СЗТУ Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
210
3
5
61. ( ) . 62. ( ) 2 .
5
x
x
x
fx fx
x
+
−
==
−
()
2
2
3
2
1
3
arcsin ï ðè 1 0,
1ïðè0,
63. ( ) 64. ( )
5 ï ðè 0.
cos ï ðè 0.
65. ( ) . 66. ( ) .
4
74ïðè 1,
2ïðè 0,
67. ( ) 68. ( )
3ln ï ðè 1.
24ïðè 0.
69. ( ) . 70. ( ) 5 .
64
x
x
x
x
x
xx
xx
fx fx
xx
xx
x
fx e fx
x
xx
ex
fx fx
xx
xx
x
fx fx
x
−
+
⎧
−≤ <
⎧
−≤
==
⎨⎨
>
>
⎩
⎩
==
+
⎧
−≤
⎧
<
==
⎨⎨
>
−>
⎩
⎩
==
−
В задачах 71-80 найти первую производную функции
42 2
71. 1 arcsin( ) 21.yxx x=−+ −
72. 2 arcctg ln(3 3) 5.yx x x=+++
(
)
33 3
73. ln 1 2 arc tg 7.yxx x=+− ⋅ −
33 6
74. arccos( ) 1 9.yx x x=−−+
()
3
3
3
1
75. 2ln 1 8.
1
x
yx
x
+
=− −−
−
22
76. arcsin 2 1 arcsin 2 16.yx x x x x=⋅ + − − −
(
)
(
)
2
77. cos 5 5 sin 10 6.yxxx=+⋅+
(
)
78. 1 4 2 arccos 2 3.
xx x
y =−−⋅ −
2
1
79. arctg(2 ) 20.
2
14
x
yx
x
=++
+
(
)
(
)
(
)
2
80. tg 3 2ln cos 3 11.yx x=+ −
В задачах 81-85 найти координаты точки пересечения с осью Ox
касательной, проведенной к графику функции
)(
x
f
y
=
в заданной точке.
Сделать рисунок.
211
32
1
81. , ; . 82. 5 6, (4; 2).
3
83. ctg , ( ;1). 84. arctg , 1; .
22 4
x
ye A e yx x A
x
yA yxA
⎛⎞
==−+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⎛⎞ ⎛ ⎞
==
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
3
85. , (1; 2).yx xA=+
В задачах 86-90 найти координаты точки пересечения с осью Oy
касательной, проведенной к графику функции
)(
x
f
y
=
в заданной точке.
Сделать рисунок.
()
()
()
2
2
3
86. cos , ;0 . 87. 16 , 3;7 .
4
3
88. arcsin , ; . 89. ln( ), ;3 .
23
yxA yxA
yxA yxAe
⎛⎞
π
==−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
π
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
()
90. tg 5 , ;1 .
20
yxA
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
В задачах 91-100 найти
dx
dy
и
2
2
dx
yd
функции, заданной
параметрически
2
3
() 2,
1
() ,
91. 92.
sin
2
() .
() ctg
21
() tg(2), () 1 ,
93. 94.
() 4.
( ) arcsin .
( ) arccos 1 ,
() ln(1 ),
95. 96.
( ) arctg .
() .
() cos ,
97.
() 3ln co
t
t
t
xt
xt
t
yt
yt t
xt t xt t
yt t
yt t
x
tt
xt t
yt t
yt t
xt t
yt
⎧
=
⎧
=
⎪⎪
⎨⎨
=
⎪⎪
=
⎩
⎩+
⎧
==−
⎧
⎪
⎨⎨
=
=
⎩
⎪
⎩
⎧
⎧
=
−
=+
⎪
⎨⎨
=
=
⎪
⎩
⎩
=
=
()
()
()
()
3
3
1
() ,
98.
s.
( ) arcctg .
() sin(3),
( ) arctg ,
99. 100.
() ln sin 3 .
