Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
209
3.12.
.
3
2
2
1
2
1
3
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=K
3.13.
332.
3.14.
.
64,006,1
05625,12
6,1212
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=K
3.15.
()( )
.
92,742,1
36,02
2222
22
β+αβ−αβ+αβ−α
β−αβ−α
=ρ
XY
3.16.
(
)
;0;2;2 aa−
.
2
2
2
222
222
222
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σσ−σ
σ−σσ−
σσ−σ
=K
3.17.
0>
α
β і 0<ρ
XY
або 0
<
α
β і .0>ρ
XY
3.18.
()
(
)
.
22
DXMYDYMXDYDXDXY ++⋅=
3.19.
.7263,1=σ
x
3.20.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=ρ
парне. якщо ,0
непарне; якщо,
2
)12(3
m
m
m
m
XY
3.21.
(
)
()
() () ()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σ−σ−σ−
σ−σ
σ−σσ
=
22
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
mnpmnrpmnm
pmnrrmrp
pmnmmrpm
K
.
3.22.
–0,32; 0; 145,97.
3.23.
Z = X – Y; квадрат, обмежений прямими: y = 0; y = 2; x = 0; x = 2.
3.24.
Z = X + Y; смуга, яка обмежена прямими: x + y – 1 = 0; x – y + 1 = 0; x – y – 1 =
= 0.
3.25.
;
X
Y
Z =
трапеція, яка утворена прямими: y – x = 0; y – 1 = 0; y = 0;
x – 4 = 0.
3.26.
()
()
.
6
1
;0,
1
1
2
=>
+
= Pz
z
zf
3.27.
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<−−
≤<−−
≤<
≤
=
12. якщо0,
12;9 якщо,33
9
1
9;3 якщо,3
9
1
3;0 якщо,
9
0; якщо0,
f(z)
z
zz
zzz
z
z
z
210
3.28.
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎥
⎦
⎤
⎜
⎝
⎛
−
+−
⎥
⎦
⎤
⎜
⎝
⎛
−
−+
≤
=
.
4
3
,0
;
4
3
;
2
1
,
18
9188
;
2
1
;
4
1
,
18
128
;
4
1
,0
2
2
2
2
2
2
z
z
zz
zz
z
zz
zz
z
zf
3.29.
()
(
]
(
]
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈
−+
−∈
−
++
−≤
=
.4,0
;4;0,
42
ln
8
1
;0;4,
24
ln
8
1
;4,0
z
z
z
z
z
z
z
z
zf
3.30.
() (
]
(
]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈
−
∈
−
⎥
⎦
⎤
⎜
⎝
⎛
∈
−
≤
=
.4,0
;4,2,
3
8
;2,1,
3
122
;1,
2
1
,
3
122
;
2
1
,0
2
2
z
z
z
zz
z
z
z
z
zz
z
zf
3.31.
()
()
(
]
()
(
]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈−
∈−
≤
=
.4ln,0
;4ln,3ln,4
;3ln,2ln,2
;2ln,0
z
zee
zee
z
zf
zz
zz
;
;
;
;
211
3.32.
() (
]
;,0,
.,0
ln
2
;0,0
22
lz
lz
z
zll
l
z
zf ∈
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−+
≤
=
π
3.33.
()
()
.10;0,101,0
1
01,001,0
≥>−=
−
−−
nzenezf
n
zz
3.34.
() (
]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≤
=
.5,0
;5,0,
25
1
5
2
;0,0
4
2
z
z
zz
z
zf
3.35.
()
()
,
1 azk
k
ez
kG
a
zf
−−
= .0>z
3.36.
1,11.
3.37.
.
9
28
3.38.
500.
4.1.
0,1339; 0,1513; 0,8487; 0,0024.
4.2.
0,0286; 0,0137; 0,9863.
4.3.
0,0605;
0,0548; 0,9452.
4.5.
;
t
x
aea
−
=
(
)
;
22
t
x
tD
−
σ=
(
)
(
)
;
2
21
21
,
tt
x
ettK
+−
σ=
()
.1,
21
=ttr
x
4.8.
,
87
8
0
=p
,
87
46
1
=p
,
87
10
2
=p
87
23
3
=p
(для графа 4.3) ,
17
4
0
=p
,
17
10
1
=p
,
17
3
2
=p
87
23
3
=p
(для графа 4.4).
4.9.
а)
(
)
;134,02
4
=P б)
()
=≥ 1xP
()
;9975,021
0
=−= P в)
(
)
.0025,02
0
=P
4.10.
а) 0,61; б) 0,547.
4.11.
