Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

торые трактуются однозначно). Примером наиболее удачного языка

для построения моделей является математический язык и языки про-

граммирования.

В качестве примера неточных языков для передачи информации

можно взять любой из народных языков. Рассмотрим пример и дадим

определение символу языка – существительное «путь».

Путь это совокупность дорог, соединяющих два места.

Попытаемся дать определения терминов, сост

авляющих предыду-

щее описание.

Дорога – наиболее удобная часть местности для перемещения.

Место – зона пространства, отмеченная определенными признака-

ми.

Совокупность – объединенное множество.

Соединение – процесс, обуславливающий взаимосвязь.

Далее до бесконечности можно углубляться в разложение терми-

нов, так и не дойдя до фун-

дамента языковой структуры.

Как видно, при попытке вы-

членения т

ерминов мы обра-

зуем некую структуру, кото-

рая может иметь как древо-

видный, так смешанный (с

циклами) характер. Циклич-

ность структуры возникает

тогда, когда определение од-

ного языкового элемента вы-

текает из другого и наоборот.

Все это объясняется нечетко-

стью в формировании языко-

вых элементов. Такого рода

нечеткость наблюдается (но в

мен

ьшей степени) и в научных теориях из-за того, что в фундаменте

любой теории лежат принципы и аксиомы, определения которых да-

ются бездоказательно.

На показанных примерах видно, что язык это система. А понятие

или определение – это часть системы языка, которая может быть рас-

крыта, так или иначе, в зависимости от су

бъекта, порождающего опре-

деление. Итак, язык есть остов познания, который сформирован базо-

вым треугольником модели (см. рис. 2.1).

Признак Действие

ность

Операнд Оператор

Функция

Рис. 2.1. Схема образования языковых

элементов

Между каждым углом треугольника есть причинно-следственная

связь. Например, причина светлый – признак, далее сущность свет –

существительное и светить – действие. Причина ⇔ Следствие – еди-

ничный безотносительный элемент структуры любой модели.

Доминант формирования причины, с какого-либо угла определяет-

ся порядком формирования треугольника, т.е. выбором первого на-

блюдаемого свойства: Признак, Действие ил

и Сущность. Если начина-

ем с Сущности к Признаку и Действию – дедукция, если с Действия к

Признаку и Сущности – индукция и если с Признака к Действию и

Сущности – интуиция.

Первый взгляд (не буквально) на объект исследования, вследствие

накопленных стереотипов, позволяет исследовать так называемую

форму объекта.

Форма – есть набор признаков, отражающих объект, н

апример, по-

верхность, цвет, запах, для моделей набор основных признаков – дав-

ление, температура, скорость и др. основные наблюдаемые физические

или математические величины и их взаимосвязи.

Переход на следующий уровень познания объекта есть Суть, рас-

крывающая Форму в виде системы, т.е. модели взаимосвязей выявлен-

ных элементов.

Рассмотрим пример с яблоком. П

ервое наблюдение выявляет фор-

му объекта. Для выявления его сути необходимо произвести сечение,

т.е. его разрезать. В полученном сечении наблюдается новая Форма, и

выявляются дополнительные свойства и элементы яблока: наличие

сердцевины, клетчатки и оболочки. Продолжая делать сечения, каж-

дый раз будет наблюдаться новая Форма, позволяющая выявить все

большее число элементов и их свой

ств: элементов клетчатки, оболоч-

ки, сердцевины и т.д. Таким образом, для выявления предельной Сути

при исследовании объекта необходимо произвести бесконечное число

сечений. Естественно, для перехода на следующий уровень от Формы

к Сути необходимо произвести действие: провести эксперимент (сече-

ние), т.е. осуществить воздействие на объект исследования и зафик

си-

ровать результат.

Переход от Формы к Сути есть шаг познания – деструкция (дест-

руктуризация – выделение элементов из системы), а от Сути к Форме

есть шаг творения – конструкция (сборка элементов в единую систе-

му).

Например, для познания объекта его необходимо последовательно

«разобрать» (деструктировать /от англ. Destruct/, т.е. выявить структу-

ру). Та

к формируется модель познаваемого объекта или системы. Для

творения (создания) объекта на основе его модели необходимо после-

довательно в обратном порядке его собрать. Схожесть исходного объ-

екта познания и объекта, созданного по его модели, определяется как

степенью развития познающего и творящего субъекта, так и степенью

сложности (развития) познаваемого и творимого объекта.

