Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

Сходимость метода поконтурной увязки потерь давления для

плоских схем была доказана, исходя из различных положений, Б.Н.

Пшеничным [81], М.Г. Сухаревым [25] и В.Я. Хасилевым [6, 60].

Вместе с тем опытным расчетчикам давно было известно, что

иногда данный увязочный метод по каким-то причинам не работает. С

началом использования ЭВМ такие случаи, естественно, стали выяв-

ляться все чаще, особенно когда рассчитывались сложные схемы, в ко-

торых сопротивления отдельных ветвей отличались друг от друга на

несколько порядков (например, в двухтрубных тепловых сетях), и к

тому же имелись источники с заданными у них напорами, а не произ-

водительностями. Общая характеристика сложившегося положения

была дана Ш. Дюбеном на Международном конгрессе по водоснабже-

нию в 1964 г. Он отметил, что со времени появления обсуждавшейся

выше работы X. Кросса не достигнуто существенного прогресса в ме-

тодах расчета кольцевых сетей и что оба увязочных метода имеют

одинаковые недостатки, но второй представляется еще менее надеж-

ным, чем первый. В этой связи Ш. Дюбен указывает на три сущест-

венных момента: 1) очевидную связь увязочных методов с методом

Ньютона для решения систем нелинейных уравнений; 2) пред-

почтительность «последовательной коррекции» (метод Зейделя) перед

«одновременной коррекцией» и 3) целесообразность выбора колец, ис-

ходя из минимума гидравлического сопротивления трубопроводов.

Аналогичные выводы были одновременно сделаны и В.Я. Хасилевым

при разработке и реализации общих методов расчета гидравлических

цепей с сосредоточенными параметрами [60, 96].

В эти же годы число публикаций по поводу увязочных методов не

уменьшилось, только центр тяжести переместился на их модифика-

ции. Н.У. Койда в работе [7] высказывает новую идею о том, что воз-

можен другой метод расчета, противоположный увязке потерь напора,

когда «должен соблюдаться баланс потерь напора по кольцам, что же

касается расходов по узлам, то расчетчик должен стремиться получить

такое распределение потерь напора по участкам сети, чтобы и он имел

место». Ясно, что речь идет о втором методе Кросса.

Метод увязки расходов предлагается также и Ю.И. Максимовым

[8, 9]: для каждого узла записывается уравнение баланса, неизвестные

расходы газа при этом выражаются через узловые давления и в ре-

зультате получается система нелинейных уравнений относительно

квадратов давлений, которую предлагается решать методом последо-

вательных приближений (без дополнительных разъяснений).

М.П. Васильченко в работе [10] обычный поправочный расход для

кольца заменяет полным, равным сумме поправочных расходов всех

смежных колец, взятых с «коэффициентами влияния», – это позволяет

учитывать взаимное влияние колец.

А.Е. Белан [11], описывая как универсальный метод гидравличе-

ского увязочного расчета с помощью введения «итерационных напо-

ров», одновременно предлагает находить поправочный расход не с

помощью линеаризованной формулы Андрияшева, а путем точного

решения для каждого контура соответствующего квадратного уравне-

ния. Позже такая же рекомендация была дана С. Цоем и Г.К. Рязанце-

вым [84]. Эта модификация метода поконтурной увязки потерь давле-

ния в настоящее время широко и эффективно используется в различ-

ных программах для ЭВМ.

Подводя некоторые итоги развития и применения увязочных мето-

дов, можно сказать, что это уникальные по своей простоте и эффек-

тивности методы, которые вобрали в себя три основные идеи упроще-

ния и уменьшения трудоемкости вычислительных процессов: линеа-

ризации нелинейных зависимостей; декомпозиции задачи, т.е. сведе-

ния ее к более простым «сетевым» операциям и покомпонентной ре-

лаксации, когда уменьшение невязок сетевых уравнений производится

их последовательной обработкой по отдельным уравнениям и пере-

менным. Такое сочетание являлось в свое время оптимальным, так как

давало, быть может, единственную возможность выполнять расчеты

потокораспределения даже вручную.

Вместе с тем именно в излишней простоте увязочных методов и в

«торможении» ньютоновского процесса (из-за нестрогого решения

системы линеаризованных уравнений на каждом его шаге) заключа-

ются их ограниченность и недостатки, которые проявляются, конечно,

не всегда, но во все более расширяющемся числе случаев. Несмотря на

огромное число работ, посвященных этим методам и их модификаци-

ям (часть которых охарактеризована выше), большинство их авторов

не ставили своей целью раскрыть основное математическое содержа-

ние данных методов, их связь с известными методами вычислительной

математики и теории электрических цепей.