() .
xt
t
t
yt t
xt t
xt t
yt t
yt t
⎧
⎧
=
⎪⎪
⎨⎨
⎪
⎩
⎪
=
⎩
⎧
=
=⎧
⎪
⎨⎨
=
=
⎩
⎪
⎩
212
4.3. Текущий контроль
Тренировочные тесты
Тест 1
1. Алгебраическое дополнение
23
A
элемента
23
a
матрицы
012
321
230
A
−
=−−
−
равно A) 2; B) 1; C) -3; D) -2.
2. Какое из утверждений верно для системы
54 2,
21,
32 3.
xyz
xy z
xyz
+
−=
⎧
⎪
−
+=−
⎨
⎪
+
+=
⎩
A) система имеет единственное решение,
B) система несовместна,
C) система имеет бесконечное множество решений?
3. При каком значении
m
система
25,
232 1,
250
xymz
xyz
yz
−+ =
⎧
⎪
−
++=−
⎨
⎪
+=
⎩
несовместна?
A)
1;m =
B)
1;m =−
C)
3;m
=
D)
0.m =
4. При каком значении
m
система
0,
30,
20
xyz
xyz
xymz
+−=
⎧
⎪
+
+=
⎨
⎪
+
+=
⎩
имеет ненулевые решения?
A)
1;m =−
B)
0;m =
C)
2;m
=
−
D)
1.m =
5. В системе
33 1,
22,
40
xyz
xy z
xy z
−−=
⎧
⎪
−+ =−
⎨
⎪
++ =
⎩
найти значение неизвестного
x
по формулам
Крамера.
A)
2;x =
B)
1;x =−
C)
1;x
=
D)
2.x =−
6. Найти решение системы
30
750
0
xyz
xyz
xyz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
+
−=
⎩
. Ответ выразить через параметр.
A)
,2,;
x
ty tzt==− =
B)
2, , ;
x
ty tzt
=
=− =
C)
2, , ;
x
tytz t===−
D)
,, 2.
x
tytz t
=
−==−
213
Тест 2
1. Минор элемента
32
a
матрицы
102
431
201
A
−
=−
−
равен
A) -7; B) 9; C) 7; D) -9.
2. Найти матрицу
2CB A
=
−
, если
21 02
,
10 1 1
BA
−
−
==
−
.
A)
23
32
C
−
=
−
; B)
23
12
C =
−
; C)
23
12
C =
−
; D)
23
32
C =
.
3. Если
3BA=
, где
A
- матрица третьего порядка, то ее определитель
()
D
B
:
A)
() ()
D
BDA=
; B)
() 3( )
D
BDD
=
;
C)
() 9()
D
BDA=
; D)
() 27 ()
D
BDA
=
.
4. Найти произведение матрицы
2
3
1
A
=
−
и матрицы
0123 −−=B
.
A)
6
6
1
AB⋅=
−
; B)
66 1AB
⋅
=−
;
C)
11AB⋅=
; D)
0123
0369
0246
−−
−
−−
=⋅ BA
.
5. Найти
1
CBA
−
=⋅
, если
41
20
;30
31
21
AB
−
−
==
−
.
A)
72
30
52
C =
−−
; B)
72
1
30
2
52
C =−
−
−
;
C)
80
91
C
−
=
; D)
27
1
03
2
25
C =−
−
−
.
6. Даны три квадратных матрицы одного порядка
,,
A
BC
. Найти матрицу
X
из
матричного уравнения
1
2
A
XBC⋅+=
.
214
A)
2( )CB
X
A
−
=
; B)
2( )
B
C
X
A
+
=
;
C)
1
2( )
X
ACB
−
=−
; D)
1
2( )
X
ACB
−
=
−+
.
Тест 3
1. Вычислите длину вектора
c3ba
G
G
G
+=
, если
j2ib
G
G
G
+=
,
kjic
G
GG
G
−+=
.