Поэтапность познания и творчества есть необходимость в форми-

ров

ании адекватных моделей. Например, если познаваемый объект де-

структурировать (разобрать) сразу на мельчайшие элементы, то про-

цесс познания зайдет в тупик, так как в ходе такого исследования те-

ряется понимание структуры исследуемого объекта.

Моделирование и творчество (в любой форме) являются схожими

процессами и предназначены для отражения одной системы в другой:

пр

и моделировании реальная система, отражается в модели, а при

творчестве модель отражается в реальной системе.

Моделирование, как уже упоминалось, единственный метод позна-

ния и имеет одну меру с обратным ему процессом – творчеством. Этой

мерой является отражение, т.е. качество системы – модели измеряется

в степени отражения моделируемой системы. Так же и к

ачество по-

строения реальной (искусственной) системы в степени отражения ее

модели. Иначе говоря, если оперировать философскими категориями,

то моделирование есть переход от объективного представления систе-

мы к субъективному, а творчество – от субъективного представления к

объективному. Отличие объективного представления от субъективного

весьма трудно оценить, так как объективность является недостижимой.

Система может быть о

бъективной только тогда, когда она отражается

во всех других системах идентично.

Интересно отметить, что при построении моделей в качестве отра-

жаемой системы может быть не только реальная физическая система,

но и модель. Так происходит межотраслевой перенос теорий из раз-

личных областей познания. Например, модели электрических цепей

практически полностью отразились в мод

елях гидравлических цепей.

Естественно, при таком отражении чаще всего изменяется транскрип-

ция и символизм описания моделей, однако, в ходе более детальных

исследований модели могут быть существенно усовершенствованы и

вернуться обратно в отрасль, из которой пришли, но уже в новом каче-

стве. Таким образом, при многократном переносе (отражении) моделей

между областями науки и те

хники происходит их адаптация к более

жестким требованиям (условиям), т.е. модели совершенствуются ана-

логично природным живым системам, которые естественным путем

адаптируются к условиям существования. Из сказанного вытекает

единая картина эволюции естественных и искусственных сис-

тем/моделей.

Основой любых систем и моделей является структура или некий

внутренний порядок. Структура это порядок, определяющий цепи

причинно-следственных связей между свойствами элементов системы.

Иначе, структура является каркасом внутренней организации системы,

а элементом структуры является причинно-следственный переход не-

кой информационной сущности в др

угое состояние.

Задачи построения модели сводятся к установлению взаимосвязей

между комплексом причин и следствий отражаемой системы. Для мо-

делей причинами являются выделенные свойства элементов модели-

руемой системы, не находящиеся в наблюдаемой взаимосвязи между

собой. Т.е. причинные свойства элементов не соответствуют признаку

рассматриваемой системы. Например, признаком гидросистемы может

являться взаимосвязь г

идравлических параметров элементов, а при-

чинными свойствами в этом случае будут независимые показатели:

технические показатели трубопроводов, насосных агрегатов, прочно-

стные свойства пластов и т.п.

Следствиями являются свойства элементов, находящиеся во взаи-

мосвязи между собой, т.е. соответствующие признаку системы. На-

пример, для гидросистем связанными могут являться свойства потока

текучей среды: расх

оды, давления, температуры, свойства рабочей

среды в элементах системы.

Разделение параметров и свойств элементов на причины и следст-

вия весьма условно и зависит от характера наблюдения за исследуе-

мым объектом и условий описания его модели.

Как видно, по сути модели тоже являются достаточно сложными

системами и имеют общие признаки с ест

ественными системами. По

характеру структуры и свойств элементов, системы различают обра-

тимые и необратимые.

Обратимой следует считать систему, которая при воздействие на

нее извне действиями-причинами, порождает действия-следствия и

наоборот, при воздействии на нее извне действиями-следствиями, по-

рождает действия-причины. Примерами таких систем могут служить,

например, генераторы постоянного то

ка, насосы динамического дейст-

вия, гидродвигатели и т.п. Модели, будучи системами, также имеют

критерий обратимости. Когда причины могут быть заменены на след-

ствия, модели являются обратимыми, тем самым они становятся более

универсальными. Зачастую сложные математические модели необра-

тимы вследствие применения численных методов решения и неодно-

значной трактовки функционального описания взаимосвязей между

переменными. Например, модель y = 5x, описывающая взаимосвязь

двух величин, обратима: x = y/5, а модель y = 5x

нет, так как при зада-

нии причиной величину x<0 получим y>0, а при обратном переходе,

при задании причиной величину y>0 получим

x =

>0. Что касается

примера необратимости моделей по причине применения методов

приближенного решения дифференциальных уравнений, то здесь

можно вспомнить, например метод Лапласа.

