Степанов А.Г. Динамика машин
Подождите немного. Документ загружается.
перемещение y
2
. В работе [39] показано, что для динамических поглотителей рациональное
отношение
m
m
1
2
10 11≈ −
.
Если при выборе параметров динамического поглотителя не выполнено соотношение
5.20, эффект его работы будет снижен. Предположим, масса поглотителя выбрана 110 кг. В
этом случае, при жесткости пружины c
2
=10000 Нм
-1
, частота свободных колебаний массы
m
2
будет
ω
2
2
2
9 531= =
c
m
, .c
-1
Характеристика переходного процесса, для этого случая,
показана на рис. 5.14, в. Видно, что в системе наблюдаются незатухающие колебания с
относительной амплитудой около единицы. Приведенный пример показывает, что
изменение величины массы от расчетной на 10 % приводит к увеличению установившейся
величины амплитуды колебаний в
1 0
0 2
5
,
,
=
раз.
Для достижения наилучших результатов упругая связь между массами m
1
и
m
2
не
должна иметь ни каких амортизирующих устройств (д
y2
= 0). Предположим, в систему
включен амортизатор, имеющий коэффициент диссипации
µ
µ
ω
2
2
2
2
1
2
01= =
y
m
, .
Динамический
процесс работы такой системы показан на рис. 5.14, г. Видно, что относительная амплитуда
колебаний массы m
1
превышает единицу и эффект демпфирования существенно
уменьшается.
6. СТАТИКА И ДИНАМИКА ГИБКОЙ ОДНОРОДНОЙ ТЯЖЕЛОЙ НИТИ
Идеальная, гибкая однородная тяжелая нить это нить, оказывающая сопротивление
растяжению, но у которой жесткость на изгиб равна нулю, т. е. нить, не сопротивляющаяся
изгибу. При равномерной распределенной нагрузке по длине идеальная нить принимает
очертание цепной линии, т. е. подвешенной тонкой цепи с большим числом очень
182
182
маленьких звеньев. Под статикой гибкой однородной тяжелой нити будем понимать ее
траекторию при постоянной растягивающей силе.
6.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАЕКТОРИИ ГИБКОЙ ОДНОРОДНОЙ
ТЯЖЕЛОЙ НИТИ
На рис. 6.1 выделим элемент нити от точки 1 до точки 2 длиной dl. Линейная
плотность нити p. Вес элемента gpdl. К элементу нити в точках 1 и 2 приложены силы,
которые направлены по касательным к кривой в этих точках под углами α и α + dα.
Рис. 6.1. Схема элементарного отрезка гибкой однородной тяжелой нити
Из условия равновесия элемента можно записать, что сумма проекций сил на
вертикальную ось равна нулю, т. е.
V gpdl V
1 2
0+ − = .
(6.1)
Для того чтобы элемент нити находился в неподвижном состоянии, очевидно,
растягивающие силы H, приложенные в точках 1 и 2, должны быть равны.
Подставив
V V V V dV
1 2
= = +,
в (6.1), получим
V gpdl V dV+ − − = 0,
отсюда
dl
gp
dV=
1
.
Но,
V HU=
′
,
тогда
dV HdU=
′
.
Следовательно
dl
H
gp
dU=
′
.
(6.2)
Из курса высшей математики известно, что длина дуги плоской линии равна
l U dx
x
x
= +
′
∫
1
2
1
2
[31].
1
2
T
H
V = V
1
α
g p d l
d l
H
T
α + α
d
V = V + d V
2
x
U
183
183
Следовательно
dl dx U= +
′
1
2
. (6.3)
Из уравнений (6.2) и (6.3) можно записать
H
gp
dU U dx
gp
H
dx
dU
U
′
= +
′
=
′
+
′
1
1
2
2
; ,
( )
( )
x
H
gp
dU
U
H
gp
U U
H
gp
U C=
′
+
′
=
′
+ +
′
=
′
+
∫
1
1
2
2
1
ln arsh
.
Из этого уравнения можно записать
( )
( )
gp
H
x C U U U+ =
′
+ +
′
=
′
1
2
1ln .arsh
Тогда
( )
′
= +U
gp
H
x Csh
1
,
(6.4)
( )
U
H
gp
gp
H
x C C= + +ch
1 2
.
(6.5)
Если ось ординат направить вниз, то правые части уравнений (6.5) изменят знак.
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которые зависят от
схемы закрепления гибкой нити.
Рассмотрим схему, соответствующую порожней ветви ленточного конвейера,
расположенного в горизонтальной выработке (рис 6.2). Выберем начало координат в точке
О, соответствующей вершине кривой.
Рис. 6.2. Схема порожней ветви горизонтального ленточного конвейера
Очевидно, при x = 0; U′ = 0:
C
1
0=
; при x = 0; U = 0:
C
H
g p
2
= −
.
Тогда
U
H
gp
gp
H
x= −
ch 1
; (6.6)
- x x
U
l
А
В
О
184
184
′
=U
gp
H
xsh .
