СЗТУ Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
.
aaa
D
aaa
aaa
=
(1.37)
Возможны два случая:
1.
0.D ≠
Система имеет только одно решение - нулевое:
123
0, 0, 0.xx x
=
==
2.
0.D =
Покажем, что в соответствии с теоремами 1.1 и 1.2 система (1.36) имеет,
кроме нулевого, еще и бесконечное множество ненулевых решений, и найдем эти
решения, исходя из теоремы 1.2.
Так как определитель системы
0D
=
, то ранг матрицы системы может
быть равен либо двум, либо единице (случай, когда ранг равен нулю, мы не рас-
сматриваем, так как это означало бы, что все коэффициенты равны нулю). Рас-
смотрим оба случая.
1)
2.r =
Это означает, что среди миноров второго порядка матрицы системы есть
хотя бы один, отличный от нуля.
Пусть, например, не равен нулю минор элемента
23
D
23
a
11 12
23
31 32
0.
aa
D
aa
=
≠
(1.38)
В этом случае система (1.36) эквивалентна системе из двух ее уравнений -
первого и третьего:
11 1 12 2 13 3
31 1 32 2 33 3
0,
0.
ax ax a x
ax ax ax
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩
(1.39)
Найдем все решения системы (1.39), рассматривая ее как систему двух
уравнений относительно неизвестных
1
x
и
2
x
с определителем, равным :
23
D
11 1 12 2 13 3
31 1 32 2 33 3
,
.
ax ax a x
ax ax ax
+=−
⎧
⎨
+=−
⎩
(1.40)
Определитель этой системы
23
0D
≠
, следовательно, по теореме Крамера при каж-
дом произвольно взятом значении неизвестного
3
x
("свободного" неизвестного,
перенесенного в столбец свободных членов), она имеет единственное решение:
13 3 12
33 3 32
1
23
;
ax a
ax a
x
D
−
−
=
11 13 3
31 33 3
2
23
.
aax
aax
x
D
−
−
=
Используя свойства определителей, упростим полученные выражения.
40
13 3 12 13 12 12 13
33
33332 3332 3233
,
ax a a a a a
321
x
xx
ax a a a a a
−
=− = =
−
D
11 13 3 11 13
33
31 33 3 31 33
.
aax aa
22
x
xD
aax aa
−
=− =−
−
Переходя к алгебраическим дополнениям
21 2 2
21 21 21 22 22 22
(1) ; (1) ;
A
DDA DD
++
=− =− =− =
23
23 23 23
(1)
A
DD
+
=− =−
,
придадим полученным решениям системы (1.40) более удобный вид:
21 22
132
23 23
,
AA
3
.
x
xx x
AA
==
(1.41)
Формулы (1.41) определяют бесконечное множество решений системы
(1.39), выраженное через «свободное» неизвестное.
3
x
. При каждом конкретном
произвольно взятом значении неизвестного
3
x
могут быть вычислены по форму-
лам (1.41) соответствующие значения неизвестных
1
x
и
2
x
. Полученные таким
образом три числа составят одно конкретное решение системы (1.39) из бесконеч-
ного множества возможных, определяемого формулами (1.41).
Замечание. Проведенное исследование одновременно демонстрирует спо-
соб решения системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
2)
1.r =
Ранг матрицы системы (1.36) равен единице, когда миноры всех элементов
этой матрицы равны нулю, а хотя бы один из элементов матрицы - один из коэф-
фициентов при неизвестных в системе (1.36) - не равен нулю. Пусть, например,
11
0a ≠
. В этом случае система (1.36) эквивалентна ее первому уравнению
11 1 12 2 13 33
0.ax ax ax
+
+=
(1.42)
При этом легко убедиться, что любое решение уравнения (1.42) является также
решением второго и третьего уравнений системы (1.36).
Рассматривая уравнение (1.42) как уравнение с одним неизвестным
1
x
, на-
ходим, что при произвольно взятых значениях неизвестных
2
x
и
3
x
, оно имеет
единственное решение:
13
12
12
11 11
.
a
a
3
x
x
aa
=− − x
(1.43)
Формула (1.43) дает бесконечное множество решений уравнения (1.42). Три числа:
произвольно взятые
2
x
и
3
x
и вычисленное по формуле (1.43) соответствующее
им значение неизвестного
1
x
- составляют одно из решений уравнения (1.42) из
бесконечного множества возможных, определяемого формулой (1.43).