A) 6; B) 25; C) 3; D)
52
.
2. Укажите, какому из предложенных векторов коллинеарен вектор
k3j2ia
G
GG
G
+−=
:
A) 2
3ijk−+
G
GG
; B)
246ijk−+ −
G
GG
; C)
2ij−
G
G
; D)
13
24
ij k−+
G
GG
.
3. Укажите, какому из предложенных векторов перпендикулярен вектор
32ai j k=− +
G
GG
G
:
A)
236ijk−+ +
G
GG
; B)
23
j
k
+
G
G
; C)
25ij k−+
G
G
G
; D) 23ijk++
G
GG
.
4. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах
(0,1, 3)a =−
G
,
(1,1,4)b =−
G
и
(2, 3,1)c =−
G
.
A) 6; B) 25; C) 3; D) 2.
5. Определите проекцию вектора
(2,1,3)a
=
G
на направление вектора
(3,0,4)b =−
G
.
A)
4
5
; B)
3
8
−
; C) 3; D)
6
5
.
6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
G
и
b
G
, если
,nma
GGG
−=
,m2b
G
G
=
где
,2|| =m
G
1||
=
n
G
и угол между векторами
m
G
и
n
G
равен
30 .
o
A) 6; B) 2; C) 3; D)
52
.
Тест 4
1. Найти площадь треугольника, образованного прямой 2x+3y-6=0 и осями
координат.
A) 1; B) 2; C) 4; D) 3.
2.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
М(2,0,4) и
перпендикулярной плоскости
350xyz
−
++=
.
A)
24
==
315
xyz−−
−
; B)
3( 2) 5( 4) 0xyz
−
−+ − =
;
C)
24
==
311
xyz−−
−
; D)
245xz
+
=
.
215
3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-1,4) и
параллельной плоскости
25310xyz
+
−−=
.
A)
253110xyz+−+=
; B)
3410xy z
−
+−=
;
C)
25380xyz−− ++=
; D)
253
==
314
xyz
−
+−
−
.
4. Найти угол между прямой
253
==
32
3
xyz
−
+−
и плоскостью
2323110xy z−+ −=
.
A)
arcsin 0.5;β=
B)
arcsin( 0.5);
β
=−
C)
arcsin 0.3;β=
D)
.
3
π
β
=
5. Определить длину перпендикуляра, опущенного из точки
А(-1,4,3) на
плоскость
43520xyz−+−=
A) 16; B) 25; C)
13
;
2
D)
32
.
10
6. Какие из предложенных уравнений I)
24
==
315
xyz
−
−
−
,
II)
23,
,
45
x
t
yt
z
t
=+
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=+
⎩
и III)
2410,
35220
xy z
xy z
−
++− +=
⎧
⎨
−
+−=
⎩
описывают одну и ту же прямую?
A) I) и III); B) I) и II); C) II) и III); D) все прямые разные.
Тест 5
1. Уравнение
22
53220xyxy−−+−=
определяет на плоскости
A) параболу; B) гиперболу; C) эллипс; D) прямую.
2. Уравнение
22
36 36 36 24 23 0xyxy+−−−=
определяет на плоскости
A) параболу; B) гиперболу; C) эллипс; D) окружность.
3. Уравнение
2
25 50 12 37 0xxy−++=
определяет на плоскости
A) параболу; B) гиперболу; C) эллипс; D) окружность.
4. Найти координаты фокуса параболы
2
4
x
y=
.
A) (1,0); B) (-1,0); C) (0,-1); D) (0,1).
5. Определить эксцентриситет гиперболы
2
2
40
4
x
y
−
−=
.
A)
1
;
5
ε=
B)
5;ε=
C)
5
;
2
ε=
D)
17.ε=
216
6. Какая из перечисленных точек принадлежит окружности с центром в
точке О(-3,2) и радиусом равным 5?
A) (-2,0); B) (0,6); C) (2,-3); D) (3,-2).