(6.7)
На рис. 6.3 показаны траектории гибкой нити для каната, имеющего p = 16 кг⋅м
-1
,
l = 600 м, при натяжениях H = 200000 Н (U(x)) и H
1
= 400000 Н (U
1
(x)),. Стрелы провеса
равны 36,173 и 18,02 м.
Рис. 6.3. Траектория гибкой нити
Эти характеристики построены по зависимости (6.6), которая была выведена практически
одновременно Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли и получила название
уравнения цепной линии [55].
Рассмотрим случай, когда начало координат расположено в левой точке А. Очевидно,
при
x
l
U=
′
=
2
0;
. Тогда из (6.4):
0
2 2
1 1
= +
= −sh
gp
H
l
C C
l
;
. При x = 0, U = 0 из (6.5)
получим
0
2 2
2 2
= −
+ = −
H
gp
gp
H
l
C C
H
gp
gpl
H
ch ch -; .
Рис. 6.4. Кривая провисания гибкой нити
Тогда
U
H
gp
gpl
H
gp
H
x
l
= − − −
ch ch
2 2
,
(6.8)
x
x = l / 2
А
В
О
y
U
185
185
′
= −
U
gp
H
x
l
sh
2
.
(6.9)
Длина траектории каната определяется
( )
( )
l U dx H
e
pe
H e
gpe
x
x
gp
x l
H
gp x l
H
g p
H
x l
g p
H
x l
= +
′
=
−
−
−
∫
− −
+
−
− +
− +
− +
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
[
( )
]
.
(6.10)
Если максимальное расстояние от кривой провеса до плоскости, соединяющей точки
крепления гибкой нити А и В назвать стрелой провеса, то она определится величиной
U f=
при
x
l
=
2
, т. е.
f
H
gp
gpl
H
= − −
ch
2
1
. (6.11)
Стрела провеса - это максимальное расстояние от кривой провеса до плоскости,
соединяющей точки крепления гибкой нити (точки А и В).
Для наклонных подъемных установок и ленточных конвейеров, работающих в
наклонных выработках, канат или порожняя ветвь конвейера может располагаться по одной
из трех ниже рассмотренных схем. Критерием будет расположение точки О, относительно
точек А и В, характеризующей самое нижнее положение гибкой нити. На рис. 6.5 приведена
траектория гибкой нити при расположении точки О внутри пролета. Расстояние между
точками А и В называется длиной пролета l.
Рис. 6.5. Траектория гибкой нити. Точка O расположена внутри пролета
При расчете данной схемы известными являются длина пролета l, угол θ, и разность
отметок А и В, которую обозначим через h .
Введем обозначения a и b, характеризующих положение точки O . Из схемы видно:
U
A
- U
B
= h , a + b = l.
Из уравнения (6.6) запишем
- x
x
U
l
А
В
О
a b
l / 2 l / 2
α
θ
β
h
186
186
( )
U U
H
gp
gp
H
a
H
gp
gp
H
b
A B
− = − −
− −
ch ch1 1
.
Получим систему уравнений
H
gp
a g p
H
b g p
H
h
a b l
ch ch −
=
+ =
,
.
(6.12)
Система уравнений (6.12) получилась трансцендентной. Для приближенного
решения, используя формулу разности гиперболических косинусов двух аргументов,
представим первое уравнение в виде
( ) ( )
h
H
g p
a g p
H
b g p
H
b g p
H
a g p
H
H
g p
g p
H
a b
g p
H
a b
= +
−
=
= + −
2
1
2
1
2
2
2 2
sh sh
sh sh
.
Так как a + b = l , первый член
( )
sh sh
g p
H
a b
gpl
H2 2
+ =
.
Значения функций
x l
g pl
H
( ) = sh
2
и
U l
g pl
H
( ) =
2
практически совпадают.
Это подтверждается, если
sh
g pl
H2
разложить в ряд Тейлора, то получим
sh
g pl
H
g pl
H
g pl
H2 2
1
48
3
≈ +
.
Для конкретного примера gp = 160 H; H = 200000 H; l = 600 м, первый член равен
0,24, а второй 6,4⋅10
-9
. Поэтому можно записать
( )
h l
g p
H
a b= −sh
2
.
Из последнего соотношения
b a
H
g p
h
l
− =
2
arsh
,
тогда значения a и b найдутся из системы
a b
H
g p
h
l
a b l
− =
+ =
2
arsh ;
.
(6.13)
187
187
Решение этой системы дает
a
l H
g p
h
l
H
g p
h
l
= + = +
2
arsh arsh ξ
, (6.14)
b
l H
g p
h
l
H
g p
h
l
= − = −
2
arsh arshξ
. (6.15)
Здесь
ξ =
g pl
H2
- коэффициент, характеризующий отношение веса гибкой тяжелой
однородной нити к ее натяжению.
Из соотношения (6.15) видно:
при
ξ>arsh
h
l
- нулевая точка находится в пределах пролета;
при
ξ=arsh
h
l
- нулевая точка совпадает с точкой В;
при
ξ<arsh
h
l
- нулевая линия находится правее точки В.