41
Замечание. Проведенное исследование демонстрирует одновременно спо-
соб решения одного линейного уравнения с тремя неизвестными.
Мы исследовали системы линейных уравнений, в которых число уравнений
равно числу неизвестных. Мы рассмотрели методы, позволяющие выяснить, со-
вместна ли данная система или нет. В случае совместности мы получили возмож-
ность установить число решений и указать способ нахождения всех этих решений.
В основе рассмотренных методов лежит теорема Крамера и формулы Крамера.
Главным достоинством этих формул является явное выражение для решения ли-
нейной системы через коэффициенты этой системы. Однако практическое исполь-
зование правила Крамера связано с весьма громоздкими вычислениями. В этом
отношении более удобным является метод Гаусса - метод последовательного ис-
ключения неизвестных, изучение которого отнесено к курсу вычислительной ма-
тематики.
Самый общий случай систем произвольного числа линейных уравнений с
произвольным числом неизвестных - система линейных уравнений с неиз-
m n
вестными, требующий более полных сведений о матрицах, рассмотрен в [1].
Решение задач
Задача 1. Решить систему уравнений
123
123
12 3
23 11,
54 1
43
xxx
xx x
xx x
−+=
⎧
⎪
0,
5.
+
−=−
⎨
⎪
+− =
⎩
Решение. Вычислим определитель системы
231
154 2
413
D
.
−
=
−=−
−
Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система совместна
и имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. Вычисляем
определители .
123
,,DD D
1
11 3 1
10 5 4 6;
513
D
−
=− − =−
−
2
2111
11042
453
D ;
=
−−=
−
3
2311
1 5 10 4.
41 5
D
−
=
−=−
Тогда по формулам Крамера
42
1
1
6
3;
2
D
x
D
−
===
−
2
2
2
1;
2
D
x
D
=
==−
−
3
3
4
2.
2
D
x
D
−
=
==
−
Задача 2. Исследовать систему уравнений
123
12 3
123
21
34
522
xxx
xx x
xx x
,
3,
.
−
+=−
⎧
⎪
+
+=−
⎨
⎪
+
+=
⎩
Решение. Вычисляем определитель системы:
121
3140
152
D
−
.
=
=
Так как то система либо неопределенна, либо несовместна. Найдем
0,D =
1
.D
1
121
3140
252
D
−−
.
=
−≠
Остальные определители можно уже не вычислять, так как из того, что отли-
1
D
чен от нуля, следует, что система несовместна.
Задача 3. Рассмотрим систему
12 3
123
123
21,
22 4
33 6 5
xx x
xx x
xx x
+− =
⎧
⎪
2,
.
+
−=
⎨
⎪
+
−=
⎩
Здесь Система несовместна, в чем легко убе-
123
0, 0, 0, 0.DD D D== ==
диться, умножив обе части первого уравнения на 3. Получим уравнение
123
33 6 3xx x+−=
, что противоречит третьему уравнению системы, следователь-
но, система не имеет решений.
Задача 4. Рассмотрим систему
12 3
123
123
31,
22 6 2
34 4.
xx x
xx x
xxx
−+ =−
⎧
⎪
,
−
+=−
⎨
⎪
+−=
⎩
Здесь Так как второе уравнение получается
123
0, 0, 0, 0.DD D D== ==
умножением обеих частей первого уравнения на 2, то данная система равносильна
системе двух уравнений и имеет бесконечное множество решений, то есть неопре-
деленна.
Задача 5. Найти все решения системы
43
12 3
123
123
32
23 4
52 0
xx x
xx x
xxx
0,
0,
.
−
+=
⎧
⎪
+
−=
⎨
⎪
−
+=
⎩
Решение. Данная система является системой линейных однородных урав-
нений. Вычислим определитель этой системы
312
234 31
521
D
−
.
=
−=−
−
Так как , то система имеет единственное нулевое решение:
0D ≠
1
0;x =
2
0;x
=
3
0.x
=
Задача 6. Исследовать систему линейных однородных уравнений и найти
все ее решения.
12 3
123
123
32
22
50
xx x
xxx
xxx
0,
0,
.