Тест 6
1. Определить вид поверхности
5zyx
222
=+−
:
A) эллиптический параболоид; B) гиперболический цилиндр;
C) однополостный гиперболоид; D) гиперболический параболоид.
2. Указать вид кривой, полученной в пересечении гиперболического
параболоида
22
yxz−=
с плоскостью
7z
=
:
A) парабола; B) эллипс; C) прямая; D) гипербола.
3. Указать каноническое уравнение эллиптического цилиндра с осью Oy:
A)
22
22
=1;
xy
ab
−
B)
22
22
=;
xy
z
ab
+
C)
22
22
=1;
xz
ab
+
D)
22
22
=1.
xy
ab
+
4. Поверхности
22
x
yz=+
и
22
2
x
yz
−
=+
пересекаются по:
A) гиперболе; B) параболе; C) эллипсу; D) окружности.
5. Записать уравнение
22
9181860xz x yz
+
−−−=
в каноническом виде и
определить вид поверхности:
A)
22
13
1
232
xz
y
−−
⎛⎞⎛⎞
+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
- эллиптический параболоид;
B)
22
23
1
232
xz
y
−+
⎛⎞⎛⎞
−=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
- гиперболический параболоид;
C)
()
22
2
23
1
232
xz
y
−−
⎛⎞⎛⎞
+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
- конус;
D)
()
22
2
23
11
232
xz
y
−−
⎛⎞⎛⎞
+−+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
- однополостный гиперболоид.
6. Записать уравнение сферы
222
4xyz
+
+=
в сферической системе
координат.
A)
4r =
; B)
4r =−
; C)
4cosr
=
ϕ
; D)
2r
=
.
Тест 7
1. Вычислите
2
0
3
lim sin
x
x
x
→
A)
∞
, B)
0
, C)
3
, D)
1
.
217
2. Вычислите
2
3
3
lim
43
x
x
x
x
→
−
−+
A)
1−
, B)
0
, C)
1
2
, D)
1
4
−
.
3. Вычислите
2
6
22
lim
36
x
x
x
→
−−
−
A)
1
18
−
, B)
0
, C)
∞
, D)
1
48
−
.
4. Вычислите
3
2
527
lim
38
x
xx
xx x
→∞
+−
+−
A)
5
, B)
7
8
, C)
0
, D)
∞
.
5. Вычислите
43 2
21
lim
x
x
xx
x
→∞
−+−
A)
1−
, B)
0
, C)
∞
, D)
2
−
.
6. Вычислите
(
)
3
0
1tg2
lim
1cos2
x
x
ex
x
→
−
−
A)
3
, B)
6
, C)
0
, D)
∞
.
Тест 8
1. Найдите область определения функции
3
1
2
y
x
=
−
A)
(
)
2; +∞
; B)
(
)( )
;2 2;−∞ ∪ +∞
; C)
)
2;
+
∞
⎡
⎣
; D)
()
;−∞ +∞
.
2. Определите, будет ли точка
2x
=
точкой разрыва функции
()
4
, если 2
2
4, если 2
x
fx
x
x
⎧
≠
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
, и если будет, то установите тип точки разрыва
A) точка непрерывности, B) точка конечного разрыва,
C) точка бесконечного разрыва, D) точка устранимого разрыва.
3. Определите, будет ли точка
2x
=
точкой разрыва функции
()
()
2
42
4
x
fx
x
−
=
−
, и если будет, то установите тип точки разрыва
A) точка непрерывности, B) точка конечного разрыва,
C) точка бесконечного разрыва, D) точка устранимого разрыва.
218
4. Определите, будет ли точка
2x
=
точкой разрыва функции
()
(
)
2
42
, если 2 и 2
4
1, если 2
x
xx
fx
x
x
−⎧
≠≠−
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
, и если будет, то установите тип точки
разрыва
A) точка непрерывности, B) точка конечного разрыва,
C) точка бесконечного разрыва, D) точка устранимого разрыва.