а) 4 столів;
б) граф на рис. 6.1
Е
1
Е
2
Е
4
Е
3
1/2
1/2
1/2 1/2 1/2 1/2
Рис. 6.1
;
;
212
5.1.
()
(
]
(
]
(
]
(
]
(
]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈
∈
∈
∈
∈
≤
=
∗
.5,1
;5,4,95,0
;4,3,9,0
;3,2,8,0
;2,1,7,0
;1,0,35,0
;0,0
x
x
x
x
x
x
x
xF
n
(
)
(
)
;1197,0max =−
∗
xFxF
n
x
;3,1
=
x ;01,2
2
=s
1== D
X
M
X .
5.2.
()
(
]
(
]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈
∈
≤
=
∗
.5,1
;5,4,8,0
;4,3,4,0
;3,0
x
x
x
x
xF
n
(
)
(
)
;4375,0max =−
∗
xFxF
n
x
;8,3
=
x
;56,0
2
=s ;4=MX .12=DX
5.3.
()
(
]
(
]
(
]
(
]
(
]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
∈
∈
∈
∈
∈
≤
=
∗
.5,1
;5,4,
5
4
;4,3,
5
3
;3,2,
15
7
;2,1,
15
4
;1,0,
15
1
;0,0
x
x
x
x
x
x
x
xF
n
(
)
(
)
;0675,0max =−
∗
xFxF
n
x
;8,2
=
x ;56,2
2
=s
3== DXMX .
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
213
5.4.
()
(
]
(
]
(
]
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
∈
∈
∈
≤
=
∗
.4,1
;4,3,9,0
;3,2,7,0
;2,1,5,0
;1,0
x
x
x
x
x
xF
n
() ()
;1353,0max =−
∗
xFxF
n
x
;9,1
=
x
;09,1
2
=s
2== D
X
M
X
5.5.
k = 8;
;9375,1
=x
.916,1
2
=s
5.6.
k = 7;
;433,5
=
x
.691,0
2
=s
5.7.
k = 7;
;353,40=x
.00326,0
2
=s
5.8.
;4825,2
=
x
;02694,0
2
=s
;1193,0−=
∗
s
A
.375,0−=
∗
k
E
5.9.
;8
21
== kk ;7,1402=x
;588,0
=
y
;88,2061
2
=
x
s
;058,0
2
=
y
s ;584,7=
∗
xy
K
.693,0
=r
5.10.
;8
21
== kk ;025,12=x ;71,10
=
y ;536,91
2
=
x
s ;216,51
2
=
y
s ;926,56=
∗
xy
K
.831,0=r
5.11.
;7
21
== kk ;95,4=x ;47,77
=
y ;648,8
2
=
x
s ;654,322
2
=
y
s ;177,25−=
∗
xy
K
.477,0−=r
5.12.
;7
21
== kk
;6,98=x
;967,118
=
y
;77,807
2
=
x
s
;258,740
2
=
y
s
;513,647=
∗
xy
K
.837,0
=r
5.13.
;8
21
== kk
;424,15
=x ;825,13
=
y ;789,4
2
=
x
s ;82,4
2
=
y
s ;389,3=
∗
xy
K
.705,0=r
5.14.
;Xa =
)
оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна.
5.15.
()
∑
=
−=σ
n
i
i
aX
n
1
2
2
;
1
)
оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна.
5.16.
∑
=
=
n
i
i
;X
n
µ
1
ln
1
)
оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна.
5.17.
∑
=
=σ
n
i
i
X
n
1
22
;
1
)
оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна.
5.18.
{}
;min
i
i
X=µ
)
{}
.
min
1
1 i
i
X
a
−ν
=
∗
)
5.19.
∑
=
=µ
n
i
i
X
n
1
;ln
1
)
()
∑
=
µ−=σ
n
i
i
X
n
1
2
2
.ln
1
))
5.20.
(
)
;
2
11211
∗∗∗∗
ν−ν−ν−ν=a
)
()
.
2
11212
∗∗∗∗
ν−ν−ν+ν=a
)
5.21.
∑
=
=
r
k
i
ki
X
nr
p
1
,
1
)
.,...,2,1 si
=
;
;
;
>
214
5.22.
.
1
∑
=
+
=
n
i
i
Xns
ns
p
)
5.23.
∑
=
=
r
i
i
X
nr
p
1
.
1
)
5.24.
;
1
∑
=
=α
n
i
i
X
np
)
;
1−
α
=α
np
np
M
)
незмі-
щена оцінка
;
11
1
∑
=
∗
−
=α
−
=α
n
i
i
X
np
np
np
))
;
2
2
−
α
=α
np
D
)
нижня межа оцінки дисперсії
,
2
2
0
np
α
=σ
оцінка асимптотично eфективна.