+
+=
⎧
⎪
−
+=
⎨
⎪
−
−=
⎩
Решение. Вычислим определитель системы
132
2210
151
D .
=
−=
−−
Так как , то система, кроме нулевого решения, имеет бесконечное множест-
0D =
во ненулевых решений. Найдем все решения системы. Определяем ранг матрицы
системы, для чего вычислим один из миноров, например :
11
D
11
21
7.
51
D
−
=
=
−−
Так как , то ранг матрицы системы
11
0D ≠
2r
=
и, следовательно, система экви-
валентна системе из двух ее уравнений - второго и третьего. Решаем систему, со-
стоящую из второго и третьего уравнений, относительно неизвестных
2
x
и
3
x
:
23 1
23 1
22
5.
,
x
xx
x
xx
−+=−
⎧
⎨
−−=−
⎩
Определитель этой системы
11
0D
≠
, следовательно, по теореме Крамера при ка-
ждом произвольном
1
x
система имеет единственное решение:
44
11
11
11
23
11 11
21 22
15
38
,.
77
xx
xx
x
x
xx
DD
−−−
−− −−
−
====
Таким образом, множество решений исходной системы можно записать в виде
21
31
3
,
7
8
,
7
x
x
x
x
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
где
1
x
- любое вещественное число.
Множество решений системы часто бывает удобно записывать в парамет-
рической форме, выражая все искомые неизвестные через произвольный параметр
t
. Если в нашем случае принять
1
7
x
t
=
, то решение системы можно записать в ви-
де
1
2
3
7,
3,
8,
x
t
x
t
x
t
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=
−
⎩
где
.t
∈
\
Вопросы для самопроверки по теме 1.2
1. В каком случае система
n
линейных уравнений с
n
неизвестными имеет
единственное решение?
2. При каком условии система
n
линейных уравнений с
n
неизвестными мо-
жет быть несовместной или неопределенной?
3. Сформулируйте теорему Крамера и напишите формулы Крамера для систе-
мы
n
линейных уравнений с
n
неизвестными.
4. В каком случае линейное уравнение называется однородным?
5. Может ли система линейных однородных уравнений быть несовместной?
6. Сформулируйте необходимые и достаточные условия наличия ненулевых
решений системы
n
линейных однородных уравнений с
n
неизвестными.
7. Что называется рангом квадратной матрицы
n
-го порядка?
8. Как с помощью понятия о ранге матрицы системы решается вопрос о числе
уравнений системы, эквивалентной данной системе
m
линейных уравнений
с
n
неизвестными?
45
1.3. Матрицы и их применение к решению систем линейных
уравнений
При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопро-
сами:
• Виды матриц.
• Равенство матриц и линейные операции с матрицами.
• Умножение матриц.
• Обратная матрица.
• Решение системы линейных уравнений при помощи матриц.
После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для
самопроверки и решить тест.
Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [1], глава
2, с. 45-75 или к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.
Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить одну задачу
из контрольной работы №1 в соответствии со своим вариантом под № 6-10.
Виды матриц
Ранее мы использовали понятие о матрице, обращаясь к важнейшей число-
вой характеристике квадратной матрицы - определителю матрицы. Теперь нам
предстоит познакомиться с основными действиями над матрицами, имеющими
широчайшие приложения, особенно в условиях применения компьютерной техни-
ки.
Становление теории матриц относят к середине XIX века, и до сих пор она
остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным к запро-
сам практики. Здесь мы рассмотрим простейшие вопросы матричного исчисления.
( 1, 2,..., ; 1, 2,..., ),
ik
ai mk n
=
Определение. Прямоугольная таблица чисел
=
состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размера
m n mn
×
и обо-
значается так:
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
aa a
(1.44)
или
( 1, 2,..., ; 1,2,..., ).
ik
ai mk n==
Часто матрицу обозначают одной заглавной буквой, например матрица
,
A
B
и т.д.
Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Каждый элемент
ik
a
46
имеет два индекса; первый индекс обозначает номер строки, второй индекс -
i
k
номер столбца. Матрица (1.44) - матрица общего вида.
Рассмотрим отдельные частные случаи матриц.
1) . Если матрица
1n =
A
имеет размер
1m
×
, то она называется одно-
столбцовой матрицей:
11
21
1m
a
a
a
⋅
⋅
⋅
.