Любая теория тоже является моделью, т.е. системой, которая также

состоит из элементов. Элементами теории являются более простые

модели, отражающие элементы исследуемого теорией объекта. Таким

образом, модели, как и отражаемые ими си

стемы, имеют развитую ие-

рархическую структуру, определяющую взаимосвязь между моделями,

входящими в ее состав.

Моделям, как и природным системам, свойственны факторы эво-

люции. Эволюция есть адаптация системы к комплексному взаимодей-

ствию с окружающими системами. По мере развития представлений о

природных системах также развиваются их модели, становясь все бо-

лее точными, т.е. от

ражающими большее количество и качество про-

цессов, наблюдаемых в исследуемых системах.

Для упрощения дальнейшего изложения введем понятие факторов

моделей. Факторы модели (причины) – свойства или параметры эле-

ментов отражаемой системы, обуславливающие наблюдаемые в ходе

исследования следствия. Например, для гидравлических систем таки-

ми параметрами являются не зависимые от гидравлических режимов

свойства эл

ементов – шероховатости, диаметры, длины трубопрово-

дов, характеристики насосных агрегатов, типоразмеры запорной арма-

туры и т.п. В качестве выделенных следствий в моделях выступают

признаки процессов, протекающих в моделируемой системе. Для гид-

росистем ими являются гидравлические параметры текучей среды в

элементах.

Количество факторов модели отражает ее мерность. Ранее такие

понятия как одн

омерная, двумерная и трехмерная модель относились к

распределению факторов в пространстве системы. Однако, зачастую,

пространственное положение и форма сложных систем не имеют

должной сути (например, сети трубопроводов, где больше смысла не-

сет структура системы), поэтому правильнее относить мерность моде-

ли к количеству факторов, влияющих на ее состояние. Более того,

вследствие наличия в сложных системах множества однотипных эле-

ментов, количество факторов должно отражать типизированное мно-

жество ключевых параметров. Например, если система представлена

сетью из M однотипных элементов, каждый из которых несет N факто-

ров влияния на систему, то модель следует считать N-мерной, а не

×N-мерной.

На рис. 2.2 схематично показана схема разделения факторов и при-

знаков модели гидросистемы, отражающей систему ППД.

Как видно из схемы, факторы модели систем ППД объединяют

технические и природные свойства элементов гидросистемы, а при-

знаки описывают термобарические и ряд других условий состояния

моделируемой системы.

Рассмотрим структурные показатели модели гидросистем. В связи

с те

м, что модель является системой, объединяющей модели элементов

и модели физических процессов, описывающих взаимосвязь парамет-

ров – признаков системы и свойств элементов, интегрированная (об-

щая) модель описывается комплексом причинно-следственных связей.

На рис. 2.3 показан пример структуры модели гидросистемы. Как вид-

но из схемы, множество факторов модели разделяются на свойства

элементов. Мод

ель каждого элемента есть также система, описываю-

щая взаимосвязь факторов воздействия элемента на процесс, описы-

ваемый комплексом параметров, соответствующих признаку системы.

Рис. 2.2. Схема распределения факторов и признаков модели

систем ППД

Допустим, элемент B имеет два независимых от системы параметра X

и Y. Известно, что эти параметры тем или иным образом влияют на со-

стояние системы, посредством признаков M и N. Тогда модель элемен-

та B будет описываться взаимосвязью между факторами X, Y и показа-

телями M и N. Причем структура внутренних связе

й моделей, опреде-

ляет характер этих взаимосвязей. Например, признаки M и N могут

быть связаны совместно или раздельно с X и Y: могут быть описаны

функциями M=F

(X,Y), N=F

(X,Y) или M=F

(X), N=F

(Y), как показано

на схеме.

Система взаимосвязей, определяющая порядок взаимодействия мо-

делей элементов, фактически является структурой модели, обычно

связанной (ограниченной) законами и принципами сохранения энер-

гии, материального баланса, неразрывности потока и т.п.