5.25.
;
1
∑
=
=
n
i
i
X
n
a
)
;
1
a
n
n
aM
−
=
)
незміщена оцінка
;
1
1
∑
=
∗
−
=
n
i
i
X
n
a
)
;
2
2
−
=
∗
n
a
aD
)
нижня границя дисперсії
,
ˆ
2
2
0
n
a
=σ
оцінка асимптотично ефективна.
5.26.
n
M
1
+α=α
)
— оцінка зміщена;
{}
n
X
i
i
1
min −=α
∗
)
— незміщена оцінка;
2
1
n
D =α
∗
)
— оцінка обґрунтована.
5.27.
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−−=
1
2
1
n
abMh — оцінка зміщена.
5.28.
(1216,57; 1223,43).
5.29.
(5,15;5,85); (2,193;4,364).
5.30.
0,6826; 0,8664; 0,9544; 0,9874.
5.31.
0,0482;
0,053.
5.32.
(3,27; 8,73).
5.34.
.2≥n
5.35.
C
≈
2,04;
()
;
2ln
2
ln
2
0
2
1
2
1
2
0
2
2
2
1
2
σ−σ
σσ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
+
≤
n
n
C
s
;2,5
2
≤
s
0
H приймається, бо
.6,9
2
=
s
5.36.
;94,52ln
2
ln
1
2
1
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
2
0
2
1
=σσ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
+≥σ−σ
n
C
n
ss
0
H приймається, бо
.064,1
2
1
2
0
2
0
2
1
=σ−σ
ss
5.37.
()
;972,5
lnln
10
1
0
≈
λ−λ
λ
λ
+
≤
n
npC
x
0
H відхиляється, бо
.05,5=
x
5.38.
()
;0523,0
lnln
10
1
0
≈
−
+
≤
aan
a
a
nC
x
0
H приймається, бо
.075,0
=
x
5.39.
()
;35,72
ln
2
ln2
2
0
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
≈
σ−σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
+σσ
≥
n
n
C
x
0
H приймається, бо
.24,33
2
≈x
215
5.40.
()
;23,630
ln
2
ln2
2
0
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
≈
σ−σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
+σσ
≥
n
n
C
x
0
H приймається, бо .73,337
2
≈x
5.41.
()
;477,18
lnln
10
1100
1
0
≈
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
µ−µ++
≤
aan
aa
a
a
nC
x
0
H відхиляється, бо .3,15≈x
5.42.
()
,
ln
2
ln2
ln
2
0
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
σ−σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
+σσ
≥µ−
∑
=
n
C
x
n
i
i
якщо
2
0
2
1
σ>σ
і
()
,
ln
2
ln2
ln
2
0
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
σ−σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
+σσ
≤µ−
∑
=
n
C
x
n
i
i
якщо .
2
0
2
1
σ<σ
5.43.
≥
∑
=
n
i
i
x
1
ln
(
)
()
,
2
ln2
01
2
0
2
1
2
µ−µ
µ−µ+σ
≥
nC
якщо
01
µ>µ і
(
)
()
,
2
ln2
ln
01
2
0
2
1
2
1
µ−µ
µ−µ+σ
≤
∑
=
nC
x
n
i
i
якщо
.
01
µ<µ
5.44.
,
1
1
2
2
n
n
U
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=λ
()
()
.
1
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
u
n
n
n
uf
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
=
5.45.
,
2222
Unnn
eUne
−−
=λ
()
,
2
1
2
1
22
1
2
1
un
n
n
eu
n
uf
−
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
=
.0>u
5.46.
;
0
0
U
npnp
eUe
np
α−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
=λ
()
()
,
0
1
u
np
np
n
eu
np
uf
α−
−
Γ
α
=
.0>u
5.47.
;
0
0
Ua
nn
n
eUe
n
a
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
(
)
=uf
n
()
,
0
10
ua
n
n
eu
n
a
−
−
Γ
=
.0>u
5.48.
()
;
2
2
0
2
2
0
n
nn
u
nn
n
eUe
σ
=λ
σ
−
.0>u
(
)
=uf
n
()
,
2
1
2
0
2
1
2
0
σ
−
−
σ
=
u
n
n
eu
5.49.
Перевищення
неістотне:
.039,1;33,2 ==
α
zz
5.50.
Забезпечує: .645,0;96,1
2
−==
α
zz
5.51
. Гіпо-
теза приймається:
.25,1;33,2 ==
α
zz
5.52.