Одно из объяснений такого положения состоит в том, что подоб-

ный математический анализ инженерных (по существу) методов мо-

жет и должен проводиться с некоторых более общих и формальных

позиций, обеспечивающих строгую математическую формулировку и

классификацию решаемых задач, а также обоснованное применение

общих математических методов.

Как видно из приведенного краткого обзора, на данный момент в

ТГЦ сложилась ситуация, когда, с одной стороны, имеет место доста-

точное количество теоретических исследований, касающихся матема-

тического описания моделей г.ц., а с другой, – вакуум адекватного ана-

лиза именно ТГС, как одного из типов сложных систем. И как следст-

вие такого положения – невозможность адекватного применения су-

ществующих методов математического описания и расчета г.ц. к

ТГС

ТЕ

– транспорта и передачи энергии, исходя из их существенных

отличий от электрических систем.

Что касается систем ППД, как систем, включающих наземную

часть и заводняемые пласты, то можно сказать, что в плане моделиро-

вания в фундаментальной литературе они остались незамеченными.

Это подталкивает к подбору и адаптации известных и разработке но-

вых методов построения их моделей.

2.5. Краткий обзор известных моделей гидросистем продуктивных

пластов

В настоящее время существует широкий спектр моделей гидросис-

тем продуктивных пластов, которые иначе называются гидродинами-

ческими моделями. В процессе развития задач и методов моделирова-

ния одним из этапов являлось построение физических моделей

пластов: Рапопорт (1955 г.), Гиртсма (1956 г.), Перкинс и Коллинз

(1960 г.), Редфорд (1976 г.) и др.

Физические модели пластов подразделяются на эл

ектротехниче-

ские [236], электролитические (Ботсет 1946, Карплюс 1958) и электро-

магнитные (Н. К. Корсакова, В. И. Пеньковский, М. И. Эпов) модели.

Также физические модели ученые часто разделяют на две категории:

а) масштабные и б) элементарные. В первых размеры, свойства пласта

и насыщающих его флюидов выбирают в лабораторных условиях та-

ким образом, чтобы соотношения различных си

л в пласте и в физиче-

ской модели были одинаковыми. Получаемые с помощью масштабных

моделей результаты можно непосредственно использовать на модели-

руемом месторождении. К сожалению, полностью подобные модели

изготовить очень трудно или практически невозможно. На элементар-

ных моделях эксперименты проводят с реальными (или смоделиро-

ванными) пластовыми породами и флюидами, но дл

я отдельных

участков моделируемой ГПП. Очевидно, что результаты такого моде-

лирования нельзя «напрямую» использовать на месторождении, одна-

ко они могут способствовать изучению основных процессов физики

пласта.

Вследствие ряда неудобств физических моделей, связанных, преж-

де всего, с неоперативностью проведения экспериментов над такими

моделями и проблемами выявления коэффициентов подобия, данные

модели в настоящее время практически утратили свою ценность. По-

следнее в большей степени связано с тем, что вычислительные воз-

можности ЭВМ существенным образом расширились, тем самым сво-

дя к ми

нимуму эффект от применения физических моделей, вместо ко-

торых удобнее использовать математические.

Поэтому в настоящее время наиболее перспективными являются

именно математические модели ГПП. Наиболее простыми математи-

ческими моделями, широко использовавшимися на практике до начала

развития численных гидродинамических моделей, являются аналити-

ческие модели, получаемые путем точного решения дифференциаль-

ных уравнений относительно р

аспределения давления, насыщенно-

стей, фильтрационно-емкостных свойств и других факторов в конеч-

ном или бесконечном пласте.

В области разработки таких моделей хорошо известны работы оте-

чественных ученых: Щелкачева В.Н. [244,245,246], Чарного И.А

[238,239], Лапука Б.Б. [246], Бузинова С.Н., Умрихина [184], А.П. Тел-

кова [256], Р.И. Медведского, Булыгина В.Я. [185], А

басова М.Т.,

Джалилова К.Н. [163, 164], Баренблатта Г.И., Ентова В.М., Рыжика

В.М. [176], Басниева К.С., Дмитриева Н.М., Розенберга Г.Д. [177, 197],

Кочиной И.Н., Максимова В.М. [178], Боксермана А.А., Желтова

Ю.П., Кочешкова А.А [181], Закирова Н.С., Абасова М.Т. [166, 198] и

многих других. Несмотря на ши

рокий спектр таких моделей, каждая из

которых способна смоделировать те или иные процессы, протекающие

при эксплуатации ГПП, они не являются универсальными, так как об-

ласть их применения существенно сужается целым рядом ограниче-

ний, связанных с условиями описания граничных условий и факторов

моделируемых процессов. Т.е. одни модели описывают ГПП в одних

ус

ловиях, другие в других. Причем количество входных и выходных

данных для таких моделей также сильно варьируется в зависимости от

типа математического описания, точности и учета тех или иных фак-

торов. Модели такого рода не в состоянии учесть детальную неравно-

мерность распределения проницаемостей, насыщенностей, сжимаемо-

стей и других свойств пласта и фл

юидов, которые для ГПП сильно

варьируются.

