она может использоваться для настройки математиче-

ских моделей — выбора метрики d и показателя качества класси-

фикации Q, определения числа классов К, их ядер и т.д. Напри-

мер, при проведении классификации стран мира по уровню со-

циально-экономического развития, как это описано в работе

[В.С.Тикунов, 1997], обучающая выборка состояла из несколь-

ких наиболее типичных стран-представителей каждого класса, что

позволило осмысленно с точки зрения географии сформировать

классы.

Оценивание истинного

количества классов. Очень часто при про-

ведении классификаций необходимо оценивать количество клас-

сов, которые необходимо сформировать. Для определения истин-

ного количества классов К

ист

существует достаточно простой, но

широко используемый подход. Этот подход основан на использо-

вании значений функционала качества классификации Q(K)

рас-

считанного для количества классов К е К

тгх

]. Истинное

значение

АГ

|1СТ

лежит сразу после последнего резкого скачка функ-

ционала качества Q(K). Это означает, что увеличение количества

классов не дает затем существенного прироста в качестве класси-

фикации.

При решении конкретной задачи целесообразно задаваться

минимальным и максимально возможными количествами клас-

сов K

min

и К

пих

(например,

min

= 2 и АГ

тах

= 10). Чем больше диапа-

зон, тем легче находить К

псТ

и тем больше вычислений придется

произвести.

Предварительная обработка данных. Важным этапом классифи-

кации ОТЕ является их предварительная обработка, часто вклю-

чающая нормировку, взвешивание, снижение размерности и аг-

регирование.

Нормировка показателей. На практике при проведении геогра-

фических классификаций очень редко встречаются ситуации, когда

анализируемые показатели представлены в одинаковых единицах

измерения и масштабе. Существуют специальные термины для

обозначения соизмеримых и несоизмеримых систем показателей

(моноструктурные и полиструктурные соответственно). Примером

моноструктурной системы показателей является процент занятых

по разным отраслям промышленности.

Наиболее часто используются следующие виды нормировки.

1. Нормировка по заданному показателю.

В социально-экономической географии чаще всего нормиру-

ющим показателем является общая численность населения ОТЕ

или площадь занимаемой ОТЕ территории. Пусть

U) _ исходный признак, у е {1,...,Л/};

пот _ нормирующий коэффициент.

Тогда нормировка заключается в пересчете

$0Vie{l,...,N}.

Q norm

Примеры нормировки по заданному показателю:

— показатель плотности населения (нормировка численности

населения ОТЕ площадью, занимаемой ОТЕ);

— процент голосов, отданный на выборах за какую-либо поли-

тическую партию (нормировка числа проголосовавших за партию

в данной ОТЕ общим числом избирателей);

— валовой внутренний продукт страны (ВВП) на душу населе-

ния (нормировка ВВП общим числом граждан; в качестве ОТЕ

выступают страны мира).

2. Нормировка по заданным значениям осуществляется по об-

щей формуле

а О) _ д

£/ ^L

y 6

{1,...,

М}, / 6 {1,..., N }.

Л2

В качестве в числителе выступает число, отклонения от ко-

торого наиболее интересны; Д

представляет величину разброса

значений ОТЕ по заданному показателю. Ниже приведены наибо-

лее известные разновидности нормировки по заданным значени-

ям (случаи 2.1 и 2.2).

2.1. Нормировка по дисперсиям и математическим ожида-

ниям.

Целью данной нормировки является приведение каждого пока-

зателя к стандартному виду (в результате математическое ожида-

ние любого показателя становится равным нулю, а дисперсия —

единице).

Пусть o

{J)

—У o\

— оценка математического ожидания у-

М ы\

го показателя,

var (o

) = — X (°/

- о

(J}

) — оценка дисперсии у-го показателя.

™ /=1

Тогда нормировка заключается в пересчете

-о('>

AJ) _

__!_

yjvar (о

(у )

)

т.е. А, = о

<'>,

= фгаг(оМ).

2.2. Нормировка по наилучшим или наихудшим значениям

[В.С.Тикунов, 1985].

Целью данной нормировки является перевод показателя в про-

центы отклонений от заданного наилучшего или наихудшего зна-

чения с. Пусть

oW = min{o<

| /б 1,...,7V},

°max

tnax{oj

| / 6 1,...,7V },

Тогда нормировка заключается в пересчете

-с

V тл Y V п

'max

min

т.е. А, =с,А

184

Часто (не всегда) в качестве Д

и Д, берут максимальные или

минимальные значения у-го показателя или Допустим,

максимальное значение показателя до нормировки соответство-

вало наилучшей ситуации в ОТЕ (например, ожидаемой продол-

жительность жизни). Если нормировать показатель по максималь-

ному значению, то нулю будет соответствовать наилучшее значе-

ние, единице — наихудшее.