Відхилення істотні: ;275,2
2
=
α
z
.23564−=z
5.53.
Вплив істотний: ;1,2
2
=
α
z
.875,3
−
=
z
5.54.
Відхилення
216
недопустимі: ;7,33=
α
u
.2,39
=
u
5.55.
Відхилення неістотне: ;5,15=
α
u
.12,12
=u
5.56.
Відмінність неістотна: ;96,1
2
=
α
z
.4077,1
−
=
z
5.57.
Гіпотеза від-
хиляється:
;1,2
2
=
α
z .1228,4=z
5.58.
Гіпотеза відхиляється: ;33,2
2
α
z .1967,4=z
5.59.
Гіпотеза приймається: .873,1;6,2
2
−==
α
zz
5.60.
Точність вища: ;9,1=
α
f
.967,1=f
5.61.
Гіпотеза приймається: ;9,2=
α
f .046,1
=
f
5.62.
Відмінності
неістотні:
;87,2=
α
f .219,2
=
f
5.63.
Гіпотеза приймається: ;47,3=
α
f
.223,2
=
f
5.64.
Гіпотеза приймається: .786,1;03,3 ==
α
ff
5.65.
Відхилення
неістотні:
;8,7=
α
u ;853,2
1
=u .184,7
2
=u
5.66.
Узгоджуються: ;1,14=
α
u
.575,2=u
5.67.
Відповідають: ;9,16=
α
u .121,4
=
u
5.68.
Гіпотеза від-
хиляється:
;8,9=
α
u ;93,15
=
u
(
)
;52,1=λ
α
K
.566,4
=
n
Dn
5.69.
Узгод-
жується:
;1,11=
α
u ;37,6=u
(
)
;36,1=λ
α
K .4617,0=
n
Dn
5.70.
Гіпотеза
приймається:
()
;36,1=λ
α
K .5353,0=
n
Dn
5.71.
;896,9112,0 += xy
x
;478,47227,6 −= yx
y
.835,0
=r
5.72.
;.325,6055,0 += xy
x
;841,7888,1 −= yx
y
.321,0=r
5.73.
;9456,102929,000553,0
2
++−=
xxy
x
.672,0
/
=η
xy
217
ЛІТЕРАТУРА
1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1973.
2. Волощенко А. Б. Теория вероятностей и математическая статистика
для инженеров-экономистов. — К.: КИНХ, 1973.
3. Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические ука-
зания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Слу-
чайныя события». — К.: КИНХ, 1979.
4. Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические ука-
зания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Мате-
матическая статистика». — К.: КИНХ, 1979.
5. Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические ука-
зания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Слу-
чайные величины и функции». — К.: КИНХ, 1980.
6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высш. шк., 1977.
7. Гнеденко В. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1965.
8. Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и
математической статистике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.
9. Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Статистика, 1970.
10. Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. — М.: Изд-
во МГУ, 1963.
11. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике
и теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. — М.: Наука,
1970.
12. Турчин В. М. Математична статистика. — К.: Вид. центр «Акаде-
мія», 1999.
13. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-
стей и математической статистике. — М.: Высш. шк., 1975. — 332 с.
14. Справочник по математике для экономистов / Под ред. В. И. Ерма-
кова. — М.: Высш. шк., 1987. — 306 с.
15. Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика. Теория вероятно-
стей и математическая статистика. — Минск.: Вышейш. шк., 1993. — 270 с.
16. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1999.
17. Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей. — К:
КНЕУ, 1999. — Ч. 1.
18. Крамер М. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. —
М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001.
218
Додатки
Додаток 1
Ймовірності
()
,
!
a
m
a
e
m
a
mXP
−
==
. ,...2,1,0
=
m
розподілу Пуассона.
а
M
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0 0,09484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933
1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946
2 0,00452 0,01637 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379
3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 0,01976 0,02839 0,03834
4 0,00005 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767
5 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,00070 0,00123
6 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016
7 0,00002
а
m
0,91 1 2 3 4 5 6
0 0,40657 0,36788 0,13534 0,04979 0,01832 0,00674 0,00248
1 0,36591 0,36788 0,27067 0,14936 0,07326 0,03369 0,01487
2 0,16466 0,18394 0,27067 0,22404 0,14653 0,08422 0,04462
3 0,04940 0,06131 0,18045 0,22404 0,19537 0,14037 0,08924
4 0,01111 0,01533 0,09022 0,16803 0,19537 0,17547 0,13385
5 0,00200 0,00307 0,03609 0,10082 0,15629 0,17547 0,16062