Рис. 2.3. Пример структуры модели

В связи с тем, что способы реализации моделей весьма разнообраз-

ны для выявления наиболее эффективных рассмотрим классификацию

моделей. На рис. 2.4 представлена предлагаемая классификации моде-

лей по способу их реализации.

Рис. 2.4. Классификация моделей

На первом каскаде деления все модели разделяются на два основ-

ных типа: физические и математические. Широкий спектр физических

моделей представлен физическими системами, отражающими тем или

иным образом моделируемые системы. Далее физические модели раз-

деляются на два вида: формально-подобные и структурно-подобные.

Первые модели практически не представляют научного интереса и в

осн

овном служат инженерным и эстетическим целям. Вторые модели в

настоящее время, в связи с развитием электронно-вычислительных

машин, несколько утратили актуальность. Однако, они могут быть ис-

пользованы для выявления новых закономерностей, поиск которых в

моделируемых системах невозможен.

К моделям этого вида можно отнести различного рода лабораторные и

стендовые установки, имитирующие реальные условия работы моде-

лируемой системы и физические системы, процессы которых косвенно

отражают процессы, протекающие в моделируемой системе. Послед-

ние, в отношении моделирования гидравлических систем, основаны на

принципе подобия основных показателей (признаков) гидросистем

электрическим системам: перепады давления, давления в уз

лах и рас-

ходы текучей среды в элементах, а также характер их взаимосвязи по-

добны напряжениям, узловым потенциалам и силам тока. Такие моде-

ли сейчас также потеряли свою актуальность ввиду сложности практи-

ческого применения: невозможности динамического изменения ком-

плекса факторов модели и далеко не всегда адекватному подобию за-

конам электротехники и ги

дравлики.

Особенность физических структурно-подобных моделей заключа-

ется в том, что для построения модели необходима сборка физической

системы, обычно метрически уменьшенной для удобства работы с ней.

Работа с такими моделями весьма неудобна из-за необходимости в по-

стоянном их перестроении при требуемом изменении факторов и

структуры модели. В настоящее вр

емя физические модели применяют-

ся лишь в крайних случаях, когда нет возможности построить адекват-

ную математическую модель.

Математические модели являются более простыми в использова-

нии и не требуют больших капитальных затрат на свое создание. Ос-

новой таких моделей является математическое описание комплексной

взаимосвязи между константами – факторами модели и переменными

– признаками мод

ели.

Математические модели подразделяются на два вида: вероятност-

но-статистические и теоретико-аналитические. Отличие в этих видах

заключается в следующем.

Вероятностно-статистические модели не отражают и не описывают

физические процессы, протекающие в моделируемой системе, и пред-

назначены для отражения взаимосвязи между факторами и признаками

модели безотносительно к анализу природы процессов. Примером та-

ких моделей могут служить стохастические модели.

Наиболее простым примером такого вида моделей является одно-

факторная модель – функция y=f(x), где фа

ктором может выступать

переменная – x, а признаком переменная – y и наоборот. Любого рода

функциональная зависимость является примером простейших матема-

тических моделей. Рассмотрим, например, закон Ома:

I =

Фактически этот закон является моделью, отражающей взаимосвязь

между силой тока, напряжением и сопротивлением. Если положить в

качестве известных факторов модели напряжение и сопротивление, то

признаком модели будет сила тока. Выбор в качестве факторов мате-

матической модели тех или иных величин определяет, так называемые,

граничные условия. Вероятностно-статистические модели можно счи-

тать по

лностью эмпирическими. Например, такие модели как второй

закон Ньютона, закон Дарси, Кулона, Ома, закон гравитации и т.п.

описывают взаимосвязь между наблюдаемыми параметрами без ис-

пользования какой-либо теории, а только на основании подтверждения

полученных зависимостей экспериментальными данными. Такие мо-

дели обязательно входят в состав более сложных – теоретико-

аналитических моделей. Посл

едние представляют особый научный и

практический интерес, так как интегрируют в себе и систематизируют

все знания, полученные в области изучения моделируемых систем.

Апробация этих моделей способствует интенсивному развитию от-

раслевых и межотраслевых научных направлений вследствие того, что

большая часть теоретических достижений может быть реализована

только в виде математических моделей такого вида.

В да

нной работе рассматриваются вопросы построения и дальней-

шего применения математических теоретико-аналитических моделей

гидравлических систем. Далее будем их называть просто модели. Ни-

же рассматриваются наиболее общие отраслевые аспекты построения

и использования моделей гидравлических систем.