Полученные в результате нормировки по наилучшим или наи-

худшим значениям o\

ограничены отрезком [0, 1]. Иногда в фор-

мулу нормировки вводят, умножение на 100, изменяя диапазон

значений на отрезок [0, 100].

В ряде случаев требуется нормировать показатели по наилуч-

шим или наихудшим условным значениям. Например, для оценок

заболеваемости теоретически наилучшее значение

—

нуль,

т. е.

мож-

но положить с - 0 g [0niin> °шах]- При этом следует изменить зна-

менатель в формуле нормировки:

Взвешивание показателей. Процесс получения весов для пока-

зателей необходим для корректного проведения географических

классификаций. Зачастую, по аналогии с различными единицами

измерения показателей, различны и их вклады, значимость для

данной предметной области. Исследователь, например, может

включить в число показателей анализа первостепенные и второ-

степенные, а для различия степени их влияния на конечный ре-

зультат уменьшить влияние второстепенных показателей, «взве-

шивая» их. Такое взвешивание может заключаться в делении уже

нормированного показателя у е {1,...,Л/} на какое-либо число

t е R, т.е. присвоении показателю веса со, = -

При типологических классификациях знак веса никак не влия-

ет на результат анализа, поскольку исходный показатель можно

умножать на -1. В случае использования показателей для проведе-

ния оценочных классификаций их знаки могут оказаться реша-

ющими. Так, взвешивание может заключаться только в домноже-

нии некоторых показателей на -1, чтобы увеличение значений

любого из них сигнализировало или об улучшении, или об ухуд-

шении ситуации в рассматриваемой ОТЕ.

Способы получения объективных весов для показателей различ-

ны. Наиболее часто используется экспертный метод, при котором

специалист в конкретной предметной области оценивает важность

каждого показателя. Существуют также и так называемые аналити-

ческие методы. Проблема взвешивания показателей в географиче-

ских исследованиях обсуждается в работе [В.С.Тикунов, 1997].

После нахождения вектора весов

со

= (co

...,co

) он применяет-

ся либо к матрице ОТЕ-признак, либо используется при расчете

расстояний между ОТЕ в признаковом пространстве.

Анализ главных компонент. Анализ главных компонент, или

компонентный анализ, — это один из наиболее часто используе-

мых методов снижения размерности. Данным методом решается

задача отыскания на основе существующей системы атрибутив-

ных признаков, описывающих ОТЕ, новой системы со следую-

щими свойствами:

— признаки новой системы являются линейными комбинаци-

ями признаков исходной системы;

— количество признаков в новой системе в общем случае не

больше, а на практике всегда меньше числа признаков в исход-

ной системе;

— признаки новой системы ортогональны, т.е. некоррелиро-

ваны;

— признаки новой системы упорядочены в порядке убывания

дисперсии;

—

признаки новой системы несут столько же информации (или

наперед заданный процент информации, например 90 %) об из-

менчивости объектов, сколько и исходные признаки. Под инфор-

мацией понимается дисперсия признаков.

Метод главных компонент следует применять для исправления

искаженного взаимными корреляциями исходного пространства

признаков, снижения объемов хранящихся данных без потери су-

щественной части информации об ОТЕ, визуализации ОТЕ в про-

странстве признаков (что достигается, например, изображением

ОТЕ в виде точек на плоскости первых двух главных компонент) и

выявления латентных (т. е. скрытых, не наблюдаемых в явном виде)

показателей, отражающих суть процесса или явления.

В матричной форме результат работы метода главных компо-

нент записывается как

Z = XL или Z

Nxm

= X

NxM

M%m

где М

—

количество исходных признаков; т — количество полу-

ченных главных компонент, т<М\ Z = Z

Nxm

= —

матрица новых признаков (как и в исходной матрице, признаки

расположены по столбцам); X = X

NxM

= (о

(|)

,...,о

(Л/)

) — исходная

матрица ОТЕ-признак; L = L

Mxm

= (/

(1)

,...,/

(m)

)

—

вычисленная мат-

рица компонентных нагрузок.

Наиболее просто воспринимается геометрическая интерпрета-

ция метода главных компонент. В многомерном пространстве при-

знаков ОТЕ рассматриваются как точки, геометрическая структу-

ра облака которых напоминает Л/-мерный эллипсоид. За новые

признаки принимаются главные оси воображаемого эллипсоида,

отсортированные в порядке уменьшения дисперсий ОТЕ по осям.

Компонентный анализ является, конечно, не единственным

методом снижения размерности. В качестве примеров других рас-

пространенных методов снижения размерности можно отметить

факторный анализ, многомерное шкалирование и метод экстре-

мальной группировки признаков.