Схема, соответствующая случаю, когда нулевая точка совпадает с точкой В (
ξ=arsh
h
l
), приведена на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Траектория гибкой нити при совпадении точки О с точкой В
Разность отметок точек А и В, т. е. высоту h, при которой будет нулевая точка совпадать с
точкой В, можно определить из соотношения
arsh
h
l
g pl
H
=
2
. Откуда
h l
g p l
H
= sh
2
.
x
l / 2
a
B
0
U
h / 2
f
h
A
l
θ
188
188
Угол наклона струны должен быть
θ = arctg
h
l
. Если
qgpl
H
h
l2
< arsh
, то точка О лежит
правее точки В, т. е. за пределами пролета (рис. 6.8).
Рис. 6.7. Траектория гибкой нити при положении точки О за пределами пролета
В соответствие с рис. 6.8 система уравнений (6.13) запишется
a b
H
g p
h
l
a b l
+ =
− =
2
arsh ;
.
(6.16)
Величины a и b определяются
a
H
g p
h
l
b
H
g p
h
l
= +
= −
ξ
ξ
arsh
arsh
;
.
(6.17)
Прямая линия АВ, характеризующая траекторию невесомой нити описывается
уравнением
U x
h
l
x
2 1 1
( ) =
, поэтому траектория цепной линии, построенной относительно
этой прямой будет
( )
( )
U x U x U x
H
g p
g p
H
b x
H
g p
g p
H
b
h
l
x
H
g p
g p
H
b x
g pb
H
h
l
x
( ) ( ) ( )
.
1 1 1 2 1 1 1
1 1
1 1= − = +
−
−
−
− =
= + −
−
ch ch
ch ch
(6.18)
Пример 6.1. Построить траекторию струны каната шахтной подъемной установки,
имеющей следующую характеристику. Высота копра h = 50 м, угол наклона струны θ =
45
°
, натяжение каната H = 200000 H, линейная плотность каната p = 16 кг⋅м
-1
.
a
B
0
U
h / 2
f
h
A
l
θ
b
189
189
При h = 50 м и θ = 45°, длина
l
h
= = =
tg tg θ
50
45
50
м,
881,0 arsh,02,0
2
===ξ
l
h
H
lpg
,
следовательно, точка О находится вне предела длины l.
По формулам (6.17) определим
a
b
= + =
= − =
200000
160
0 02 0 881 1127
200000
160
0 881 0 02 1077
( , , ) ;
( , , ) .
Траектория каната с длиной пролета a = 1127 м, построенная по уравнению (6.6)
U x
H
g p
gpx
H
( ) =
−
ch 1
показана на рис. 6.8.
Рис. 6.8. Траектория каната
Интересующий нас участок каната расположен между координатами оси абсцисс,
равными 1077 м и 1127 м. Уравнение траектории каната будет
( ) ( )
( )
U x
H
gp
p
H
b x U b
1 1 1
1= + −
−ch .
Этот участок стрелы представлен на рис. 6.9. При
принятом масштабе кривая струны каната незначительно отличается от прямой линии.
Рис. 6.9. Траектория струны каната
Построим по уравнению (6.18) график разности ординат прямой линии и траектории
струны каната, которая показана на рис. 6.10.
190
190
Рис. 6.10. Разность координат прямой линии и траектории струны каната.
Стрела провеса
U
h
2
0 352
= ,
м.
Длина струны без учета провисания каната
L h l
c
= + =
2 2
70 711,
м.
Длина траектории струны каната определяется по уравнению (6.10)
( )
L U dx
gp
H
b x dx
m
ll
= +
′
= + +
=
∫∫
1 1
1
2
1 1
2
00
sh
( ) ( )
= +
− − +
−
+
=
H
p
gp
H
b l
gp
H
b l
gp
H
b
gp
H
b
2
70 715exp exp exp exp ,
м.
Таким образом, в рассматриваемом примере, за счет провеса каната длина струны
увеличилась на L
m
- L
c
= 0,004 м (4 мм). На эту величину обратим внимание, т. к. при
рассмотрении вопросов динамики машин, имеющих струны гибких нитей (канаты,
транспортерные ленты) это удлинение будет характеризовать эквивалентную жесткость
упругого элемента.
Пример 6.2. Наклонный карьерный подъемник имеет характеристику: p = 16 кг⋅м
-1
, H
= 200000 Н, разность отметок направляющего шкива и нижней точки выработки h = 200 м.
Угол наклона струны
θ = 30°. Построить профиль трасы, при котором канат не будет лежать на почве.
Длина каната l при h = 200 м и θ = 30°
l
h
= =
tg θ
346 41,
м.
Длина струны
L h l
c
= + =
2 2
400
м.
Определим координаты нулевой точки
ζ = = =
gpl
H
h
l2
0 139 0 549, ; , . arsh
Т. к.
arsh
h
l
>ζ,
то нулевая точка находится за пределами пролета (рис. 6.7).
Величины a и b определяются по уравнениям (6.17), (6.18)
191
191