Ограничения точных аналитических моделей и развитие возможно-

стей ЭВМ стало отправной точкой к формированию нового более уни-

версального подхода к построению моделей ГПП: численных гидро-

динамических моделей. Такие универсальные модели, благодаря ряду

допущений и разделению ГПП на конечные элементы, позволяют соз-

дать модель любого месторождения вне зависимости от распределения

геолого-физических свойств в его эксплуатационных объектах

(пластах). Несмотря на большое многообразие моделей такого рода,

практически все они имеют подобные друг другу допущения, которые,

в первую очередь, связа

ны с применением методов конечных элемен-

тов или методов конечно-разностных схем. В связи с этим им также

свойственны некоторые общие недостатки, обуславливающие погреш-

ность моделирования.

На текущий момент известен ряд широко используемых универ-

сальных моделей ГПП, разработке которых посвящены работы отече-

ственных [202, 204, 207, 208, 254], и зарубежных авторов [169, 253]. В

связи с тем, чт

о математические модели, решаемые исключительно

численными методами вычислительной и дискретной математики с

применением алгоритмических – условных переходов, требуют реали-

зации модели в виде программы или программ, то можно сказать, что

любая численная гидродинамическая модель является программой, ко-

торая реализует математическое описание в том или ином виде.

Так, из отечественных программных продуктов, р

еализующих воз-

можности универсальных моделей ГПП широко известны: Tempest,

Техсхема (автор Майер В.П. [254]), SymuLink (авторы Закиров И.С,

Закиров С.Н). Из зарубежных продуктов наиболее известным и эффек-

тивным является продукт фирмы Shlumberger – Eclipse и его интегра-

тор GeoQuest.

Вследствие коммерческого использования всех вышеперечислен-

ных продуктов здесь автор не имеет право демонстрировать их недос-

татки. Е

динственно необходимо отметить, что явные недостатки,

свойственные данным моделям, тщательно скрываются от их пользо-

вателей, вследствие чего результаты прогноза, основанные на исполь-

зовании таких моделей, предполагаются и «кажутся» точными. Одна-

ко, как показали более детальные исследования, степень доверия та-

ким моделям может быть весьма сомнительной при определенных па-

раметрах, которые мог

ут обострить проявления заложенных в основу

численных моделей ГПП допущений.

ГЛАВА 3. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТОВ И СВОЙСТВ

ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Данная глава посвящена вопросам наиболее универсального ана-

лиза гидросистем вне зависимости от их назначения и способов ис-

пользования. Здесь автором предпринята попытка исправить положе-

ния ТГЦ в анализе гидравлических систем. Исключить отраслевые

понятия и перейти к понятиям, отражающим общие свойства гидро-

систем, – глав

ная цель нового подхода к анализу гидросистем.

Первыми публикациями, посвященными близкому по смыслу ана-

лизу гидросистем, была статья [121] и работа [132]. Здесь же некото-

рые моменты ранее опубликованных материалов рассматриваются

более подробно.

3.1. Общие понятия и принципы теории системного анализа раз-

личного рода систем

Термины теория систем и системный анализ (ТССА) или, более

кратко, системный подход, несмотря на период более 25 лет их ис-

пользования, все еще не нашли стандартного общепринятого истолко-

вания. Причина этого факта заключается в динамичности процессов

развития в области человеческой деятельности и в принципиальной

возможности использования системного подхода практически в любой

решаемой зад

аче.

Даже в определении самого понятия система можно обнаружить

достаточно много вариантов, часть из которых базируется на глубоко

философских подходах, а другая использует обыденные обстоятельст-

ва, побуждающие к решению практических задач системного плана.

Будем далее понимать термин система как совокупность (множе-

ство) элементов, свойства которых связаны признаком системы (см.

разд

ел 2.1). Если обнаруживаются хотя бы два таких объекта: труба и

насос в гидравлике, аккумулятор и лампа в электротехнике, то это уже

является системой, так как некоторые свойства этих элементов взаи-

мосвязаны. Например, скорость потока и распределение давления в

трубе связаны с производительностью насоса, а уровень накаливания

лампы с э.д.с и

сточника электропитания.