5. Определите, будет ли точка
3x
=
точкой разрыва функции
()
2
|3|
56
x
fx
x
x
−
=
−+
, и если будет, то установите тип точки разрыва
A) точка непрерывности, B) точка конечного разрыва,
C) точка бесконечного разрыва, D) точка устранимого разрыва.
6. Определите, будет ли точка
2
x
π
=
точкой разрыва функции
()
tg , åñëè 0
2
sin , åñëè
2
xx
fx
xx
π
⎧
<<
⎪
⎪
=
⎨
π
⎪
≥
⎪
⎩
, и если будет, то установите тип точки разрыва
A) точка непрерывности, B) точка конечного разрыва,
C) точка бесконечного разрыва, D) точка устранимого разрыва.
Тест 9
1. Производная
()
f
x
′
функции
3
() 3
f
xxx=+
в точке
0
1x
=
равна:
A) 9; B) 1; C) 10; D) 9.
2.
Производная
()
f
x
′
функции
3
() tg
f
xxx=
равна:
A)
2
2
3
cos
x
x
; B)
32
ctg 3 tg
x
xxx+
; C)
3
2
2
3tg
cos
x
xx
x
+
; D)
2
3tg
x
x
.
3.
Производная
()
f
x
′
функции
2
2
()
5
x
fx
x
=
+
равна:
A)
()
2
2
10
;
5
x
x +
B)
1;
C)
()
2
2
2
;
5
x
x +
D)
()
2
2
2
2
.
5
x
x
x
−
+
4.
Дифференциал
()df x
функции
() sin
f
xx
=
в точке
0
3
x
π
=
равен:
A)
3
2
dx
; B)
2
2
dx
; C)
dx
; D)
1
2
dx
.
5.
Дифференциал
()df x
функции
3
3
()fx x
x
=−
в точке
0
1x =
равен:
219
A)
3
4
dx
; B)
1
2
dx
; C)
1
4
dx−
; D)
3
2
dx
.
6.
Уравнение касательной к графику функции
ctgyx
=
в точке с абсциссой
4
x
π
=
имеет вид:
A)
;
4
yx
π
=−
B)
21;
2
yx
π
=− + +
C)
21 ;
2
yx
π
=
+−
D)
1.
2
yx
π
=− + −
Тест 10
1. Производная второго порядка функции
2
()
4
fx
x
=
−
равна:
A)
()
2
2
;
4x
−
−
B)
()
2
4
;
4x −
C)
()
3
4
;
4x −
; D)
()
3
2
.
4x
−
−
2. Дифференциал второго порядка функции
()
3
() 2 5fx x=+
равен:
A)
()
2
2
62 5 ;
x
dx+
B)
(
)
2
24 2 5 ;
x
dx+
C)
()
2
62 5 ;
x
dx+
D)
()
2
30 2 5 .
x
dx+
3. Производная
()
f
x
′′′
функции
(
)
() ln3 1fx x
=
+
равна:
A)
3
;
31x +
B)
(
)
3
ln 3 1 ;x
+
C)
(
)
()
2
ln 3 1
;
31
x
x
+
+
D)
3
2
x
4. Производная
()
()
n
f
x
функции
() 3
x
fx
=
равна:
A)
3ln3;
xn
B)
3;
nx
C)
3ln3;
nx
D)
3ln3.
nx n
5. Уравнению
44yyx
′′
+=
удовлетворяет функция:
A)
2
4;
x
x
e−
B)
cos 2 ;
x
x+
C)
sin 2 ;
x
x
⋅
D)
4sin2.
x
x+
6. Производная
x
x
y
′′
функции, заданной параметрически
(
)
2
arctg , ln 1xtyt
=
=+
,
равна:
A)
2
2
;
1
t
t +
B)
0;
C)
2
2
;
1t
+
D)
2
22.t +