Агрегирование. Агрегирование в наиболее простой интерпрета-

ции является одним из методов перехода от множества исходных

показателей к единственному, по которому следует различать ОТЕ.

В общем случае методы агрегирования оперируют с показателя-

ми, измеренными в различных шкалах, и служат для получения

иерархии признаков.

Агрегирование очень часто используется в географических ис-

следованиях, поскольку позволяет получать оценочные класси-

фикации по многим показателям. Чаще всего результирующий

показатель получают таким образом, чтобы ОТЕ с его минималь-

ными значениями могли интерпретироваться как «плохие», а с

максимальными — как «хорошие» (в разрезе проблемы, описыва-

емой показателями), или наоборот.

Ограничимся рассмотрением двух наиболее часто исполь-

зуемых в географических исследованиях методов, которые позво-

ляют получить единственный результирующий признак o^

agr)

= (о<^\...,0<*

г)

) путем:

— суммирования значений предварительно нормированных и

взвешенных показателей, т.е.

м _

У-1

— расчета расстояний до наилучшей или наихудшей (возмож-

но условной) ОТЕ о\ т.е.

</(*,, о').

В первом случае нормировка показателей может производиться

и по дисперсиям, и по наилучшим (наихудшим) значениям. Важ-

но, чтобы после нормировки большие (меньшие) значения всех

показателей указывали на лучшую (худшую) ситуацию в ОТЕ,

или наоборот. Если нормировка производилась по дисперсиям (и

соответственно направление признаков не учтено), необходимо

домножить, например, группу негативных признаков на -1. Ме-

тод главных компонент для «исправления кривизны» признаково-

го пространства здесь применяться не может, так как полученные

главные компоненты могут не быть в общем случае интерпрети-

руемыми в терминах хорошо-плохо.

Второй метод подразумевает образование

(Л/ +

1)-й условной

ОТЕ о\ показатели которой являются наилучшими (наихудши-

ми). Вектор о' = (о[,..., о'

) покоординатно необходимо дописать в

матрицу ОТЕ-признак. Далее показатели можно (и нужно) нор-

мировать, взвешивать, проводить компонентный анализ. После

этого и рассчитываются расстояния от (N+ 1)-й условной ОТЕ о'

до всех остальных ОТЕ и формируется новый признак. Большие

значения этого признака сигнализируют о худшей (лучшей) си-

туации в ОТЕ по комплексу исходных показателей.

Можно заметить, что второй метод сводится к первому при

нормировке по наилучшим (наихудшим) значениям, без приме-

нения метода главных компонент и использовании манхэттенско-

го расстояния d (т.е. первый метод — частный случай второго).

Методы классификации, основанные на описании классов ядра-

ми. «Ядерные» методы нацелены на выявление сгущений ОТЕ в

признаковом пространстве и ранее носили чисто эвристический

характер, так как понятие компактности ОТЕ в признаковом про-

странстве не было формализовано. Для ряда эвристических проце-

дур с развитием теории были найдены функционалы качества раз-

биения на группы и тем самым формализовано соответствующее

им понятие компактности [С.А.Айвазян и др., 1989, с. 217]. В со-

ответствии с этим алгоритмы классификации, основанные на опи-

сании классов ядрами, подразделяют на эвристические и опти-

мизационные. Кроме того, методы можно подразделить по спосо-

бу подачи ОТЕ на вход алгоритма. Если ОТЕ подаются по одному

(последовательно), то соответствующие процедуры называются

последовательными. Если на вход алгоритмов подаются сразу все

ОТЕ, то они называются параллельными. Преимуществом после-

довательных процедур является высокая скорость работы, парал-

лельных

—

независимость получаемой классификации от порядка

ОТЕ в исходном множестве О.

Под ядром класса подразумевается некоторая реально суще-

ствующая или условная наиболее «представительная» ОТЕ, весь

комплекс характеристик которой является эталоном данного класса.

Часто алгоритмы, основанные на описании классов ядрами, ис-

пользуют процедуру классификации ОТЕ к ядрам по минималь-

ности расстояний:

1) задаться метрикой d;

2) найти ядра классов с

..., с

, с, = (с}

,..., с\

М)

)

i е {1

...,К}\

3) классифицировать все ОТЕ к ядрам с

по минималь-

ности расстояния до них, т. е.

о; б Si « d(o

) < d(o

Cj) Vi

j e

t e

JV},

сформировав систему классов S = S

Для нахождения ядер обычно используют обучающую выбор-

ку, по которой находят геометрические центры классов, или при-

меняют специальные формальные процедуры.

Некоторые эвристические подходы к выбору ядер. Некоторые

эвристические формализованные процедуры выбора ядер классов

известны уже более двадцати лет [В. С.Тикунов, 1978]. Выделяют-