Наиболее важным преимуществом взгляда на эту проблему с пози-

ций системного подхода является возможность ставить и решать, по

крайней мере, три задачи:

− расширить собственные представления о «механизме» взаимодей-

ствий элементов системы; изучить и, возможно, раскрыть

новые её свойства;

− повысить эффективность системы в том плане ее функционирова-

ния, который интересует нас больше всего;

− построить научную базу, позволяющую адекватно реальным фи-

зическим процессам, протекающим в системах, описывать их ма-

тематически, а, следовательно, предсказывать их комплексное

состояние.

По мере развития науки, ТССА сформировалась в самостоятельный

раздел. Ветви ТС

СА прослеживаются во всех отраслевых направлени-

ях: философском, биологическом, медицинском, техническом. В каж-

дом случае элементы, составляющие систему, могут быть самого ши-

рокого диапазона: от живых существ в биологии до механизмов, ком-

пьютеров или трубопроводов, пластов, скважин, насосов в гидросис-

темах. Но, несмотря на это, задачи и принципы системного подхода

ост

аются неизменными, не зависящими от природы элементов, со-

ставляющих систему.

ТССА как отрасль науки может быть разделена на две части:

− теоретическую, использующую такие отрасли науки, как теория

вероятностей, теория информации, теория игр, теория графов,

теория расписаний, теория решений, топология, факторный ана-

лиз и многие другие теории;

− прикладную, основанную на пр

икладной математической стати-

стике, методах исследования операций, системотехнике и т. п.

Таким образом, ТССА широко использует достижения многих

отраслей науки.

Вместе с тем, в теории систем имеется свое «ядро», свой особый

метод – системный подход к возникающим задачам. Сущность этого

метода заключается в том, что все элементы системы и все операции

в не

й должны рассматриваться как одно целое: во взаимосвязи

друг с другом.

Неудачные попытки решения системных вопросов с игнорировани-

ем этого принципа – попытки использования «местечкового» подхода

– достаточно хорошо известны. Локальные решения, учет недостаточ-

ного числа факторов, локальная оптимизация на уровне отдельных

элементов почти всегда приводили и приводят к неэффективному ре-

зу

льтату. Этот факт относится и к ТГС, и особенно к ТГС в системах

ППД.

Первый принцип

ТССА – это требование рассматривать совокуп-

ность элементов системы как одно целое.

Второй принцип

заключается в признании того, что свойства сис-

темы – не просто сумма свойств ее элементов. Тем самым постулиру-

ется возможность того, что система обладает особыми свойствами,

которых может и не быть у отдельных элементов.

Третий принцип

запрещает рассматривать данную систему в абсо-

лютном отрыве от окружающей ее среды как автономную, обособлен-

ную. Это означает обязательность учета внешних связей или, в более

общем виде, требование рассматривать анализируемую систему как

часть (подсистему) некоторой более общей системы.

Согласившись с необходимостью учета внешней среды, признавая

логичность рассмотрения данной системы как части н

екоторой, мы

приходим к четвертому принципу

ТССА: возможности (а иногда и

необходимости) деления данной системы на части – подсистемы. Ес-

ли последние оказываются недостаточно просты для анализа, то с ни-

ми поступают точно так же. В процессе такого деления нельзя нару-

шать предыдущие принципы: пока они соблюдены, деление оправда-

но, разрешено в том смысле, что гарантирует применимость практиче-

ск

их методов, приемов, алгоритмов решения задач системного анали-

за.

Все изложенное выше позволяет формализовать определение тер-

мина система в виде: система – многоуровневая совокупность из

взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы для

достижения единой цели функционирования (целевой функции).

3.2. Анализ структуры и элементов гидросистем

Необходимость системного анализа в контексте моделирования

гидросистем продиктована самой спецификой сложных систем и

проблемами, возникающими при их контроле и управлении.

Для адекватного моделирования гидросистем, прежде всего, необ-

ходимо выяснить следующее: во-первых, какими элементами состав-

лена любая ТГС; во-вторых, какие реальные физические объекты со-

ответствуют данным элементам; в-третьих, какие фи

зические взаимо-

действия испытывают элементы между собой; в-четвертых, какое

влияние оказывает каждый элемент на систему в целом; и, наконец,

следует определить, какими свойствами обладает каждый элемент и

какие процессы протекают в реальных объектах, относящихся к этим

элементам.