2) . Если матрица
1m =
A
имеет размер
1 n
×
, то она называется одно-
строчной матрицей:
.
11 12 1
..
n
A
aa a= ⋅⋅⋅
.
3) . Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица
mn=
называется квадратной. Число строк, равное числу столбцов, называется поряд-
ком квадратной матрицы. В частности, квадратная матрица первого порядка -
это просто число. У квадратной матрицы -го порядка совокупность элементов
n
11 22
, ,..., ,
nn
aa a
расположенных на диагонали, соединяющей левую верхнюю вер-
шину матрицы с правой нижней вершиной, называется главной диагональю мат-
рицы. Совокупность элементов, расположенных на второй диагонали, называется
побочной диагональю. Для определителя квадратной матрицы
A
используются
обозначения:
det
A
или
A
Δ
, или
()
D
A
.
Квадратную матрицу, все элементы которой, расположенные вне главной
диагонали, равны нулю, то есть
11
22
33
00 0
00
00 0
... ... ... ... ...
000
nn
a
a
a
a
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
0
,
называют диагональной.
Диагональная матрица -го порядка, все диагональные элементы которой
n
равны единице, называется единичной и обозначается
n
E
или просто
E
:
47
100 0
010 0
001 0
... ... ... ... ...
000 1
E
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
.
4) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой мат-
рицей и обозначается :
O
00 0
00 0
00 0
O
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
.
Если необходимо указать число строк и столбцов нулевой матрицы, то пи-
шут .
mn
O
Особое значение имеет единичная матрица
E
, играющая в матричном ис-
числении ту же роль, что и число 1 в элементарной алгебре, и нулевая матрица ,
O
роль которой аналогична роли числа нуль в элементарной алгебре.
Данное выше определение матрицы предполагает, что определены:
1. Понятие равенства матриц,
2. Сложение матриц,
3. Умножение матрицы на число,
4. Умножение матриц.
Указанный комплекс понятий и операций лежит в основе матричного ис-
числения. Его становление относят к середине XIX века, но полноту и изящество
оно приобрело позднее, вместе с развитием линейной алгебры.
Равенство матриц и линейные операции с матрицами
1. Равенство матриц.
Определение. Две матрицы
A
и называются равными, если имеют
B
одинаковый размер и если равны соответствующие элементы матриц
( 1,2,..., ; 1, 2,..., ).
ik ik
abi mk n== =
При этом пишут
.
A
B
=
(1.45)
Заметим, что матричное равенство (1.45) равносильно числовым ра-
mn⋅
венствам:
11 11 12 12
, ,..., .
mn mn
abab a b== =
48
2. Сложение матриц
Операция сложения матриц определяется только для матриц, имеющих
одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.
Определение. Суммой
A
B
+
матриц
A
и , имеющих одинаковый раз-
B
мер, называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствую-
C
щих элементов матриц
A
и , то есть
B
1,2,...,
1, 2, ...
ik ik ik
im
cab
k
=
⎛⎞
=+
⎜
=
⎝⎠
n
⎟
. (1.46)
Для суммы матриц
A
и используется обозначение
B
.CAB
=
+
Таким образом, если
A
=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mm
aa a
aa a
aa a
;
B
=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
bb b
bb b
bb b
, то
C A B=+=
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
11 2 2
...
...
... ... ... ...
...
nn
nn
mmm m mnmn
ab ab ab
ab ab ab
aba b a b
++ +
++ +
++ +
.
Пример.
324132 456
102015117
−−−
+=
−−
.
Свойства операции сложения (аналогичны свойствам сложения чисел).
1. Переместительное свойство
A
BBA
+
=+
.
2. Сочетательное свойство
() ().
A
BCABC
+
+=+ +
3. Сумма любой матрицы
A
и нулевой матрицы того же размера равна
O
матрице
:
A
.
A
OA
+
=
Таким образом, нулевая матрица в матричном исчислении играет роль нуля
в алгебре чисел.
3. Умножение матрицы на число
Определение. Произведением матрицы
A
на число называется мат-
λ
рица , каждый элемент которой равен произведению этого числа на соответст-
B
вующий элемент матрицы
A
, то есть
49