Элементы, составляющие гидросистемы

Несмотря на разнообразие гидросистем, отличающихся назначени-

ем, структурой, гидравлическими и размерными характеристиками, по

мнению автора, все они содержат одни и те же элементы [121, 122]. По

назначению и принципу действия на текучую среду элементы гидро-

систем можно разделить на:

− накопители текучей среды (атмосфера, водоемы, емкости, насы-

щенные пласты) (НТС);

− а

ппараты сообщения или поглощения энергии текучей среды с оп-

ределенной технологической целью (различного типа насосы,

компрессоры, гидродвигатели, турбины) (АСП);

− устройства управления потоком текучей среды (штуцеры, гидрав-

лические регуляторы, задвижки, клапаны, краны и т.п. трубопро-

водная арматура) (УУ);

− каналы связи перечисленных выше элементов (открытые каналы

ирригационных систем, т

рубопроводы, добывающие и нагнета-

тельные скважины) (КС);

− приборы для регистрации параметров потока и свойств текучей

среды (расходомеры, манометры, термометры) (ПР).

Дадим четкие определения каждому из вышеприведенных элемен-

тов.

Накопители текучей среды – замкнутые объемы естественного и

искусственного происхождения, служащие для вмещения текучей сре-

ды и придающие ей относительно стабильный энергетический по

тен-

циал. НТС характеризуются пренебрежимо малыми скоростями тече-

ния жидкости и газа, которые не влияют на функционирование рас-

сматриваемой системы. К НТС следует относить различные емкости,

водохранилища, моря, озера, реки, пласты, атмосферу и т.п. В рамках

выбранной гидросистемы они могут служить как источником, так и

приемником текучей среды. Например, в п

ростейшей ТГС водоснаб-

жения можно выделить следующие НТС: водохранилище, водонасы-

щенные пласты, накопительные емкости и приемники воды в виде по-

требителей. В гидросистемах ППД накопители текучей среды – водо-

насыщенные, продуктивные и заводняемые пласты и/или река/озеро в

случае централизованного водозабора пресных вод. Из этих примеров

следует, что, фактически и с то

чки зрения системного подхода к ана-

лизу гидросистем, накопители текучей среды есть точки, между кото-

рыми в ТГС

происходит транспортировка жидкости в различных на-

правлениях. Причем, при адекватном моделировании эти направления

зависят от текущего состояния системы и свойств каждого элемента и

до решения модели неизвестны (в отличие от моделирования в ТГЦ).

Аппараты для сообщения или поглощения энергии текучей

среды – аппараты, служащие для целенаправленного преобразования

различных видов энергий в энергию текучей среды и наоборот: энер-

гии текучей среды в другие виды энергий. К АСП сл

едует относить

любые устройства и приспособления, служащие для:

1. Сообщения энергии текучей среде:

а) приведение текучей среды в движение – насосы и компрессо-

ры кинетического и силового действия (ШСНУ, ЭЦНУ, ЦНС и

т.п.);

б) нагрев текучей среды – различного рода котлы, теплообмен-

ники и т.п.;

2. Преобразования (поглощения) энергии те

кучей среды:

а) поглощение гидравлической энергии текучей среды – турби-

ны гидроэлектростанций, гидродвигатели, гидроусилители и др.;

б) поглощение тепловой энергии текучей среды – радиаторы,

конвекторы и т.п.

Таким образом, данный элемент ТГС, с одной стороны, подразде-

ляется на два вида: аппараты для сообщения энергии текучей среде

(АС) и аппараты для ее п

оглощения с целью преобразования в дру-

гие виды энергии (АП), а с другой стороны, – на аппараты, служащие

для изменения гидравлической (Г) и тепловой (Т) энергии.

Здесь под гидравлической энергией понимается упорядоченное

движение элементов текучей среды (кластеров, молекул или атомов), а

под тепловой – хаотическое, т.е. неупорядоченное движение элементов

среды. Ка

к видно на рис. 3.1, все АСП подразделяются на два класса и

два вида: АСГ (аппараты для сообщения гидравлической энергии те-

кучей среде), АСТ (аппараты для сообщения тепловой энергии текучей

среде) и АПГ (аппараты для поглощения гидравлической энергии те-

кучей среды), АПТ (аппараты для поглощения тепловой энергии теку-

чей среды). В да

льнейшем при рассмотрении ТГС, в которых отсутст-

вует факт целенаправленного использования тепловой энергии текучей

среды (т.е. отсутствуют АСТ и АПТ), под элементами АС и АП мы

будем предполагать АСГ и АПГ.

Устройства по управлению потоком текучей среды – устройст-

ва, служащие для изменения гидравлических параметров и направле-

ния перемещения по

тока. Этими устройствами являются задвижки,

клапаны, распределители потоков, штуцеры, регуляторы расхода и

давления и т.п. Устройства по управлению потоком также подразде-